Использование энтропийно-вероятностного моделирования в задачах мониторинга и управления сложными системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87:519.722:519.213 Соколова Ирина Сибагатулловна,

аспирант, Челябинский государственный университет,

тел. 89085795940 Тырсин Александр Николаевич,

д-р техн. наук, в. н. с., научно-инженерный центр «Надежность и ресурс больших систем машин» УрО РАН, тел. 89221007452

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭНТРОПИЙНО-ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МОНИТОРИНГА И УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ СИСТЕМАМИ

I.S. Sokolova, A.N. Tyrsin

USE OF ENTROPY-PROBABILISTIC MODELING IN PROBLEMS OF MONITORING AND MANAGEMENT

OF COMPLEX SYSTEMS

Аннотация. Показаны примеры применения энтропийно-вероятностного моделирования с целью анализа и управляющего воздействия на сложные системы. Первый пример сравнивает две группы угледобывающих предприятий отличающихся между собой уровнем травматизма (высокий и низкий). Даются рекомендации по снижению травматизма. Второй пример связан с системой, влияющей на демографическую обстановку в стране и демонстрирует задачу, основанную на гипотезе, что для увеличения численности населения нужно максимизировать энтропию данной системы.

Ключевые слова: энтропия, вероятность, модель, сложная система, многомерная случайная величина.

Abstract. The paper describes examples of entropy-probabilistic modeling to analyze and manage complex systems. The first example compares two groups of coal mines with different levels of injuries (high and low). It provides recommendations to reduce injuries. The second example is the system that affects the demographic situation in the country and demonstrates the task based on the hypothesis that an increase in population is achieved by the maximum of the entropy of the system.

Keywords: entropy, probability, model, complex system, multi-dimensional random variable.

Введение

Одним из перспективных направлений моделирования сложных стохастических систем является использование энтропии, которая может выступать в роли универсального параметра [1] и идеально подходит для решения задач о поведении сложных стохастических систем.

В [2] предлагается подход к моделированию систем, основанный на представлении сложной стохастической системы в виде случайного нормально распределенного вектора Y = (71; У2,.., Ут)Т , ~ N (а, а2т) с заданной корреляционной матрицей

( 1

R

'12

... Г

1m

\

21

... r

V Гт1 Гт2

2m

1

Каждый элемент этого вектора является одномерной случайной величиной, которая характеризует функционирование соответствующего элемента системы 5. Установлено, что энтропия такой системы определяется как [2]

m а

H (Y) = 2 H (Y¿ ) + -ln| R|

(1)

где H (Y ) = -2ln[(2ne)cY. ].

Согласно (1), энтропия стохастической системы складывается из двух составляющих, которые характеризуют ее различные свойства, т. е. в виде вектора

( т 1 ^

. (2)

' _m 1

h = (H 1 (Y); H 2(Y))= 2 H(Y );2ln(|R|)

V ¿=1 2

Энтропийно-вероятностная модель, основанная на соотношениях (1), (2), может использоваться для решения различных задач. К ним можно отнести оптимизационные задачи эффективно-

1

¿=1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Коэф-т

частоты

№ х г п г т травмирования на 1000 чел.

1 0,52 0,57 0,71 0,59 0,57 13,17

2 0,42 0,62 0,78 0,62 0,58 15,22

3 0,62 0,67 0,76 0,73 0,62 8,76

4 0,69 0,60 0,80 0,63 0,64 5,79

5 0,71 0,60 0,78 0,75 0,69 8,18

6 0,53 0,48 0,68 0,54 0,59 16,52

7 0,75 0,65 0,83 0,63 0,64 6,43

8 0,55 0,47 0,72 0,60 0,54 15,21

9 0,54 0,56 0,72 0,60 0,63 27,41

10 0,45 0,46 0,60 0,47 0,49 31,67

11 0,40 0,26 0,61 0,44 0,41 34,40

12 0,56 0,63 0,68 0,76 0,57 11,61

13 0,81 0,60 0,81 0,78 0,76 21,65

14 0,46 0,40 0,65 0,54 0,32 37,49

15 0,35 0,37 0,60 0,48 0,43 43,68

16 0,50 0,32 0,57 0,49 0,32 49,69

17 0,69 0,58 0,61 0,62 0,58 35,34

го управления системой на основе увеличения или уменьшения ее энтропии, а также задачи мониторинга состояния стохастических систем. Рассмотрим примеры использования энтропийно-вероятностного моделирования для указанных классов задач.

