Использование корреляционных функций для спектрального анализа сигналов в системах электроснабжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 519.65

С.Н. Чижма, Р.И. Газизов

Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Большинство параметров качества электроэнергии могут быть определены с использованием спектрального метода. При использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ) в реальных условиях возникает ряд сложностей. В случае, когда период сигнала не кратен размеру окна наблюдения, спектр такого сигнала не будет линейчатым, а будет непрерывной функцией частоты. Для решения этой проблемы применяет метод оконных сглаживающих функций, суть которого заключается в наложении на сигнал во временной области сглаживающего окна, имеющего более качественные характеристики в частотной области, чем прямоугольное окно (сигнал без сглаживания).

Рассмотрим синусоидальный сигнал х(?) с частотой /0 и спектром Хф.

х(г) = Авт(2я/о + р) = Лв](ре] 2^

. (1)

Наложим на данный сигнал некоторое окно со спектром Жф:

Хм, (О = х(?М0 = Ае ^ w(t)e

. (2)

В результате наложения окна на сигнал получим новый сигнал со спектром:

Х„ (/) = РГТ^ (0} . (3)

Согласно свойству преобразования Фурье, спектр сигнала

w(t)ej 2^

представляет собой смещенный на величину /0 спектр сигнала w(t), а именно Ж(—0). Соответственно, спектр синусоидального сигнала, сглаженного оконной функцией, представляет собой смещенный спектр окна, взвешенный амплитудой синусоиды.

Для повышения точности оценки частоты гармоники в спектре сигнала воспользуемся указанным выше свойством преобразования Фурье - перемножению сигнала и функции окна во временной области соответствует свертка спектров сигнала и окна в частотной области:

РРТ{х^ )у(г )} = X (/) *Ж( /) . (4)

Таким образом, рассматривая в идеальном случае единственную гармонику, можно оценить ее положение в спектре по максимуму корреляционной функции смещенного спектра оконной функции и спектра сглаженного сигнала:

Яхж (#) = Я X ( / ),Ж ( /

Для дальнейшего повышения эффективности работы алгоритма, определим минимально необходимый набор смещенных спектров сглаживающих окон, с которыми рассчитывает-

292

ся корреляция. Так как положение гармоники определяется максимумом амплитудного спектра ДПФ в диапазоне ±/w/2 от него, то и расчет корреляции стоит производить для смещений спектра сглаживающего окна в соответствующем диапазоне относительно максимума амплитудного спектра ДПФ. Необходимо определить шаг смещений для обеспечения требований стандартов по точности оценки амплитуды гармоники.

По мере приближения к истинному положению гармоники, значение Яхц,(1/ будет стремиться к максимуму, а значение к «мощности» соответствующего спектра сгла-

живающего окна. Для уменьшения вычислений можно произвести нормирование набора спектральных окон предварительно на этапе их формирования:

А = Яхж (1/) =

IXwlW]l >

= IX

ЖИ

= IX Ж' = Я (1/)

. (6)

Я (1/) Ж Ж

wi ]1 XЖ

жж I

]1 ]1 I

]1 ]1 1 I

Для обеспечения точности оценки амплитуды гармоники согласно ГОСТ 13109 (5% относительной погрешности для амплитуд больше 1% номинального напряжения и 0,05% номинального напряжения для меньших амплитуд) определяется шаг смещений для набора сглаживающих окон. Для этого строится график автокорреляционной функции в диапазоне смещений от -/,/2 до + /„/2.

Расчеты показывают, что необходимое количество спектральных окон в наборе должно составлять не менее двух десятков.

Амплитуды косинусной и синусной составляющих сигнала равны:

^соя =

М-1 2

2 Ие( X (/ ))Яе' (Ж (/

- /,)) + 1ш(Х(/))1т’(Ж(/

- /о));

(7)

М-1

М-1

М-1 2

2 Яе( X (/ ))1т'(Ж (/

2

- /о)) - 1т(Х(/))Яе' (Ж(/

- /о)),

(8)

где Яе'(Ж (/

- /о)) и 1т'(Ж(/

- /о)) - нормированные реальный и мнимый спектры

сглаживающего окна.

