CC BY
21
УДК 007.52
DOI 10.21685/2072-3059-2018-4-7
Д. Е. Чикрин, А. А. Егорчев, С. В. Голоусов, П. А. Савинков, Д. Н. Тумаков
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕФЛЕКСИВНЫХ ГРАФОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ
ПУТИ И ТАКТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РОБОТИЗИРОВАННОЙ КОЛЕСНОЙ ПЛАТФОРМОЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассмотрена задача упрощенного автопилота - разработка системы управления, решающей задачи планирования пути и тактического (в реальном времени) управления колесной платформой при решении класса целевых задач по проезду заданного в виде ключевых точек маршрута.
Материалы и методы. Планирование пути и принятие решений по тактическому управлению осуществляются на базе динамического рефлексивного графа, формируемого с использованием триангуляции Делоне по объектам дорожной сцены с дальнейшей их трансляцией диаграммой Вороного.
Результаты. Сформированы граничные условия для тестовой площадки, имитирующей условия заводской территории/автостоянки. Определены критерии безопасности выполнения маневров в условиях существования как статических, так и подвижных объектов в рамках анализируемой дорожной сцены.
Выводы. Проведенный ряд модельных экспериментов для тестовых площадок различной конфигурации показал эффективность предложенного подхода.
Ключевые слова: автопилот, система управления, динамический граф, колесная платформа, триангуляция Делоне, диаграмма Вороного.
D. E. Chikrin, A. A. Egorchev, S. V. Golousov, P. A. Savinkov, D. N. Tumakov
USAGE OF DYNAMIC REFLEXIVE GRAPHS IN PATH PLANNING AND TACTICAL CONTROL OF A ROBOTIC WHEEL PLATFORM
Abstract.
Background. This paper considers a simplified autopilot problem - the development of a control system that solves the problems of path planning and tactical (real time) wheel platform control when solving a class of target tasks for driving a route specified as key points.
Materials and methods. Path planning and decision making of the presented strategy are based regarding tactical control on a dynamic reflexive graph, formed by Delaunay triangulation of road scene objects with its further translation by Voro-noi diagram.
© Чикрин Д. Е., Егорчев А. А., Голоусов С. В., Савинков П. А., Тумаков Д. Н., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons. org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Results. Boundary conditions of the testing area, imitating conditions of a manufacturing plant/parking lot are shown. Safety criteria of performing maneuvers with both static and dynamic obstacles at the analyzed road scene are determined.
Conclusions. Series of model experiments for different test sites were made, showing effectiveness of proposed method.
Keywords: autopilot, control system, dynamic graph, wheel platform, Delaunay triangulation, Voronoi diagram.
Введение
На сегодня одно из самых актуальных и быстроразвивающихся направлений автоматизации - это автопилот для наземных транспортных средств (ТС). Важно разделять применяемые методы построения автопилотов при жестко заданных граничных условиях, например, при специализированном применении на закрытых заводских территориях и применении в условиях движения в городе автопилот будет концептуально отличаться в силу разных наборов сенсорики, дорожной обстановки, а также назначения транспортного средства.
Рассматривая существующие системы автопилотирования для наземных транспортных средств, в первую очередь стоит отметить область применения и основные цели использования данной системы. Первые наработки (разрабатывались еще c начала 1960-х гг. такими компаниями, как GM, MEL, Mercedes-Benz) были направлены на создание автономного ТС для повышения безопасности движения по высокоскоростным шоссе [1], включали в себя функции движения по полосе, смены полосы, а также следование за автомобилем. Говоря о современных разработках, стоит отметить значительный прогресс систем автопилотирования непосредственно в городской среде. Одним из наиболее значимых проектов является «Waymo», который направлен на снижение дорожно-транспортных происшествий, а также повышение безопасности непосредственно самого транспортного средства во время движения [2]. В настоящей работе уделяется внимание решению задач автопилотирования для внутризаводских территорий, подземных и закрытых площадок. Существует множество примеров автоматизированных ТС для решения подобных задач, в частности, для подземных территорий [3], портов [4], ферм [5] и т.д. Одним из минусов представленных решений является то, что данные транспортные средства движутся по заранее известному маршруту и не решают задач планирования и построения пути в соответствии с присутствующими статическими объектами.
