Использование динамических эластичных форм для аппроксимации структур на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2(19). — С. 269—274

Математическое моделирование

УДК 517.938

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛАСТИЧНЫХ ФОРМ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ СТРУКТУР НА ПЛОСКОСТИ

С. А. Колпащиков, А. С. Рязанов, А. А. Юдашкин

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: a.y@gmx.ru

Предложено решение проблемы динамической аппроксимации заданной структуры с помощью эластичной модели произвольной размерности на плоскости. Модель построена с помощью потенциальной системы, совмещающей свойства «эластичной петли» и самоорганизующейся формы с памятью состояния. Показано, что созданная модель самостоятельно субоптимальным образом описывает заданную структуру, при этом по возможности сохраняя свою форму, близкую к начальной или некоторой желаемой.

Ключевые слова: нелинейная динамика, аппроксимация структур, комбинаторная оптимизация, самоорганизация, динамическая память.

Введение. Проблема аппроксимации структур при помощи заданных шаблонов является одной из ключевых и одновременно самых сложных в таких областях науки и техники, как распознавание образов в компьютерном зрении, проектирование конструкций, разработка шаблонов деталей и механизмов в машиностроении [1], создание новых материалов [2], транспортная логистика и коммуникации, робототехника. Часто задача ставится следующим образом: задана фиксированная структура, состоящая из конечного числа точек. Необходимо либо разместить другие известные структуры в недеформированном виде так, чтобы они наилучшим образом покрывали заданную, либо разместить их с некоторой степенью деформации, в основном сохраняющей свойства, чтобы наилучшим образом покрыть заданную. И в том, и в другом случаях применимы различные подходы, включая статистические методы и методы комбинаторной оптимизации, однако сложность задачи может быть охарактеризована как NP-полная и единственным способом ее точного решения является прямой перебор [3]. Частным случаем такой проблемы является раскраска графа или разбиение графа на треугольники. При подходе, связанном с деформацией аппроксимирующей структуры, задача переходит из чисто комбинаторной в топологическую, что, с одной стороны, даёт больший простор для применения численных методов, но с другой — приводит к появлению дополнительных степеней свободы, что сказывается на точности. Одним из подобных методов является субоптимальное решение задачи коммивояжера с помощью «эластичной петли», предложенный в работе [4], где основной идеей был отказ от перебора и замена его динамической моделью достаточно большого набора точек, стягивающегося к городам под действием сил упругости. Такая модель обеспечивала быстрое решение задачи, достигая одного из возможных состояний с длиной пути, близкой к минималь-

Сергей Александрович Колпащиков (к.т.н), доцент, каф. автоматики и управления в технических системах. Александр Сергеевич Рязанов, аспирант, каф. автоматики и управления в технических системах. Александр Анатольевич Юдашкин (д.т.н), профессор, каф. автоматики и управления в технических системах.

ной. Однако в данной работе не существовало ограничений на удержание исходной формы петли, вследствие чего метод эластичной петли не может быть использован без изменения для задач аппроксимации одной структуры другими. В последнее время появился ряд работ, посвященных рассмотрению математических подходов к моделированию систем с памятью состояний, обладающих механизмом самостоятельного формирования структур, в частности, в задачах распознавания образов [5-7]. Распознаванием является самостоятельный переход к некоторой запомненной конфигурации данной системы без целевого воздействия извне.

В данной работе ставится задача синтеза модели для аппроксимации структуры на плоскости с помощью другой заданной структуры так, чтобы аппроксимирующая структура самостоятельно наилучшим образом описывала бы заданную, при этом по возможности сохраняя свою форму, близкую к начальной (или некоторой заданной). Такая постановка приводит к смешанной задаче. С одной стороны, результат работы системы зависит от начального состояния, что является необходимым условием системы с ассоциативной памятью. С другой стороны, система осуществляет переход в некоторое конечное состояние, связанное с другой неизменной системой, что происходит в задачах комбинаторной оптимизации. Модель строится на основе нелинейной динамической системы как совмещающая свойства «эластичной петли» и самоорганизующейся системы с памятью состояния.

Математическая модель. Пусть на плоскости разбросаны N точек, координаты которых заданы радиус-векторами Е*, а также М точек, заданных радиус-векторами г2. Далее будем называть системы точек контурами. Первый контур неподвижен и его точки играют роль аттракторов для точек второго контура, динамику которых мы будем описывать ниже. Таким образом, точки подвижного контура перемещаются под влиянием притяжения точек первого контура, сохраняя при этом форму, то есть взаимное расположение точек внутри подвижного контура. В качестве потенциала динамической системы возьмем функцию полной упругой энергии:

Е = аЕ\ + в^2,

(1)

где Е\ — энергия взаимодействия с неподвижным контуром, Е2 — энергия взаимодействия точек подвижного контура между собой для сохранения формы, а константы а и в определяют относительный вклад каждого из слагаемых в общий потенциал.

