CC BY
26
Инженерно-технические науки Engineering-technical sciences
УДК 519.688
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
С.П. Бобков, С.С. Смирнов, И.В. Полищук
Ивановский государственный химико-технологический университет
Рассмотрена возможность применения методов теории клеточных автоматов для математического и компьютерного моделирования процесса распространения упругих волн в твердых телах. Приведены результаты моделирования с использованием предложенного подхода.
Ключевые слова: клеточные автоматы, математическое моделирование, компьютерное моделирование, упругие волны.
Основной отличительной особенностью многих физических систем является так называемый параллелизм - возможность одновременного (параллельного) изменения состояния всей системы, в то время как каждый участок системы взаимодействует только со своими непосредственными соседями. Это свойство позволяет использовать модели, связывающие события, происходящие на микроуровне, с макроскопическими изменениями системы. Классической системой, образующей парадигму параллелизма, является клеточный автомат [1,2].
Клеточный автомат - это математический объект, поведение которого определяется в рамках локальных взаимодействий. Однако локальное пространственное взаимодействие характерно и для большого класса непрерывных динамических систем, к которым относятся процессы в сплошных средах. Это дает возможность рекомендовать клеточные автоматы для моделирования процессов переноса.
Общая методология моделирования с использованием клеточных автоматов заключается в следующем [3].
Прежде всего, непрерывное модельное пространство разбивается на элементы (клетки) по функциональному признаку. Разбиение может быть равномерным, с получением одинаковых элементов, но это не обязательно и часто делается лишь для удобства моделирования. Основной целью дискретизации пространства является получение таких элементов, пространство внутри которых функционально однородно. Размеры полученных клеток должны быть такими, чтобы параметры процессов внутри них можно было считать не зависящими от пространственных координат. При этом единственной независимой переменной для описания поведения каждой клетки останется время. Каждая дискретная клетка-автомат связана своими входами с выходами соседних элементов. Выходной сигнал каждого элемента является входным для автомата-соседа.
Любая отдельная клетка представляет собой объект, функционирующий в дискретные моменты времени 1о < ^ < 12 <.....
В момент времени Ъ из этой совокупности (множества Т) клетка находится в одном из возможных состояний г(^). В каждый момент ^ е Т, начиная с на входы клетки-автомата поступают входные сигналы, и ее состояние изменяется в соответствии с функцией переходов:
^ ^J X 2^ н),..., ад})], (1),
где Хс](^) - сумма сигналов, полученных от клеток-соседей.
Функция (1) описывает поведение клеток во времени. При установлении конкретного вида функции (1) используются общие законы моделируемого процесса. В качестве состояний клеток целесообразно брать потенциальные фазовые переменные соответствующего процесса - температуру, концентрацию, скорость и пр. В этом случае выходными сигналами клетки будут потоковые фазовые переменные - поток тепла, поток массы, механическая сила и Т.д.
Таким образом, после дискретизации пространства будет получен взаимосвязан-
11
ный массив клеток, поведение которых во времени (в данном случае дискретном) будет подчиняться законам моделируемого процесса.
Нужно отметить, что используемые функции (1) не всегда должны быть детерминированными и в ряде случаев могут иметь стохастический характер.
Рассмотрим применение клеточного автомата для анализа процесса упругого деформирования плоского твердого тела. Состояние клетки-автомата в данной постановке задачи, моделируется деформацией (смещением) клетки из исходного положения. Сигналы клеток-автоматов моделируют процесс передачи энергии механического воздействия между элементами системы.
Методика вывода локальных зависимостей (функций переходов) следующая.
Возьмем простейшую одномерную модель упругого твердого тела, которое в общем случае не является однородным. Представим твердое тело как цепочку из N элементарных элементов (клеток) линейным размером Ь, каждый из которых имеет массу и обладает упругостью (рис. 1).
________________________________________________________ X
Рис. 1. Схема одномерной клеточно-автоматной модели упругого тела
Введем допущение о малой величине деформации (в пределах применимости закона Гука). Механическое напряжение в ¡-м элементе, выраженное через абсолютные деформации (смещения) элементов, будет иметь вид:
^=Е1+1^^ + Ем^-^, (2)
п п
где 0[ - механическое напряжение; Е - модуль упругости материала элемента; и - смещение (абсолютная деформация) элемента; Ь - шаг дискретизации пространства.
В то же время, дискретный подход
позволяет записать следующее выражение:
<^=а;АЬ (3),
где а; - ускорение элемента; р; - плотность материала.
Теперь из (2) и (3) получаем:
где С1 = л/Е1 / , - скорость упругой вол-
ны в материале элемента.
Если принять, что и - дискретная функция не только координаты х, но и времени 1:, то выражение (4) можно переписать следующим образом:
+ Аі2[ді+1(ік) + д,_1(ік)], (5)
где Аї - шаг по времени;
_ Ч_ С1:у1[и1+1(1к)-и1 (1к)]
4і+1\1к/— ^2
Чі_д,і)=Ш^^<иі (6)
Полученные зависимости (5), (6) являются локальными правилами, позволяющими на каждом шаге по времени определять новое состояние каждого элемента. Нетрудно заметить, что формально они аналогичны функции перехода автомата (1).
Рассуждая аналогично, можно получить уравнения поведения крайних (граничных) элементов рассматриваемой системы. Внешнее воздействие учитывается введением необходимого конкретного значения деформации (состояния) для одного из крайних элементов системы.
