CC BY
35
УДК 004.352:519.862.7 ББК 32.973.26-04в631
В. Ф. Шуршев, Буй Ле Ван
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИТЕРИЯ ПАРЕТО ПРИ РАЦИОНАЛЬНОМ ВЫБОРЕ СКАНИРУЮЩИХ ПРИЕМНИКОВ И ТРАНСИВЕРОВ
V. F. Shurshev, Bui Le Van
DEPLOYMENT OF THE PARETO CRITERION FOR RATIONAL SELECTION OF SCANNING RECEIVERS AND TRANSCEIVERS
Рассмотрен алгоритм рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов на основе использования критерия Парето. Алгоритм состоит из четырех главных шагов: построение ассоциативных матриц, построение результирующих ассоциативных матриц, обработка результирующих ассоциативных матриц и установление отношения порядка. Рассмотрен конкретный пример выбора необходимого трансивера из пяти устройств по четырем показателям: чувствительность, продолжительность работы без перезарядки, количество каналов и цена. Использование метода выбора по критерию Парето позволит получить рациональное решение задачи выбора сканирующих приемников и трансиверов.
Ключевые слова: критерий Парето, выбор, сканирующий приемник, трансивер, структура показателей, модель алгоритма.
The study considers the algorithm of rational selection of scanning receivers and transceivers based on the Pareto criterion. The algorithm includes four main steps: construction of associative matrices, construction of resulting associative matrices, processing of the resultant associative matrix and establishment of order relations. A specific example of selection of the desired transceiver from five devices in accordance with four factors: sensitivity, duration of work without recharging, number of channels and price. Deployment of selection method by the Pareto criterion will provide a rational solution to the problem of choosing scanning receivers and transceivers.
Key words: Pareto criterion, choice, scanning receiver, transceiver, structure of indicators, model of algorithm.
Введение
Проблема выбора сканирующих приемников и трансиверов по техническим параметрам, экономическим и иным критериям, соответствующим требованиям потребителей, является актуальной для многих потребителей, особенно работающих в областях информационной безопасности, защиты от информационного шпионажа.
В силу специфичной сферы применения на рынке этих устройств информация об их параметрах недостаточна и ограничена, что затрудняет потенциальным потребителям - компаниям или частным лицам осуществление рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов по необходимым для покупателя требованиям. Выбор того или иного устройства из этой группы устройств часто субъективен и основан на советах продавцов.
Существуют различные подходы к решению задач выбора, которые рассмотрены, в частности, в [1-10].
Задача выбора сканирующих приемников и трансиверов - это многокритериальная задача. Ее решением будет являться парето-оптимальное множество, т. е. такое допустимое, с точки зрения покупателя сканирующих приемников и трансиверов, решение, которое не может быть улучшено ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения по какому-либо другому критерию. Это означает, что потребитель вынужден идти на определенный компромисс, соглашаясь на некоторую потерю хотя бы по одному критерию и получая определенный выигрыш по крайней мере по другому критерию.
Вследствие этого актуальной задачей является формализация и выбор математического инструментария для рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов.
Объект исследования - применение критерия Парето для рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов.
Построение структуры показателей качества выбора сканирующих приемников и трансиверов
Ранее в [11, 12] были предложены критерии выбора и методика выбора сканирующих приемников и трансиверов по основным характеристикам.
После выполнения процедуры выбора сканирующих приемников и трансиверов из базы альтернатив по методике, представленной в [11, 12], генерируется множество вариантов (альтернатив) моделей сканирующих приемников и трансиверов, соответствующих требованиям потребителей, в том числе по техническим параметрам, экономическим и иным критериям.
После завершения этого этапа возникает новая задача - как из полученного множества альтернатив выбрать наилучшую, в силу того, что не существует альтернативы, которая по всем критериям превосходила бы другие альтернативы. Складывается ситуация, когда отдельная альтернатива по одному или нескольким критериям может превосходить другие альтернативы, а по другим критериям им проигрывать.
