Использование математических моделей при подготовке инженера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Игнатенко В.В., Леонов Е.А. Использование математических моделей при подготовке инженера. Фiзико-математична освта. 2018. Випуск 4(18). С. 55-58.

Ignatenko V.V., Leonov E.A. Use Of Mathematical Models In The Preparation Of Engineer. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 4(18). Р. 55-58.

DOI 10.31110/2413-1571-2018-018-4-008

УДК 634.0.30

В.В. Игнатенко1, Е.А. Леонов2

Учреждение образования «Белорусский государственный технологический университет», Республика Беларусь

[email protected], [email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ПОДГОТОВКЕ ИНЖЕНЕРА

Аннотация. Статья посвящена использованию математических моделей реальных производственных систем при обучении студентов лесотехнического профиля. Современный инженер в свой работе сталкивается с новой высокопроизводительной и сложной техникой. Ему приходится анализировать работу как отдельных узлов машины, так и всей технологической линии. При достаточно широком выборе однотипных машин, очень важно правильно сформировать их в системы. Решение этих проблем практически невозможно без математического моделирования исследуемых объектов. В Белорусском государственном технологическом университете студенты специальностей «Лесоинженерное дело» и «Машины и оборудование лесного комплекса» изучают математические модели лесопромышленных машин и оборудования. В статье представлена математическая модель работы форвардера (машины, предназначенной для сбора и подвозки заготовленной в лесу древесины) с учетом его технических и технологических отказов на различных стадиях работы, используемая при обучении студентов лесотехнического профиля. Показывается, как для конкретного лесопромышленного оборудования строится размеченный граф состояний и по заданному графу для состояний системы записывается система дифференциальных уравнений Колмогорова дпя вероятностей состояний. Для установившегося режима работы тогда вероятности состояний практически постоянны, система дифференциальных уравнений преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Решая эту систему, находят финальные вероятности состояний, которые зависят от параметров потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое. Далее проводится анализ полученных решений с целью получения наилучших режимов эксплуатации данной техники. На конкретном примере показывается, как в зависимости от финальных вероятностей состояний форвардера определяются оптимальные сроки продолжительности восстановления работоспособности его ходовой части. Разработанная математическая модель базируется на применении теории массового обслуживания и критериев вероятностей состояний.

Ключевые слова: модель, форвардер, вероятность, технический отказ, параметры

Постановка проблемы. Подготовка современного инженера с использованием методов математического моделирования.

Анализ актуальных исследований. В настоящее время методы теории массового обслуживания (ТМО) применяются для анализа работы различных технологических процессов. Однако они носят или общий теоретический характер или применяются к сугубо частной производственной задаче. В частности, применение ТМО в лесной промышленности, рассматривалось в общем виде в работе [1]. Анализ и исследование работы форвардера с помощью математических моделей в литературе нигде не проводились. Поскольку в настоящее время форвардер является одной из основных машин в лесозаготовительном производстве, то статья посвящена анализу его работы с помощью математической модели.

Цель статьи. Учитывая это, целью статьи является обучение студентов построению математических моделей конкретных производственных машин и их анализу для нахождения рациональных режимов работы.

Методы исследования. Графическое описание состояний системы с помощью размеченных графов. Запись дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностных состояний, получение и анализ финальных вероятностей состояний.

Изложение основного материала. Математическая модель для форвардеров разработана с учетом технических отказов. Размеченный граф работы основных узлов машины изображен на рис. 1.

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Работа форвардера характеризуется следующими состояниями: 50 - машина исправна (простаивает или совершает холостой ход с погрузочного пункта на пасеку), но не производит сбор, транспортировку (подвозку), разгрузку и подсортировку сортиментов; 51 - машина исправна, осуществляет сбор, транспортировку, разгрузку и подсортировку сортиментов; 521 - отказ ходовой части; 522 - отказ двигателя; 523 - отказ технологического оборудования (манипулятора, грейферного захвата); 524 - отказ гидравлической системы.

