ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИМПЕДАНСНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТОНКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И РЕЗИСТИВНЫХ ОБОЛОЧЕК Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-5-17 УДК 621.391.812.7

Использование импедансной аппроксимации для электродинамического моделирования тонких диэлектрических и резистивных оболочек

А. А. Рунов

Публичное акционерное общество «Межгосударственная акционерная корпорация «Вымпел», Москва, Российская Федерация

Разработаны методика расчета радиолокационной эффективной поверхности рассеяния радиолокационных объектов, содержащих идеально проводящие тела и электрически тонкие диэлектрические и резистивные оболочки, на основе метода интегральных уравнений первого рода для электрического поля. Методика и программное обеспечение реализованы и апробированы для тел вращения. Приведено сравнение с тестовыми примерами и показана применимость для решения практических задач.

Ключевые слова: дифракция электромагнитных волн, эффективная поверхность рассеяния, тонкие диэлектрические и резистивные оболочки, метод интегральных уравнений

Для цитирования: Рунов А. А. Использование импедансной аппроксимации для электродинамического моделирования тонких диэлектрических и резистивных оболочек // Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2022. № 4. С. 5-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-5-17

For citation: Runov А. А. Using impedance approximation for electrodynamic simulation of thin dielectric and resistive shells // Vestnik Koncerna VKO "Almaz - Antey". 2022. No. 4. P. 5-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2022-4-5-17

Поступила 28.04.2022 Отрецензирована 25.05.2022 Одобрена 03.07.2022 Опубликована 17.01.2023

Развитие радиолокации и радиотехники требует решения задач дифракции электромагнитных волн (ЭМВ) на радиолокационных целях и в элементах антенно-фидерного тракта радиотехнических устройств. В настоящее время методы решения подобных электродинамических задач достаточно хорошо развиты для идеально проводящих тел - в виде строгих решений методом интегральных уравнений (ИУ) и асимптотическими методами - методом краевых волн (МКВ) или методом геометрической теории дифракции (ГТД). Однако на практике реальные радиолокационные объекты и элементы антенно-фидерного тракта наряду с металлической поверхностью могут содержать диэлектрические элементы. При решении подобных задач методом ИУ существенно

© Рунов А. А., 2022

возрастает размерность численной модели исследуемого объекта и, как следствие, ее вычислительная трудоемкость, а методы МКВ и ГТД в части электродинамического анализа структур, содержащих диэлектрические элементы, не развиты. Вместе с тем существует обширный класс задач из области радиолокации и антенной техники, когда объектом исследования являются металлические тела с электрически тонкими диэлектрическими или резистивными оболочками (покрытиями, — антенными обтекателями, изоляторами и др.). * Анализ возможностей метода ИУ показывает, о что для электродинамического анализа тон- ^ ких диэлектрических оболочек возможно ис- £ пользование импедансной аппроксимации ди- я электрических слоев на основе интегральных | уравнений I рода, при этом существенного ^

усложнения и увеличения вычислительной ц

0)

трудоемкости не происходит. —

см см о см

< I

со та

г

о со

о.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

При дальнейшем выводе формул в качестве значения абсолютной магнитной проницаемости используется абсолютная магнитная проницаемость свободного пространства (ц = ц0), то есть рассматриваемые тела и среды не являются магнетиками. При последующем изложении предполагается, что диэлектрическое тело является изотропным, а также диэлектрическая проницаемость и электрическая проводимость не зависят от напряженности электрического поля.

Для вывода интегрального уравнения, соответствующего дифракционной задаче на диэлектрическом теле, воспользуемся четвертым уравнением Максвелла в дифференциальной форме, записанным для комплексных амплитуд гармонических величин [1]:

(V хИ) = /Ю8а Е, (1)

где V - векторный дифференциальный оператор «набла»; И - вектор напряженности магнитного поля; (V хИ) - векторное произведение векторов V и И, соответствует операции «ротор» векторной величины И; ю - угловая частота; 8а - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; Е - напряженность электрического поля; г - мнимая единица, в данном уравнении соответствует операции дифференцирования по времени для комплексных гармонических величин.

В выражении (1) и далее по тексту символы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторные величины.

Уравнение (1) можно представить в виде:

^ хИ) = гю80Е + гю(8а - 80)Е, (2)

где 80 - абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства.

