CC BY
0
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В БАЗИСАХ УОЛША НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНО-ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
ВИЛЕНКИНА-КРИСТЕСОНА
A.В. Ермакова, аспирант П.О. Макаров, аспирант
B.А. Егунов, магистр
Московский технический университет связи и информатики (Россия, г. Москва)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-4-5-89-95
Аннотация. В данной статье будет проведено исследование применения Быстрого преобразования Фурье (БПФ) в базисах Уолша на основе дискретно-экспоненциальной функции Виленкина-Кристесона в контексте цифровой обработки сигналов. Рассматривается теоретическое обоснование данного метода, а также его преимущества и высокая эффективность в преобразовании сигналов между частотной и временной областями.
Ключевые слова: Быстрое преобразование Фурье, БПФ, базис Уолша, базис Виленки-на-Кристенсона, дискретно-экспоненциальные функции, ДЭФ.
Быстрое преобразование Фурье в базисах Уолша
Базисы Уолша могут быть использованы для синтеза алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) [1]. Причем, поскольку базисы Уолша являются частным случаем базисов Виленкина-Кристенсона,
схема построения графов БПФ в базисах Уолша остается такой же, как и при построении графов БПФ в базисах Виленки-на-Кристенсона [2]. При этом основанием базиса функций Уолша всегда является число т=2.
Рис. 1. Граф 16-ти точечного БПФ в базисе Виленкина-Кристенсона
Рассмотрим случай 8-ми точечного преобразования Фурье в базисе функций Уо-лша. При этом параметр п системы функций будет равен трем (23=8). Матрица Уо-лша-Адамара восьмого порядка представ-
ляет собой третью кронекеровскую степень матрицы дискретно-экспоненциальной функции £"2
*2 = [0 1] (!)
При этом фазовращающий множитель равен (2):
2л 2л
W = е" = е — = -1 (2)
Рис. 2. Диаграмма «бабочка» для двухточечного преобразования Фурье Сама матрица Уолша-Адамара выглядит так:
Яя =
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
(3)
Синтезируем граф БПФ в базисе Уол-ша-Адамара Я8, рисунок 3. На входы графа на рисунке 1 отсчеты входного сигнала поступают в двоично-инверсной последовательности. Для того, чтобы преобразовать этот граф в граф БПФ в базисе Уол-ша-Пели Р8, необходимо провести т-
ичную инверсию номеров отсчетов входного сигнала. Поскольку в данном случае т=2, то инверсия представляет собой двоичную инверсию, которая восстанавливает натуральную последовательность отсчетов входного сигнала (рис. 4).
Рис. 3. Граф 8-ми точечного БПФ в базисе Уолша-Адамара Матрица базисной системы Виленкина-Кристенсона - Пели Р8 выглядит так (4):
Р* =
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1 0
(4)
т
Рис. 4. Граф 8-ми точечного БПФ в базисе Уолша-Адамара
Легко проверить, что граф (рис. 3) соответствует матрице (3), в то время как граф (рис. 4) соответствует матрице (4). Графы БПФ в системах Уолша могут быть построены с помощью индикаторных матриц так, как это описано в подразделе, посвященном БПФ в дочерних базисах Вилен-кина-Кристенсона.
Если N - это т-рациональное число, то количество элементарных графов преобразований (процессоров БПФ в базисе дискретно-экспоненциальной функции с т входами) в графах БПФ в базисах дискретно-экспоненциальной функции Ви-ленкина-Кристенсона совпадает [3]. Соответственно, совпадает и количество умножений чисел на степень фазовращающего множителя. При этом все элементарные графы, составляющие схему БПФ в базисе дискретно-экспоненциальной функции, можно разделить на две группы:
1) Состоящая из элементарных графов, коэффициенты которых повторяют коэффициенты элементарных графов схемы преобразования в базисе Виленкина-Кристенсона;
2) С отличающимися коэффициентами.
Если элементарные графы второй группы будут требовать больше машинного времени, чем графы первой группы, БПФ в базисе Виленкина-Кристенсона будут проходить быстрее, чем БПФ в базисе дискретно-экспоненциальной функции [4]. При этом выигрыш будет зависеть от соотношения между количествами графов в первой и второй группах, а также от соотношений времени выполнения этих графов. Проиллюстрируем описанную ситуацию на примере графов БПФ в базисах дискретно-экспоненциальной функции и Уолша при N=8. Рассмотрим рисунок 5.