Предположим, что при решении задачи выбора [11, 12] сгенерировано множество альтернатив сканирующих приемников и трансиверов, состоящее из п элементов.
Обозначим полученное множество альтернатив А = {аі}, і = 1,п, где аі - устройства (альтернативы), полученные при выборе по требованиям потребителей и компаний; а = {е.}, . = 1, т, где е. — показатели качества а.
В качестве исходной модели данных для описания вариантов на множестве А предложено использовать реляционное отношение (табл. 1).
Таблица 2
Структура данных в виде реляционного отношения
Альтернатива Показатели альтернатив е. и их значения
Показатель еі Показатель Є2 Показатель ет
аі еі,і Єі,2 еіт
а2 Є2.1 Є2.2 Є2т
ап еп,1 Єп,2 Єп,т
Показатели качества {е.},. = 1, т вариантов А = {аі} описываются их значениями {еі;.} по строкам.
Модель алгоритма выбора по критериям Парето
В основу алгоритма выбора положена модель, основанная на описании множеств возможных вариантов с помощью фактор-множества F(A/e), которым являются множества окрестностей единичного радиуса, взятых для всех а. є А, і = 1,п. Отметим, что окрестность Оі элемента аі представляет собой множество элементов {а*}, доминирующих или эквивалентных аі
(а, У= а ).
4 і г /
*
В задаче многокритериальной оптимизации точка а , є А называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки аі є А , которая была бы предпочтительнее, чем а.,. Множество парето-оптимальных значений [13]:
У а * є А * 3 аі є А : аі У а *
і і
где а У а.. о (V/ є 1..к, (/і (а) > /і (а..)) л (3/0 є1-..к, Д (а-) > Д (а,))) ;
А — множество парето-оптимальных значений (А < А).
На основе [14-16] был выделен алгоритм рационального выбора альтернатив по критерию Парето, который представлен на рис. 1.
Рис. 1. Алгоритм выбора оптимальных альтернатив по критерию Парето
Алгоритм выбора оптимальных альтернатив по критерию Парето работает по следующим шагам. Построение ассоциативных матриц АсМу
Для хранения фактор-множеств при алгоритмизации и автоматизации решения задач использована модифицированная ассоциативная матрица линейного порядка L(A/ej), ] = 1, т . Необходимо:
- осуществить построение линейных порядков альтернатив по показателю качества ej;
- линейные порядки альтернатив построены в виде реляционного отношения:
L(A / ej) =< аг+1, ai,..., ап >, / = 1, п, ам У ai по е- у = 1, т;
- построить ассоциативные матрицы для каждого линейного порядка. В строках модифицированной ассоциативной матрицы располагаются альтернативы а, столбцы - окрестности. Эта матрица представлена в табл. 2.
Таблица 3
Ассоциативная матрица АсМ, фактор-множества Е(А/ еу) линейного порядка L(A/ej)
--.....„Окрестность Альтернатива""" ОМ/ е;) О2(а2 / е, ) Оп (ап / е., )
Ох 0 ^.,2
а 2 ^2,, 0
ап <2 <2 0
Если альтернатива аі доминирует альтернативу ак , то элемент ассоциативной матрицы
& і,к принимает значение равное 1, в противном случае элемент ассоциативной матрицы & і,к принимает значение равное 0.
Если альтернативы аі, ак несравнимы по данному показателю качества, то элементы (І]іх = = 1. Элементы, которые стоят на главной диагонали, всегда принимают значение равное 0 [16].
Итак: d] гк =
1, ai у ак, ai, ак е L(A / е;), г ф к, 0, г = к,
0, аг Р ак, аг, ак е L(A / е;), г ф к.
Построение результирующих ассоциативных матриц АсМрез
Для получения результирующей ассоциативной матрицы АсМрез необходимо реализовать пересечение фактор-множеств всех показателей качества:
с,к = <к п ^к п... п йтк, г,к=\п.
Значение элемента результирующей ассоциативной матрицы определяется следующим образом:
сг,к =
1, d}k П dlk П ... П dmk = 1,
г, к
0, dlk П d2k П ... П dmk = 0.
