Использование аппроксимации Паде для определения условий воспламенения сплошного бесконечного цилиндра, заполненного реакционно-способной средой при конвективном теплообмене Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВИЙ ВОСПЛАМЕНЕНИЯ СПЛОШНОГО БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА, ЗАПОЛНЕННОГО РЕАКЦИОННО-СПОСОБНОЙ СРЕДОЙ ПРИ КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ

Р.Р. САБИТОВ, начальник отдела кадров и трудовых отношений

ООО «Газпром трансгаз Казань» (Россия, 420073, Республика Татарстан, г. Казань, ул.

Аделя Кутуя, д. 41). E-mail: 515rs@mail.ru

С.Р. ЕНИКЕЕВА, к.ф-м.н., доцент

ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет» (Россия, 420015, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 68). E-mail: enikeeva.svetlana@mail.ru Н.А. ЮДИНА, к.х.н., доцент

ФГБОУ ВО «Казанский государственный энергетический университет» (Россия, 420066, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51). E-mail: yudinato@gmail.com

При транспортировке, хранении и эксплуатации природного газа необходимо строго соблюдать ряд правил ввиду его высокой взрывоопасности. Для минимизации рисков техногенных аварий при эксплуатации действующего и проектировании нового газового оборудования, при транспортировке и хранении природного газа, а также его переработке необходимо изначально правильно рассчитывать теплофизические и химические процессы, проходящие в сложных технологических системах. В связи с этим особую важность приобретает вопрос исследования условий воспламенения сплошного бесконечного цилиндра, заполненного реакционно-способной средой, при конвективном теплообмене в тепловых граничных условиях 1-го и 3-го рода. В работе получена зависимость относительной температуры от расстояния до центра цилиндра, исследованы условия самовозгорания и устойчивость полученных решений, а также проведена аппроксимация полученных выражений. Полученные зависимости позволяют говорить о наличии либо отсутствии критических режимов течения внутри полого цилиндра при тепловых граничных условиях 1-го и 3-го рода.

Ключевые слова: условие самовозгорания, аппроксимация, стационарное уравнение теплопроводности, дробно-рациональная функция Паде, тепловые граничные условия, устойчивость рещений.

Среди наиболее широко применяемых и высокоэффективных топливных энергетических ресурсов заметное место занимает природный газ. Его теплотворная способность и простота использования являются несомненным преимуществом перед иными топливными аналогами. В Российской Федерации природный газ имеет самое широкое применение практически во всех отраслях промышленности и коммунального хозяйства. Ввиду его высокой взрывоопасности необходимо строго соблюдать ряд правил при его транспортировке и хранении. Для минимизации рисков техногенных аварий при эксплуатации действующего и проектировании нового газового оборудования, при транспортировке и хранении природного газа, а также его переработке необходимо изначально правильно рассчитывать теплофизические и

химические процессы, проходящие в сложных технологических системах.

Стационарные уравнения теплопроводности в круглой трубе, в каналах сложных форм при различных граничных условиях были рассмотрены в работах [1-3]. В [4] детально разобрано построение математической модели процесса полимеризации в трубчатом реакторе.

Целью данной работы является получение зависимости относительной температуры от расстояния до центра цилиндра, условие самовозгорания и устойчивость полученных решений, а также аппроксимация полученных выражений.

В данной работе использована математическая модель Д.А. Франк-Каменецкого

0)/^е2 )+1/е-а©/Се = -№ехр [0]. (1)

Данное уравнение является стационарным уравнением теплопроводности бесконечного цилиндра с химическим источником тепла, скорость реакции которого подчиняется закону Аррениуса, где применена аппроксимация экспоненты по методу Франк-Каменецкого [5].

