Использование алгоритмических структур при реализации математических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

зок пути“ и др. При этом важно показать учащимся, что основное свойство отрез-ка, иметь длину, не изменилось, но длина в перечисленных случаях измеряется либо годами, либо километрами. Следовательно, межпредметные связи позволяют соединить, интегрировать приобретенные знания в единую систему. Сформированные на уроках математики вычислительные, измерительные, чертежные и другие навыки необходимы ученикам на уроках черчения, естествознания, при работе в мастерских, на производстве, при решении жизненно-практических задач. Комплексное усвоение учебных дисциплин способствует эффективному обу-

чению детей с нарушением интеллекта в условиях специальной школы, формированию всесторонне развитой личности.

Таким образом, построение процесса обучения математике учащихся с интеллектуальной недостаточностью на основе интегративных подходов создает условия для творческого поиска учителя и развития творческих способностей учеников, позволяет организовать совместную деятельность учителя и учащихся, направленную на приобретение школьниками знаний и способов деятельности, необходимых для дальнейшей самостоятельной жизни в обществе.

Е. А. РЯБУХИНА, старший преподаватель кафедры САПР МГУ им. Н. П. Огарева

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ СТРУКТУР ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Характерной чертой современного этапа развития общества является информатизация, в том числе информатизация образования. Последняя предполагает обеспечение сферы образования методологией и практикой разработки и оптимального использования информатиза-ционных и коммуникационных технологий, способствующих развитию интеллектуального потенциала обучаемого, формированию умений самостоятельно приобретать знания, осуществлять информационно-учебную и экспериментально-исследовательскую деятельность.

В настоящее время изучение специальных технических дисциплин приобретает качественно новый характер в связи с внедрением в учебный процесс новых технологий, основанных на применении вычислительной математики при изучении процессов и явлений специальных областей знания. Соответственно возникает проблема взаимосвязи вычислительной математики как специфического раздела математики со специальными техническими курсами, такими, как „САПР“. „Математическое моделирование технических объектов“, „АСУ“, и

© Е. А. Рябухина, 1999

37

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

близкими к ним. Особенность указанных курсов заключается в том, что математические модели систем различной физической природы имеют аналогичную форму и реализуются одними и теми же методами вычислительной математики. Таким образом, вычислительную математику можно рассматривать как инвариант специальных технических курсов, являющийся для этих курсов инструментальным базисом методов исследования.

Содержание курса вычислительной математики мы рассматриваем как единство трех компонентов — математических моделей, численных методов и средств их реализации, к которым относятся и алгоритмические структуры.

Поскольку алгоритм решения специальной задачи в итоге можно рассматривать как интегратив элементарных алгоритмов, то обучение составлению алгоритмических структур должно осуществляться с обязательным соблюдением принципа последовательности, предполагающего постепенный переход от простых структур к более сложным.

Составление алгоритма — процесс в достаточной мере творческий, однако в нем можно выделить характерные приемы, заключающиеся в определении:

1) необходимого количества и вида исходных данных;

2) необходимых преобразований этих данных — исключить все неоднозначности путем формирования логических условий, записать неоднократные повторения в виде циклов (с определенной закономерностью) или подпрограмм (без определенной закономерности);

3) математических соотношений для промежуточных данных;

4) количества и формы результатов.

Начинать изучение темы следует с

наиболее простых задач, постепенно усложняя их путем введения дополнительных условий.

Наиболее простым видом алгоритма является линейный. Примерами задач такого типа служат решение квадратного уравнения при неотрицательном дискриминанте, вычисление периметра и площади треугольника, заданного координатами его вершин, вычисление площади сектора по длине двух дуг и т. д. Единственная сложность в задачах этого типа заключается в определении исходных данных, т. е. в переходе от математиче-

KJ

ских понятии к числовым величинам (математическое моделирование), которыми являются, например, координаты точек, коэффициенты уравнения и т. д. Обычно для прочного усвоения материала требуется решение 2 — 3 задач.

Более сложным по структуре является разветвляющийся алгоритм, включающий в себя одно или несколько условий, в зависимости от выполнения которых осуществляются те или иные действия. Примерами задач, реализуемых разветвляющимися алгоритмами, могут быть решение квадратного уравнения без допол-

нительных условии; определение, является ли заданный треугольник равнобедренным или равносторонним, существует ли треугольник с длинами сторон а, в, с; вычисление функции по нескольким ветвям, определение принадлежности точки кругу и т. д.

Третий, еще более сложный, вид алгоритма — циклический. В первую очередь необходимо показать представление циклического алгоритма в двух формах — с символом „условие“ и с символом „ модификация “ Целесообразно представить в двух формах одну и ту же задачу.

При обучении составлению алгоритмов следует рассмотреть ряд задач, являющихся модификациями одной и той же задачи.

Исходная задача: вывести на печать значения функции f(x) при х, изменяющемся от а до b с шагом h.