Первое слагаемое в (2) определяет зависимость ^ хИ) от напряженности электрического поля Е в свободном пространстве, второе слагаемое - зависимость (V хИ) от разницы (отличия) диэлектрической проницаемости среды 8а и диэлектрической проницаемости свободного пространства 80.

Таким образом, при одном и том же значении (V хИ) наличие диэлектрика (влияние диэлектрической проницаемости среды) можно учесть двумя способами: увеличением

значения производной по времени напряженности электрического поля Е (уравнение (1)) или введением дополнительного электрического тока (тока поляризации, уравнение (2)) [1, 2]:

Кол = гю(8а - 80)Е (3)

где ] пол - объемная плотность тока поляризации в диэлектрике.

Введение токов поляризации в (2) с учетом наличия в (2) не зависящего от 8а первого слагаемого означает, что данное уравнение формально записано для свободного пространства (вакуума) [2] и во всех последующих выкладках (в том числе в интегральных уравнениях) используется волновое число и функция Грина свободного пространства. Это позволяет использовать полученные интегральные уравнения в том числе для анализа дифракции на неоднородных диэлектрических телах.

Под воздействием внешнего (первичного) электрического поля суммарное электрическое поле в диэлектрике определяется как

Е = Ег + Е', (4)

где Ег - вектор первичного электрического поля; Е' - вектор электрического поля, возбужденного токами поляризации (вектор рассеянного поля).

Электрическое поле, возбужденное токами поляризации в каждой точке диэлектрического тела, можно определить через векторный Апол и скалярный Фпол потенциалы объемной плотности токов поляризации и объемной плотности электрических зарядов в диэлектрике, по аналогии с [1]:

Е 5(г) = --т- ¿а)Лэпол(г')-

О')

(5)

где

Апол О")

Фпол 0") = "

V

1 ГГС е~1кк

В формулах (5), (6), (7) используются обозначения:

1пол(0 - объемная плотность тока поляризации диэлектрика в точке интегрирования г'; рпол(0 - объемная плотность электрических зарядов в диэлектрике в точке интегрирования г';

V - векторный оператор «набла» скалярной величины (оператор градиента скалярной величины), дифференцирование осуществляется в точке наблюдения;

V - объем диэлектрического тела;

к - волновое число свободного пространства; г - координата точки наблюдения; г' - координата точки интегрирования; Я - модуль расстояния между г и г' (рис. 1).

Здесь и далее по тексту величины и операции с индексом ' (штрих) относятся к точке интегрирования г', величины и операции без штриха относятся к точке наблюдения г.

Как было отмечено ранее, формально потенциалы Апол(г) и Фпол(г) введены для свободного пространства, поэтому в (7) в качестве еа используется значение е0.

В условиях калибровки Лоренца объемная плотность электрических токов поляризации ] п^СО и объемная плотность возникающих в процессе поляризации диэлектрика зарядов рпол(^') будут связаны уравнением непрерывности:

V' I пол(^ = -/юри^) (8)

где V' - скалярный оператор «набла» векторной величины (оператор дивергенции векторной величины), дифференцирование осуществляется в точке интегрирования.

Подставляя (8) в (7), можно избавиться от рпол(^') и получить уравнение с одной переменной ] пЛоХу)

Е*(г) = - ¿О)Ц0 ///+

-ikR (9)

+

1 fff е~1КК

Подставляя (3) и (9) в (4), получим:

JiU(r) = iiü(£a-£0) ЕЧг)-

■Iff

,-ikR

"¿ЮН0 III +

(10)

На основании (10) получаем интегральное уравнение:

е'(г) =, *;ол(г) ч +

I

¿0)(Еа - 80)

,-ikR

+ и»Цо III J^(r,)^-dv,-(11) 1 fff e~ikR

v

Физической интерпретацией уравнения (11) можно считать дифракцию ЭМВ

Рис. 1. Точки наблюдения и интегрирования в диэлектрическом теле. Отрезок г - г' соответствует как случаю однородного диэлектрического тела, так и случаю неоднородного диэлектрика.

та

X Ф

ч

та 0-

та

О О.

Ё V

ц

(Ч

см см о см

< i

со та

s

о

CQ

О.

Ф

О

о

V CQ

СМ ■clin

с?

