CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 46
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 532.529.5
Использование частиц-представителей при прямом численном моделировании обтекания преграды запыленным потоком
В.В. Винников, Д.Л. Ревизников, А.В. Способин
Аннотация
Представлена модификация алгоритма прямого численного моделирования динамики дисперсной примеси в гетерогенных потоках. Особенностью разработанного подхода является сочетание прямого моделирования столкновений частиц на основе аппроксимации траекторий движения, с концепцией частиц-представителей.
Ключевые слова: многофазные течения; прямое численное моделирование; дискретно-элементный метод; полномасштабное моделирование; частицы-представители.
Введение
Для решения задач численного моделирования двухфазных течений широкое распространение получили методы, построенные на сочетании эйлерова описания несущей среды и лагранжевого описания дисперсной фазы [1-3]. Особенностью задачи математического моделирования обтекания преграды двухфазным потоком является необходимость учета столкновений частиц, которые проявляются даже при относительно низкой концентрации частиц в потоке и существенным образом влияют на параметры интегрального воздействия частиц на обтекаемую поверхность. С ростом концентрации примеси влияние столкновений существенно возрастает.
Наиболее высокая точность решения может быть получена использованием разработанного авторами полномасштабного варианта дискретно-элементного метода [4,5]. Алгоритм построен на однозначном соответствии реальной частицы и моделирующей, решении уравнений движения и теплообмена каждой моделирующей частицы, а также вычислении параметров столкновения частиц на основе аппроксимации траекторий движения. Ввиду этих особенностей использование метода требует значительных вычислительных ресурсов, что ограничивает его использование в трехмерных задачах. В
настоящей работе представлена модификация полномасштабного алгоритма, согласно которой каждая моделирующая частица ставится в соответствие группе реальных частиц. При сохранении высокой точности решения такой подход позволяет существенно снизить требования к вычислительным ресурсам, повысить эффективность распараллеливания алгоритма и перейти к решению задач в трехмерной постановке.
Дискретно-элементный метод прямого численного моделирования динамики дисперсной фазы с учетом столкновений
В работе [5] представлен полномасштабный вариант дискретно-элементного метода, который используется для численного моделирования динамики дисперсной фазы с учетом столкновений. Частицы примеси считаются однородными твердыми шарами, уравнения движения и теплообмена частиц имеют вид: ёу„ ёш„ ёТ
ш„
- = fp , = T, cPmmp—p = qc + qr=
p dt p' p dt ffl' pm p dt где mp, Ip, T , vp, юp " масса, момент инерции, температура, скорость и угловая скорость
частицы, c - теплоемкость материала частиц, Tffl - вращающий момент.
На каждом шаге расчета [tn,tn+1 J производится интегрирование уравнений движения и теплообмена всех моделирующих частиц методом Рунге-Кутты. Строится аппроксимация траектории каждой частицы пространственным полиномом второй степени r(t) = r2t2 + rit + ro. Условие столкновения пары частиц i и j выражается алгебраическим уравнением четвертой
степени |ri (t )- rj (t )2 = (rpi + rpj )2, где rpi, rpj - радиусы частиц.
На основе полученной аппроксимации траекторий производится расчет параметров соударения пар частиц, а также столкновений частиц с поверхностью преграды (см. рис. 1). Все соударения в рамках данного шага расчета моделируются последовательно в хронологическом порядке с использованием очереди столкновений. Расчет параметров пары частиц после столкновения, а также характеристик частицы после отражения от поверхности преграды производится согласно модели твердых сфер (напр., [1,6]). Моделирование столкновения приводит к исключению из очереди последующих столкновений, в которых принимала участие данная частица. После расчета изменения параметров частицы в результате столкновения, произошедшего в момент времени те(;п,1;п+1 ], выполняется интегрирование уравнений её движения и теплообмена на интервале (т,1;п+1 ], строится аппроксимация траекторий, вычисляются параметры новых столкновений. Вновь найденные
столкновения помещаются в общую очередь и обрабатываются в едином хронологическом порядке. В очередь помещаются все столкновения, а не только первое, поскольку некоторые из них, в том числе ранние, могут быть исключены в результате еще не произошедших событий. Расчет выполняется до опустошения очереди событий на данном временном шаге.
Такой подход позволяет с максимальной точностью учесть сложный характер движения примеси, в том числе неоднократные столкновения частиц и их отражение от поверхности преграды. Реализация данного метода связана со значительными вычислительными затратами, а распараллеливание вычислений возможно лишь на этапе решения уравнений движения и теплообмена частиц. Обработка столкновений в очереди производится последовательно.