Основные отличительные признаки представленного метода связаны с решением задач построения пути для осуществления логистических перевозок индустриальных парков открытой местности с различными сценариями использования.
Задача планирования движения заключается в нахождении траектории динамической системы при заданных граничных условиях и ограничениях. Более детальное планирование движения должно учитывать динамические уравнения системы, но иногда достаточно использовать лишь кинематическое описание системы для построения движения [6]. Более того, иногда динамическое состояние системы может быть получено лишь в процессе самого движения. Таким образом, методы построения движения можно разделить на
явные, в том случае когда движение может быть спланировано до начала движения, и неявные, в том случае, когда некоторые элементы состояния системы могут быть посчитаны непосредственно в движении.
Неявные методы построения движения, как правило, используют обратную связь. В простейшем случае вычисляется разница между текущим состоянием системы и желаемым состоянием и затем используется для движения системы в сторону уменьшения этой разности. Существует множество разновидностей подобных методов. Одним из наиболее эффективных является метод потенциалов [7].
Альтернатива неявным методам - явные методы, для работы которых необходимо знать полную конфигурацию пространства до начала движения. Как правило, такие методы используют только кинематику движения системы [8].
Для решения задачи построения траектории по заранее известной карте на сегодня используются такие методы, как Visibility Graph [9] (граф видимости), roadmap (дорожная карта), cell decomposition, диаграмма Вороного [10].
Граф видимости позволяет строить оптимальные маршруты между любыми точками карты благодаря предварительному расчету траекторий между угловыми точками препятствий [11]. Особенность использования графа видимости заключается в том, что полученные траектории проходят в непосредственной близости от препятствий, что не всегда бывает безопасно. Проблема может быть решена виртуальным «раздуванием» препятствий для создания безопасной зоны вокруг них [9].
Используемая в данной работе диаграмма Вороного представляет собой карту путей максимально удаленных от границ препятствий. В некоторых случаях применяют полноценную диаграмму Вороного [12], однако для уменьшения вычислений этот метод нередко упрощают, совмещая с другими методами планирования траекторий [13].
1. Постановка задачи
Представленная модель будет предназначена для решения задач внутризаводских перевозок, что, в свою очередь, накладывает некоторые граничные условия и ограничения целевой площадки. Характерными чертами такой территории являются низкоскоростной режим движения, ограниченная площадь территории, наличие статических объектов в виде зданий, корпусов, цехов, а также наличие пешеходных зон. Таким образом, данная территория описывается двумерной картой местности с указанием допустимых и запрещенных мест для проезда (рис. 1). Карта представляет собой план индустриального парка с введенными статическими объектами в виде глобальных координат их границ. Для повышения безопасности объезда статических препятствий вводится дополнительная буферная зона, размеры которой должны быть установлены согласно прилегающей территории и габаритам транспортного средства.
Основные целевые задачи автопилота заключаются в том, чтобы обеспечить безопасный проезд от одной контрольной точки к другой. В контрольных точках подразумевается остановка транспортного средства с целью погрузки/разгрузки ТС либо окончания маршрута. На протяжении всего
маршрута транспортное средство должно соблюдать определенные меры безопасности:
- скоростной режим, установленный на территории;
- правила дорожного движения;
- безопасное прохождение всего маршрута с точки зрения устойчивости ТС на дорожной сцене;
- применение аварийной остановки в случае возникновения нештатных ситуаций.
Рис. 1. Пример отображения карты местности со статическими объектами и буферной зоной
Помимо указанных на карте статических объектов, во время движения транспортного средства могут возникать непредвиденные, заранее неизвестные ситуации, заключающиеся в появлении динамических объектов, таких как пешеходы, автомобили и др. В связи с этим должны быть введены требования по адаптации решения по расчету маршрута в зависимости от расстояния до данных объектов.