см ■clin см

(П (П

на искусственном диэлектрике, который в своем объеме с относительной диэлектрической проницаемостью 8Г, близкой к 1, содержит вкрапленные проводящие элементы малого электрического размера [3, 4].

К вопросу о наличии решения интегрального уравнения (11), соответствующего рассматриваемой дифракционной задаче, необходимо отметить следующее. Интегральное уравнение (11) удовлетворяет уравнениям Максвелла, поскольку получено из них. Также оно удовлетворяет условиям в диэлектрике (3) в каждой точке диэлектрического тела и условиям излучения на бесконечности. Дополнительно отметим, что наличие в (11) 1Э (г)

слагаемого — повышает устойчивость

£<1>(га-£0)

его численного решения, так как в соответствующем матричном уравнении данное слагаемое увеличивает значения диагональных элементов матрицы взаимных сопротивлений и, соответственно, уменьшает ее число обусловленности.

Полученное уравнение содержит объемные интегралы, что делает его решение достаточно трудоемким в вычислительном отношении. Однако для определенного класса имеющих практическое значение электродинамических задач трудоемкость численного решения может быть существенно уменьшена.

При дальнейшем изложении под понятием «электрически тонкая оболочка» будем понимать оболочку, толщина которой Дt (рис. 2), как минимум в 10 раз меньше длины волны в диэлектрике ^ данной оболочки, или:

Дt < ^ / 10. (12)

В последующих выкладках под термином «оболочка» будем понимать электрически тонкую оболочку. Рассмотрим возможность упрощения уравнения (11) для подобных оболочек. Для этого для (11) выберем систему ортогональных координат для трехмерных интегралов таким образом, чтобы одна координата была перпендикулярна к поверхности оболочки в каждой ее точке, а две другие были бы касательными в каждой точке оболочки (рис. 2). Тогда формулу (11) можно представить в виде:

Е¿(r) =

i3

СГ)

+ 0 JiUO')

III

t S

—V f ff v<

1О)£0 J JJ

¿ü)(£a - £0)

+

,-ikR

4 nR

ds'dt' -(13)

,-ikR

Пол (Г') —ds'dt'.

Если значение относительной диэлектрической проницаемости материала оболочки sr велико, то, по аналогии с законом преломления в геометрической оптике (Снеллиуса), можно предположить, что будет выполняться точное или близкое к нему условие:

sin а / sin в = n2 / n1, (14)

где а - угол падения ЭМВ к нормали к оболочке (рис. 3); в - угол распространения преломленной ЭМВ в оболочке по отношению к нормали к ней; n1, n2 - показатели преломления в свободном пространстве и в материале оболочки, n = Vsr , то есть направление распространения преломленной на внешней границе оболочки ЭМВ в среде оболочки будет разворачиваться к нормали раздела двух сред (рис. 3). Следует отметить, что полной аналогии с законом Снеллиуса (справедливом точно, когда дифракция носит оптический

" *

Рис. 2. Система координат, используемая для вычисления интегралов в формуле (7). и - единичный вектор, перпендикулярный поверхности оболочки, иь иг - единичные векторы, касательные к поверхности оболочки

характер) в резонансном диапазоне может не быть. Вместе с тем, как следствие, можно предположить, что основными компонентами тока ] пол(г) в оболочке будут касательные составляющие тока поляризации ] погл и ] п^л (рис. 2).

Если оболочка электрически тонкая (то есть выполняется условие (12)), можно предположить, что влияние компонента тока, перпендикулярного к поверхности оболочки (| п^л (рис. 2)), на дифракцию ЭМВ будет незначительным, что означает:

J

э t . пол '

0,

(15)

то есть данной составляющей тока поляризации пренебрегаем.

В электрически тонкой оболочке изменение касательных к поверхности оболочки компонентов тока (| пол и ) пол (рис. 2)) и подынтегрального выражения (11) в целом вдоль координаты t будет незначительным, т.е.:

I пол(0 ~ соп^. (16)

При выполнении условия (16) переменные интегрирования t и £ в (13) разделяются, а интеграл по t можно вычислить приближенно, заменив объемную плотность токов поляризации ] пол(0 на поверхностную плотность эквивалентных поверхностных токов поляризации диэлектрика ] пол экв (''средн) на некоторой эквивалентной поверхности ^средн (рис. 2):

///

J l0Jl(r')ds'dt' =

■s

(17)

I3'5 (У )ds'

I пол экв v среди у ""^q

среди'

■'среди

где:

I

(5средн)

j3,S

'пол экв V""средн,

1пол(г')^' ~ 1пол(5средн)/

(18)

а величина Дt - толщина оболочки.