Следует отметить, что даже при двумерном характере течения несущей фазы динамика частиц столкновительной примеси должна рассматриваться в трехмерной постановке. Это приводит к резкому повышению вычислительных затрат, что в значительной мере ограничивает возможность проведения широкомасштабного вычислительного эксперимента. В работах [3-5] авторами показано, что применительно к хадачам поперечного обтекания тел цилиндрической формы (плоская область) высокая точность может быть достигнута с использованием квазитрехмерной модели. При этом рассматривается ограниченная расчетная область вдоль оси 0z, параллельной направляющим цилиндра (см. рис. 2). По оси 0z накладываются периодические граничные условия, а хорошая точность достигается уже при толщине слоя zm¡SL — zЫn = 4 ■ тах (гр;), здесь гр1 - радиус частицы. Однако,
распространение такого подхода на задачи осесимметричного и пространственного обтекания тел гетерогенными потоками затруднительно. В этой связи необходим поиск
Рис. 1. Моделирование столкновительной примеси
Рис. 2. Квазитрехмерная модель столкновительной примеси.
более эффективных алгоритмов моделирования столкновительной динамики частиц, о чем пойдет речь в следующем разделе.
Модификация алгоритма прямого численного моделирования, основанная на использовании частиц-представителей
С целью сокращения требований к вычислительным ресурсам каждые Б реальных частиц могут быть представлены одной моделирующей частицей. При решении уравнений движения и реализации взаимодействия с другими частицами частица-представитель обладает физическими характеристиками одиночной частицы. Для расчета интегральных показателей, например, воздействия примеси на несущую среду или поверхность преграды, рассеяния кинетической энергии вследствие неупругих столкновений, следует учесть множитель Б. Для сохранения характеристик дисперсной фазы необходимо обеспечить частице-представителю вдоль траектории движения такую же интенсивность столкновений с другими частицами, которой обладает одиночная частица в полномасштабной модели. Поэтому уравнение, определяющее условия столкновения пары частиц-представителей
приобретает вид |г; (1) — г ^)| = (гр;"/Б + г^л/Б). Результатом решения уравнения будут
моменты времени, в которые центры масс частиц-представителей удалены на расстояние
гР1ТБ + г^л/б . В модели столкновения пары частиц для расчета их параметров после
взаимодействия используется нормированный вектор, определяющий относительное расположение частиц в момент столкновения т :
Г (Т)— Г (Т)
"ij =(ГР. + ГР )| /Л П
При этом в модели взаимодействия используются физические параметры реальных частиц.
В качестве тестовой рассмотрим задачу моделирования поперечного обтекания кругового цилиндра потоком газа с примесью твердых частиц. Ранее эта задача решалась с использованием полномасштабного дискретно-элементного метода в трехмерном (для динамики частиц) и квазитрехмерном вариантах. Отметим, что при использовании частиц представителей в квазитрехмерной модели расчетная область должна быть расширена 2ши - zmn = 4л/Б • max(rpi). В результате использование частиц-представителей при
сохранении концентрации примеси в потоке позволяет сократить число моделирующих частиц, находящихся в расчетной области в
л/Б раз.
ОО р=1
0,10
0,08
Р=4 -О-О- р=9
Р=16
= 0,06 ,20,04-0,02
0,00
1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
0 15 30 45 60 75 90 а, град
-оо Р=1
0,10
0,08
Р=4 -О-О- Р=9
Р=16
;§0,06
0,04-
0,02-
0,00
0 15
30 45 60 а, град
75
90
Рис. 3. Среднее значение нормальной компоненты скорости Рис. 4. Плотность потока энергии от примеси к поверхности частицы в момент удара о поверхность преграды. преграды.
На рис.3-4 приведены графики, характеризующие динамическое и энергетическое воздействие примеси на поверхность преграды. Исходные данные такие же, как в работе [3]. Цилиндр радиусом 3 см обтекается сверхзвуковым потоком с частицами диоксида алюминия Л1203 диаметром 10 мкм. Числа Маха и Рейнольдса, рассчитанные по параметрам набегающего потока, равны соответственно 6 и 3*106. Объемная концентрация частиц примеси в области невозмущенного течения Суо = 10 4. Движение газовой фазы
описывается системой модифицированных уравнений Эйлера. Численное интегрирование уравнений газовой динамики осуществляется методом метода Хартена - Лакса- Ван Лира. Аппроксимация краевых условий на криволинейной границе производится согласно методу погруженной границы с фиктивными ячейками на прямоугольных сетках [7].
Параметр Б варьировался в пределах от 1 (полномасштабное моделирование) до 16. На рис. 3-4 видно хорошее согласование результатов, полученных при различных значениях параметра Б.