В такой модели имеют место два типа потоков: потоков сортиментов и потоков отказов оборудования. Приоритетом пользуются потоки отказов, т. к. при их наступлении они «обрабатываются» (производится ремонт) в первую очередь. Из свободного состояния 50 в рабочее 51 система переходит с интенсивностью Л1 подачи рабочего органа к сортименту (штабелю сортиментов). Обратно переход осуществляется посредством погрузки и транспортировки сортиментов с интенсивностью ц1. При наступлении отказа ходовой части система с интенсивностью К21 перейдет из состояния 51 в 521. После выполнения ремонта с темпом ц21 система вернется в состояние 50. Отказ двигателя может привести к переходу в положение 522, как из состояния 50, так и из 51 с интенсивностью К22. После ремонта система с темпом ц22 перейдет в состояние 50. Отказ технологического оборудования приведет к переходу в состояние 523 из состояния 51 с интенсивностью К23. После ремонта система перейдет из состояния 523 в 50 с темпом ц23. Отказ гидросистемы приведет систему из состояния 51 в 524 с интенсивностью К24. После ремонта система перейдет из состояния 524 в 51 с темпом ц24.

^24

Рис. 1. Граф состояний системы форвардера

Обозначим:

РоШ - вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии 50;

Р^) - состоянии 51;

Р2^) - в состоянии 5^, ] = 1,2,3,4.

Тогда модель функционирования системы (дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний) будет иметь следующий вид:

МР0 = "(^1 +^22 ) Р0 + ИР1 + ^21Р21 +^22 Р22 +^23 Р23 ^

МРХ

— = ^1Р0 " (^1 +^21 +^22 +^23 + ^24)Р1 +^24Р24 ; М

dt dP,,

dt dP,

— ^21P1 ^21P2:

— -^22P0 + ^22P1 ^22P22 '

(1)

23

dt dP

— ^ 23 P1 ^23 P23'

24

— ^24 P1 ^24 P2

24'

dt

Po + P + P21 + P22 + P23 + P24 — 1

Неизвестные параметры К,- и ц,- устанавливаются следующим образом: Л1 = 1/tп, где ^ - продолжительность времени подачи рабочего органа к сортименту (штабелю сортиментов); ц1 = 1Дц, где ^ - продолжительность цикла сбора, транспортировки, разгрузки и подсортировки сортиментов; К21 = 1Л21от, где ^1от - продолжительность времени между отказами шасси; ц21 = 1/t21в, где - продолжительность времени восстановления работоспособности шасси; К22 = 1Л22от, где t22от - продолжительность времени между отказами двигателя; ц22 = 1Д22в, где t22в - продолжительность

времени восстановления работоспособности двигателя; Л23 = 1/t23°T, где t23OT - продолжительность времени между отказами технологического оборудования; ц23 = 1Д23в, где ^3в - продолжительность времени восстановления работоспособности технологического оборудования; Л24 = 1Д24от, где i24°'r - продолжительность времени между отказами гидравлической системы; ц24 = 1 / ^4в, где t^ - продолжительность времени восстановления работоспособности гидравлической системы.

При исследовании работы форвардера на протяжении длительного промежутка времени месяц, год и т.д. (установившийся режим работы), можно считать, что P0 = const, Pi = const, P21 = const, P22 = const, P23 = const, P24 = const, P25 = const (финальные вероятности состояния). Ошибка при принятии данного допущения не превышает 8% [2, 3].

В этом случае система дифференциальных уравнений (1) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений:

о = +Х22 ) Р0 +

0 =XjP0 - (М-1 + Х21 + Х22 + Х23 + Х24)р + ^24P24 ; 0 = Х21р — ^21P21 ;

0 = Х22 P + Х 22 Р1 —^22 P22; (2)

0 = Х23р — ^23 P23; 0 = Х24р — М-24 P24'

P0 + P + P21 + P22 + P23 + P24 = 1 Решая систему уравнений относительно вероятностей состояний P0, P1, P21, P22, P23, P24, получим выражения для расчета режимов работы форвардера:

P =

M-1 + X21 + X22 + X23

p0;

P21 =

X 21^1

P22 =

M-21(M-1 + X21 + X22 + X 23) ( * X1

-Pn:

1 + -

P23 =

P24 =

M22 I M-1 + X21 + X22 + X23

X 23 X1

po;

M23(M1 + X21 + X22 +X23)

_X 24X1_

M24(M1 + X21 + X22 +X23)

Po;

P>-

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

Примем, что:

X.

21

X-

X22 X23 X24 1

= p21' = p22 ' = p23 ' = p24 ' Гт Гт T7

M21 M22 M23 M24 M1 + X21 +X 22 + X23

= ф.