Как следствие, уравнение (13) можно записать в виде:

Е*(г) =7

р

1пол

(Г)

+ ¿О)|10

jfft

iO)(£a - £0)

+

,-ikR

,s

пол экв

оо

4тг R

ds'- (19)

lü)£0

'jfvß

,-ikR

s

пол экв

is'y

4тт R

ds'.

В выражении (19) и далее по тексту в переменной ' в ] пол('средн) и в обозначении предела интегрирования по эквивалентной поверхности £средн нижний индекс «средн» опущен. Уравнение (19) содержит две неизвестные величины: }пол (г) и ] пол экв (''). Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого (16) на Дt, получим:

Е£(г) = 7

I3'5 (Y)

1пол экв VV

+ ¿О)Ц0

JI3'5

J пол эк

S

vjjv'ß

ito(£a — £0)Д t

„-ikR

+

4 uR

ds' --(20)

,-ikR

4тг R

ds'.

Рис. 3. Преломление падающей волны в оболочке

та

X ф

ч

та Q.

та

О

О.

£

ф ц

(Ч

см см о см

< I

со та

г

о со

о.

<и

о

о <и со

см ■ч-ю

с?

см ■ч-ю см

(П (П

В уравнении (20) диэлектрическая проницаемость 8а может быть комплексной ве-

~ * , о личиной 8 а = 8а + —, где о - удельная электри-ш

ческая проводимость диэлектрика.

Мнимая составляющая 8а характеризует потери в диэлектрике. В случае комплексного 8а интегральное уравнение (20) соответствует задаче дифракции на диэлектрической оболочке с электрическими потерями. Случай с о = 0 соответствует идеальному диэлектрику (диэлектрическая оболочка не имеет электрических потерь), при 8а = 80, но о Ф 0 оболочка является резистивной, при больших о оболочка соответствует проводнику с реальной проводимостью, при этом Дt по своему значению близко к толщине скин-слоя. Заметим, что величина токов поляризации в диэлектрике в соответствии с (3) зависит не только от 8а, но и от частоты ю. По этой причине при о Ф 0 с ростом частоты ю по электрическим свойствам оболочка будет приближаться к диэлектрической. При 8а ~ — (то есть на частотах,

¿(0

когда токи поляризации соизмеримы с токами проводимости) оболочка по характеру электрического сопротивления и рассеяния электромагнитных волн на ней является полупроводником [5]. Заметим, что настоящая статья не посвящена средам с анизотропной проводимостью и проблемам материаловедения диэлектриков и полупроводников. Отметим, что уравнение (20) позволяет решать задачи дифракции на неоднородных диэлектрических оболочках с переменной диэлектрической проницаемостью и переменной толщины (с переменными по координате оболочки параметрами 8а и Д^.

Источниками погрешности решения электромагнитной задачи с использованием уравнения (20) является нарушение условий (12), (14), (15) и (16).

Анализируя (20), можно прийти к выводу, что алгоритмы и модели импедансной аппроксимации тонких диэлектрических слоев можно легко создать на основе алгоритмов и моделей рассеяния на идеально проводящем теле.

Приведенный выше способ импеданс-ной аппроксимации тонких диэлектрических

оболочек в методе ИУ типа не является оригинальным, данный подход был изложен, например, в [6]. Однако следует отметить, что приведенные в [6] примеры являются иллюстративными и не определяют диапазон практической применимости метода.

Для оценки применимости импедансной аппроксимации сравним результаты решения задачи дифракции плоской ЭМВ на оболочках с различными электрическими и геометрическими параметрами методом ИУ на основе (20) и ее точное решение. Объектами исследования являются сферические оболочки, полученные результаты сравниваются с результатами Ми [7, 8]. Методика решения уравнения типа (20) для тел произвольной формы и для тел вращения приведена в [9]. Поскольку моностатическое (однопозиционное) рассеяние на сфере не является достаточно информативным, в качестве примеров рассматривается бистатическое (двухпозиционное) рассеяние. Для решения Ми используются геометрические параметры оболочки гвнутр и гвнешн, для решения ИУ используется геометрический параметр - средний радиус, соответствующий радиусу эквивалентной импедансной поверх-

ности, г,

средн

= (г

+ г

внутр ' внешн.