Результирующая ассоциативная матрица представлена в табл. 3.
Результирующая ассоциативная матрица АсМрез
Таблица 4
Обработка результирующих ассоциативных матриц АсМрез
— альтернатива аъ включается во множество оптимальных вариантов по принятому критерию Парето, если значение Ъъ = с1к и с2 к и... и спЬ окрестности Ок(ак/ {е1, ... еп}) равно 0 [16];
^к = С1,к и с2,к и ... и сп,к = 0;
— если в результирующей ассоциативной матрице два варианта ак и ау имеют равные значения всех критерий качества, то
ску = сф = ^ к,у = 1, п (1)
(ску и сук - элементы положены симметрично относительно главной диагонали).
В данной ситуации не получается оптимального варианта, потому что в результирующей ассоциативной матрице не будет столбцов, у которых значение 2к = 0. В этом случае всем элементам, симметричным относительно главной диагонали результирующей ассоциативной матрицы, удовлетворяющим выражению (1), присваивается значение 0.
Для полного решения этой задачи (установление отношения порядка) у нас есть несколько методов. В этой статье мы представим метод удаления столбцов и строк из результирующей ассоциативной матрицы.
Рассмотрим метод удаления столбцов и строк из результирующей ассоциативной матрицы на конкретном примере.
Пример. Задано исходное множество из пяти трансиверов, для каждого из них введены 4 показателя: «Чувствительность [12]», «Продолжительность работы без перезарядки», «Количество каналов» и «Цена» (табл. 4).
Таблица 5
Исходное множество
Показатель Устройство е1 — Чувствительность | 25 кГц ▼ е2 — Продолжи- А тельность работы Т без перезарядки, ч ез — Количество ж каналов Т а, X . «\© 1 &
а1 - 1С-4088 0,2 15 69 5 960
а2 - - ТК-2307 0,25 8 з2 5 960
аз - VX-231 0,25 8 16 6 з55
аЛ - ТК-2зб0М 0,25 9 16 7 000
а5 - СР040 UHF3 0,2 10 16 7 000
Примечание. В названии показателей указана направленность показателей: X — направленность на минимум, \ — направленность на максимум.
Решение
Шаг 1. Построение ассоциативных матриц АсМ/.
— осуществим построение линейных порядков по еь е2, ез, е4:
Ц(а/ех) = {{аь а5}, {а2, аз, а4}};
Ца/е!) = {а:, а5, а4, {а2, аз}};
Ь(а/ез) = {а!, а2, {аз, а4, а5}};
Ц(а/е4) = {{а1, а2}, аз,{а4, а5}};
— построим четыре ассоциативные матрицы для каждого построенного линейного порядка (табл. 5-8).
Таблица 6
Ассоциативная матрица АсМ] фактор-множества F(A/e1) линейного порядка L(A/e1)
Окрестность Альтернатива . О1 (й/еО О2 (й2е1) Оз (1аз/е1) О4 (а/еО О5 (а*/£1)
а1 0 1 1 1 1
а 2 0 0 1 1 0
а з 0 1 0 1 0
а 4 0 1 1 0 0
а ^ 1 1 1 1 0
Таблица 7
Ассоциативная матрица АсМ2 фактор-множества F(A/e2) линейного порядка L(A/e2)
Окрестность Альтернатива О1 (а/е*) О2 (й2/е2) Оз (йз/е2) О4 (й4/£2) О5 (а*/£2)
а1 0 1 1 1 1
а 2 0 0 1 0 0
а з 0 1 0 0 0
а 4 0 1 1 0 0
а 5 0 1 1 1 0
Таблица 8
Ассоциативная матрица АсМ3 фактор-множества F(A/e3) линейного порядка L(Ale3)
Окрестность Альтернатива^"^ О1 (а/ез) О2 (й2/ез) Оз (йз/ез) О4 (й4/ез) О5 (а*/ез)
а1 0 1 1 1 1
а 2 0 0 1 1 1
а з 0 0 0 1 1
а 4 0 0 1 0 1
а 5 0 0 1 1 0
Таблица 9
Ассоциативная матрица АсМ4 фактор-множества F(A/e4) линейного порядка L(Ale4)
Альтернатива-'''''''''''''''--'^ 02 («/Єї) 02 («2/Є4) 03 («3/Є4) 04 (а4/е4) 05 («5/£4)
ах 0 1 1 1 1
а 2 1 0 1 1 1
а з 0 0 0 1 1
а 4 0 0 0 0 1
а 5 0 0 0 1 0
Шаг 2. Построение результирующих ассоциативных матриц АсМрез
На основе полученных ассоциативных матриц - АсМ!, АсМ2, АсМз, АсМ4, путем пересечения фактор-множеств по каждому из показателей качества, получаем результирующую ассоциативную матрицу (табл. 9).