Фазу гармоники можно оценить по выражению:

Г А Л

р = агс1ап

(9)

Точность разработанного алгоритма (точность оценки положения гармоники, оценки ее амплитуды и фазы) определяется дискретностью формирования набора сглаживающих окон для сравнения.

Для оценки эффективности применения окон в условиях шума для одночастотного сигнала было проведено моделирование работы алгоритма при использовании различных сглаживающих окон.

Рис. 1, а, б отображают зависимость погрешности оценки частоты гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума. Моделирование показывает,

293

что использовать окно Гаусса в предложенном алгоритме нецелесообразно, так как уже на этапе оценки частоты гармоники оно показывает наихудшие результаты среди пяти сравниваемых.

Кроме того, для первых четырех сглаживающих функций увеличение числа отсчетов вокруг максимума амплитудного спектра, выбранных для алгоритма, увеличивает точность

2

оценки частоты гармоники, а на значениях М=5 и М=7 результаты становятся практически одинаковыми, что говорит о целесообразности использования 5 отсчетов для экономии памяти и вычислительных ресурсов. На рис. 1, в представлено сопоставление результатов оценки частоты гармоники по М=5 отчетам для первых 4 сглаживающих функций (кривые для окон Блэкмана-Харриса и Кайзера сливаются). При этом окно Чебышева показывает наилучший результат во всем диапазоне шума.

7

М8Б, 1о-з 5

7

М8Б, 1о-з 5

____________ М=5

____________ М=7

4 4

3 3

2 2

1

о1о 2о 3о 4о

8КЯ,дБ бо

1

о1о 2о 3о 4о

8КЯ,дБ бо

а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева

б) Окно Гаусса

МББ,

Окно Наталла Окно Кайзера

Окно Чебышева

Окно Блэкмана-Харриса

10-

2,5

0,5

010 20 БКЯ,дБ 60

30 40

в) Сравнение характеристик окон при М=5 Рис. 1. Погрешности оценки частоты гармоники

2

1

Рис. 2, а отображает зависимость погрешности оценки амплитуды гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума.

На рисунке 2, б представлено сопоставление результатов оценки амплитуды гармоники по М = 5 отчетам для первых 4 сглаживающих функций.

294

о,4

%

0,4

%

0,3

___________M=5

0,3 _ -

Окно Наталла

___________ M=7

_ Окно Кайзера

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

Окно Чебышева

010 20 30 40

SNR^ 60

010 20 30 40

SNR^ 60

а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева

б) Сравнение характеристик окон

Рис. 2. Относительные погрешности оценки амплитуды гармоники

Рис. 3, а отображает зависимость погрешности оценки фазы гармоники для каждого типа сглаживающего окна от уровня спектрального шума.

На рис.3, б представлено сопоставление результатов оценки фазы гармоники по M = 5 отчетам для 4 сглаживающих функций.

0, град 1,2

М=1

0, .град 1,2 . -

Окно Блэкмана-Харриса Окно Наталла

___________ М=7

_ Окно Кайзера

1

0,8

0,6

0,4

0,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Окно Чебышева

010 20 30 40

З^дБ 60

010 20 30 40

8Ш.,дБ 60

а) окна Блэкмана-Харриса, Наталла, Кайзера, Чебышева

б) Сравнение характеристик окон

Рис. 3. Абсолютные погрешности оценки фазы гармоники

Представленные результаты показывают, что предложенный метод оценки спектраль-

ММ

ных характеристик сигнала дает удовлетворительные результаты, точность оценки частоты, амплитуды и фазы гармоник удовлетворяет требованиям стандартов. Тип используемой оконной функции из четырех отобранных незначительно влияет на точность определения параметров сигналов.