) / 2, и толщина

оболочки Дt (рис. 4). Для проверки сходимости полученных решений по условию (16) применялось сравнение результатов, полученных при моделировании бистатического рассеяния на однослойной оболочке с результатами, полученными на двухслойных и четырехслой-ных оболочках такой же суммарной толщины (рис. 5).

Далее приведены результаты расчета би-статической эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) сферических оболочек с параметрами: радиус гвнутр = 1,0 м, Дt = 0,02 и 0,08 м; 8г = 1,5 и 6,0 без диэлектрических потерь, длина волны X = 1,0 м. Направления векторов поляризации компонентов напряженности электрического поля падающей Ед, Еф и отраженной Ед и Е"ф волн приведены на рисунке 6. Значения эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) обб и офф соответствуют данным компонентам, первый индекс относится к падающему полю, второй - к рассеянному. Все значения ЭПР приведены логарифмической

шкале, в децибелах по отношению к квадратному метру.

Следует отметить, что значение 8г в диапазоне от 1 до 6 соответствует значениям диэлектрической проницаемости большинства реальных конструкционных материалов.

Для 8г = 6 для оболочек с толщиной Дt = 0,02 наблюдается практически полное совпадение рассчитанной на модели бистатической ЭПР компонента офф с его точным значением (рис. 7). Для компонента обб значения ЭПР для углов 0 = 0° и 180° совпадают с точным решением, но в узком секторе углов для 0 около 140° наблюдается расхождение. Результат расчетов компонента о00 для однослойной оболочки практически не отличается от результатов для 2- и 4-слойных оболочек (достигнута сходимость по условию (16)).

Для значений 8г = 6 и Д t = 0,08 для однослойной оболочки наблюдается расхождение рассчитанного компонента офф с его точным значением, которое не удается полностью устранить даже при использовании четырехслойной аппроксимации (рис. 8.1). При увеличении количества слоев наблюдается сходимость результатов в секторах углов 0 = 20°-160°, при этом в секторе 0°-20° максимальное расхождение офф составляет до 5 дБ, в секторе 0 = 160°-180° расхождение составляет до 2,5 дБ. Очевидно, что в данном случае многослойная аппроксимация диэлектрической оболочки удовлетворяет условию

(16) в каждом слое, но при толщине Дt = 0,08 уже не выполняется условие (15).

Для компонента о00 расхождение результатов импедансной аппроксимации диэлектрической оболочки с точным решением более существенное, при этом сходимость решения методом ИУ задачи рассеяния ЭМВ на импе-дансных слоях наблюдается уже для двойного слоя (рис. 8.2).

На рисунках 9.1-2, 10.1-2 приведены аналогичные результаты для оболочки с 8г =

б

Рис. 5. Геометрия оболочек одинаковой толщины с различным количеством слоев. а - однослойная оболочка толщиной а/; б - двухслойная оболочка толщиной а/; в - четырехслойная оболочка толщиной а/

та

X Ф

ч

та Q.

та

о

о.

£

ф ц

(Ч

а

в

Рис. 6. Направления векторов поляризации электрического поля для падающей и отраженной волн в системе координат для сферической оболочки как тела вращения относительно оси z

30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50

ЭПР а00, афф, дБ/м2

/Г

/ V

VV 'А X у W \ » V

V V >1 ||

и || ii

г h \ \

1 1

0 30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 7. ЭПР сферической диэлектрической оболочки, гсредн = 1,01 м, At = 0,2 м, гг = 6, сравнение решения Ми и ИУ (1 слой)

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР сфф Mie;

--ЭПР с00 ИУ;--ЭПР сфф ИУ

х

см см о см

< I

<0 та

s

I

о

CÛ

о.

ф

о

о ф

CÛ

см ■clin 9 см ■clin см

30

20

10

ЭПР афф, дБ/м2

-10

-20

/ y

/ /

» •• / " W L.