В качестве Е\ удобно использовать следующее выражение [4]:

которое при £ ^ 0 не будет неограниченно возрастать только в том случае, если для каждой точки Е* найдется хотя бы одна г^, удовлетворяющая условию |Е — г^ | ^ 0. Таким образом, Е\ можно понимать как суммарную силу взаимодействия каждой точки неподвижного контура с каждой точкой подвижного.

В упомянутой работе [4] слагаемое Е2 минимизирует расстояние между соседними точками контура, тем самым сжимая «петлю». В нашей же задаче оно должно модифицировать контур с помощью одних лишь аффинных преобразований. Поэтому введём Е2 как инвариант относительно преобразований на плоскости, определенный на множестве точек Евклидова пространства, центрированных относительно начала

координат. Для этого используем оператор [7]

н=м

N - 1 -1

-1 N - 1

-1 -1

-1

-1

N - 1

Согласно [7], Е2 определяется выражением

Е2 = г (1 - Н) г,

(3)

иО и имеет смысл систем-

где матрица 1 строится по правилу Хебба: =

ной памяти. Вектор V есть комплексное представление вектора Нг, а вектор и — комплексно-сопряженный вектору V, и образующий с ним ортонормированный базис. То есть имеет место равенство и • V = 0.

Динамика системы описывается следующим уравнением, минимизирующим потенциал (1):

N / М \

О = Кп (Ді - г о) + веул икгк - 1

(4)

\к=1

где

Ко =

ср(Еі - г з)

в трактовке Дурбина и Уилшоу играет роль связи между ¿-той вершиной неподвижного контура и ^’-той вершиной подвижного. Здесь = ехр(—¿2/2е2).

Стоит заметить, что в ходе данной процедуры осуществляется переход от пространства размерности N к пространству размерности М. Таким образом, в случае М < N мы редуцируем предъявленную структуру к меньшей размерности.

Численные расчёты. В выражении (4) присутствуют два слагаемых, которые, с одной стороны, деформируют структуру под действием внешних аттракторов, а с другой стороны, пытаются её сохранить. От соотношения в/а зависит то, насколько сохранится форма, то есть оно имеет смысл жёсткости внутренних связей. В качестве примера рассмотрим две простые геометрические конфигурации и динамику системы при различных значениях жёсткости внутренних связей. Уравнение (4) решалось методом конечных приращений. Для расчётов использовался математический пакет Ма'ЪЬаЬ 2006. Расчёт проводился с шагом итерации Н = 0,01, система уравнений достаточно быстро сходится к устойчивому состоянию. На рисунках представлены положения системы на различных шагах итерационного процесса решения, к обозначает номер итерации.

Система точек неподвижного контура образует правильный восьмиугольник, а система из шести точек должна занять некое оптимальное положение по отношению к неподвижному контуру. При больших жёсткостях внутренних связей (рис. 1) деформации фигуры практически не происходит, и она занимает некоторое устойчивое положение лишь за счёт операций сдвига, поворота и масштабирования. При малых жёсткостях (рис. 2.) конфигурация претерпевает изменение и лучше «вписывается» в восьмиугольник.

В качестве примера, наглядно иллюстрирующего основную идею подхода, приведено моделирование процесса аппроксимации традиционного художественного изображения созвездия Большой Медведицы с помощью формы, состоящей из семи реально наблюдаемых звёзд, что показано на рис. 3. Исходная статическая структура задана точками, лежащими на контуре художественного изображения созвездия.

р-----------оч

' ' о-------------°ч ' /

* Р~ \ \ * / \ ч ' , I \

9 / » ? ? / ' ° 9' • °

I У » 1 I <1, \ I . с? | I

° ! ! ' > ! !! 1 !

а ' „о а \ / р а' ,'°,о

^ У Ч-—

"О--------О Х)-----------О "О--------о

к = 1 к = 12 к = 28

Рис. 1. Аппроксимация восьмиугольника с помощью эластичного шестиугольника при в/а = 20

Л----------оч р---------оч ^__-оч

'' -о'ч °---------С?ч +* ""'■'Ч.

' Р-- I N " ' \\ * К

7 / » ° 7 ✓ \ ? 9 'О

• л ‘ 1 Я \ •' '

■ \ ° | \ л |' '

I ' 1 I . 1 I ' '■

а \ ' .о а \ / о а \ о

N ' _ _ -С7 ' N ' ' ' Ч\

Ч ✓ ^------ч/ ✓ ^

"о---------о' Х>---------о' "О- - --'’СГ

к = 1 к = 12 к = 28 Рис. 2. Аппроксимация восьмиугольника с помощью эластичного шестиугольника при в/а = 1

Общее число этих точек N = 18. Предполагается, что указанная структура может быть хорошо аппроксимирована формой из М = 7 звёзд, известной из астрономических наблюдений. Эта форма описывается эластичной моделью, введённой в данной статье. Как видно из рис. 3, после первоначально произвольного размещения на плоскости формы из семи звезд, она с течением времени принимает положение внутри контура иллюстрации созвездия, известное из астрономических атласов.

