CC BY
47
| (ф(хг х2)Дср(хг х2) + Уф(хг х2)Уф(хг x2))ds =
S
= |ф(х х?)Аф(х x?)ds + |Уф(х х9)Уф(х x?)ds =
= J[
s
5ф(х1,х2)
\2
дх
1
5ф(х1,х2)
\2
дх
у \ I J
]ds 44
Тогда из (41) и (44) получаем:
5ф(х х ) 5ф(х х ) 0ф(х х ) 5ф(х х )
|(х --L-2- - х0-= - Л(-+ (-г3—2-)" ]ds
s 1 Эх2 " Эх1 s 2
Или
ДО
0ф(х X ) 5ф(х X )
дх
5х,
-) +х
5ф(х х ) 5ф(х х )_
1' 2V ,, ^ 1' 2\2 _ ^ 1' 2 ^ ^ 1' 2^ = 0 (45)
1 Эх,
Эх,
8 —2 —2 — х Умножим обе части последнего соотношения на ц и сложим с (39), получим
D = HTJ[
Эф(х13х2)
Эф(х13х2)
]ds
(46)
Из формулы (46) следует, что геометрическая жесткость при кручении всегда является строго положительной величиной D>0.
2
s
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.
2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.
4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.
5. Cosserat E., Cosserat F. Theorie de scorps deformables. Paris; Hermann, 1909. 465 p.
6. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford; N.Y.; Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.
Н.Е. Ляхова
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Использование информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании является актуальной на сегодняшний день проблемой. Развитие информационных технологий в последнее десятилетие привело к изменению роли преподавателя в современной системе образования. В настоящее время педагог-предметник уже не имеет права игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая им программно-техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно новый уровень. За счет использования ИКТ преподаватели способны значительно увеличить степень образовательного воздействия на занятиях, повысить уровень мотивации студентов к изучению нового материала. И вот здесь возникает проблема интеграции накопленных методических знаний и дидактических материалов с возможностями ИКТ. И если для средней школы эта проблема решается быстрее и успешнее в силу более массовой потребности в образовательных муль-
тимедийных продуктах, то вузовскому преподавателю пока приходится полагаться на свои силы. В данной работе предлагается личный опыт автора по применению ИКТ на занятиях по математическому анализу, а именно использование программ и программных сред Maxima и Flex SDK.
Роль математических пакетов класса MathCAD, Maple, Maxima в образовании исключительно велика. Эти системы облегчают решение сложных математических задач. Новые версии систем позволяют готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, изысканные графики, фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.
Одно из возможных применений этих программ в преподавании математического анализа -это использование их при обучении решению задач на вычисление кратным интегрированием объемов тел, ограниченных заданными поверхностями. В задачах такого типа основными затруднениями у студентов являются изображение искомой области и определение ее границ, эти затруднения связаны с громоздкими построениями. Плоскости и поверхности второго порядка, ограничивающие рассматриваемую область, изучаются в курсе геометрии. Однако в курсе геометрии они, как правило, рассматриваются и строятся по отдельности. Поэтому у студента нет опыта построения нескольких поверхностей на одном чертеже. Отсюда и возникающие трудности с взаимным расположением и линиями пересечения заданных поверхностей. В результате студенты, не обладающие хорошим пространственным воображением, зачастую не приступают к вычислению интеграла, так как не могут представить тело, объем которого выражается этим интегралом и который требуется найти. Отметим, что целью заданий на вычисление объема тела в курсе математического анализа является использование кратных интегралов (задание областей системой неравенств в различных системах координат, выражение объема кратным интегралом, выбор соответствующей системы координат, при необходимости замена переменной в интеграле и дальнейшее его вычисление) а изображение чертежа - это лишь вспомогательный момент. Но на практике этот «момент» поглощает большую часть отведенного на задачу времени.
Для преодоления указанных трудностей и могут применяться системы MathCAD, Maple и Maxima. После построения поверхностей в этих системах легко увидеть заданную область, и определить границы этой области. Рассмотрим на следующем примере применение системы Maxima.
Задача. Вычислить тройным (двойным) интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями: параболоидом Z — + у~, цилиндром у = х" и плоскостями у = 1, z = 0.
Для решения поставленной задачи выполняются следующие шаги.
1. При помощи встроенных графических команд производится построение заданных поверхностей;
2. При помощи различных манипуляций (вращение, масштабирование, перенос) придается полученному изображению такой вид, чтобы была видна искомая область и границы изменения этой области (рис. 1);
Рис. 1
На рисунке 1 представлены результаты таких манипуляций, при этом справа хорошо вырисовывается боковая поверхность цилиндрического тела, она состоит из цилиндра у = х1 и плоскости у = 1- а слева хорошо видны поверхности, ограничивающие тело снизу (плоскость 2 = 0) и сверху (параболоид вращения г — х2 + у2). 3. Увиденная область V задается системой неравенств:
Г-1<*<1,
V:
х"<у<\, 0<z<x2+y2,
а проекция D данного тела на плоскость Оху соответственно системой
Г-1 < х < 1,
D:
[х2<у<1.