Таблица 10
Как видно из табл. 9, результирующая ассоциативная матрица содержит окрестность 01(а1), у которой значение 2\ = 0. Итак, а! - нехудший вариант исходного множества.
Если нехудших вариантов будет больше, чем 1, то происходит усечение данного множества до единственного решения известными методами, например с помощью принципа гарантированного результата (максимина), согласно которому оптимальным считается вариант из множества Парето, который доставляет наилучшее значение наихудшему критерию.
Выполним удаление нехудшего варианта а1 в результирующей ассоциативной матрице (табл. 9). После удаления столбца окрестности 01 (а1) и строки а! получим новую матрицу (табл. 10).
Таблица 11
Результирующая ассоциативная матрица после удаления альтернативы а1
" ——^^^Окрестность Альтернатива —— 02(а2) О3(а3) О4 (а 4) 05(а5)
а 2 0 1 0 0
а 3 0 0 0 0
а 4 0 0 0 0
а 5 0 0 1 0
Очередь альтернативы: Оч. (А/{е1... е5}) = <а\>.
Продолжим удаление нехудших вариантов 02(а2) и 05(а5)в результирующей ассоциативной матрице (табл. 10). Матрица принимает следующий вид (табл. 11).
Таблица 12
Результирующая ассоциативная матрица после удаления альтернатив а2 и а5
Окрестность Альтернатива^^^^^ 0з(аз) 0Да4)
а 3 0 0
а 4 0 0
Добавим два варианта в очередь альтернативы Оч. (А/{е1... е5}) = <аь{а2, а5}, >.
После удаления а2, а5, видно, что столбцы Оз(аз) и 04(а4) = 0. Следовательно, порядок альтернатив будет иметь следующий вид:
Оч. (А/{еь..е5}) = <01,{а2, а5},{аз, а4}>.
Заключение
Использование в качестве математического инструментария метода оптимального выбора по критерию Парето позволит разработать алгоритмическое обеспечение для системы поддержки принятия решений, способствующей рациональному выбору сканирующих приемников и трансиверов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Квятковская И. Ю. Линейное расслоение классов альтернатив с использованием логической формы функции выбора / И. Ю. Квятковская // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2007. № 1 (з6). С. 116-119.
2. Полумордвинов О. А. Выбор рационального состава исполнителей сквозных бизнес-процессов строительной организации / О. А. Полумордвинов, И. Ю. Квятковская // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Экономика. 2010. № 1. С. 198-202.
3. Шуршев В. Ф. Исследование алгоритма комплексного эволюционного метода, применяемого в компьютерной системе поддержки принятия решения о выборе состава холодильных агентов, с помощью вычислительных экспериментов / В. Ф. Шуршев, Н. В. Демич // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2006. № 1 (з0). С. 141-146.
4. Шуршев В. Ф. Использование метода самоорганизации поиска в задаче поддержки принятия решения при определении компонентов системы энергоучета / В. Ф. Шуршев, О. В. Демич // Вестн. Кузбас. гос. техн. ун-та. 2005. № 5. С. 25-27.
5. Демич О. В. Метод самоорганизации поиска и его применение для задачи принятия решения /
О. В. Демич, В. Ф. Шуршев // Системы управления и информационные технологии. 2005. № з (20). С. 14-16.