Моделирование системы, характеризующей безопасность производства

Современные предприятия для обеспечения долгосрочного устойчивого функционирования должны постоянно повышать не только эффективность и конкурентоспособность производства, но и безопасность [3]. Рассмотрим пример, связанный с безопасностью на предприятиях. Обратимся к табл. 1, содержащей статистические исследования по 17 угледобывающим предприятиям, предоставленные сотрудником лаборатории безопасности технологических процессов горного производства ОАО «НТЦ-НИИОГР» ОС. Седовой.

Т а б л и ц а 1

рожностью». Автор выделяет и описывает 5 факторов, формирующих опасные действия персонала, называемые организационным риском: х -компетентность персонала; г - мотивация персонала на безопасное производство; п - взаимодействие структурных подразделений шахты; г -взаимодействие персонала в области безопасности производства; т - информационное обеспечение в области безопасности производства.

Факторный анализ, проведенный с целью исследования структуры взаимодействия этих 5 признаков организационного риска показал, что два исходных фактора объясняют 88 % всей вариации исходных признаков. Матрица факторного отображения приведена в табл. 2.

Т а б л и ц а 2

Показатели У1 У2

х 0,348 0,922

г 0,841 0,412

п 0,857 0,343

г 0,664 0,626

т 0,762 0,539

X, 4,029 0,374

5, % 0,517 0,364

Фактор У1 представляет собой линейную комбинацию стандартизированных факторов

7, п, т ; У2 - линейную комбинацию стандартизированных факторов х, г. Компонента У1 характеризует организацию безопасного производства. Компонента У2 характеризует профессионализм персонала.

1

У1 =

4,029

(0,8417 + 0,857п + 0,762т),

=

1

0,374

(0,922х + 0,626г).

В [4] отмечено, что «анализ статистических данных и опыта работы отечественных и зарубежных угледобывающих предприятий показал, что уровень производственного травматизма обусловлен на 3-7 % опасными условиями труда (горногеологическими, природными и технико-технологическими факторами) и на 93-97 % опасными действиями персонала: отступлениями от должностных и технологических инструкций, нарушениями правил безопасности, личной неосто-

Разобьем исходные данные на две группы. В группе 1 будут находиться предприятия с коэффициентом частоты травмирования от 5,79 до 16,53 случаев на 1000 человек, а именно шахты 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12. Будем считать группу 1 группой с низким уровнем травмирования. В группе 2 - предприятия с уровнем травмирования от 21,65 до 49,69 случаев на 1000 человек (высокий уровень) - это шахты 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17. Сокращенная макросистема, разбитая на две группы, представлена в табл. 3.

Гипотеза о нормальном распределении элементов полученной макросистемы не отвергается

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

критерием Шапиро - Уилка на уровне значимости а = 0,1.

Энтропийно-вероятностная модель для первой группы предприятий представляет собой вектор

Ь = (Н ,(¥); Н 2(У)) = (2,42; - 0,31);

Н (У) = 2,11.

Для второй группы:

Ь = (Н,(¥); Н2(¥)) = (3,73; - 0,7);

Н(У) = 3,04 .

Т а б л и ц а 3

Группа № У2 Коэф-т частоты травмирования на 1000 трудящихся

4 0,53 2,89 5,80

7 0,69 3,94 6,43

5 0,54 5,11 8,186

3 0,49 3,02 8,76

1 12 0,17 2,43 11,61

1 0,15 -1,01 13,17

8 -0,06 -0,35 15,21

2 0,41 -2,36 15,22

6 -0,05 -1,53 16,52

13 0,73 7,53 21,65

9 0,24 -0,54 27,41

10 -0,46 -4,25 31,67

2 11 -0,89 -5,61 34,40

17 -0,09 2,61 35,34

14 -0,68 -2,85 37,49

15 -0,69 -5,60 43,68

16 -1,03 -3,03 49,69

Очевидно, что энтропия второй группы, которая характеризуется высоким уровнем травматизма, оказалась выше за счет высоких значений дисперсий. Высокий уровень энтропии, как показатель уровня неопределенности, - признак плохой организации и нечеткости действий в системах. Поэтому для второй группы предприятий необходимо принять меры по снижению уровня энтропии. В случае, когда известны величины, на которые снизятся дисперсии элементов второй группы а 2 = 0,33 и а^ = 18,53, обозначим их как d1 и d2 соответственно, при осуществлении управленческих мероприятий, обеспеченных единицей ресурса, задача минимизации энтропии для группы 2 может быть представлена в виде

11п[(2ле)2(0,33 - х^^ )(18,53 - х 2 d 2 )| К| шп,

2 х1

£ хг * *,

I=1

х1 > 0, х2 > 0,

где * - количество ресурсов, и предполагается, что изменение уровня корреляционных связей при этом пренебрежительно мало.