Теперь объем искомого тела можно выразить с помощью тройного интеграла
х'+у'
^dxdydz = jt/x Jafy J dz.
или двойного интеграла
i i
^dxdy = Jt/x J(x2 + y2)dy.
x
D -1
Заметим, что при помощи команд MathCAD (Maple) можно вычислить и сам кратный интеграл, а значит и искомый объем. Но вычисление кратных интегралов в курсе математического анализа является целью занятий по данной теме, а потому дальнейшее использование указанных программ целесообразно только в целях самоконтроля, если необходимо проверить ответ. Необходимо отметить, что программы не отражают процедуры интегрирования, а дают только ответ. Поэтому компьютер не может быть использован студентом в качестве шпаргалки.
Продемонстрированное решение задачи предполагает умение пользоваться программой Maxima, при этом важно подобрать правильно параметры, задающие поверхности, чтобы обеспечить наилучшую наглядность полученного изображения. На самом деле необходимые построения по каждой задаче могут быть проведены заранее специалистом, владеющим данной программой и в учебном процессе использовать уже готовые материалы. Такая работа была проделана выпускником физико-математического факультета 2009 года Ткаченко Евгением в рамках НИРС. Им были подготовлены иллюстрации ко всем задачам на вычисление объемов тел из «Сборника задач по математическому анализу» Г.Н. Бермана. Кроме того была сделана и печатная версия иллюстраций, содержащая по два необходимых ракурса тел для каждой задачи. Конечно, статичные картинки не позволяют рассмотреть тело со всех сторон, но при отсутствии компьютера они тоже достаточно информативны (рис. 2, рис. 3).
V
Рис. 3
Говоря об использовании ИКТ, нельзя также не отметить огромные возможности использования Flash-технологий в изучении математического анализа. В математическом анализе Flash целесообразно использовать для иллюстрации графического материала. На занятиях, посвященных исследованию функций одной или двух переменных, преподавателю, как правило, приходится рисовать на доске множество различных чертежей. Так, на занятиях, посвященных теме «Дифференциальное исчисление функции многих переменных» для иллюстраций понятий частного и полного приращений и геометрической интерпретации частных производных и дифференциала функции двух переменных преподавателю, приходится рисовать изображения поверхностей в трехмерном пространстве и проводить дополнительные построения к ним. Это приводит, к большим затратам времени и не всегда качество рисунков, исполненных мелом на доске, достаточно для хорошего восприятия. Поэтому возникла необходимость в создании Flash-клипов по этой теме. В соавторстве с Е. Ткаченко созданы два интерактивных фильма «Частное и полное приращение функции» и «Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных», кадры из которых приведены на рисунках 4 и 5 соответственно.
Наконец.сооошн» точке х<> прнрашснис \х.л точке уо • приращение \у. получим для / новое прмрашенис Л/, которое называется полным приращением функшнн 7 и определяется формулой
Л/ ~ F (хшЛх. yiHAy)- F(x«.yn).
Рис. 4
Рис. 5
Данные фильмы позволяют преподавателю сократить время изложения данного материала, повысить наглядность, и, в конечном счете, помогает студентам усвоить материал, ведь в нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске.
Полученные таким образом фильмы в формате .SWF могут быть продемонстрированы с помощью ПК, на котором установлен Flash или Flash Player. Если на ПК не установлен ни один из этих пакетов, то при подготовке фильма в среде Flash его можно экспортировать в формате .EXE, что позволит продемонстрировать фильм на любом ПК, работающем на платформе Windows.
Следует отметить, что все материалы, описанные в данной статье, могут быть использованы не только во время аудиторных занятий, но и предлагаться студентам для самостоятельной работы. Студенты могут иметь доступ к этим материалам через интернет или получать материалы на электронных носителях для использования при выполнении домашних заданий и самостоятельного изучения теоретического материала.
В заключение можно сказать, что использование новых информационных технологий на занятиях по математическому анализу способствует улучшению качества преподавания и, как следствие, повышению знаний учащихся и скорости их получения.
А.К. Попов
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий статически эквивалентных силе Р и моментов статически эквивалентных моменту М, параллельных оси стержня, и приложенных в центре тяжести свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень с прямолинейной осью и перпендикулярными к ней основаниями подвержен осевому растяжению и кручению. Массовыми силами пренебрегаем. Предположим, что выражения для физических компонент тензора напряжений и моментных напряжений имеют вид:
=Р (!)