V-4 / Y. 7

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 8.1. ЭПР сферической диэлектрической оболочки. Сходимость решения для компонента сфф для различного количества слоев, сравнение решения Ми и ИУ (1, 2, 4 слоя). гсредн = 1,04 м, At = 0,08 м, er = 6

--ЭПР сфф Mie;--ЭПР сфф ИУ оболочка

1 слой;--ЭПР сфф ИУ оболочка 2 слоя;

--ЭПР сфф ИУ оболочка 4 слоя

1,5, At = 0,02 и At = 0,08. Очевидно, что для оболочек с малой диэлектрической проницаемостью sr условие (15) нарушается при меньших значениях толщины оболочек At. Вместе

30

20

10

ЭПР а00, дБ/м2

10

-20

f

NX "54 /

\y V-iii 1 \ Ц / \ l V

rv ï к

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 8.2. ЭПР сферической диэлектрической оболочки. Сходимость решения для компонента с00 для различного количества слоев, сравнение решения Ми и ИУ (1, 2, 4 слоя). гсредн = 1,04 м, At = 0,08 м, er = 6

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР с00 ИУ оболочка

1 слой;--ЭПР с00 ИУ оболочка 2 слоя;

--ЭПР с00 ИУ оболочка 4 слоя

решение задачи на одном импедансном слое практически не отличается от решения на 4-х слоях.

На рисунках 11 и 12 приведены индика-

с тем следует отметить, что для таких оболочек триссы бистатического рассеяния резистивных

0

0

0

0

10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

ЭПР а00, дБ/м2

Г

ri 7

Г

^ i \\ U /л ' 1 1

\

1 i

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

ЭПР а00, афф, дБ/м2

/V " if« /ЙШ • i H'

¡ri : ^ •

\ t i f / i M •h ' \

S "V- #- VA / К \ / 1 t и y Ç и 14 ft •

Xê W Г • к и

f i ■

0 30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 9.1. ЭПР сферической диэлектрической оболочки. Сходимость решения для компонента с00 для различного количества слоев, сравнение решения Ми и ИУ (1, 2, 4 слоя). гсредн = 1,01 м, At = 0,02 м, sr = 1,5

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР с00 ИУ оболочка

1 слой;--ЭПР с00 ИУ оболочка 2 слоя;

--ЭПР с00 ИУ оболочка 4 слоя

Рис. 9.2. ЭПР сферической диэлектрической оболочки, гсредн = 1,01 м, At = 0,02 м, sr = 1,5, сравнение решения Ми и ИУ (1 слой)

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР сфф Mie;

--ЭПР IU tt;--ЭПР IU ff

20

0 -10 -20 -30 -40

ЭПР афф, дБ/м2

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 10.1. ЭПР сферической диэлектрической оболочки. Сходимость решения для компонента сфф для различного количества слоев, сравнение решения Ми и ИУ (1, 2, 4 слоя). гсредн = 1,04 м, At = 0,08 м, sr = 1,5

--ЭПР сфф Mie;--ЭПР сфф ИУ оболочка

1 слой;--ЭПР сфф ИУ оболочка 2 слоя;

--ЭПР сфф ИУ оболочка 4 слоя

оболочек с параметрами: r

20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50

ЭПР а00, дБ/м2

/

ï /

/ A r

si \ ^V i i i

Y \ —/ i

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

внутр = 11,0 м At =

0,01, гсредн = 1,005 м, s'r = 0, s" = 15,926525 и Гвнутр = 1,0 м, At = 0,02, Гсредн = 1,01 м, гГ = 0, s"= 7,95755968. Данные параметры соответствуют

Рис. 10.2. ЭПР сферической диэлектрической оболочки. Сходимость решения для компонента с00 для различного количества слоев, сравнение решения Ми и ИУ (1, 2, 4 слоя). Гсредн = 1,04 м, At = 0,08 м, sr = 1,5

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР с00 ИУ оболочка

1 слой;--ЭПР с00 ИУ оболочка 2 слоя;

--ЭПР с00 ИУ оболочка 4 слоя

поверхностному сопротивлению эквивалентной импедансной оболочки р^= 377 Ом. Можно отметить достаточно хорошее приближение импедансной аппроксимацией точного решения.

та

m

X V

ч

та Q.

та

о

о.

£

ф ц

(Ч

0

0

0

см см о см

< I

<о та

5 |

О ^

CÛ

О.

V

О

о ф

CÛ

СМ ■clin

с?

