Использование акустической аналогии и метода моделирования крупных вихрей для диагностики шума турбулентных струй Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XLI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 1

УДК 534.83:532.525.2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ И МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ ШУМА ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙ

А. П. ДАУЛИНГ, С. А. КАРАБАСОВ, Т. П. ХАЙНС

Рассмотрен новый подход к моделированию шума реактивных струй в рамках обобщенной акустической аналогии с использованием метода крупных частиц и не содержащий настроечных параметров. Результаты моделирования представлены на примере изотермической круглой струи (эксперимент JEAN).

Ключевые слова: шум турбулентных струй, акустическая аналогия, подход Голдстейна, метод крупных вихрей, линеаризованные уравнения Эйлера, сопряженная функция Грина, конечно-разностные методы.

Методы, основанные на акустической аналогии Лайтхилла [1], широко используются для расчета шума турбулентных струй. С помощью эквивалентных преобразований уравнений Навье — Стокса в работах Лайтхилла показано, что акустическое поле турбулентной струи может быть представлено в виде совокупности квадруполей, стоящих в правой части волнового уравнения. Амплитуда пульсаций эквивалентных квадрупольных источников Ту в основном определяется нелинейной частью турбулентных пульсаций рейнольдсовских напряжений pv'v'j . Турбулентные

пульсации, порождающие квадрупольные источники звука, переносятся полем струи, которое изменяет излучаемый звук вследствие доплеровского эффекта [2]. Поле струи обладает и другим важным воздействием на излучаемый звук: оно приводит к рефракции звука при его прохождении через неоднородные структуры струи [3, 4]. Для учета эффекта рефракции струи на звукопе-ренос в работе [5] использовалась упрощенная модель, в которой среднее поле струи аппроксимировалось функцией, зависящей только от радиуса, и не учитывалось аксиальное изменение радиального профиля среднего поля. Более полное и свободное от эмпирицизма описание рефракции звука возможно в рамках линеаризованной модели Эйлера с учетом нелинейных источников в правой части уравнений [6]. В силу линейности левой части уравнений акустический сигнал дальнего поля может быть определен на основе теоремы о взаимности между прямой и сопряженной функцией Грина. В рамках решения сопряженной задачи источник и наблюдатель меняются местами, что приводит к экономии вычислительных ресурсов в условиях, когда требуется найти акустическое поле лишь в нескольких заданных положениях наблюдателя (микрофона), а не объемное распределение мощности звука в дальнем поле струи.

Поскольку линеаризованные уравнения Эйлера в общем случае не являются самосопряженными, для определения сопряженной функции Грина решается сопряженная система уравнений [7]. Решение системы уравнений ищется в спектральном по времени пространстве, важным преимуществом этого пространства с теоретической точки зрения является то, что оно более естественно для построения модели турбулентного источника. С численной точки зрения это приводит к необходимости решать систему эллиптических линейных уравнений в частных производных. Для решения уравнений необходимо использовать численный метод, который должен быть не только экономичен, но и достаточно надежен, чтобы с учетом больших градиентов среднего поля

Рис. 1. Решение тестовой задачи о рефракции звука, порождаемого монопольным гауссовым источником внутри струи, при прохождении акустической волны через параллельный слой скорости гауссового распределения с характерной

шириной Ay = 1.3:

а — распределение амплитуды акустической флуктуации давления на расстоянии у = 15; б — пространственное распределение

амплитуды акустических колебаний

струи не приводить к нефизичным решениям в виде паразитной сдвиговой неустойчивости [8]. Для подавления численной неустойчивости, возникающей при решении краевой задачи, использовалась новая итерационная схема типа Адамса с локальным перемасштабированием итерационного шага, которое осуществлялось для подавления наиболее неустойчивых собственных чисел системы линейных уравнений [9]. Валидация метода проводилась на серии тестовых задач с известными аналитическими решениями, включая задачу о расчете рефракции звука через параллельный сдвиговый слой в режиме получения только акустической компоненты решения без примеси волны неустойчивости [8] (рис. 1).

В ряде работ по моделированию шума от турбулентных струй использовались статистически стационарные решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса (RANS) [10, 11] с использованием k-£ модели турбулентности. В результате моделирования были получены средние поля и осредненные статистические характеристики турбулентного течения струи. Необходимая для расчета акустической мощности двухточечная пространственто-временная корреляционная функция источник в струе моделировалaсь с помощью полуэмперической аналитической функции, параметры которой (амплитудный коэффициент, пространственный и временной масштабы) определялись из решения RANS. Параметры, полученные из решения RANS, считались предварительными, и окончательные их значения определялись с помощью «кaллибровки» по экспериментальным данным спектрaльной плотности звука для одного угла наблюдателя (90° к струе). В частности, в работе [11] на основе решения RANS была построена модель акустического давления «мелкозернистой» турбулентности по аналогии с давлением в кинетической теории газов. В работе [12] показано, что та же самая модель источника может быть получена, используя метод акустической аналогии Лайтхилла.