2. Система управления упрощенного автопилота
Для осуществления планирования пути транспортного средства большинством авторов традиционно используется теория графов. В основном в качестве вершин графа выбираются промежуточные точки, которые транспортное средство должно достигнуть, в качестве ребер - траектории маршрута ТС [14-16]. В данной работе для нахождения вершин графа используется триангуляция Делоне, которая позволяет найти «кандидаты» промежуточных точек, наиболее удаленные от препятствий. Метод триангуляции Делоне состоит в разбиении множества точек на тройки такие, что окружность, проведенная через эти точки, не содержит других точек. Особенность применения метода триангуляции в данной работе состоит в том, что в качестве множества точек берутся крайние точки препятствий и границы карты. На следующем шаге к полученной триангуляции берется двойственная диаграмма Во-
роного, центры которой являются множеством промежуточных точек предполагаемого маршрута. Стоит отметить, что данные центры будут наиболее удалены от статических препятствий.
Как было сказано ранее, карта местности представляется в виде крайних точек статических объектов и границ карты. Дискретность описания границ полностью отражается на количестве вершин графа. Чем большим количеством точек описываются объекты, тем больше вершин в графе (рис. 2). Каждая вершина будет иметь свою координату на локальной карте. При задании целевых действий транспортному средству подразумевается, что имеются начальная (позиция ТС) и конечная (контрольная) точки, которые добавляются к существующему списку вершин графа.
Рис. 2. Локальная карта местности с различным количеством вершин графа
Ребрами соединяются те и только те вершины, которые являются наблюдаемыми друг из друга. В качестве весов этих ребер берутся расстояния между вершинами графа. Представленный граф является рефлексивным ввиду того, что каждая из вершин графа передает информацию по скорости и углу поворота колес транспортному средству.
Для построения маршрута транспортного средства из одной точки в другую на основании полученного графа применяется алгоритм поиска пути Дейкстры, который обеспечивает оптимальный с точки зрения расстояния маршрут (рис. 3).
Согласно условиям эксплуатации разрабатываемого автопилота была выбрана кинематическая модель транспортного средства. Существует множество типов представления колесных платформ транспортных средств, которые можно разделить на две основные составляющие:
1) модель для описания движения ТС в высокоскоростном режиме (полная);
2) модель для низкоскоростного эксплуатирования (упрощенная).
Полные модели, как правило, используются для обеспечения устойчивого движения ТС в особо сложных условиях эксплуатации (высокая скорость, плохие дорожные условия) [17] с учетом различных нелинейных характеристик ТС. В данной статье представлена упрощенная модель в условиях низкоскоростного режима движения, построенная согласно существую-
щим требованиям внутризаводских перевозок (рис. 4). Подобные аналоги были использованы при моделировании ТС в [8, 18], где основными характеристиками являлись направление ТС (у), скорость (и), угол поворота рулевого колеса (5), радиус поворота (Л), база автомобиля (Ь), передняя и задняя колея (//, 1Г соответственно).
Рис. 3. Построение оптимального маршрута алгоритмом Дейкстры: А - начальная точка; В - конечная точка
Для решения поставленной задачи был разработан алгоритм работы системы управления автопилотом. Как видно из структурной схемы, представленной на рис. 5, алгоритм обеспечивает работу системы вплоть до достижения пункта назначения (контрольной точки). В самом начале каждой итерации цикла производится сбор данных о местоположении ТС, чтобы обозначить положение ТС на локальной карте. Также используется анализ текущей обстановки вокруг ТС с помощью системы сенсорики. Все обнаруженные объекты вносятся на карту. Стоит отметить, что объекты вносятся на карту с соответствующей буферной зоной (дополнительное увеличение пространства вокруг объекта с целью повышения безопасности маневра огибания ТС). Далее, если граф не построен, применяется алгоритм построения графа и траектории движения ТС, производится проверка наличия динамических объектов на пути ТС. Если объект находится на траектории движения ТС, то проверяется следующее условие:
1) если расстояние до объекта позволяет перестроить траекторию и объехать объект, то происходит сброс траектории;
2) если расстояние до объекта критическое, то ТС останавливается.
3. Модельные эксперименты
Для верификации и оптимизации системы автопилотирования были проведены соответствующие испытания.
Представленные испытания воспроизводились на роботизированной колесной малогабаритной платформе (МГП), которая является масштабируемой копией грузового транспортного средства (в том числе по количеству осей и расположению привода). Параметры МГП (рис. 6):
- колесная база 1,52 м;
- привод задний (количество осей - 2);
- маркировка шин Я12 235/30;
- передняя и задняя колея 1 м;
- масса без снаряжения (сухая) 150 кг.