см ■clin см

(П (П

20

10

ЭПР а00, афф, дБ/м2

-10

-20

-30

/Л / / h ч я

\ / • /

0

30

150

180

60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

Рис. 11. ЭПР сферической резистивной оболочки, 'средн = 1,005 м, At = 0,01 м, е" = 15,926526, сравнение решения Ми и ИУ (1 слой)

--ЭПР с00 Mie;--ЭПР сфф Mie;

--ЭПР с00 ИУ;--ЭПР сфф ИУ

20

10

ЭПР а00, афф, дБ/м2

-10

-20

-30

/

Г) Û • •

fy У Г Л * у---- Л / ** / \ \ /

0

30

60

Угол 0, ° '

150

90 120 ' (градусы)

Рис. 12. ЭПР сферической резистивной оболочки, гсредн = 1,01 м, At = 0,02 м, е " = 7,95755968 сравнение решения Ми и ИУ (1 слой) --ЭПР с00 Mie;--ЭПР сфф Mie;

--ЭПР с00 ИУ;--ЭПР сфф ИУ

В качестве иллюстрации применимости разработанной модели для решения ряда практических задач приведем результаты расчетов снижения эффективной поверхности рассеяния с помощью покрытия Солсбери. Данное покрытие представляет из себя резистивный слой с поверхностным сопротивлением р^= 377 Ом, расположенный на расстоянии четверти дли-

X / 4

Оболочка, резистивный слой

Идеально проводящий диск

V^rJr

I .ЛгЧ. кромки -

180

Рис. 13. Диск с покрытием Солсбери

ны волны от металлической поверхности. Моделировался диск радиусом ^диска = 2,0 м, длина волны X = 1,0 м, радиус закругления кромки диска гкромки = 0,01 м (рис. 13), результаты расчета моностатической ЭПР приведены на рисунках 14.1-2. Данное средство снижения ЭПР является узкополосным, зависимость ЭПР диска при нормальном облучении от расстояния, на которое резистивный слой удален от поверхности при фиксированной длине волны, приведена на рисунке 15.

На рисунках 16.1-2 приведены индика-триссы рассеяния металлического конуса с покрытием Солсбери и без него. Угол при вершине конуса а = 15°, высота конуса равна 1,983 м, радиусы закругления носика конуса и стыка «боковая поверхность - дно» равны 0,002 м, длина волны X = 0,2 м. Для конуса без покрытия присутствуют ярко выраженные лепестки

0

0

40

20 10 0 -10 -20 -30 -40

ЭПР аОО, дБ/м2

\

к Vi \ И \Л Г

' ч/' ил •, и I,1 Ч ш ' \\ \\ -\ V // 11 ■ ~ /' w / \ 41 ' м '\'Л' Ч Ii i' 1 II / V ¡\к 11 v 1

ц II ! s !■' I1 и ' и и '! 1 I || !

1 » 1 1 | 1 1 1 »

1 1 1 1

30 60 90 120 Угол О, ° (градусы)

150

180

40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40

ЭПР афф, дБ/м2

\ (

\

А

, V л л Л

1 л V *; <\ . и \ 1 1/Чл N ✓ г^ V ' 'Л / 'V * 1 V / >1

<i и <i и t 1 I ; \ ' V ч/ \ \ N / / ✓ \/ 11 и >! и 1 '' i !

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 14.1. ЭПР с00 металлического диска без покрытия Рис. 14.2. ЭПР сфф металлического диска без покрытия

и диска с покрытием Солсбери, Лдиска = 2,0 м, 1 = 1 м

--ЭПР с00 диска без покрытия;

--ЭПР с00 диска с покрытием Солсбери

и диска с покрытием Солсбери, Лдиска = 2,0 м, 1 = 1 м

--ЭПР сфф диска без покрытия;

--ЭПР сфф диска с покрытием Солсбери

с направлений 0 = 0° и 0 = 97,50°, соответствующие зеркальному отражению от «блестящих точек» дна конуса и его боковой поверхности. У конуса с покрытием уровень лепестков данных «блестящих точек» уменьшился на 20 дБ, то есть, в отличие от оптически «зеркальной» поверхности идеально проводящего конуса, поверхность конуса с покрытием Солсбери является оптически «шероховатой».