Решение поставленной задачи обеспечит снижение энтропии, а следовательно, и уровня травматизма предприятий второй группы.

Моделирование системы, оказывающей влияние на численность населения страны

Анализ литературы [5, 6, 7] показывает, что среди существенных факторов, влияющих на демографическую обстановку в стране, есть такие показатели, как уровень жизни, уровень здравоохранения, условия труда и быта людей страны, уровень смертности, катаклизмы, войны.

Исходя из этих факторов и руководствуясь данными, имеющимися в ежегодно издаваемых государственным фондом статистики сборниках «Россия в цифрах», сформируем систему основных факторов 5 = ($!,52,...,514), оказывающих влияние на численность населения за период 2000-2011 гг. (табл. 4): 51 - фактическое конечное потребление домашних хозяйств на душу населения, руб.; £2 - среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб.; £3 - среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций, руб.; £4 - средний размер назначенных пенсий, руб.; £5 - величина прожиточного минимума (в среднем на душу населения), руб. в месяц; £6 - численность населения с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума, в процентах от общей численности населения; £7 - коэффициент фондов (коэффициент дифференциации доходов) в разах; £8 - минимальный размер оплаты труда (в среднем за год), руб.; £9 -численность безработных, тыс. чел.; — численность пострадавших при несчастных случаях на производстве с утратой трудоспособности на один рабочий день и более и со смертельным исходом, на 1000 работающих; 5ц - численность экономически активного населения; £12 - численность врачей на 10000 человек населения; 513 - мощность врачебных амбулаторных учреждений, посещений в смену: на 10000 человек населения; £14 - естественный прирост, убыль (-) населения; Z - численность населения, млн чел.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Т а б л и ц а 4

Год 51 52 5э 54 55

2000 26014 2281 2223 694,3 1210

2001 34637 3061 3240,4 1024 1500

2002 44440 3947 4360,3 1379 1808

2003 53276 5171 5498,5 1637 2112

2004 65186 6337 6831,8 1915 2376

2005 87030 8112 8555 2364 3018

2006 106766 9947 10727,7 2726 3422

2007 133185 12603 17290 3116 3847

2008 166839 14948 18638 4199 4593

2009 176443 17009 21193 5191 5153

2010 193576 18887 20952 7476 5688

2011 224206 20701 23693 8203 6369

Т а б л и ц а 4 (продолжение)

Год 56 57 58 59 510

2000 29 13,9 107,8 1037 5,1

2001 27,3 14 250 1122,7 5

2002 24,2 14 400 1499,7 4,5

2003 20,3 14,5 487,5 1638,9 3,9

2004 17,8 14,8 600 1920,3 3,4

2005 17,7 15,2 746,7 1830,1 3,1

2006 15,2 16 1000 1742 2,9

2007 13,3 16,8 1500 1553 2,7

2008 13,4 16,8 2300 1522 2,5

2009 13 16,7 4330 2147 2,1

2010 12,6 16,5 4330 1589 2,2

2011 12,8 16,1 4471 1286 2,1

Т а б л и ц а 4 (окончание)

Год 5ц 512 513 514 2

2000 72332 46,8 243 —6,6 145,6

2001 70968 46,9 245 —6,6 146,3

2002 72421 47,4 248 —6,5 145,6

2003 72835 48 249 —6,2 145

2004 72909 48,4 251 —5,6 144,2

2005 73811 48,8 257 —5,9 143,5

2006 74156 49,4 256 —4,8 142,8

2007 75046 49,8 259 —3,3 142,2

2008 75757 49,6 257 —2,5 142

2009 75658 50,1 258 —1,8 141,9

2010 75440 50,1 258 —1,7 141,9

2011 75752 50,1 258 —0,9 142,9

Факторный анализ показал, что три исходных фактора (главные компоненты) объясняют 98 % всей вариации исходных признаков.

Матрица факторного отображения приведена в табл. 5.