Большинство моделей для расчета шума турбулентных струй, основанных на турбулентной статистике, полученной из решения RANS, приводят к существенной недооценке звукового сигнала для малых углов к струе [11, 12], на которые приходится максимум излучаемой звуковой мощности в струе. Одной из основных причин этого дефекта существующих моделей, большинство которых получено при допущении об изотропности турбулентного источника, является полное пренебрежение анизотропностью источника [13]. В настоящей работе, наряду с использованием стандартного RANS-методa, для более полного описания статистики турбулентных пульсаций струи используется прямое моделирование турбулентности методом крупных вихрей [14]. В рамках этой модели оказывается возможным построить более реалистичную модель акустического источника с учетом его анизотропной направленности и более точной оценки его характерных масштабов. За основу для моделирования в настоящей работе был взят эксперимент JEAN [15]

по истечению дозвуковой изотермической струи из круглого конусообразного сопла. Характерные параметры струи на выходе из сопла: число Маха M = 0.75 и число Рейнольдса, определенное по диаметру сопла, Re = 106.

Постановка задачи. Введем флуктуации переменных плотности, давления, скорости и энтальпии относительно средних по времени величин

Р = Р + Р , Р = Р + Р , V + V1

' = П +1

где прямая черта соответствует простому осреднению по времени, а волнистая — осреднению по

Фавру с учетом изменения плотности, например, И = ■Р^ . Уравнения Навье — Стокса записыва-

Р

ются в виде линеаризованных уравнений Эйлера с неоднородной правой частью [6]:

др' д ...

—+ — (р V, + и, ) = 0,

дт Ъу}

ди

др

дл?,

/ПЛ

+ ~ (V и) + — + и,пг- -

дт ду,

дт,, дТ-

,

дУ, дУ,

/ = 1,2, 3,

(1)

1

(

у-1

дР

дт

+

тЧр'Л,) + ^~(и,Иг) + р- -± = й-

У-1) дУ,У1 дУ- ' 1 7 " дУу I Р ) дУ,

В уравнениях (1) используются переменные Фавра для импульса и,, = рл,, что позволяет исключить появление ненулевой правой части в уравнении плотности при осреднении по времени. Флуктуации энтальпии относительно среднего по Фавру определяются следующим образом:

= И + — V2, 2

7 » . ~ № . 1 »2

= И + V,- Л, +— V .

Источники в правой части определяются как

ГГ/

Т- = -(Р^ ^ - ),

дТ' 1

й = -'V ,■—- + _ 5,7

7 дУ, 2 11

Щ . дУк Т'

От дУк 11

где О/От — субстанциональная производная, = — + V, (у)-д-.

От дт дУ-

Отметим, что существенным достоинством формулировки Голдстейна является то, что правая часть (1) содержит пульсационные члены в виде рейнольдсовских напряжений (оставшихся после линеаризации уравнений Навье — Стокса), которые являются удобными для прямого численного моделирования. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением изотермических турбулентных течений. Для изотермических струй изменением энтальпии можно пренебречь, и

дТ- 1

й ~-V ,—- +—5г1

1 дУ, 2 1

ОТ1 +д£_Т./

От дУ

к

Решение уравнений (1) может быть получено с помощью метода матричной функции Грина [16]. В этом методе решение звуковой пульсации дальнего поля находится интегрированием

компонент источника с функциями Грина, являющихся решениями четырех линейных задач (к = 1, 2, 3, 4):

дрк

+—(р' V к + и]к) = 0,

дт дх

7

д% д . дрк ду

—— +----------(V ,«1к) +-йк + «,к—-

дт дх, 7 дх, дх,

—7 = Ь,к-6(х - У, г-т) / = 1,2,3, дх,

(1а)

Л

у-1

эр!

дт

+

1

Л

у-1

дг,

^ (Ркг7 ) + ^ («}кИ) + Рк д- -

дх, дх, дх,

д7 = б4к -5(Х -y,г-т),

дх,

где 5гк — символ Кронеккера.

При решении уравнений в частотной области, введя следующие определения прямого и об-

^ 1 ^

ратного преобразования Фурье, /(ю) = I /в~1ШЖ; /(г) = — Г /(ю)в,т3ю, используем следую-

■’ 2п ■’

-^ -«>

щую формулу для нахождения фурье-образа акустического сигнала в точке наблюдателя:

р(х, ю) = |

я3(у)

^ дЦ - ^

«11 (х,юI У)^ (у,ю) + Р4(х,юI У)6(У,ю)

дУ,

где «и (х, ю | у), «22(х, ю | у), «33(х, ю | у), р4(х, ю | у) — фурье-образы компонент решения, соответствующие диагонали матричной функции Грина 0(—} :

С ■■(п)

]]

г 44

= «7 (х, ю | у) (п) = р(х, ю | у).

7 = 1,2,3,

Здесь и далее суммирование по двум повторяющимся индексам для матрицы С не подразумевается.