Как следует из приведенных на рисунках 16.1-2 результатов, использование импеданс-ной аппроксимации для моделирования тонких резистивных оболочек позволяет оценивать эффективность «зачернения» радиолокационных объектов.

Таким образом, приведенная методика импедансной аппроксимации электрически тонких диэлектрических оболочек позволяет достаточно легко реализовать алгоритмы решения электродинамической задачи на основе ранее разработанных алгоритмов и моделей для идеально проводящих тел. Для оценки точности получаемых результатов целесообразно проводить сравнение решений для аналогичных по толщине и электрическим параметрам оболочек, геометрия которых позволяет получить аналитически точные решения (например, решение Ми для сферических

£ к

12 11 10

л о К о С

щ

$

ю о

m

0,243 0,249 0,255 0,261 0,267 0,273 0,279 0,285 0,291 Удаление резистивного слоя от поверхности диска, м

Рис. 15. Зависимость ЭПР от удаления резистивного слоя (покрытия Солсбери) от поверхности диска, 1 = 1,0 м, нормальное облучение к плоскости диска

оболочек). Приведенная методика может быть использована для электродинамического анализа радиолокационных объектов, имеющих диэлектрические элементы, в том числе с комплексной диэлектрической проницаемостью, и для электродинамического анализа элементов антенно-фидерного тракта радиотехнических устройств, включая оценку влияния диэлектрических элементов фидерных линий и антенных обтекателей.

та

X V

ч

та Q.

та

о

о.

£

ф ц

(Ч

0

0

9

8

7

6

5

о

V

со см

■Clin

с?

см

■Clin см

20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60

ЭПР а00, дБ/м2

30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 16.1. ЭПР с00 конуса без покрытия и с покрытием Солсбери

--ЭПР с00 конуса без покрытия;

--ЭПР с00 конуса с покрытием Солсбери

20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60

ЭПР афф, дБ/м2

0 30 60 90 120 Угол 0, ° (градусы)

150

180

Рис. 16.2. ЭПР сфф конуса без покрытия и с покрытием Солсбери

--ЭПР сфф конуса без покрытия;

--ЭПР сфф конуса с покрытием Солсбери

см см о см

< I

со та

s

Список литературы

1. Вычислительные методы в электродинамике. М.: Мир, 1977.

2. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

3. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волноводных задач: М.: Радио и связь, 1981.

4. Харвей А.М. Техника сверхвысоких частот. Т. 1. М.: Советское радио, 1965.

5. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн. М.: Советское радио, 1962.

6. Harrington R.F., Mautz J/R. An Impedance Sheet Approximation for Thin Dielectric Shells.

IEEE transactions on antennas and propagation. 1975. No. 7. P. 531-534.

7. Mie G. Beiträge zur optik truber medien, speziell kolloidaler metallösungen. Annalen der physik. Vierte folge band 25. 1908. No. 3. P. 377-445.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973.

9. Рунов А.А. Моделирование отражательных характеристик осесимметричных радиолокационных объектов методом интегральных уравнений. Вестник Концерна ВКО «Алмаз - Антей». 2021. № 4. С. 76-93. DOI: 10.38013/2542-0542-2021-4-76-93

о ей

Ф

О

Об авторе

Рунов Александр Адольфович - кандидат технических наук, заместитель начальника отдела Публичного акционерного общества «Межгосударственная акционерная корпорация «Вымпел», Москва, Российская Федерация. Область научных интересов: электродинамика, радиолокация.

(П (П

0

Using impedance approximation for electrodynamic simulation of thin dielectric and resistive shells

Runov А. А.

Public Joint Stock Company Vympel Interstate Corporation, Moscow, Russian Federation

The paper describes the procedure for calculating the radar cross-section of radar objects that contain perfectly conducting bodies and electrically thin dielectric and resistive shells. The calculation procedure is based on the first-kind integral equation method for the electric field. The procedure and applied software are implemented and tested for bodies of revolution. Comparison with test examples is carried out and the applicability for solving real-world problems is shown.

Keywords: electromagnetic wave diffraction, radar cross-section, thin dielectric and resistive shells, integral equation method

Information about the author

Runov Aleksandr Adolfovich - Candidate of Engineering Sciences, Deputy Department Manager, Public Joint Stock Company Vympel Interstate Corporation, Moscow, Russian Federation. Science research interests: electrodynamics, radiolocation.