Для достоверной работы системы пилотирования выбранные тесты должны включать:
1) проезд по нескольким контрольным точкам с преодолением статических препятствий;
2) выполнение целевого маршрута с заранее неизвестными динамическими препятствиями;
3) совмещение выполнения маршрута огибания статических препятствий и наличие на пути динамических объектов.
Дополняя вышеперечисленные требования к испытанию автопилота, стоит отметить, что для достоверной оценки работы системы желательно использовать вариацию площадок для тестирования (полигон).
В данной статье приведены результаты испытаний представленного автопилота на двух различных площадках. Первая площадка представляет собой полигон размером 35 х 50 м, вторая площадка прямоугольного типа с соответствующими размерами 90 х 120 м.
На рис. 7 представлен результат проезда по трем контрольным точкам на первой целевой площадке с огибанием двух статичных препятствий. Как видно из рисунка, транспортное средство относительно точно следовало построенному маршруту, останавливаясь в контрольных точках.
Рис. 5. Мастер-цикл системы управления автопилотом
Рис. 6. Роботизированная малогабаритная платформа
Рис. 7. Проезд по трем контрольным точкам с огибанием статических препятствий
На рис. 8 отображен проезд автоматизированного транспортного средства в контрольную точку с выходом на пути заранее неизвестного динамического препятствия в виде человека на первой целевой площадке. Соответственно, как было указано в алгоритме управления системы, динамический объект был обнаружен заблаговременно, что позволяло ТС перестроить маршрут, безопасно огибая данное препятствие.
O obstacles • initial optimal path • resolved optimal path —a— vehicle coordinates O initial point O destination point -direction of motion ooooooooooooooooooooo оooooooooooooOOOOOOООО OOOOO оооооооооооооооо OOOO ooooooooooooooo ЗООО oooooooooooooo ЗОО ooooooooooooo )0 ooooooooooo )0 oooooooooo 3 ooooooooo ^ ooooooo
OOOO OOOO OOOO OOOOO jro ooc W: OOOC oooc ooooooo ooooooo oooooooo ooooooo о
OOOO OOOO , oooo € OOOO -OOOOO oooooo oooooo OOOOO OOOOO 3 ooooooo ooooooo ooooooo oooooo
)0 >00 )DOO 3DOOD OOOOi -o&, oooooot ooooooo ooooooo ooooooo
1- ooc Of с oooooo oooooo ooooooo 3 ooooooo SQQQQQQQ-■- - -
10 15 20 25 30 35 40 45
X, гл
Рис. 8. Проезд в контрольную точку с обнаружением динамического объекта
На рис. 9 показан итоговый маршрут автопилота на второй площадке с наличием на карте соответствующих статических и динамических препятствий.
Рис. 9. Проезд по контрольным точкам с наличием динамических препятствий
Заключение
В данной работе представлен метод решения задачи построения пути для автопилотирования транспортного средства. С учетом анализа особенностей целевой площадки сформированы критерии безопасности поведения транспортного средства на внутризаводской территории. Представлен алгоритм системы управления, который будет более детально описан в последующих работах авторов. Отличительной особенностью исследования является то, что планирование маршрута и принятие решений по управлению транспортным средством осуществляются на базе динамического рефлексивного графа, который формируется посредством триангуляции Делоне по объектам дорожной сцены с дальнейшей их трансляцией диаграммой Вороного. Проведены соответствующие модельные эксперименты на двух различных площадках, которые показали достоверность и эффективность работы предложенного метода.
Библиографический список
1. Ozguner, U. Autonomous ground vehicles / U. Ozguner. - Massachusetts : Artech House, 2011. - 280 p.
2. Litman, T. Autonomous Vehicle Implementation Predictions / T. Litman // Implications for Transport Planning. - 2018. - P. 32
3. Ridley, P. Autonomous Control of an Underground Mining Vehicle / P. Ridley, P. Corke // Aust. Conf. Robot. Autom. - United States : Piscataway, NJ: IEEE Service Center, 2001. - P. 26-31.
