Использование квантовых алгоритмов в конструкторских САПР Текст научной статьи по специальности «Математика»

С учетом граничных условий для u(x) несложно убедиться в том, что имеет место следующее неравенство:

Тогда слабая постановка исходной задачи формулируется как следующая задача:

Задача 1: Найти u е H (П), u > 0 в Q, удовлетворяющую условиям u = 0 на S2, u = р(x) на S3 И неравенству (13) для любого V е K.

Тогда для широкого класса функций aa(x;Sku(x)), соответствующих различным законам стационарной фильтрации, имеет место следующий результат.

Теорема: Существует по меньшей мере одно решение u(x) задачи 1. Кроме того, u е W1,q (Q) для Vq > 1 и, в частности, u е C0,a(Q) для любого 0 < а< 1.

Доказательство проводится на основе общей теории монотонных операторов в применении к теории вариационных неравенств.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Baiochi C. Su un problema afrontiera libera connesso a questioni di hidraulica. Ann.Mat.Pura Appl. 92, 1972.

2. Baiochi C. Free boundery problems in the theory of fluid flow through porous media. Proc. Int. Congr. Math. Vancouver, 1974, Vol II. Canadian Math Congress.

3. Bachmat, Y, Bear, J. Macroscopic modelling of transport phenomena in porous media. The continuum approach, Transport in Porous Media, 1, 1986.

4. Христианович C.A. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси. ПММ, 1940, IV, Вып. 1.

УДК 681.3

В.М. Курейчик

Таганрогский государственный радиотехнический университет e-mail: kur@tsure.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ АЛГОРИТМОВ В КОНСТРУКТОРСКИХ САПР*

Введение

В последнее время оптимизация стала одним из этапов процесса разработки,

. . .

оптимизации особенно важно при автоматизации конструкторского проектирова-. , алгоритмы определения экстремальных частей в математической модели схемы. На основе этих частей строятся алгоритмы компоновки, размещения, минимизации внутрисхемных пересечений, трассировки и верификации.

* Работа выполнена при поддержке Целевой программы «Рювитие научного потенциала высшей школы» (2006-2008) РНП.2.1.2.3193

Задачи конструкторского проектирования являются классическими примера-

( ). -зуемы. Они относятся к классу NP-полных проблем. Поэтому для компоновки СБИС и ССБИС с n>106 эффективное применение нашли эвристические алгоритмы. Существует большое число алгоритмов в САПР [1-3,4]. В последнее время перспективными считаются генетические алгоритмы, позволяющие получать на- . подход решения задач компоновки, использующий модифицированные генетические и квантовые алгоритмы, что позволяет распараллеливать процесс решения и анализировать больший размер области допустимых решений.

1. Постановка задачи

Основная идея предложенного подхода основана на факториальном сжатии графовой или гиперграфовой модели коммутационной схемы. Далее выполняется дихотомическое иерархическое разбиение графа. На последней стадии происходит проецирование дихотомического разбиения на исходную модель на основе последовательной или параллельной обработки разбиения [4,5].

На этапе сжатия исходная графовая модель G=(X,U) преобразуется в последовательность графов Gi =(xi ,ui), таких, что |Xi| = |Xi+i| . Согласно [4,5] граф Gi=i строится из Gi на основе нахождения максимального паросочетания (МПС) МПС с Ui и объединения вершин, которые инцидентны каждому ребру паросочетания. Вершины, не инцидентные ребрам из МПС пересекаются в графе Gi+1

Согласно [4,5] метод нахождения МПС влияет на качество решения и время, требуемое для распаковки графовой модели. Модель КС задается в виде графа G = (X,U), |X|=n, |U|=m, X - множество вершин, U - множество ребер. Рассмотрим, например, постановку задачи компановки. Необходимо разбить (р^резать) множество X на X1, X2, X3,.. ,,Xk - подмножеств таким образом, чтобы

X1 u X2 u X 3 U...U X k = X,

X 1 n X 2 n X 3n...n X k = 0 (1.1)

Xi

| X |/ck < | X ;| < c | X |/k, (1.2)

- , , -

нение веса с > 1. Ограничение разбиения определяют количество вершин внутри каждого подмножества Xi .

,

целевую функцию

K=MX i) + K2(X j), (1.3)

X i u X j =X, X i n X j =0, Ui u UjC U,

Ui u Uj =0 u Ui n Uj= Uij |Uij|=Kij.

K - , Gi Gj ,

a Ki j - число ребер, попадающих в разрез между Gi и G_j .

Необходима разработка эвристик K^ max или Kij ^ min.

В предлагаемом алгоритме в стадии сжатия, используется новый алгоритм определения МПС. Стадия разбиения выполняется на основе работ автора [3], а стадия распаковки на основе [4,5].