Заключение. В работе предложен подход к синтезу динамической системы для решения задачи аппроксимации структуры, представимой набором точек на плоскости — контуром, другой аналогичной структурой. Динамика системы определяется потенциалом, описывающим притяжение неподвижным контуром точек второго контура и поддержание формы подвижного контура системой с памятью состояний. Введено понятие жесткости внутренних связей, что делает предложенную модель настраиваемой. В дальнейшем предполагается, что система сама должна выбирать функцию жёсткости внутренних связей. В этом случае она полностью будет соответствовать понятию самоорганизующейся интеллектуальной системы.

Предложенная динамическая система обладает заданными характеристиками, в условиях ограниченной размерности. Такой подход позволяет редуцировать большие системы к более мелким неким субоптимальным способом.

Стоит отметить, что выбранный детерминированный алгоритм эквивалентен методу наискорейшего спуска при поиске минимума функции большого числа переменных. Это означает, что система принимает первое же свое стационарное состояние, которое далеко не всегда соответствует глобальному минимуму целевой функции, однако обеспечивает достаточно хорошее решение для МР-задач.

Рис. 3. Динамика системы М = 7 звёзд, аппроксимирующей художественное изображение созвездия Большой Медведицы (Ж = 18)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Forbes A. Surface fitting taking into account uncertainty structure in coordinate data// Meas. Sci. Technol., 2006. — Vol. 17. — P. 553-558.

2. Lasker K., Topf M., Sali A., Wolfson H. J. Inferential optimization for simultaneous fitting of multiple components into a CryoEM map of their assembly.// J. Mol. Biol., 2009. — Vol. 388, No. 1. — P. 180-194.

3. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. — М.: Мир, 1982. — 416 с.

4. Durbin R., Willshaw D. J. An analogue approach to the traveling salesman problem using an elastic net method // Nature, 1987. — Vol. 326. — P. 689-691.

5. Saitou K., Jakiela M. J. On Classes of One-dimensional Self-assembling Automata// Complex Systems, 1998. — Vol. 10, No. 6. — P. 391-416.

6. Юдашкин А. А. Синтез самоорганизующихся систем, запоминающих и восстанавливающих несколько собственных конфигураций в трехмерном пространстве // Мехатроника, автоматизация и управление, 2005. — №1. — C. 7-11.

7. Юдашкин А. А. О подходе к построению трансформирующихся систем с несколькими устойчивыми состояниями / В сб.: Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. — №1. — Самара, 2002. — C. 64-68.

Поступила в редакцию 04/IX/2009; в окончательном варианте — 02/XI/2009.

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2(19). — С. 274—277

MSC: 37M05

IMPLEMENTATION OF DYNAMIC ELASTIC FORMS FOR PLAIN STRUCTURES APPROXIMATION

S. A. Kolpashchikov, A. S. Ryazanov, A. A. Yudashkin

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

E-mail: a.y@gmx.ru

A solution for the problem of a given structure approximation by an arbitrary dimensional elastic model in a plane is proposed. The model is developed, on the basis of a potential system with characteristics of elastic loop and self-organizing form with the state memory. It is demonstrated that the proposed model is able to fit the given structure as the self-assembling sub-optimal solution, preserving its form close to its initial or desired construction.

Key words: nonlinear dynamics, structure approximation, combinatorial optimization, self-organization, dynamic memory.

Original article submitted 04/IX/2009; revision submitted 02/XI/2009.

Sergey A. Kolpashchikov (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor, Dept. Automation & Control in Technical Systems. Alexander S. Ryazanov, Postgraduate Student, Dept. Automation & Control in Technical Systems. , Dept. Automation and Control in Technical Systems. Alexander A. Yudashkin (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept. Automation & Control in Technical Systems.

УДК 517.958:[536.2+539.219.3]

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Б. В. Аверин

Сызранский филиал Самарского государственного технического университета,

446001, Самарская обл., Сызрань, ул. Советская, 45.

E-mail: totig@yandex.ru

Получено замкнутое общее аналитическое решение нестационарной теплопроводности в многослойных стенках плоской, цилиндрической и сферической формы с внутренними источниками теплоты.

Ключевые слова: аналитические решения, многослойные конструкции, внутренние источники теплоты.

В качестве расчётной схемы рассмотрим многослойную плоскую стенку, представленную на рисунке и состоящую из n разнородных слоёв с постоянными в пределах каждого слоя теплофизическими характеристиками. Представим теплофизиче-

Борис Викторович Аверин (к.т.н.), доцент, каф. общетеоретических дисциплин. 274