Здесь:

е = г/г1;

Аг = (П ■ Т1 )/Е;

6М = (Т[е] - Т1)/(Аг • Т1) ;

Гк = (О0 • К0)/(ХАг>ехр[-1/Аг] • г12;

г - расстояние от оси цилиндра; г1 - внешний радиус цилиндра; Аг - число Аррениуса; П - универсальная газовая постоянная; Т1 - температура на поверхности цилиндра; Е - энергия активации химической реакции; Гк - критерий Франк-Каменецкого; Т[е] - абсолютная температура; К0 - константа скорости химической реакции; О0 - тепловой эффект химической реакции; X - коэффициент теплопроводности.

При заполнении цилиндра конденсированной фазой имеет место разогрев стенки. Если передача тепла происходит путем конвекциии то, согласно модели В.В. Барзыкина, А.П Мержанова, тепловые граничные условия 3-го рода [6]

е[1].

е'Л1]

Nu

еЛо] = о,

:0,

где Ыи - критерий Нуссельта.

Все вычисления выполнены с использованием программного продукта МАТНЕМАТ1СА [7]. Общее решение (1) имеет вид

е[е]= In

2 c12 c2 S-2+c1 ( + c2 Fk)

Анализ формулы (3) показывает:

1. с1, с2 * 0.

2. Для сплошного цилиндра:

2.1. 0< е <1;

2.2. с1 = 2, так как в противном случае 0[0] не определено;

2.3. 0[е] монотонно убывает при 0< е <1; следовательно,

8 с2

е[е] = In

(е2 + с2 Fk)2

етах =е[о] = In

c2 Fk2

In

8 c2

(1 + c2 Fk )2

Nu (1 + c2 Fk)

Решить аналитически данное уравнение не представляется возможным. Обозначим:

q2 [с2] = In

8 с2

(1 + с2 Fk )2

Nu (1 + с2 Fk)

(7)

Анализ (7)показал:

1. с2 > 0;

2. q2[c2] имеет вертикальную асимптоту при с2 = 0;

3. q2 [с2] имеет экстремум (max);

c2max является корнем уравнения q2' = 0:

с2„

2 W Nu2 + 4

q2m

-1 n

Nu

Nu Fk %/nu2 + 4 - Nu

Fk

2 + Nu

4

Nu2

(8) (9)

(2)

(3)

4. д2[с2] монотонно возрастает при 0 < с2 < с2тах,

5. д2 [с2] монотонно убывает при с2 > с2тах,

6. д2[с2] не имеет корней, если выполняется условие

92тах < 0. (10)

7. д2[с2] имеет единственный корень, если выполняется условие самовозгорания:

92тах = 0. (11)

8. д2[с2] имеет два корня, если выполняется условие

92тах > 0. (12)

Графики д2[с2] при различных Гк и постоянном Ыи = 3,6591 приведены на рис. 1.

Условие самовозгорания преобразуется подстановкой (9) и (11) с последующим решением полученного уравнения.

VЫи2 + 4 - 2 - Ыи

Fk = FkKp = exp

Nu

(Nu2 + 4 - Nu). (13)

(4)

(5)

Анализ (13) показывает:

1) Гккр - монотонно возрастает;

2) Гккр - имеет горизонтальную асимптоту:

asimptota[FkJ = 2.

(14)

Рис. 1.

где с1, с2 являются корнями системы, полученной подстановкой (3) в тепловые граничные условия.

Так как (4) является четной функцией, то она удовлетворяет последнему уравнению (2). После подстановки (4) в 1-е уравнение (2) и алгебраических преобразований система (2) примет вид

Nu = 3,569 справедливо для стационарного ламинарного потока [5].