Ключевым фактором с точки зрения сокращения времени расчета является нелинейный характер зависимости числа соударений частиц от их концентрации в локальной области. Например, в случае хаотического движения частиц с равномерным распределением направления вектора скорости в пространстве зависимость носит квадратичный характер. При этом сокращение затрат вычислительного времени на этапе моделирования столкновений частиц в квазитрехмерной модели может достигать Б раз.
Особенностью алгоритма прямого численного моделирования является принципиально последовательный характер обработки очереди соударений частиц. Распараллеливание алгоритма легко реализуется лишь на этапе решения уравнений движения и теплообмена частиц для каждого расчетного шага. В то же время нелинейный характер сокращения вычислительных затрат на этап моделирования столкновений приводит к увеличению доли первого этапа в общих затратах вычислительного времени и способствует повышению эффективности распараллеливания решения задачи в целом. На рис. 5 приведены графики затрат машинного времени на решение задачи в квазитрехмерной постановке в зависимости от параметра F. Применение частиц-представителей в сочетании с распараллеливанием вычислений позволило на порядок сократить время расчета при сохранении точности решения (см. рис. 6). При распараллеливании вычислений использовался компьютер с общим числом ядер N = 4 на базе процессора Intel Xeon.
Р Р
Рис. 5. Затраты машинного времени на решение задачи. 1 - Рис. 6. Сокращение времени расчета. 1 - последовательный последовательный алгоритм, 2 - параллельный алгоритм. алгоритм, 2 - параллельный алгоритм.
Для задач в трехмерной постановке расширение границ расчетной области не требуется,
что позволяет сократить число моделирующих частиц в F раз, в результате значительно
снижаются требования к объему машинной памяти. Нелинейный характер зависимости
количества столкновений от числа частиц в локальной зоне способствует сокращению
г2
временных затрат на этапе моделирования столкновении до F раз, что, в свою очередь, еще больше увеличивает эффективность применения параллельных вычислений.
Выводы
Использование частиц-представителей в полномасштабном дискретно-элементном методе позволяет существенно расширить границы его применения за счет сокращения требований к памяти компьютера и затратам машинного времени. Применительно к
многопроцессорным вычислительным системам модификация алгоритма способствует повышению эффективности частичного распараллеливания решения задачи. В результате становится возможным использование модифицированного дискретно-элементного метода для решения задач обтекания преграды запыленным потоком в трехмерной постановке.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-08-00542).
Библиографический список
1. Crowe C.T., Sommerfeld M., Tsuji Y. Multiphase flows with droplets and particles. CRC Press LLC, 1998, 471 р.
2. Tsirkunov Yu. M. Gas-particle flows around bodies - key problems, modeling and numerical analysis. // Proc. Fourth International Conference on Multiphase Flow (Ed.: E. Michaelides), May 27 - June1, 2001, New Orleans, LA, USA. - CD ROM Proc. ICMF'2001, paper No. 609, 31 p.
3. Винников В.В., Ревизников Д.Л., Способин А.В. Двухфазный ударный слой при обтекании тел сверхзвуковым запыленным потоком // Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 12. С. 89-103.
4. Ревизников Д.Л., Способин А.В. Численное моделирование воздействия дисперсной фазы на поверхность затупленного тела в сверхзвуковом запыленном потоке. // Математическое Моделирование, т. 19, N11, 2007. - с. 101 - 111.
5. Ревизников Д.Л., Способин А.В. Алгоритмы прямого численного моделирования динамики дисперсной фазы при обтекании тела запыленным потоком. // Электронный журнал «Труды МАИ», 2007, № 26, 13 с.
6. Вараксин А.Ю. Столкновения в потоках газа с твердыми частицами. - М.: Физматлит, 2008, 312 С.
7. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Метод погруженной границы для расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел на прямоугольных сетках. // Электронный журнал «Труды МАИ», 2008, № 27, 13 с.
Сведения об авторах
Винников Владимир Владимирович, доцент Московского авиационного института (государственного технического университета), к.ф.-м.н. МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; тел.:(499) 158-48-94;
e-mail: vvinnikov@list.ru
Ревизников Дмитрий Леонидович, профессор Московского авиационного института
(государственного технического университета), д.ф.-м.н.
МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993;
тел.:(499) 158-48-94;
e-mail: reviznikov@inbox.ru
Способин Андрей Витальевич, научный сотрудник Московского авиационного института
(государственного технического университета), к.ф.-м.н.
МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993;
тел.:(499) 158-48-94;
e-mail: spise@inbox.ru