Данная задача включает блок ввода данных и блок вычисления значения функции f(x). Вычисление значения функции происходит внутри цикла, причем оно обозначено как F, а не как f(x). Параметром цикла здесь является независимая переменная х. Блок-схема приведена на рис. 1.

¿с =• az, &, ft

Рис. 1

1999. !М» З

Модификация 1: вывести на

печать положительные значения той же функции. Алгоритм включает в себя проверку условия Р > О, при невыполнении которого сразу же происходит возвращение в цикл. Блок-схема приведена на рис. 2.

Модификация 3: подсчитать

сумму положительных значений той же функции. Задача решается устно. Ее отличие от предыдущей заключается в том, что сумма увеличивается не на 1, а на значение функции. Блок-схема приведена на рис. 4.

* Л

4"

Рис. 2

Рис. 4

Модификация 2: подсчитать

количество положительных значений той же функции. Основные отличия этой задачи от предыдущей заключаются в определении перед циклом начального значения количества, равного 0, и его увеличения на 1 в случае нахождения положительного значения функции. Блок-схема приведена на рис. 3.

М одификация 4: подсчитать

среднее арифметическое положительных значений той же функции. Фактически задача является объединением двух предшествующих. Блок-схема приведена на

рис. 5.

Рис. 3

Рис. 5

Модификация 6: подсчитать количество положительных, отрицательных и равных нулю значений той же функции. Основой задачи является модификация 3, но вводятся три переменные, обозначающие три разных количества. Блок-схема приведена на рис. 7.

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ■

Модификация 5: найти максимальное значение той же функции. Прежде всего следует уточнить, что ищется не истинный максимум, а наибольшее значение среди вычисленных, поскольку истинный максимум может оказаться внутри отрезка [х, х + h].

Поскольку задача основана на сравнении чисел, то необходимо определить точку отсчета — предполагаемое значение максимума. В качестве этого значения обычно принимается нижняя граница значений функции, зависящая от вида функции. Для функций типа tg(x), ехр(х) можно считать -10 Л 10 (максимально допустимое отрицательное число), для функций вида a*sin(x), a*cos(x) достаточно взять -а, и т. д.

Важно отметить, что на первом шаге алгоритма условие F > шах выполняется всегда за счет подбора начального значения максимума; таким образом, после выполнения первого шага max = F(a). Дальнейшее изменение шах зависит от вида функции: для возрастающей оно изменяется на каждом шаге и в результате становится равным последнему значению функции, для убывающей — на втором и последующих шагах остается постоянным. Блок-схема приведена на рис. 6.

Рис. 7

Модификация 7 (досрочный выход из цикла): вывести на печать значения той же функции до первого отрицательного. Задача почти идентична модификации 2, но невыполнение условия неотрицательности влечет за собой немедленное прекращение вычислений; полное прохождение цикла означает, что все значения функции неотрицательны.

Блок-схема приведена на рис. 8.

Во всех вышеуказанных примерах основным мыслительным процессом является сравнение, т. е. нахождение сходства и различия с предыдущими примерами. Цель изучения так называемых базовых Рис. 6 алгоритмов — переход от развернутых

£ УМАХ

1999. №3

ассоциации к свернутым, т. е. применение данных стандартизированных структур с внесением в них изменений согласно конкретной задаче. Предложенная методика позволяет обучаемому более эффективно использовать полученные знания при реализации математических моделей конкретной предметной области.

В дальнейшем усложнение алгоритмических структур происходит за счет решения задач обработки одно- и двумерных массивов (матриц), к которым относятся формирование массивов, их упорядочение, перезапись, выполнение арифметических действий над матрицами и т. д., задач элементарной комбинаторики.

При построении системы задач на составление алгоритмов целесообразно включать в задание задачи как универсального, так и специального характера, использующие математические формулы конкретной предметной области.

/¿а г

л о//г

Рис. 8

Л. А. САФОНОВА, аспирант кафедры методики преподавания математики Мордовского госпедин-ститута им. М. Е. Ев-севьева

ОБУЧЕНИЕ ОБЩИМ УМЕНИЯМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

В СИСТЕМЕ НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Текстовые задачи являются сквозным учебным материалом, так как их решению обучают на протяжении всего курса математики 9-летней школы. Однако результаты проведенного нами констатирующего эксперимента, публикации последних лет об итогах выпускных и вступительных экзаменов говорят о том, что учащиеся, выпускники школ, студенты плохо решают текстовые задачи. Следовательно, существует проблема организации более эффективного обучения их

решению, которое учитывало бы непрерывность и преемственность всех этапов образования. Она становится особенно актуальной в наши дни в связи с появлением новых педагогических концепций и образовательных программ, широким распространением различных типов общеобразовательных учреждений, разнообразием школьных учебников.

Разрешить указанную проблему можно, организовав преемственность в обучении действиям, составляющим умение

© Л. А. Сафонова, 1999