Фактор У1 представляет собой линейную комбинацию стандартизированных факторов

51; 52, 53,54,55,58,514 ; У3 - линейную комбинацию стандартизированных факторов 56,57,510,5П,

512,513. У2 отвечает 59.

Компонента У1 характеризует уровень жизни населения и естественный прирост. Компонента У2

- уровень безработицы, а У3 - численность экономически активного населения, в том числе населения с низким доходом и пострадавших на производстве, и уровень здравоохранения.

Т а б л и ц а 5

У1 У2 У3

51 0,820 0,102 0,560

52 0,827 0,132 0,546

5э 0,784 0,121 0,599

54 0,922 0,056 0,351

55 0,834 0,144 0,528

56 -0,516 -0,410 -0,736

57 0,497 0,216 0,818

58 0,939 0,155 0,285

59 0,025 0,967 0,245

510 -0,613 -0,399 -0,675

5ц 0,635 0,203 0,713

512 0,601 0,335 0,720

513 0,462 0,366 0,784

514 0,835 0,072 0,529

ь 6,963 1,692 5,105

5, % 0,497 0,121 0,365

Главные компоненты равны:

У (0,82051 + 0,82752 + 0,78453 +

1 6,963 1 2 3

+ 0,92254 + 0,83455 + 0,93958 + 0,9395^),

У2 = ■ 0,96759, 2 1,692 9

У3 = 5Ш5 ' (-0,73656 + 0,81857 - 0,6755„ + +0,7135Ц + 0,720512 + 0,784513).

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Таким образом, размерность системы сократилась с 14 до 3.

В результате получили описание макросистемы в виде случайного вектора У = (Г1, У2, У3). С учетом матрицы факторного отображения сформируем теперь сокращенное описание системы (табл. 6).

Гипотеза о нормальном распределении элементов полученной макросистемы не отвергается критерием Шапиро - Уилка на уровне значимости а = 0,1.

Ковариационная матрица для У = (71, У2, У3): Г 0,653 0,111 0,590^ Е = 0,111 0,299 0,230 0,590 0,230 0,668

V ' ' ' V

Т а б л и ц а 6

Фактор У1 У2 Уэ

Прирост дисперсии dl d2 dз

где а и = Cidi - число, на которое повысится дисперсия Уi при вложении С, ресурсов. Тогда имеем задачу:

Ы(2пе)31

Е

^ шах,

с,

0,668 + С3 d 3 у

Годы У1 У2 У3

2000 -0,973 —0,957 -1,331

2001 -0,880 —0,804 -1,316

2002 -0,773 -0,132 -0,919

2003 -0,661 0,116 -0,553

2004 -0,525 0,617 -0,285

2005 -0,366 0,457 0,091

2006 -0,139 0,300 0,356

2007 0,221 -0,037 0,738

2008 0,559 -0,093 0,745

2009 0,940 1,021 0,864

2010 1,165 0,027 0,815

2011 1,432 -0,513 0,794

Пусть экспертным путем установлено, что вложение единицы ресурсов (например, финансовых) в каждое отдельно взятое ,-е направление приведет к увеличению дисперсии соответствующего показателя У, на значение согласно табл. 7. Как случается в практических задачах, количество ресурсов ограниченно и равно *.

Т а б л и ц а 7

Искомому распределению ресурса в виде точки С = (С1С2, С3) представлен в соответствие вектор с независимыми компонентами

и = (и!,и2,иъ), и, ~ , Стц),

2

£ С, = *, ,=1

С, > 0,

ооу(и,, У,) = соу(и,., и,) = 0, ,,, = 1,2,3,

где ковариационная матрица равна

'0,653 + C1d1 0,111 0,590 ^

Е * = 0,111 0,299 + С 2 ^ 0,230 ч 0,590 0,230

Установлено, что для решения задачи максимизации энтропии одним из наиболее эффективных численных методов нулевого порядка является комплексный метод Бокса.

Решение задачи С* = (С*,С*,С3*) обеспечит максимальный прирост энтропии для вектора У = У У2, У3) при имеющихся ресурсах.

Выводы

1. Единый критерий эффективности управления системой, в виде показателя уровня ее энтропии, обеспечивает возможность практического анализа состояния системы и выбор пути воздействия на нее.

2. Энтропийно-вероятностный подход универсален для широкого круга моделируемых систем.

