Использование энтропии термодинамических и информационных процессов сердца в неинвазивной кардиодиагностике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 612.173; 536.758

В. Г. Полосин, С. А. Балахонова, О. Н. Бодин, Ф. К. Рахматуллов

Использование энтропии термодинамических и информационных процессов сердца в неинвазивной кардиодиагностике

Ключевые слова: электрофизические характеристики, мониторинг, энтропия, термодинамические и информационные процессы, количество информации, энтропийно-параметрический потенциал.

Keywords: electrophysiological characteristics, monitoring, entropy, thermodynamic and information processes, amount of information, entropic-parametric potential.

Рассматривается задача получения количественной информации о состоянии сердца при проведении мониторинга его электрофизиологических характеристик. На основании представлений о взаимосвязи термодинамических и информационных процессов предлагается алгоритм исследования и анализа состояния динамической системы сердца человека. В процессе мониторинга проводится запись сортировочного ряда отсчетов, полученных за время одного цикла электрокардиосигнала (ЭКС). Разработана статистическая модель регрессии для сортированного ряда отсчетов, основанная на оценке изменения энтропии информационных процессов одного цикла ЭКС. Представлены результаты моделирования и показана их связь с реальным электрофизиологическим сигналом.

Введение

В процессе мониторинга электрофизиологических характеристик сердца возникают задачи, для решения которых необходимо располагать количественной информацией, отражающей состояние сердца. Выявление первичных патологических изменений в функционировании сердца принципиально решается с помощью метода электрокардиографии путем анализа ЭКС. Однако классический анализ ЭКС исчерпал свои ресурсы, так как не позволяет повысить точность локализации повреждения миокарда. Только опытный специалист, анализирующий ЭКС, способен судить о локализации и степени повреждения миокарда. Очевидно, что использование компьютера повышает диагностическую точность метода, но проблема поиска диагностически значимых параметров ЭКС и повышения эффективности диагностики кардиографической информации остаются весьма актуальными:

• при ограниченных ресурсах в системе здравоохранения;

• увеличении доли сердечно-сосудистых заболеваний (ССЗ) в структуре заболеваемости и смертности;

• старении населения.

Поэтому актуальной научной проблемой является разработка доступных для массового использования методов и средств обработки кардиографической информации, обеспечивающих повышенную точность и наглядное представление локализации повреждения миокарда. Решение этой проблемы будет способствовать снижению смертности от ССЗ и поднятию отечественного здравоохранения на новый, более качественный уровень. Но для этого необходимо решить ряд научных задач анализа, моделирования и визуализации кардиографической информации.

Цель статьи — обосновать и разработать подход к диагностике ССЗ на основе энтропийно-параметрического анализа ЭКС и установления взаимосвязи энтропии термодинамических и информационных процессов сердца.

Основная часть

Мониторинг состояния сердца человека. Современная концепция медицинского мониторинга (от лат. monitor — предостерегающий) направлена на совершенствование и развитие методов непрерывного контроля состояния человека. Контроль осуществляется путем регистрации физиологических данных и оценки диагностических показателей организма в целях выявления отклонения показателей и предупреждения опасностей, возникающих в процессе контроля. На рис. 1 дан алгоритм предлагаемого подхода к мониторингу электрической активности сердца (ЭАС). В соответствии с пред-