Тогда получим уравнение для расчета вероятности состояния Р0:

P0 = t1 + Р22 + Ф(1 + Р21 + Р22 + Р23 + Р24 )]~1 ■ (8)

Подставив в выражения (3)-(7) значения вероятности Р0, найдем значения вероятностей Pi, P2i, Р22, Р23, Р24. Полученные зависимости вероятностей состояний форвардера позволяют установить рациональные значения параметров машины. Технология работы с зависимостями следующая. На основе технических характеристик принимается ряд параметров, например, ц1, Л21, Л22, Л23, Л24 и из построенных зависимостей устанавливаются искомые параметры. Например, Л1, ц21, ц22, ц23либо ц24 [2, 3, 4].

На рис. 2 приведен пример установления одного из названных параметров.

Определенное оптимального значение ц*21 позволяет определить рациональную, в данном случае, продолжительность восстановления ходовой части:

» _ 1

t21 — ~^ ^21

При этом обеспечивается надлежащая производительность машины, т. к. достигается практически максимальная ее величина Р1* (вероятность работы).

Выводы. Разработанная модель обучает студентов определять рациональные режимы работы и ремонта технологического оборудования форвардера в случае технических отказов при заданных характеристиках. Это приведет к росту производительности оборудования без существенных финансовых затрат.

Список использованных источников

1. Игнатенко В. В., И. В. Турлай И. В., Федоренчик А. С. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок. Минск: БГТУ, 2004. 178 с.

2. Игнатенко В. В., Леонов Е. А. Установление рациональных параметров многооперационных машин в лесозаготовительной промышленности. Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2015. Т. 3. № 5-4. С. 291-295.

3. Леонов Е. А., Игнатенко В. В., Клоков Д. В. Математическая модель работы рубильной машины с учетом ее технических отказов. Труды БГТУ. 2016. № 2: Лесная и деревообр. пром-сть. С. 40-44.

4. Федоренчик А. С., Клоков Д. В., Леонов Е. А. Технология и оборудование лесосечных и лесоскладских работ. Минск: БГТУ, 2016. 204 с.

References

1. Ignatenko V. V., Turlay I. V., Fedorenchik A. S. Modelirovanie i optimizacija processov lesozagotovok [Modeling and optimization of logging processes]. Minsk, BGTU Publ., 2004. 178 p (In Russian).

2. Ignatenko V. V., Leonov E. A. Establishment of rational parameters of multi-operation machines in the timber industry. Aktual'nyye napravleniya nauchnykh issledovaniy XXI veka: teoriya i praktika [Actual directions of scientific research of the XXI century: theory and practice], 2015, no. 5-4, pp. 291-295 (In Russian).

3. Leonov E. A., Ignatenko V. V., Klokov D. V. The mathematical model of chipper work given its technical failures. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2016, no. 2: Forest and Woodworking Industry, pp. 40-44 (In Russian).

4. Fedorenchik A. S., Klokov D. V., Leonov E. A. Tekhnologiya i oborudovaniye lesosechnykh i lesoskladskikh rabot [Energy use of wood biomass. Practical work]. Minsk, BGTU Publ., 2016. 204 p (In Russian).

USE OF MATHEMATICAL MODELS IN THE PREPARATION OF ENGINEER Ignatenko V. V.

Belarusian State Technological University, Republic of Belarus Leonov E. A.

Belarusian State Technological University, Republic of Belarus Abstract. The article is devoted to the use of mathematical models of real production systems in teaching forestry students. A modern engineer in his work is faced with a new high-performance and complex technology. He has to analyze the work of both individual units of the machine, and the entire process line. With a fairly wide of choice of the same type of machines, it is very important to correctly combine them into system. The solution of these problems is almost impossible without mathematical modeling. At the Belarusian State Technological University, students of the specialties "Forest Engineering" and "Machines and Equipment for the Forestry Complex" study mathematical models of forestry machinery and equipment. The article presents a mathematical model of the work of the forwarder (a machine designed for collecting and hauling timber harvested in the forest), and takes into account its technical and technological failures at various stages of work, which machine is used to train forest engineering students. It is shown how a marked state graph is constructed for a specific forestry equipment and a system of Kolmogorov differential equations of state probabilities is written according to a given graph for system states. For steady-state operation, when the probabilities of states are almost constant, the system of differential equations is transformed into a system of linear algebraic equations. By solving this system, we find the final probability of the states, which depends on the parameters of the event streams that transfer the system from one state to another. Next, an analysis of the obtained solutions is carried out in order to obtain the best operating conditions for this equipment. On a concrete example we show dependence of the final probabilitiy from the states of the forwarder and determine the optimal terms of the restoration of the running gear performance duration . The developed mathematical model is based on the application of queuing theory and state probability criteria.

Keywords: model, forwarder, probability, technical denial, parameters.