Полученное уравнение совпадает с условием самовозгорания бесконечного цилиндра при тепловых граничных условиях 1-го рода [5]. Для упрощения вычислений аппроксимируем (13): 1) дробно-рациональной функцией Рас1е1/1 [8]; Рас1е1

1\ркКр]

- = 2-

2 Ыи + 3

2) дробно-рациональной функцией Расе2/2;

РаСе2

2 Кр ]

- 2 -6-

2 Ыи +1

3 Ыи2 + 6 Ыи + 4

(15)

(16)

Графики (13-16) приведены на рис. 2. Для численного сравнения аппроксимирующих кривых воспользуемся абсолютной величиной относительной ошибки

б[РаСе1/1[Рккр ]] = б[РаСе2/2[Рккр ]] = б| ав1тр1о1а [Рккр ]]

ГкКр - РаСе1/1[ГкКр]]

РК

кр

РкКр - РаСе2/2[Ркда]]

кр'

Рк,

кр

Рккр - аэ1тр!о!а [Рккр

Рк,

кр

Графики (17-19) приведены на рис. 3. Подставив (13) в (8), вычисляем единственный корень (6) при условиях (13):

С2 -

кр

^2 + >/ Ыи2 + 4 ^Ыи + -у/ Ыи2 + 41

ехр

2 + Ыи

4 Ыи2

-V Ыи2 + 4

(20)

Ыи

Рис. 2.

аз1тр!о!а[9 ]

2 0_ ^ '- кр-1

РаСе2/2[0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2 о

с2кр имеет горизонтальную асимптоту:

аз1тр!о!а[с2кр] = 1/2.

(21)

азтр!о!а[с2кр] совпадает с с2кр при тепловых граничных условиях 1-го рода. С учетом (9) неравенство (10) преобразуется:

Рк > Рк,

кр

С учетом (9) неравенство (12) преобразуется:

Рк < Рк,

кр

(22) (23)

Аналитически решить (6) при условиях (22) и (23) не удается. Решение будем проводить, используя численные методы. Для этого выполним локализацию корней аналитическим методом:

Я2 [с2] < 0 если 1п

8 с2

(1 + с2 Рк )2

- 0,

(17) что дает нам

д2[с23] < 0, д2[с24] < 0,

(24)

(25а) (25б)

(18) где

(19)

Рк - 4 + 24242 - Рк с23 --^- - меньший корень (24),

Рк2

с24 -

4 - Рк + 2^2 - Рк

рк2

больший корень (24).

Следовательно,

с23 < с21< с2тах, (26а)

с2тах < С22 < с24, (26б)

где с21 - меньший корень (6), с22 - больший корень (6).

Уточнение локализованных корней

Для вычисления с21, с22 при конкретных Рк, Ыи может быть использован любой из численных методов решения нелинейных уравнений [9].

При подстановке корней (6) в (4) получаем частные решения (1) при условии (2).

Если выполняется (22), то (1) частных решений не имеет.

При выполнении данного условия согласно стационарной теории [5] стационарное распределение температуры невозможно.

Если выполняется (13), то (1) имеет единственное частное решение.

Данное решение является критическим:

0кр [е] =

2 + Ыи

4

Ыи2

Ыи

+1п

2 ^2 + л14 + Ыи2 ЦЫи + %/ 4 + Ыи21

^2 +

Ыи2 + Ыив'

I2

(27)

Функция 0кр [в] имеет асимптоту:

аз1тр!о!а[0кр] = 2 !п[2/(1+в2)].

(28)

Подставив (27) в (5) и проведя соответствующие преобразования, получаем:

0

2 + Ыи

кртах

4

Ыи2

Ыи

+1п

2 ^Ыи + у1 4 + Ыи21

2 +

4

Ыи2

(29)

ПРОЕКТИРОВАНИЕ, СООРУЖЕНИЕ И ЭКСПЛУАТАЦИЯ ГАЗОНЕФТЕПРОВОДОВ И ГАЗОНЕФТЕХРАНИЛИЩ Рис. 4. Рис. 6.

Рис. 5.

Рис. 7.

е 2,5 | _ е1[е] \и = 3,659 1,2445

8кр = — 1,0

2,0 -

1,5 - еФМ \ \

1,0 е2и \ \ N

0,5 , е

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Функция 0кр тах имеет горизонтальную асимптоту

аз1тр!о!а[0ф тах] = 1п[4].