2. Квантовый алгоритм определения паросочетаний в двудольном графе

Идею и структуру квантового алгоритма предложил Л.Гровер [6,7]. Согласно [7] при решении неструктурированной проблемы поиска существует “оракул”, определяющий является ли рассматриваемое решение искомым. Этот шаг алгоритма как бы на языке вычисления кванта, ставит в соответствие каждому возможному индексу уникальный собственный вектор. Для реализации поиска это квантовое пространство должно развиваться в общую суперпозицию, которая имеет амплитуду, сконцентрированную в ^ ^^торе, определяющем путь до цели поиска.

Опишем модифицированную эвристику построения максимального паросочетания в двудольном графе [8]. Два ребра графа называются независимыми, если они не имеют общей вершины. Тогда паросочетание (ПС) это множество незави-. -ным (МПС)[8]. Исходными данными являются двудольный граф, представленный в виде двух частей 0=(Л,Б;и) и произвольное построение. Оно может состоять в частности из одного ребра. Произведем разбиение подмножества Л на две части. В первую включаются вершины, в которые не входят ребра паросочетания. Во вторую часть включаются вершины, в которые входят ребра паросочетания. Если первая часть пуста, то исходное паросочетание являются максимальным. Далее среди вершин второй части выбирается вершина с наименьшей локальной степенью. Если таких вершин несколько, то выбирается любая. Из выбранной вершины х1е Б. Имеем ребро (х1, Х|), которое не является ребром паросочетания. Затем продолжаем строить цепь назад по ребру паросочетания. Получаем цепь (х1, х|) (Х|, хк). Далее . -сочетания. Далее из исходного паросочетания удаляются ребра, имеющиеся в це, , .

Например, имеем граф в=(Л,Б;и), представленный в двудольном виде (рис. 1). Задано исходное паросочетание ПС={(1,7),(2,6)}. Разобьем подмножество Л = {1,2,3,4} на две части: 1 = {1,2} , 2={3,4}. Во второй части все три вершины имеют одинаковую локальную степень равную 2. Выбираем вершину 5 и строим цепь: 5—>7^1—>8—>5. После анализа в паросочетание добавляем ребро (5,8). Переходим к вершине 4. Строим цепь 4—>6^2—>10. В этой цепи нет ребер, которые можно добавить в паросочетание. Строим новую цепь 3—>10. После анализа получаем, что ребро (3,10) можно добавить к ПС. В результате построено ={(1,7),(2,6),(5,8),(3,10)}, показанное жирными линиями на рис. 1.

Рис.1. Паросочетание в графе

Рассмотрим эвристику построения МПС на основе анализа специальной матрицы смежности, и построение в ней «парадлельных диагоналей» и идей квантового поиска[8]. Например, пусть задан граф в=(Л,Б;и) в виде матрицы. Специальная матрица смежности этого графа запишется:

В матрице можно выделить семь «парадлельных» диагоналей:

ПС1={(1,7)},

ПС2={(1,9)},

ПСз={(1,11)},

ПС4={(2,7),(3,8),(5,10)},

ПСз={(2,9),(3,10)},

ПС6={(2,11)},

ПС7={(4,8),(6,10)},

Каждая из таких диагоналей является паросочетанием исследуемого графа. ,

.

Для дальнейших исследований выбирается ПС4 и на основе суперпозиции с ( 1) . -

ции суперпозиции для объединения частичных решений графовых задач подробно описано в работах[8,9].

Для получения большего числа диагоналей с максимальным числом элементов произведем расширение матрицы:

7 8 9 10 11 К 7 8 9 10 11

ч N "Л 1 \ 1 1

\ о4 \ 1 \ 1

Ч ч. N. \ V

\ ч ч. ч

ч 1

Как видно получено новое паросочетание

ПС8={(1,11),(2,7),(3,8),(5,10)},

ПС8=ПС7 у ПС3, которое является максимальным.

Заметим, что матрицу можно расширить справа, слева, сверху и снизу.

Можно строить расширенные матрицы сверху и снизу. Это дает возможность получить две новых диагонали с максимальным числом элементов.

Такое расширение соответствует следующим операциям суперпозиции

ПС1={(2,5),(3,6),(4,7)} и {(1,8)}, | ПСа|=4 ПС2={(1,6),(2,7),(3,8)} У {(4,5)}, | ПС2|=4

1 2.

Тогда, с учетом описанных выше эвристик, композитный алгоритм определения паросочетания в двудольном графе представим в виде.

Исходные данные: двудольный граф в=(Л,Б;и), | Л|, | Б|, матрица смежности.

1. .

2. ,

.

3. .

4. ,

расширения специальной матрицы слева, справа, сверху и снизу.

5. .

6. .