ложенным подходом электрические токи, обусловленные ЭАС, фиксируются с помощью электродов, наложенных на поверхности торса, и после предварительного усиления оцифровываются с помощью аналого-цифрового преобразователя. Предварительная обработка ЭКС позволяет при необходимости провести целый комплекс мероприятий, таких как снижение влияния высокочастотных и низкочастотных помех посредством фильтрации сигнала, приведение ЭКС к изолинии на основе снижения дрейфа сигнала, выделение кардиоцикла и его элементов. В основе формирования диагностического заключения положена статистическая обработка ЭКС, позволяющая оценить состояние сердца по параметрам аппроксимирующего распределения. Для этих целей после получения каждого нового отсчета формируется выборка отсчетов за время, соответствующее последнему кардиоциклу. Сортированный ряд отсчетов ЭКС, полученный за время последнего кардиоцикла, после его приведения к длительности этого кардиоцикла хорошо аппроксимирует несимметричные распределения, в частности распределение Вейбулла — Гнеденко. При этом мониторинг статистических параметров несимметричного распределения, используемого для аппроксимации сортированной выборки отсчетов, является эффективным инструментом определения состояния сердца.

Следует отметить, что важным свойством несимметричного распределения является неупорядоченность его значений, отражаемая в неопределенности его значений. Для оценки неопределенно-

сти традиционно принято использовать дисперсию (т. е. разброс) наблюдаемого параметра или его энтропию. Совместный анализ статистической и информационной неопределенности распределения позволил авторам работы улучшить поиск параметров статистических распределений.

Возможность использования методов статистики при мониторинге состояния сердца человека связана с тем, что для стороннего наблюдателя результаты регистрации ЭКС представляются как независимые случайные величины, обусловленные работой динамической системы сердца. Классические методы исследования и анализа состояния объектов, основанные на описании и статистической обработке случайных воздействий с помощью корреляционных функций и функции спектральной плотности, требуют значительных временных затрат, использования сложного оборудования и дополнительных материальных средств, что затрудняет применение в неинвазивной кардиодиагностике.

Авторами предлагается алгоритм исследования и анализа состояния динамической системы сердца, основанный на энтропийно-параметрическом анализе ЭКС и установлении взаимосвязи энтропии термодинамических и информационных процессов сердца. Подход к анализу результатов, основанный на оценке энтропии выборки сортированного ряда распределения результатов, полученных во время мониторинга за один цикл работы сердца, не требует значительных временных затрат, использования сложного оборудования и дополнительных материальных средств.

Рис. 1 \ Алгоритм мониторинга электрической активности сердца

Авторам представляется целесообразным подробное рассмотрение предлагаемого подхода к статистической обработке ЭКС. Для этого сначала устанавливается взаимосвязь энтропий термодинамических и информационных процессов в сердце, затем определяется энтропия информационных процессов в сердце на основе сортировочного ряда значений временных отсчетов ЭКС.

Взаимосвязь энтропий термодинамических и информационных процессов в сердце. ЭАС, обусловленная протеканием ионных токов в миокарде, отражена в изменении потенциалов электродов отведений. Так как система находится вблизи состояния равновесия, то в системе выполняется теорема Пригожина, согласно которой скорость изменения энтропии в живом организме равна сумме производства энергии внутри организма и скорости поступления энтропии в организм из внешней среды [2]:

йБ _ й1Б + йеБ йЬ йЬ йЬ

(1)

При распространении потенциала действия протекание ионных токов в миокарде происходит вблизи состояния равновесия. Тогда для ионных токов выполняется условие минимума производства энтропии, согласно которому в частично равновесной открытой системе в стационарном состоянии, близком к термодинамическому равновесию, скорость прироста энтропии за счет внутренних необратимых процессов достигает отличного от нуля постоянного минимального значения:

аЬ

> 0.

(2)

Л. Больцманом предложена взаимосвязь термодинамической энтропии Б с количеством Ж возможных термодинамических состояний системы

[4]:

Б = кБ1п Ж,

(3)

где к- — коэффициент Больцмана.

В ряде работ известных авторов, таких как А. Б. Рубин [4], М. В. Волькенштейн [5], при использовании формулы Больцмана термодинамической энтропии сопоставляется количество информации 1х, определяемое в соответствии с информационной теорией Хартли [6]. Согласно этой теории информация пропорциональна логарифму числа возможных (ожидаемых) сообщений. В термодинамике числу возможных сообщений соответствует количество возможных термодинамических состояний системы. Согласно этой теории логарифм термодинамических состояний Ж представляет собой информационное содержание системы:

1Х = 1п Ж. (4)

Количество возможных термодинамических состояний системы связано с числом объектов N1,

имеющих 1-е микросостояние системы, с помощью выражения

N!