(30)

Рас1е2/2 [0кртах ]=1п[4]-

5[аз'тР°а[0кртах ]] = 5[РаСе2/2[0Кртах ]] =

кртах

- аэ1тр1о1а[0

кртах-

кртах

0

икр тах

-РаСе2/ 2[0

кртах

0к

(32)

(33)

0! [е]- 1п 02 [е] = 1п

8 • с21

(е2 + с21 Гк)

8 • с22 (е2 + с22 • Рк )2

(34а)3

(34б)4

1\1и = 3,659

ч е_

Рк

Рк

Следовательно,

Учитывая громоздкость (27), для упрощения вычислений аппроксимируем ее дробно-рациональной функцией Паде2:

_18_

18 Ми2 + 24 Ыи + 41. (31)

01 тах - |п

02тах - |п

с21 Рк2

с22•Рк

(35а)

(35б)

Графики (29-31) приведены на рис. 4. Для сравнения аппроксимирующих кривых воспользуемся абсолютной величиной относительной ошибки:

кр тах

Графики (32-33) приведены на рис. 5. Если выполняется (23), то (1) имеет два различных частных решения:

Следует отметить, что:

3.1. 01 [е] > 0кр[е]> 02 [е],

3.2. 01[етах] > 0кртах > 022 [етах].

Графики (27), (35а), (35б) приведены на рис. 6.

3.3. 01[е] является неустойчивым, так как 01[етах] при 5 = 0 имеет вертикальную асимптоту и монотонно убывает (рис. 7), что физически невозможно.

ВЫВОДЫ

При условии Гк < Гккр (1) имеет два частных решения при тепловых граничных условиях (2). Большее из частных решений является неустойчивым.

При условии Гк = Гккр (1) имеет единственное частное решение при тепловых граничных условиях (2). Данное решение является критическим.

При условии Гк> Гккр, согласно стационарной теории [5], стационарное распределение температуры невозможно.

В зависимости от требуемой точности и значения Ыи условие самовозгорания может быть вычислено точно либо заменено условием самовозгорания при граничных условиях 1-го рода или аппроксимирующей дробно-рациональной функцией Паде.

е

8

6

4

2

е

2 тах

2 Аппроксимация (29) дробно-рациональной функцией РаСе1/1 невозможна.

3 с21 вычисляется согласно (26а).

4 с22 вычисляется согласно (26б).

®кртах в зависимости от требуемой точности и значения 1\1и может быть вычислено точно либо заменено 1д4 или вычислено по аппроксимирующей дробно-рациональной функции Паде.

Использование аппроксимирующей дробно-рациональной функции Паде значительно уменьшает объем вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кантюков Р.Р., Тахавиев М.С., Лившиц С.А. и др. Решение стационарного уравнения теплопроводности с химическим и диссипативным источником тепла в бесконечной круглой трубе для ньютоновской жидкости // Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т.18. № 11. С. 200-205.

2. Кантюков Р.Р., Тахавиев М.С., Лившиц С.А. и др. Решение стационарного уравнения теплопроводности с химическим источником тепла при граничных тепловых условиях 3-го рода в бесконечной круглой трубе // Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т.18. № 9. С. 222-225.

3. Кантюков Р.Р., Тахавиев М.С., Лившиц С.А. и др. Аналитическое исследование на наличие бифуркационных явлений при течении нелинейно-вязких жидкостей в каналах сложной геометрии // Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т.18. № 4. С. 223-225.

4. Сидорова Ю.С., Вачагина Е.К., Плотников В.В. и др. Построение математической модели процесса гетеро-фазной полимеризации этилена в трубчатом реакторе // Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т.18. № 4. С. 231-237.

5. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. 503 с.

6. Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. Краевая задача в теории теплового взрыва // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120.

№ 6. С. 1271.

7. Дьяконов В.П. Mathematica: учеб. курс. СПб.: Питер, 2001. 656 с.

8. Бейкер Дж.-мл., Грейвс-Морис П. Аппроксимация Паде: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 502 С.

9. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. М.: ФМЛ, 1962. 388 с.