6. Шуршев В. Ф. О критериях экологичности и безопасности при выборе состава холодильных агентов в компьютерной системе поддержки принятия решения / В. Ф. Шуршев // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2005. № з. С. 241-245.
7. Квятковская И. Ю. Интегрированные механизмы информационной поддержки принятия решений крупномасштабной территориально-распределенной экономической системы / И. Ю. Квятковская, В. Ф. Шуршев, К. И. Квятковский // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2010. Т. 4, № 2. С. 181-189.
8. Шуршев В. Ф. Формирование набора критериев для компьютерной системы поддержки принятия решения при выборе новых холодильных агентов / В. Ф. Шуршев // Изв. высш. учеб. завед. Северо-Кавказ. регион. Сер.: Техн. науки. 2005. Прил. 1. С. 144-147.
9. Шуршев В. Ф. Моделирование процесса принятия решений при идентификации режимов течения смесей холодильных агентов / В. Ф. Шуршев, А. Н. Умеров // Вестн. Кузбас. гос. техн. ун-та. 2005. № 5. С. 27-29.
10. Бялецкая Е. М. Формирование набора показателей для оценки качества управления жилыми домами / Е. М. Бялецкая, И. Ю. Квятковская, В. Ф. Шуршев // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 2. С. 14з—149.
11. Шуршев В. Ф. Критерии выбора сканирующих приемников и трансиверов / В. Ф. Шуршев, Л. В. Буй // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 201 з. № з. С. 6з-69.
12. Шуршев В. Ф. Методика выбора сканирующих приемников и трансиверов по основным характеристикам / В. Ф. Шуршев, Л. В. Буй // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 201 з. № 2. С. 45—51.
13. Задача многокритериальной оптимизации [Электронный ресурс]: http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php? title=Задача_многокритериальной_ош'имизации._Multюbjectivizatюn. (дата обращения: 20.06.2012).
14. Подиновский В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М.: Наука. Главная ред. физ.-мат. лит., 1982. 256 с.
15. Кандырин Ю. В. Методы и модели многокритериального выбора вариантов в САПР / Ю. В. Канды-рин: учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 172 с.
16. Кандырин Ю. В. Математические модели структурирования альтернатив для решения задач выбора в САПР / Ю. В. Кандырин, Л. Т. Сазанова, Г. Л. Шкурина // Изв. Волгоград. гос. техн. ун-та. 2011. № 10. С. 111-115.
REFERENCES
1. Kvyatkovskaya I. Yu. Lineinoe rassloenie klassov al’temativ s ispol’zovaniem logichskoi fopmy funktsii vybora [Linear stratification of classes of alternatives using logic form of selection fonction]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2007, no. 1, pp. 116-119.
2. Polumordvinov O. A., Kvaiatkovskaia I. Iu. Vybor ratsional'nogo sostava ispolnitelei skvoznykh biznes-protsessov stroitel'noi organizatsii [Choice of rational composition of executors of through business processes of building organization]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Eko-nomika, 2010, no. 1, pp. 198-202.
3. Shurshev V. F., Demich N. V. Issledovanie algoritma kompleksnogo evoliutsionnogo metoda, primeni-aemogo v komp'iuternoi sisteme podderzhki priniatiia resheniia o vybore sostava kholodil'nykh agentov, s po-moshch'iu vychislitel'nykh eksperimentov [Study of the algorithm of complex evolutionary method used in the computer system of decision making support on choosing the composition of the refrigerant agents by means of computational experiments]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2006, no. 1 (30), pp. 141-146.
4. Shurshev V. F., Demich N. V. Ispol'zovanie metoda samoorganizatsii poiska v zadache podderzhki priniatiia resheniia pri opredelenii komponentov sistemy energoucheta [Use of the method of self-organization of search in decision making support at determination of the components of the power record system]. Vestnik Kuzbasskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2005, no. 5, pp. 25-27.
5. Demich O. V., Shurshev V. F. Metod samoorganizatsii poiska i ego primenenie dlia zadachi priniatiia resheniia [Method of self-organization of search and its application for decision-making task]. Sistemy uprav-leniia i informatsionnye tekhnologii, 2005, no. 3 (20), pp. 14-16.