Ж _ ■

(5)

П N!)

Здесь N — полное количество объектов системы.

На основе формулы Стирлинга [3] при условии больших значениях N получено выражение для информации Хартли вида

т

1Х _ N 1п N Ni 1п Ni. (6)

I _1

Так как количество объектов N1, находящихся в 1-м состоянии, равно произведению вероятности Р1 нахождения объекта в 1-м состояния на полное количество объектов N термодинамической системы, то выражение (6) для информации Хартли преобразуется к виду

1Х = NH,

(7)

где Н — информационная энтропия Клода Шеннона [7], которая характеризует неупорядоченность поведения отдельного объекта и представляет собой математическое ожидание статистической вероятности,

Н _-Х Р11п Р1.

1 _1

(8)

Формально логарифм статистической вероятности Р1, взятый со знаком минус, представляет собой информацию о возможности нахождении объекта в 1-м состоянии.

Выражения (4) и (7) описывают взаимосвязь между энергетическими и информационными свойствами системы. Из рассмотренного выше материала следует, что термодинамическая энтропия Б системы пропорциональна информационной энтропии, рассчитанной для неупорядоченного поведения отдельного объекта системы, и количеству независимых объектов системы. Полученная взаимосвязь имеет следующий вид:

Б = к^Н.

(9)

Выражение (9) позволяет распространить условие минимума производства термодинамической энтропии на информационную энтропию, согласно которому в состоянии, близком к равновесию, информационная энтропия результатов, наблюдаемых за ограниченный интервал времени, стремится к своему минимальному значению.

Для описания неупорядоченности результатов наблюдения авторами работы предложено использовать минимизацию энтропийно-параметрического потенциала [8]

(д

_ л/А? + кст2,

(10)

где ст — параметр среднего квадратического отклонения для выборки отсчетов; Дэ — энтропийный

потенциал, рассчитанный для выборки отсчетов одного цикла ЭКС с помощью выражения

Дэ = — AuN exp

1 m

- N £ ns ln(ns )

s=1

(11)

Здесь Au — интервал группирования данных по значениям потенциалов; s и m — порядковый номер и количество интервалов группирования отсчетов по потенциалу.

Определение энтропии информационных процессов в сердце на основе сортировочного ряда значений временных отсчетов ЭКС. Работа алгоритма мониторинга электрической активности сердца показана на рис. 2. Для анализа формируется выборка отсчетов 1 за один текущий цикл наблюдений, затем этой же выборке сопоставляется сортированный ряд отсчетов 2.

В связи с тем что каждый отсчет несет информацию о состоянии объекта, вероятность его появления позволяет рассчитать энтропию информации с помощью формулы (8), а энтропийный потенциал — с помощью выражения (11). Приняв положение минимального значения сортированной выборки отсчетов в качестве начала отсчета времени и поделив их на время одного цикла, находим экспериментальную зависимость для распределения результатов относительно измеряемой величины.

Так как параметры полученного распределения зависят от состояния сердца и отражают пропорциональный состав элементов кардиоцикла, то контроль изменения этих параметров позволяет выявить отклонения в работе сердца. Распределение отсчетов кардиоцикла в зависимости от значений напряжения ЭКС на электродах отражает кривая 1 на рис. 3. Там же приведена гистограмма распределений 2 для отсчетов кардиоцикла. Аппроксимации распределения строились на основе распределения Вейбулла—Гнеденко с параметрами формы

Рис. 2

1,5

0,5

3 кн=2,06

/ 4

/ 1

0

0,5

1

1,5

Рис. 3

Кривая зависимости коэффициента энтропии кн(с) от параметра формы с для распределения Вейбулла—Гнеденко

с, масштаба 1, и смещения m. Параметр смещения определен как середина положения интервала группирования отсчетов, имеющая наибольшее значение вероятности попадания отсчетов ЭКС.