USE OF PADE APPROXIMATION FOR DEFINING INFLAMING CONDITIONS OF THE

CONTINUOUS INFINITE CYLINDER FILLED WITH THE REACTIVE ENVIRONMENT AT HEAT CONVECTION

SABITOV R.R., Head of Department

LLC «Gazprom transgaz Kazan» (41, Adelya Kutuya St., 420073, Republic of Tatarstan, Kazan, Russia).

E-mail: 515rs@mail.ru

ENIKEEVA S.R., Cand. Sci. (Ph.-m.), Assoc. Prof.

Kazan National Research Technological University (68, Karl Marx St., 420015, Republic of Tatarstan, Kazan, Russia).

E-mail: enikeeva.svetlana@mail.ru

YUDINA N.A., Cand. Sci. (Chem.), Assoc. Prof.

Kazan State Energy University (51, Krasnoselskaya St., 420066, Republic of Tatarstan, Kazan, Russia).

E-mail: yudinato@gmail.com.

ABSTRACT

During the transporting, storage and operation of natural gas it is necessary to follow strictly a number of rules because of its high potential of explosion. For minimization of risks of technogenic accidents, during the operation operating gas inventory and projection of a new one, during the transporting and storage of natural gas, and at its processing, it is necessary to count initially correctly thermal and chemical processes which take place in the composite technological systems. In this regard special importance is gained by a question of a research of conditions of inflaming of the continuous infinite cylinder which is filled with the reactive environment, at heat convection at thermal boundary conditions of the 1st and 3rd sort. In work dependence of the relative temperature on distance to the center of the cylinder, a condition of self-ignition and stability of the received decisions is received, and also approximation of the received expressions is carried out. The received dependences show existence or lack of the critical modes of a current in the hollow cylinder at thermal boundary conditions of the 1st and 3rd sort. Keywords: self-ignition condition, approximation, stationary heat conduction equation, rational function of Pade, thermal boundary conditions, stability of decisions.

REFERENCES

1. Kantyukov R.R., Takhaviyev M.S., Livshits S.A., Lebedev R.V., Shenkarenko S.V. The solution of the stationary heat equation with chemical and dissipative heat source in an infinite circular pipe for the Newtonian fluid. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2015, vol.18, no. 11, pp. 200-205 (In Russian).

2. Kantyukov R.R., Takhaviyev M.S., Livshits S.A., Lebedev R.V., Shenkarenko S.V. The solution of the stationary heat equation with a chemical heat source for thermal boundary conditions of the third kind in the endless circular tube. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2015, vol.18, no. 9, pp. 222-225 (In Russian).

3. Kantyukov R.R., Takhaviyev M.S., Livshits S.A., Lebedev R.V., Shenkarenko S.V. Analytical study on the presence of the bifurcation phenomena in the course of nonlinear viscous fluids in the channels of complex geometry. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2015, vol.18, no. 4, pp. 223-225 (In Russian).

4. Sidorova YU.S., Vachagina Ye.K., Plotnikov V.V., Kantyukov R.R., Takhaviyev M.S. Construct a mathematical model of a heterophase polymerization process of ethylene in a tubular reactor. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2015, vol.18, no. 4, pp. 231-237 (In Russian).

5. Frank-Kamenetskiy D.A. Diffuziya i teploperedacha v ximicheskoy kinetike [Diffusion and Heat Transfer in Chemistry kinetics]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 503 p.

6. Barzykin V.V., Merzhanov A.G. A boundary value problem in the thermal explosion theory. DokladyAN SSSR, 1958, vol. 120, no. 6, p.1271 (In Russian).

7. D'yakonov V.P. Mathematica. Saint Petersburg, Piter Publ., 2001. 656 p.

8. Beyker Dzh.ml., Greyvs-Moris P. Approksimatsiya Pade [Pade Approximation]. Moscow, Mir Publ., 1986. 502 p.

9. Melent'yev P.V. Priblizhennyye vychisleniya [Approximate calculations]. Moscow, FML Publ., 1962. 388 p.