Рис. 5. а) Граф 8-ми точечного быстрого преобразования Фурье в базисе дискретно-экспоненциальные функции; б) Граф 8-ми точечного БПФ в базисе Уолша-Адамара
Видно, что к первой группе относятся те двухвыходные процессоры БПФ (диаграммы "бабочка"), при которых имеется коэффициент (первый этап БПФ); ко второй группе - "бабочки" второго и третьего этапа преобразований, содержащие иррациональные коэффициенты. Если для выполнения графов первой группы требуются только операции сложения, то графы второй группы требуют выполнения умножения иррациональных чисел. Оценим соотношение между количеством
членов этих двух групп для общего случая. Пусть размерность БПФ составляет N = шп. Первый этап преобразований в базисе дискретно-экспоненциальной функции состоит из шп-1 элементарных графов первой группы. Во втором этапе к первой группе принадлежит каждый из т графов, на третьем - каждый и т2, на четвертом -каждый из т3 и т. п. Вычислив сумму этой геометрической прогрессии приходим к результату (5):
1 1 1
mn-1 (1 +---1--2 + —I--—г) =
\ т ш2 шп V
т
п-1
т — 1
(5)
При этом общее количество элементарных графов в схеме БПФ составляет шп 1п. Соответственно, относительное количество элементарных графов первой группы составит:
fci =
1
(m-1)mn гп
(6)
Относительное количество элементарных графов второй группы равно:
ко = 1
-1
(m-1)mn гп
(7)
Оценим время, необходимое для выполнения графов обеих групп. Обозначим через 11 время, необходимое для выполнения графов первой группы, через 12 - время
для графов второй группы, через К - количество элементарных графов в схеме БПФ [5]. Тогда общее время на выполнение БПФ будет равно:
Т = К (t^! + t2^2)
1
n-1
m
m
При т=4 элементарный граф БПФ в базисе Виленкина-Кристенсона представлен на рисунке 6. Выполнение этого графа есть умножение на матрицу размером 4x4 (рисунок 6):
11 11 1 J -1 -1 -1 1 -1 1 - -1 j
(9)
Рис. 6. Граф 16-ти точечного БПФ в базисе Виленкина-Кристенсона -Кронекра Я
(1) 4,2
Для выполнения умножения на такую матрицу (9) вектора-столбца, состоящего из 4-х комплексных элементов, требуется выполнить 24 операции сложения действительных чисел. Обозначим через 1+ время, необходимое для выполнения сло-
жения, а через 1х - время умножения. При этом ^ = 24t+. Общее время выполнения БПФ в базисе Виленкина-Кристенсона составит:
Ъ
Виленкина-Кристенсона
= 24tft+ (10)
Графам второй группы соответствует матрица преобразования:
1 1
1
11 1
1
(11)
где коэффициент q зависит от размерности БПФ и номера этапа преобразования. В общем случае выполнение такого графа потребует 36 операций умножения и 42 операции сложения. Соответственно,
= 36*;х + 42t+. А общее время выполнения операции БПФ в базисе дискретно-экспоненциальной функции составит
Т,
дискретно-экспоненциальной функции
= ^(24t+fc1 + (36tx + 42t+)fc2) (12)
Учитывая (6) - (8), (9), (11) приходим к выражению для оценки выигрыша времени при переходе от базиса дискретно-
экспоненциальной функции в базис Виленкина-Кристенсона с основанием m=4:
f = 1+(1-S^)(6£f£±)
(12)
В современной вычислительной технике при выполнении операции умножения с
фиксированной точкой считается, что = 5t+, для операций с плавающей точкой -
tx = t+. Учитывая эту оценку, перепишем для умножения с плавающей точкой:
выражение (12):
^ = 1 + 2.25(1- 4"-1-1) (13)
для умножения с фиксированной точкой
^ = 1 + 8.25(1-391-1;) (М)
Зависимость выигрыша в объеме вычислений при переходе от БПФ-ДЭФ к БПФ- Виленкина-Кристенсона от порядка БПФ при умножении с плавающей точкой показана на рис. Максимально возможное
(при п ^ значение ^ составляет 3.5, реально достижимое - около трех. Зависимость выигрыша от размерности БПФ представлена на рисунке 7.
123456769 10
Размерность БПФ
Рис. 7. Зависимость выигрыша от размерности БПФ
Если алгоритм БПФ в базисе Виленки-на-Кристенсона будет учитывать факторизацию матрицы (9), то конечное выраже-
При этом максимально возможное значение ^ составит 5. Реально достижимое его значение будет составлять около 4. При использовании умножения с фиксированной точкой выигрыш составит около 11.
Заключение
Структуры полученных графов по сложности не отличаются от графов быстрого преобразования Фурье в базисах дискретно-экспоненциальной функции, при этом вычисления спектра в базисе Вилен-
ние для оценки выигрыша в быстродействии в случае умножения с плавающей точкой примет вид (15):
(15)
кина-Кристенсона требует меньше затрат машинного времени на вычисления (скорость обработки растет на порядок). Данное свойство может быть использовано для реализации устройств, оценивающих частоту принятого дискретно-
экспоненциального сигнала в базисе Ви-ленкина-Кристенсона, обладающего более высоким быстродействием, чем аналогичное устройство, работающее на базисе дискретно-экспоненциальной функции.
( 2П-1 — 1\
Библиографический список
1. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Советское радио, 1975. - 208 с.
2. Логинов В.П. Функции Уолша и области их применения (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. - 1973. - №4.
3. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.
4. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. Перевод с английского. - М.: Мир, 1968. - 276 с.
5. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. Перевод с английского. - М.: Физматгиз, 1963 г. - 264 с.
USING FAST FOURIER TRANSFORM IN WALSH BASES BASED ON DISCRETE-EXPONENTIAL VILENKIN-CHRISTESON FUNCTION
A.V. Ermakova, Postgraduate Student P.O. Makarov, Postgraduate Student V.A. Egunov, Graduate Student
Moscow Technical University of Communications and Informatics (Russia, Moscow)
Abstract. This paper will investigate the application of Fast Fourier Transform (FFT) in Walsh bases based on discrete-exponential Vilenkin-Christieson function in the context of digital signal processing. The theoretical justification of this method is discussed, as well as its advantages and high efficiency in transforming signals between frequency and time domains.
Keywords: Fast Fourier Transform, FFT, Walsh basis, Vilenkin-Christenson basis, Discrete-Exponential Functions, DEF.