Для получения параметров распределений сначала оценивается параметр формы распределения по совпадению энтропийных коэффициентов выборки отсчетов одного кардиоцикла и распределения Вейбулла—Гнеденко.

Для оценки параметров кардиоцикла использовано выражение зависимости коэффициента энтропии кн(с) от параметра формы кривой Вейбулла—Гнеденко.

,с-1

1+0,572157-

kH (с) =

с'Г| С +1

(12)

Формирование отсчетов для мониторинга электрической активности сердца

Кривая зависимости коэффициента энтропии кн(с) от параметра формы с для распределения Вейбулла—Гнеденко показаны на рис. 3 (кривая 1). Распределение Вейбулла—Гнеденко включает ряд других распределений. К примеру, на рис. 3 положению показательного распределения соответствует точка 2 с параметром формы с = 1, положению нормального распределения соответствует точка 3 с параметром формы с = 1,3, распределению Релея соответствует точка 5 с параметром формы с = 2, аппроксимациям отраженных и усеченных нормальных распределений соответствует область значений 4. Контроль параметра формы кривой Вейбулла—Гнеденко позволяет изменить аппроксимирующие свойства кривой в соответствии с требуемым интервалом неопределенности распределения.

Контроль формы распределения достигается на основе совпадения энтропийного коэффициента распределения и энтропийного коэффициента, рассчитанного для выборки отсчетов одного кардио-цикла, как отношение неопределенности энтропийного потенциала, рассчитанного по формуле (11), к среднему квадратическому отклонению. Для кар-диоцикла здорового человека параметр формы находится в пределах от 0,5 до 0,85. Для гистаграм-

с

e

т

0,75

0,5

0,25

( | 1 | 6 \ // 5 1 // уГ

7-^1 \Ц / И / 3

'г (1____________

г 1 1 ■ \ 2 К—_

м

0,3

0,2

0,1

500

1000

и, мВ

Рис. 4

Аппроксимации отсчетов одного кардиоцикла при различных методах определения параметров распределений

мы распределения на рис. 4 найденные значения коэффициента энтропии и параметра формы равны 0,88 и 0,56 соответственно.

После оценки параметра формы распределения определяется параметр масштаба распределения на основе сопоставления наиболее важных свойств распределения и выборки отсчетов одного кардиоцикла: математического ожидания, параметрической и информационной неопределенностей распределения.

В таблице даны формулы для построения аппроксимирующих распределений и погрешности аппроксимации при различных методах нахождения параметра масштаба распределения. На рис. 4

даны кривые распределения, полученные в соответствии с методом поиска параметра масштаба. Классические методы поиска параметра масштаба на основе первого и второго моментов распределения иллюстрируют кривые 3 и 4. Кривая 3 соответствует аппроксимации, построенной на условии совпадения математических ожиданий аппроксимирующего распределения и выборки отсчетов за один кардиоцикл. Погрешность этой аппроксимации более 30 %.

Условию совпадения средних квадратических отклонений соответствует кривая 4, для которой погрешность аппроксимации не превышает 11 %. Кривая 5 иллюстрирует метод минимизации интервалов информационной неопределенности, основанный на условии сопоставления энтропийных потенциалов. Несмотря на то что погрешность аппроксимации для кривой 5 превышает 20 %, ее свойства строятся независимо от параметрических критериев. Этот принцип использован при построении энтропийно-параметрического потенциала, аддитивно учитывающего как параметрическую, так и информационную неопределенность распределения.