4. Pradalier, C. Vision-based operations of a large industrial vehicle: Autonomous hot metal carrier / C. Pradalier, A. Tews, J. Roberts // J. F. Robot. - 2008. - Vol. 25, № 4-5. - P. 243-267.
5. Automatic steering of farm vehicles using GPS / T. Bell, G. Elkaim, D. B. Parkinson, M. O'Connor, T. Bell, G. Elkaim, B. Parkinson // Precis. Agric. - 1996. - № preci-sionAgricu 3. - P. 767-777.
6. Eindhoven, T. U. Obstacle Avoidance for Wheeled Mobile Robotic Systems (Literature Exploration) / T. U. Eindhoven // Neural Networks. - 2003. - P. 10.
7. Shin, W. Line Segment Selection Method for Fast Path Planning / W. Shin, J. Shin, B. Kim, K. Jeong // International Journal of Control, Automation and Systems. -2017. - Vol. 15, № 3. - P. 1322-1331.
8. Ailon, A. On controllability and trajectory tracking of a kinematic vehicle model / A. Ailon, N. Berman, S. Arogeti // Automatica. - 2005. - Vol. 41, № 5. - P. 889-896.
9. Huang, Han-Pang Dynamic visibility graph for path planning / Han-Pang Huang, Shu-Yun Chung // 2004 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) (IEEE Cat. No.04CH37566). - 2004. - Vol. 3. - P. 2813-2818.
10. Magid, E. Voronoi-based trajectory optimization for UGV path planning / E. Magid, R. Lavrenov, I. Afanasyev // International Conference on Mechanical, System and Control Engineering (ICMSC). - 2017. - № 1. - P. 383-387.
11. Rohnert, H. Shortest paths in the plane with convex polygonal obstacles / H. Roh-nert // Inf. Process. Lett. - 1986. - Vol. 23, № 2. - P. 71-76.
12. Choset, H. Sensor-Based Exploration: The Hierarchical Generalized Voronoi Graph / H. Choset, J. Burdick // Int. J. Rob. Res. - 2000. - Vol. 19, № 2. - P. 96-125.
13. Lopez Garcia, D. A. Vodec: A fast Voronoi algorithm for car-like robot path planning in dynamic scenarios / D. A. Lopez Garcia, F. Gomez-Bravo // Robotica. -2012. - Vol. 30, № 7. - P. 1189-1201.
14. Data association for mobile robot navigation: a graph theoretic approach / T. Bailey, E. M. Nebot, J. K. Rosenblatt, H. F. Durrant-Whyte // Proceedings 2000 ICRA. Millennium Conference. IEEE International Conference on Robotics and Automation. Sympo-
sia Proceedings (Cat. No. 00CH37065) / ed. D. A. Lopez Garcia and F. Gomez-Bravo. -Sydney, Australia, 2000. - Vol. 3. - P. 2512-2517.
15. Tan, G. Global optimal path planning for mobile robot based on improved Dijkstra algorithm and ant system algorithm / G. Tan, H. He, S. Aaron // J. Cent. South Univ. Technol. - 2006. - Vol. 13, № 1. - P. 80-86.
16. Geiger, A. Probabilistic models for 3D urban scene understanding from movable platforms / A. Geiger // Probabilistic Model. 3D Urban Scene Underst. from Movable Platforms. - 2013. - April. - P. 1-162.
17. Smith, D. E. Effects of Model Complexity on the Performance of Automated Vehicle Steering Controllers: Model Development, Validation and Comparison / D. E. Smith, J. M. Starkey // Veh. Syst. Dyn. - 1995. - Vol. 24, № 2. - P. 163-181.
18. Pepy, R. Path Planning using a Dynamic Vehicle Model / R. Pepy, A. Lambert, H. Mounier // 2nd International Conference on Information & Communication Technologies. - 2006. - Vol. 1, № 1. - P. 781-786.
References
1. Özgüner U. Autonomous ground vehicles. Massachusetts: Artech House, 2011, 280 p.
2. Litman T. Implications for Transport Planning. 2018, p. 32
3. Ridley P., Corke P. Aust. Conf. Robot. Autom. United States: Piscataway, New Jersey: IEEE Service Center, 2001, pp. 26-31.