3. Факторный анализ позволяет формировать систему признаков сложной системы для произвольного количества исходных признаков.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта 12-М-127-2049 фундаментальных исследований УрО РАН.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Прангишвили И. В. Энтропийные и другие системные закономерности: Вопросы управления сложными системами. М. : Наука, 2003. 428 с.

2. Тырсин А. Н., Соколова И. С. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем // Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 1. С. 88-102.

3. Жизнеспособность предприятия: эффективность и безопасность : аналит. зап. по материалам семинара, Бакал, 10-15 апр. 2000. Челябинск : Бакальские рудники, 2000. 46 с.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

4. Седова О. С. Снижение производственного травматизма на основе управления организационными рисками на угольных шахтах // Горный информ.-аналит. бюл. 2007. Т. 4. № 1. с. 245-253

5. Борисов В. А. Демография. М. : ИД NOTABENE, 1999. 2001. 272 с.

6. Медков В. М. Демография : учеб. пособие. Ростов-на-Дону : Феникс, 2002. 448 с.

7. Думная Н. Н. Грязнова А. Г. Макроэкономика. Теория и российская практика : учебник. М. : КНОРУС. 2004. 608 с.

УДК 532. 62 Ванчиков Виктор Цыренович,

к. т. н., докторант кафедры «Управление техническими системами», ФГБОУВПО ИрГУПС

Мухопад Александр Юрьевич,

к. т. н., докторант кафедры «Управление техническими системами», ФГБОУ ВПО ИрГУПС

Ванчиков Артур Викторович,

аспирант Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, г. Улан-Удэ

Мухопад Юрий Федорович,

д. т. н., профессор кафедры «Управление техническими системами», ФГБОУ ВПО ИрГУПС

УПРОЧНЕНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ

В НАНОТЕХНОЛОГИЯХ

V.C. Vanchikov, A.Yu. Mukhopad, A.V. Vanchikov, Yu.F. Mukhopad

REINFORCEMENT OF A LAMINATE FILM OF A FLUID IN NANOTECHNOLOGIES

Аннотация. В статье рассматривается возможность замены в электронных устройствах полупроводников на аморфные органические материалы в виде многослойной пленки. Для получения бездефектной тонкой пленки органического материала предлагается подвергать растворы внешнему воздействию реализуемого потоком жидкости. Теоретически обоснован и экспериментально подтвержден предлагаемый метод упрочнения тонкой пленки. Показано, что при числе Рейнольдса примерно равного шести можно получить прочные тонкие пленки.

Ключевые слова: пленка, многослойная структура, капилляр, упорядоченная структура, ламинарное течение, упрочнение.

Abstract. In paper substitution possibility in electronic arrangements of semiconductors on amorphous organic materials in the form of a laminate film is observed. For deriving of a faultless thin film of an organic material it is offered to expos solutes to an exposure implemented by a fluid stream. It is theoretically justified and experimentally the offered method of a reinforcement of a thin film is confirmed. It is displayed that at a Reynolds number about equal six it is possible to gain strong thin films.

Keywords: film, a multilayer structure, a capillary, ordered arrangement, a laminar flow, a reinforcement.

Органическая электроника - одно из самых новых и перспективных направлений в электронике, ставящее своей целью перевод электронных

устройств на новую элементную базу, где в качестве альтернативы кристаллическим полупроводникам предлагаются аморфные органические материалы. Развитие этого подхода в микроэлектронике требует решения ряда проблем. Одной из актуальных задач является разработка простых методов упорядочения структуры органических материалов. Для получения многослойных покрытий используется метод молекулярно-лучевой эпитак-сии, который позволяет наносить на поверхность подложки многослойные кристаллические пленки. В этой связи в работе [1] утверждается, что формируемые пленки имеют идеальную кристаллическую структуру, в точности воспроизводящую структуру подложки. Из этого следует, что такая бездефектная структура должна обеспечивать высокую сдвиговую устойчивость пленки к разрушающему внешнему воздействию. Однако в работе [2] сказано, что полученные искусственным путем материалы с наноструктурой очень часто обладает слабой устойчивостью к внешним воздействиям. Методов управления структурой таких материалов не существует из-за отсутствия знаний о фундаментальных физических закономерностях их образования и поведения. Кроме того, исследование многослойной пленки с нанометровой толщиной слоев сдерживается сложностью методик вакуумного напыления, требующих дорогого и сложного оборудования.

При нанесении покрытия используется метод осаждения пара на твердую поверхность (мишень); при этом мишень переводят в парообразное состояние испарением в катодных пятнах вакуум-