6. Shurshev V. F. O kriteriiakh ekologichnosti i bezopasnosti pri vybore sostava kholodil'nykh agentov v kom- p'iuternoi sisteme podderzhki priniatiia resheniia [On criteria of ecological compatibility and safety while choosing the composition of refrigerant agents in the computer system of decision-making support]. Vestnik As-trakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2005, no. 3, pp. 241-245.
7. Kviatkovskaia I. Iu., Shurshev V. F., Kviatkovskii K. I. Integrirovannye mekhanizmy informatsionnoi podderzhki priniatiia reshenii krupnomasshtabnoi territorial'no-raspredelennoi ekonomicheskoi sistemy [Integrated mechanisms of information support of decision making of large-scale territory distributed economic system]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2010, vol. 4, no. 2, pp. 181-189.
8. Shurshev V. F. Formirovanie nabora kriteriev dlia komp'iuternoi sistemy podderzhki priniatiia resheniia pri vybore novykh kholodil'nykh agentov [Formation of a set of criteria for the computer system of decision-mak-ing support while choosing the refrigerant agents]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Severo-Kavkazskii region. Seriia: Tekhnicheskie nauki, 2005, Prilozhenie 1, pp. 144-147.
9. Shurshev V. F., Umerov A. N. Modelirovanie protsessa priniatiia reshenii pri identifikatsii rezhimov techeniia smesei kholodil'nykh agentov [Modeling of the decision making process at identification of the modes of the refrigerant agents mixture flow]. Vestnik Kuzbasskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2005, no. 5, pp. 27-29.
10. Bialetskaia E. M., Kviatkovskaia I. Iu., Shurshev V. F. Formirovanie nabora pokazatelei dlia otsenki kachestva upravleniia zhilymi domami [Formation of a set of criteria for assessment of the quality of management of the apartment houses]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel’naia tekhnika i informatika, 2011, no. 2, pp. 143-149.
11. Shurshev V. F., Bui L. V. Kriterii vybora skaniruyushchikh priyemnikov i transiverov [criteria for selection scanning receivers and transceivers]. Prikaspiyskiy zhurnal: upravleniye i vysokiye tekhnologii, 2013, no. 3, pp. 63-69.
12. Shurshev V. F., Bui L. V. Metodika vybora skaniruyushchikh priyemnikov i transiverov po osnovnym kharakteristikam [Method of choosing the scanning receivers devices and transceivers devices by the main characteristics]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel’naia tekhnika i informatika, 2013, no. 2, pp. 41-45.
13. Zadacha mnogokriterial'noi optimizatsii [Multi-objective optimization problem]. Available at: http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Zadacha mnogokriterial'noi optimizatsii._Multiobjectivization (accessed: 20 June 2012).
14. Podinovskiy V. V., Nogin V. D. Pareto-optimal’nyye resheniya mnogokriterial'nykh zadach [Pareto-optimal solutions of multiobjective problems]. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, 1982. 256 p.
15. Kandyrin Yu. V. Metody i modeli mnogokriterial'nogo vybora variantov v SAPR [Methods and models of multi-choices in CAD. Textbook for High Schools]. Moscow, Izd-vo MEI, 2004. 172 p.
16. Kandyrin Yu. V., Sazanova L. T., Shkurina G. L. Matematicheskiye modeli strukturirovaniya al'ternativ dlya resheniya zadach vybora v SAPR [Mathematical models of structuring alternatives for solving problems of selection in CAD]. Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2011, no. 10, pp. 111-115.
Статья поступила в редакцию 23.12.2013
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Шуршев Валерий Федорович — Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Информационные системы»; [email protected].
Shurshev Valeriy Fedorovich — Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Information Systems"; [email protected].
Буй Ле Ван — Астраханский государственный технический университет; аспирант кафедры «Информационные системы»; [email protected].
Bui Le Van — Astrakhan State Technical University; Postgraduate Student of the Department "Information Systems"; [email protected].