4. Pradalier C., Tews A., Roberts J. J. F. Robot. 2008, vol. 25, no. 4-5, pp. 243-267.
5. Bell T., Elkaim G., Parkinson D. B., O'Connor M., Bell T., Elkaim G., Parkinson B. Precis. Agric. 1996, no. precision Agricu 3, pp. 767-777.
6. Eindhoven T. U. Neural Networks. 2003, p. 10.
7. Shin W., Shin J., Kim B., Jeong K. International Journal of Control, Automation and Systems. 2017, vol. 15, no. 3, pp. 1322-1331.
8. Ailon A., Berman N., Arogeti S. Automatica. 2005, vol. 41, no. 5, pp. 889-896.
9. Huang Han-Pang, Chung Shu-Yun 2004IEEE/RSJInternational Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) (IEEE Cat. No.04CH37566). 2004, vol. 3, pp. 28132818.
10. Magid E., Lavrenov R., Afanasyev I. 2017 International Conference on Mechanical, System and Control Engineering (ICMSC). 2017, no. 1, pp. 383-387.
11. Rohnert H. Inf. Process. Lett. 1986, vol. 23, no. 2, pp. 71-76.
12. Choset H., Burdick J. Int. J. Rob. Res. 2000, vol. 19, no. 2, pp. 96-125.
13. Lopez Garcia, D. A., Gomez-Bravo F. Robotica. 2012, vol. 30, no. 7, pp. 1189-1201.
14. Bailey T., Nebot E. M., Rosenblatt J. K., Durrant-Whyte H. F. Proceedings 2000 ICRA. Millen-nium Conference. IEEE International Conference on Robotics and Automation. Symposia Proceedings (Cat. No. 00CH37065). Sydney, Australia, 2000, vol. 3, pp. 2512-2517.
15. Tan G., He H., Aaron S. J. Cent. South Univ. Technol. 2006, vol. 13, no. 1, pp. 80-86.
16. Geiger A. Probabilistic Model. 3D Urban Scene Underst. from Movable Platforms. 2013, April, pp. 1-162.
17. Smith D. E., Starkey J. M. Veh. Syst. Dyn. 1995, vol. 24, no. 2, pp. 163-181.
18. Pepy R., Lambert A., Mounier H. 2006 2nd International Conference on Information & Communication Technologies. 2006, vol. 1, no. 1, pp. 781-786.
Чикрин Дмитрий Евгеньевич
кандидат технических наук, доцент, кафедра радиофизики, Казанский федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
E-mail: Dmitry.kfu@gmail.com
Chikrin Dmitriy Evgen'evich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of radiophysics, Kazan Federal University (18 Kremlyovskaya street, Kazan, Russia)
Егорчев Антон Александрович младший научный сотрудник, Институт физики, Казанский федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
E-mail: eanton090@gmail.com
Egorchev Anton Aleksandrovich Research assistant, Institute of Physics, Kazan Federal University (18 Kremlyovskaya street, Kazan, Russia)
Голоусов Святослав Владимирович
младший научный сотрудник, Институт физики, Казанский федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
E-mail: sgolousov@gmail.com
Golousov Svyatoslav Vladimirovich
Research assistant, Institute of Physics,
Kazan Federal University
(18 Kremlyovskaya street, Kazan, Russia)
Савинков Павел Андреевич младший научный сотрудник, Институт физики, Казанский федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
E-mail: savinkov001@mail.ru
Savinkov Pavel Andreevich
Research assistant, Institute of Physics,
Kazan Federal University
(18 Kremlyovskaya street, Kazan, Russia)
Тумаков Дмитрий Николаевич
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Казанский федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
E-mail: dtumakov@kpfu.ru
Tumakov Dmitriy Nikolaevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics, Kazan Federal University (18 Kremlyovskaya street, Kazan, Russia)
УДК 007.52
Использование динамических рефлексивных графов при решении задач планирования пути и тактического управления роботизированной колесной платформой / Д. Е. Чикрин, А. А. Егорчев, С. В. Голоусов, П. А. Савинков, Д. Н. Тумаков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2018. - № 4 (48). - С. 75-87. - Б01 10.21685/2072-3059-2018-4-7.