Метод сопоставления энтропийно-параметрического потенциала иллюстрирует кривая 6 на рис. 4, положение которой наиболее приближено к экспериментальным данным. Оценка погрешности этого метода не превысила 7 % и обусловлена резким возрастанием функций в области изолинии, которая на гистограмме характеризуется интервалом отсчетов с максимально большой вероятностью.

Из сопоставления плотности распределения (кривая 7) гистограммы исходных данных также

Таблица Методы выбора параметра масштаба распределения и формулы для расчета параметра масштаба распределения

Метод Формула расчета Погрешность аппроксимации,% Параметр масштаба а, мВ

Совпадение математических ожиданий М(Х) ' "-М 1х 1) 33 300,037

Совпадение средних квадратических отклонений а(Х) г( 2+1)-г2 (1+1) 11 53855

Совпадение энтропийных потенциалов а = 0,207с2 Аэ(Х)вхр ^1,576 ^ 23 174,225

Совпадение энтропийно-параметрического потенциала а= Р- № 2+1; Аэ-п(Х) -г2 (1+1)] + вхр(1,576с~1) 0,207с2 7 70,935

12

Кардиология

следует хорошее соответствие между кривой 7 и гистограммой распределений 2 для отсчетов кар-диоцикла. Между тем более качественное описание данных возможно с помощью смеси распределений, где предварительно выделяются и описываются выборки отсчетов для сегментов кардиоцикла Т-зубца и QRS-комплекса.

Заключение

Таким образом, в выборке хранятся отсчеты, соответствующие одному кардиоциклу, причем начальное и конечное значения постоянно изменяются при поступлении новых результатов. Выделение длительности Тц кардиоцикла и формирование сортированного ряда значений позволяют эффективно контролировать состав выборки отсчетов ЭКС и количество ее значений из-за изменения длительности цикла, а контроль статистических параметров выборки — эффективно отслеживать изменение электрокардиосигнала и указывать на наличие заболевания при выходе параметров за контролируемые границы.

Возможность контроля состояния сердца путем контроля энтропии распределения Вейбулла—Гне-денко основана на взаимосвязи производства термодинамической энтропии внутри клеток миокарда, заданной с помощью выражения (2), и информационной энтропией, определяемой выражением (8). Так как производство энтропии внутри миокарда проявляется в постоянном изменении структуры биологической системы, то, как следствие, она проявляется в изменении как термодинамической, так и информационной энтропии, что позволяет контролировать состояние сердца по выбору параметров распределения.

На основе рассмотренного материала следует отметить, что выбор формы кривой восстановления сердца пациента с использованием распределения Вейбулла—Гнеденко обеспечивает адекватную аппроксимацию сортированной выборки отсчетов ЭКС.

Таким образом, предлагаемый подход в неин-вазивной кардиодиагностике, который основан на оценке энтропии выборки сортированного ряда распределения результатов, полученных во время мониторинга за один цикл работы сердца, расширяет функциональные возможности классического анализа ЭКС и не требует значительных временных затрат, использования сложного оборудования и дополнительных материальных средств.

Литература

1. Федотов А. А., Акулов С. А. Измерительные преобразователи биомедицинских сигналов систем клинического мониторинга. М.: Радио и связь, 2013. 248 с.

2. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Ижевск: РХД, 2001. 160 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 800 с.

4. Рубин А. Б. Термодинамика биологических процессов / Сорсовский образовательный журнал. 1998. № 10. С. 77— 83.

5. Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. М.: Наука, 1986. 192 с.

6. Hartley R. V. L. Transmission of information // Bell. Syst. Tech. Jurn. 1928. N 7. P. 535-563.

7. Shannon C. E. A mathematical theory of communication. Bell Syst. Tech. J. 1948. N 27. P. 379-423.

8. Статистические методы построения фазовой траектории электрокардиосигнала / В. Г. Полосин, О. Н. Бодин, С. А. Балахонова, Р. В. Рябчиков // Фундаментальные исследования. 2014. № 9. Ч. 12. С. 2660-2665.