Использование cas Maxima для хромоматематического моделирования динамических систем на примере аттрактора Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/

Том 9, №2 (2017) http://naukovedenie.ru/vol9-2.php

URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/17TVN217.pdf

Статья опубликована 29.03.2017

Ссылка для цитирования этой статьи:

Теодорович Н.Н., Строганова С.М., Цвырко С.О. Использование CAS Maxima для хромоматематического моделирования динамических систем на примере аттрактора Лоренца // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №2 (2017) http://naukovedenie.ru/PDF/17TVN217.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.

УДК 62

Теодорович Наталия Николаевна

ГБОУ ВО МО «Технологический университет», Россия, Королев1 Доцент кафедры «Информационных технологий и управляющих систем»

Кандидат технических наук E-mail: [email protected] РИНЦ: http://elibrary.ru/author items.asp?id=518204

Строганова Светлана Михайловна

ГБОУ ВО МО «Технологический университет», Россия, Королев Старший преподаватель кафедры «Информационных технологий и управляющих систем»

Кандидат технических наук, доцент E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6858-9403 РИНЦ: http://elibrary.ru/author profile.asp?id=601806 Researcher ID: http ://www. researcherid.com/rid/G-5953 -2012

Цвырко Снежана Олеговна2

ГБОУ ВО МО «Технологический университет», Россия, Королев Студентка 3 курса кафедры «Информационной безопасности»

E-mail: [email protected]

Использование CAS Maxima для хромоматематического моделирования динамических систем на примере аттрактора Лоренца

Аннотация. В проведенном исследовании изучалось поведение динамических систем с применением методов инновационного хромоматематического моделирования на примере аттрактора Лоренца в CAS Maxima, где под динамическими понимаются системы, изменяющие во времени свои состояния под действием внешних и внутренних сил, а аттрактор - такой набор состояний динамической системы. Был выявлен ряд закономерностей при изменении входных значений для аттрактора Лоренца на незначительное количество пунктов в случаях двумерного и трехмерного построения. Использование CAS Maxima обусловлено удобством графического представления результатов исследования, что позволило детально проанализировать все изменения состояний объекта. Построенная так называемая «бабочка Лоренца» вызывает к себе особый интерес, так как входит в перечень из 18 наиболее значимых математических проблем

1 141070, Московская область, г. Королев, ул. Гагарина, 42

2 https://vk.com/tsnezhana; https://www.facebook.com/TSnezhana

21-го века под номером 14 по версии Стивена Смейла от 2000 года. Как показали проведенные расчеты, динамика поведения аттрактора нетривиальна, что тесно связывает его и теорию хаоса, основателем которой по праву считается Э.Н. Лоренц. Использование хромоматематических моделей (от гр. hromo - цвет) поспособствовало поиску нетривиальных закономерностей, так как их можно было пронаблюдать вместе с изменением цветов на «крыльях бабочки».

Ключевые слова: хромоматематика; моделирование; аттрактор; Э.Н. Лоренц; CAS Maxima; динамические системы; бабочка Лоренца

Введем понятие аттрактора. Аттрактор (от англ. attract - привлекать, притягивать) это множество состояний динамической системы, к которому она стремится в течение времени [1].

Аттрактор Лоренца представляет интерес, так как является, пожалуй, одним из ярчайших примеров нелинейной динамической системы, изучением которых занимается теория хаоса (теория катастроф). Был найден в 1963 г. среди экспериментов основоположника теории хаоса Эдварда Нортона Лоренца над поведением траекторий детерминированной системы [2]:

х — а {у — х), у - х(г - z)-y, z — ху — bz.

Положим входные параметры: o=10, r=28, b=8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0 (рис. 1).

Моделирование поведения аттрактора Лоренца будет проводиться при помощи CAS Maxima.

Рисунок 1. Построение графика x(t) (рисунок взят из книги Торшин П.И. Моделирование фракталов в среде Maxima, часть II, К.: Казанский федеральный университет, 2012)

График будет представлять из себя два «крыла бабочки» (рис. 2), правая часть этих «крыльев» соответствует областям графика, лежащим выше оси Ох, левая часть, соответственно, областям, лежащим ниже [3].