Покажем применимость предлагаемого подхода. Вначале рассмотрим тривиальную задачу распространения импульса
в изотропном тонком стержне. Возьмем стержень длиной 10 мм из материала, имеющего скорость упругой волны С = 5000 м/с, и разобьем его на 10 элементов с шагом Ь = 1 мм. Установим шаг по времени А{ = 0,2 мкс. Для имитации внешнего воздействия на первый (крайний слева) элемент установим изменение его деформации в форме одиночного импульса длительностью один шаг по времени и амплитудой 0,5 мкм. Форму импульса для наглядности примем прямоугольную.
Определим функции переходов для элементов стержня.
Для внутренних элементов будем использовать зависимости (5) - (6). Для элемента 1 (левый конец стержня). Левый конец стержня (элемент 1) после окончания внешнего воздействия будем считать свободным, имеющим функцию переходов, которую легко получить из (5) - (6):
Д12с2
Чі 0к+1 ) = 2іІ! (1к ) - ІІ! (1к_! ) + —^[и2 (1к ) + ІІ! (1к )]
(?)
Крайний справа элемент будет свободным с начала моделирования, и его функционирование будет подчиняться зависимости (8). Результаты моделирования
в виде значений деформации и элементов 1 для различных моментов времени к представлены на рис. 2.
ді2с2
и10 ак+1) = 2и10 0к) - и10 (^) + —-^[и9 0к) + и10 ак)]
(8)
Рис.2 Движение импульса деформации по стержню
Можно заметить, что импульс движется по стержню, отражается от его концов и двигается в обратном направлении. Данная картина вполне соответствует общепринятым представлениям. Поскольку материал стержня взят идеальным, форма импульса не искажается и движение продолжается во времени бесконечно.
Перейдем к двумерной модели. Представим твердое тело как массив из МхЫ элементарных элементов размером Ах х Ау, каждый из которых имеет массу и обладает упругостью. Схема дискретной модели двухмерного тела представлена на рис. 3.
Рис. 3. Схема двумерной клеточно-автоматной модели упругого тела
При рассмотрении процесса деформирования двумерного тела в первом приближении можно рассмотреть вариант одноосного деформирования.
Это позволит считать, что воздействие на тело и, следовательно, деформация элементов будут направлены строго вдоль одной из осей. При решении этой задачи следует учитывать, что в данном случае в материале распространяются две упругих волны - продольная и поперечная. Рассматриваемый подход
0к+1) = 2иц 0к) - ич ) + Аг [я;+и ак) + ) + дм+10к) + н )]
позволяет получить выражения для моделирования каждой из волн, которые будут формально аналогичны выражениям (5) - (6). Используя принцип суперпозиции волн, суммарную деформацию можно представить как сумму деформаций, вызываемых каждой волной в отдельности.
Функция переходов (локальные правила поведения) для элемента с индексами ¡,] будет иметь вид:
(9)
1і+1, і
(їк) =
С-+у(х)[и1+1Д1к)-ич(1к)]
С2
Ах2
(У)|и .(!;) —и (1;)1 Ау2
где Су(х) - скорость упругой волны в направлении оси х; Су(у) - то же в направлении оси у.
Ниже представлены результаты моделирования процесса распространения упругой волны в плоском теле квадратной формы. При моделировании были приняты следующие основные параметры:
■ размер пластины 10 х 10 мм;
■ скорость распространения упругой волны в продольном и поперечном на-
Чы,А) = Чі,и(1к) =
Сі-ц (х)[Ці_у (1:к) - Цу (1:к)]
Ах2
С2н(у)[иіИ(1к)-и1Дік)]
Ау2
(Ю),
правлениях принималась одинаковой и равной 5000 м/с;
£
■ шаг по времени 2*10" с;
■ шаг по координатам 0,2 мм;
При моделировании имитировалось периодическое внешнее воздействие на одну из клеток, расположенных на краю пластины. Результаты представлены на рис. 4.
Шаг: 100 Шаг: 150
Рис. 4. Деформационная картина в пластине в различные моменты времени.
Полученные результаты показывают, что в процессе распространения упругих волн происходят отражения их от краев пластины, взаимное усиление или ослабление, что соответствует существующим воззрениям на природу данного процесса.
В заключении можно указать, что использование компьютерного моделирования с применением предложенных моделей может позволить исследовать напряженное состояние тел при динами-
ческом воздействии, не прибегая к физическим экспериментам.
ЛИТЕРАТУРА
1 Wolfram S. Theory and applications of cellular automata: (including selected papers 1983-1986). Singapore : World Scientific, 1986.
2. Toffoli Т., Margolus N. Cellular Automata Machines. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 1987.
3. Бобков С.П. // Известия вузов «Химия и хим. технол.». 2009. Т. 52, № 3, С. 109.
Рукопись поступала в редакцию 15.03.2012.
CELLULAR AUTOMATION USE FOR RESILIENT WAVES MODELING IN SOLIDS
S. Bobkov, S. Smirnov, I. Polishchuk
The possibility of cellular automation use for mathematical and computer process modeling of resilient waves dissemination in solids is considered. Modeling results with offered approach use are reduced.
Key words: cellular automations, mathematical modeling, computer modeling, resilient waves.