Время работы алгоритма зависит от размера анализируемой матрицы: чем больше размер матрицы, тем больше может потребоваться времени. В задачах на графах размер входа часто измеряется не одним числом, а двумя (число вершин п и число ребер т графа). Для задачи определения паросочетания в двудольном графе необходимо определить время работы алгоритма в худшем случае, среднее время работы алгоритма и время работы алгоритма в лучшем случае.

Время работы предлагаемого алгоритма в лучшем случае имеет порядок роста п т.е. О(п). Знание времени работы алгоритма в худшем случае позволяет гаран-, -

ном размере входа. Время работы алгоритма в худшем случае имеет порядок роста тп2, т.е. 0(тп2).

В заключение отметим, что использование моделей квантового поиска позволяет находить набор максимальных паросочетаний в двудольных графах. Время работы в наилучших случаях имеет порядок роста 0(п), где п - число вершин гра.

повышает качество и эффективность конструкций.

, -

, -

во поиска искомого решения.

Характер поведения алгоритмов проектирования определяет скорость роста количества выполненных операций при возрастании объема входных данных. Наилучшим случаем является такой набор данных, на котором алгоритм выполняется за минимальное время. В лучшем случае временная сложность предложенных алгоритмов (ВСА) ориентировочно составляет О(п). В худшем случае ВСА=0(п!).

Произведено сравнение разработанных алгоритмов проектирование топологий с существующими. Эксперименты для параллельного и последовательного поиска решений проводились на ЭВМ типа 1БМ РС, с процессором Ше1 Рейшш IV, ЛМБ Лйоп Л(0) 1500 МГц, ОЗУ 512 Мб, жёсткий диск 40 Гб. Проведенные серии тестов и экспериментов позволили уточнить теоретические оценки временной сложности алгоритмов компоновки, размещения и трассировки. Временная сложность алгоритма (ВСА) « О(п)- 0(п3)), где п-число элементов схемы. ВСА и точность получения результата находятся как бы в противоречии, так как увеличение генерации алгоритмов просмотра приводит к качественным результатам за .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Норенков ИМ. Основы автоматизированного проектирования—М.: Изд-во М'ГТУ им.

Н.Э.Баумана, 2000.

2. Naveed Sherwani Algoritms for VLSI Physical Design Automation. KLUVER ACADEMIC PUBLISHER, Norwell, Massachusetts, 1995.

3. Курейчик B.M. Математическое обеспечение конструкторского и технологического проектирования с применением САПР.- М: Радио и связь, 1990.

4. Karypis G., Kumar V. Analysis of Multilevel Graph Partitioning, Technicai Report 95-037, Minneapolis. March, 1998.

5. Karypis G., Kumar V. Multilevel k-wey Hypergraph Partitioning, Technicai Report 98-019, Minneapolis. May, 1998.

6. Grover L.K. A Fast Quantum Mechanical Algorithm for Data-base Search. Proc. 28 th Ann. ACM Press, New York, 1996, pp.212-219.

7. Grover L.K. Synthesis of Quantum Superpositions by Quantum Computation. Physical Rev. Letters, Vol 85. No.6, 2000, pp.1334-1337.

8. Куре йчик B.M. Квантовый алгоритм опред еления гамильтонова цикла/ Теоретический и научно-методический журнал «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы», N 1 (21), Таганрог, ТРТУ, 2005, стр. 4-11.

9. Неупокоева КВ. Построение интегрированных квантовых и генетических алгоритмов размещения. Теоретический и научно-методический журнал «Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы», N 3 (23), Таганрог, ТРТУ, 2005, с.4-11.

УДК 378.147.88:62-057.8

В.В. Коваль, И.А. Синявская

Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ «ВУЗ - ПРЕДПРИЯТИЕ (РАБОТОДАТЕЛЬ)»

Система образования влияет на развитие общества, формируя через систему ценностей потребность в образовании. При этом она должна соответствовать постоянно изменяющимся потребностям рынка труда в специалистах. Дисбаланс рынка труда и рынка образования заключается в том, что «рынок труда требует от образования удовлетворения своих социально-экономических потребностей в квалифицированной рабочей силе, а система образования удовлетворяет личностные

потребности индивидуумов в получении образования» .

Образование в настоящий момент является не просто социальноэкономической потребностью, а предпосылкой развития регионального, государ, . -ных и экономических потребностей приводит к длительному периоду адаптации выпускника как специалиста на рынке труда.

Российская Федерациия посредством установленного государственного задания на подготовку специалистов ежегодно осуществляет заказ на подготовку определенного количества специалистов по конкретным профессиональным образова-, -,

.

1 Иванова И. «Социальные и личностные потребности в образовании» // электронный журнал «Человеческие ресурсы». - Саратов: Изд-во Мин. труда и соц. развития РФ и ПМУЦ, 2004., М1://%'%гмг.ртис.га/|ота1