Рисунок 2. «Бабочка» Лоренца (рисунок взят из книги Торшин П.И. Моделирование фракталов в среде Maxima, часть II, К.: Казанский федеральный университет, 2012)

Одним из странных свойств аттрактора является то, что к нему притягиваются другие траектории, отличающиеся начальными значениями задачи Коши: r0 = {x(0),y(0),z(0)} = {x0,y0,z0} (рис. 3) [4].

Рисунок 3. Наблюдение эффекта притяжения «бабочки» Лоренца (рисунок взят из книги Торшин П.И. Моделирование фракталов в среде Maxima, часть II, К.: Казанский федеральный университет, 2012)

Стоит также отметить существенную зависимость построения от начальных условий, как второе свойство. «Зафиксируем» одну из координат, например, х, и изобразим два решения задачи Коши: при r0 = {1,0,0} и r0 = {1.001,0,0} на одном рисунке (рис. 4) [5].

Рисунок 4. Два решения задачи Коши (рисунок взят из книги Торшин П.И. Моделирование фракталов в среде Maxima, часть II, К.: Казанский федеральный университет, 2012)

При близких начальных условиях различия в траекториях проявляются экспоненциально быстро, поведение систем разительно отличается: там, где синий график

выше оси х = 0, а красный - ниже, - точки пространства находятся в разных «крыльях бабочки» [4], [5].

Использование методов хромоматематики [6], позволит отследить влияние коэффициентов.

Результаты исследования для разных коэффициентов можно представить в виде таблицы (таб. 1).

Таблица 1

Построения для разных наборов входных коэффициентов (разработано авторами)

№

Коэфф.

Построение

1

2D

1

3D

a = 10.0 Ь = 2.6667 c = 28.0

№

Коэфф.

Построение

2

2D

2

3D

a = 8.0 Ь = 2.6667 c = 28.0

№

Коэфф.

Построение

3

2D

3

3D

a = 10.0 Ь = 1.6667 c = 28.0

№

Коэфф.

Построение

4

2D

4

3D

a = 10.0 Ь = 2.6667 c = 30.0

№

Коэфф.

Построение

5

2D

a = 10.0 Ь = 2.6667 c = 18.0

5

3D

Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет решение в виде функций от времени [7]. При некоторых начальных параметрах решение "хорошее, гладкое", а при некоторых "резко меняется" - эти изменения значительно сильнее, чем изменение параметров. В этом и прослеживается взаимосвязь аттрактора Лоренца и теории катастроф (хаоса) [8], можно подобрать параметры, когда решения уравнений будут хорошими, гладкими, без скачков, обрывов, но стоит чуть-чуть «шевельнуть», как сразу хаос, сбой - система «резонирует» [9]. Частные решения системы ОДУ Лоренца вполне могут быть в виде простых колебаний типа синуса и косинуса - «классический» резонанс [10].

Был выявлен ряд закономерностей при изменении значений на незначительное количество пунктов.

Для двумерного построения (приложение 1):

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №2 (март - апрель 2017)

http://naukovedenie.ru [email protected]

• Уменьшение значений коэффициентов ведет к «сдвигу влево» колебаний с большой амплитудой.

• Увеличение значений коэффициентов ведет к «сдвигу вправо» колебаний с большой амплитудой.

Для трехмерного построения (приложение 2):

• Уменьшение значений коэффициентов ведет к увеличению угла между «крыльями бабочки» Лоренца.

• Увеличение значений коэффициентов ведет к сужению «дыр» в «крыльях бабочки» Лоренца.

ЛИТЕРАТУРА

1. Торшин П.И. Моделирование фракталов в среде Maxima, часть II, К.: Казанский федеральный университет, 2012. - 48.

2. Saltzman, Barry (1962). «Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem-I». Journal of the Atmospheric Sciences 19 (4): 329-341.

3. Кузнецов С.П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). - М.: Физматлит, 2001.

4. Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem // Journal of the atmospheric science, №7, 1962 - p. 329-341.

5. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.

6. Цвырко О.Л., Цвырко С.О. Основы хромоматематики. Монография. - Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2013. - 122 с.

7. Штерн В.Н. Спектральный анализ аттрактора Лоренца [Текст]. - Новосибирск: Ин-т теплофизики, 1979. - 24 с.: ил.; 20 см. - (Препринт / АН СССР. Сибирское отделение, Институт теплофизики; 31-79).

8. Черных Г.А. Устойчивые и хаотические режимы в дискретных динамических системах: Аттрактор Лоренца и модель нейронной сети Кропотова-Пахомова: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 05.13.18. - Санкт-Петербург, 2004. - 103 с.

9. Дорошин А.В. Математическое моделирование в нелинейной динамике [Текст]: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям: "Математика", "Прикладная математика и информатика", "Механика" / А.В. Дорошин; Федер. агентство по образованию, Гос. образоват. учреждение высш. проф. образования "Самарский гос. аэрокосмический ун-т им. акад. С.П. Королева". - Самара: Изд-во СГАУ, 2008. -98 с.: ил.; 21 см.; ISBN 978-5-7883-0584-4.

10. Анохин В.Б. Новый тип научной рациональности: теория хаоса и эволюционная эпистемология / В.Б. Анохин; М-во образования Рос. Федерации, ГОУ ВПО Череповец. гос. ун-т. - Череповец: [ГОУ ВПО ЧГУ], 2004. - 178, [1] с.: ил.; 21 см.; ISBN 5-85341-165-9.

Teodorovich Nanalia Nikolaevna

University of technology, Russia, Korolev E-mail: [email protected]

Tsvyrko Snezhana Olegovna

University of technology, Russia, Korolev E-mail: [email protected]

Stroganova Svetlana Mikhaylovna

University of technology, Russia, Korolev E-mail: [email protected]

Using CAS Maxima for hromomathematical modeling of dynamic systems on the example of the Lorenz attractor

Abstract. In this study, we studied the behavior of dynamical systems with the use of innovative hromomathematical methods of modeling on the example of the Lorenz's attractor in CAS Maxima, where dynamic refers to systems that change in time their state under the influence of external and internal forces, as an attractor is a set of states of the dynamic system. Revealed a number of regularities in the input values for the Lorenz attractor in a small number of cases two-dimensional and three-dimensional construction. Using CAS Maxima due to the convenience of graphical representation of the results of the study, which allowed to analyze all the changes the object's state in detail. Built the so-called "Lorenz butterfly" raises a special interest as is included in the list of the 18 most important mathematical problems of the 21st century at number 14 by version of Stephen Smale in 2000. As shown by calculations, the dynamics of the nontrivial attractor, which closely links it and the theory of chaos, the founder of which is considered to be E.N. Laurence. Use hromomathematical models (from gr. hromo is color) contributed to the search for innovative patterns, as they can be observed along with the change of colors on the "wings of a butterfly".

Keywords: hromomath; modeling of models; attractor; E.N. Lorenz; CAS Maxima; dynamical systems; Lorenz butterfly

Приложение 1

Листинг кода в CAS Maxima

reset()$kill(all)$

load(dynamics)$

load(draw)$

/*Задаем систему*/

sys:[a*(y-x), x*(c-z)-y, x*y-b*z]$

/*Значения параметров*/ a:10.0$ b:2.6667$ c: 28.0$

/*Начальные значения x,y,z*/ x0y0z0:[1.0,0,0]$

/*Диапазон расчетов ("время")*/ TimeRange:[t,0,50,0.05]$

/*Вычисляем*/

Res:rk(sys,[x,y,z],x0y0z0,TimeRange)$

/*Строим*/ L:length(Res)$

t:makelist(Res[k][1],k,1,L)$ x:makelist(Res[k][2],k,1,L)$ y:makelist(Res[k][3],k,1,L)$ z:makelist(Res[k][4],k,1,L)$

plot2d([discrete,t,x])$

Приложение 2

Модули для 3D построения

draw3d( enhanced3d=true,

points_joined=true,

point_type=filled_circle,

points(x,y,z)

draw3d( enhanced3d=[x-z/10,x,y,z],

explicit(20*exp(-xЛ2-yЛ2)-10,х,-3,3,у,-3,3))$

)$