Для распределенного источника задача вычисления всех матричных функций Грина (1а) становится чрезвычайно громоздкой. К счастью, для нахождения акустического сигнала в одной или нескольких точках наблюдения этого и не требуется. Дело в том, что в силу линейности задаче о переносе звука, излученного точечным источником в точку наблюдения, можно поставить в соответствие сопряженную ей задачу, отвечающую сходящимся акустическим волнам в точке наблюдения, пришедшим от источников звука в струе. Смысл сопряженной задачи можно пояснить на следующем примере. Рассмотрим струю в виде параллельного слоя смешения. Прямой задаче соответствует задача о рефракции звука от точечного источника, расположенного внутри струи. В сопряженной постановке время течет в обратную сторону, источники и стоки меняются местами, и из точки наблюдения в дальнем поле испускается акустическая волна, задачу о рассеянии которой на неоднородном поле струи и требуется решить.

В настоящей работе для этой цели использован метод сопряженной векторной функции Грина [7]. Метод сопряженной функции Грина основан на использовании теоремы о взаимности между прямой и сопряженной функцией Грина для линеаризованных уравнений Эйлера. Для доказательства этой теоремы каждая компонента системы линеаризованных уравнений Эйлера умножается на соответствующую сопряженную переменную. Результат сложения вкладов всех компонент интегрируется по всему объему струи от границ сопла до бесконечности. После эквивалентных преобразований, с использованием интегрирования по частям, полученные уравнения приводятся к виду:

+10

Дополнительный член /0 включает поверхностные интегралы по границе сопла и на бесконечности. Этот член равен нулю при условии равенства нулю нормальной компоненты сопряженной скорости на границе сопла и при стандартных допущениях о затухании решения линейной задачи и коэффициентов среднего поля на бесконечности. При использовании этой теоремы для нахождения акустического сигнала в точке наблюдения достаточно найти только один вектор сопряженной функции Грина. Это позволяет свести задачу к решению лишь одной системы линеаризованных уравнений — системе сопряженных уравнений Эйлера с точечным источником в правой части, отвечающей переменной сопряженной давлению:

дО0

дУ,

- +

V Р /

дО0

-- О

дл?,

+

- дО4

дУ, дУ, дУ, дУ,

+

дУ7

( О >

= о,

дт „

-ІL = 0 7 = 1,2,3, дУ,

у-1

+

у-1

дО4

дУ I

-О,

+^ = 8(у - х).

дУг дУ

(2)

При решении задачи (2) наблюдатель располагается в точке дальнего поля х, О0 — сопряженная переменная плотности, (^1 — О3 — компоненты сопряженных переменных скорости,

(^4 — сопряженная переменная давления. Отметим, что решение этой системы соответствует одновременному нахождению всей требуемой диагонали матричной функции Грина в силу Оу (у, -ю|х) = -&"') (х, ю | у). Сопряженная система линеаризованных уравнений Эйлера (2) решается численно. Для численного решения использовался конечно-разностный метод, в котором пространственные производные аппроксимировались центральными разностями второго порядка. Для сохранения второго порядка аппроксимации на гладких криволинейных сетках использовался стандартный переход к пространству с однородным сеточным распределением, где сеточ-

д(х г)

ная матрица перехода (матричный якобиан) --------— от криволинейной неоднородной сетки (х, г) к

д(1,7)

ортогональной однородной (1,7) вычислялась с тем же порядком. На всех границах использовались одномерные характеристические граничные условия. Для уменьшения численных эффектов отражения волн от открытых границ, в дополнение к характеристическим граничным условиям, в приграничных зонах использовались специальные «буферные» области. В этих буферных зонах была задействована более грубая (подстраивающаяся для каждой частоты) разностная сетка и вводилась искуственная диссипация с использованием производной второго порядка. Коэффициент перед второй производной полагался равным нулю внутри области и плавно возрастал к границе. Получающаяся система линейных алгебраических уравнений решалась с помощью введения фиктивной производной по времени (параметра итерации) до установления стационарного решения. Для проведения итераций использовалась схема Адамса первого порядка, модифицированная введением разномасштабного итерационного шага для подавления численной неустойчивости при расчете переноса звука в слое смешения.

После определения сопряженной функции во всей области решения с ненулевым источником флуктуация давления в точке наблюдателя дальнего поля находится как интеграл свертки:

р(х, ю) = - |

(

Д3(у)

дТ .

-ю | х)~ (у, ю) + С?4(у,-

дУ 7

\

ю | х)ё(у, ю)

(3)

где Т^ (у, ю) и <2(у, ю) — фурье-образы компонент источника. Проинтегрировав (3) по частям и

подставив полученное выражение в определение мощности звука, можно получить следующую формулу для спектральной плотности звука:

Р(х, ю) = | Ціщ (у, 4 ю)І,] (у, ю І х)4/ (у + А, -® I х) Л3 АЛ Зу , я3(у)

где введено следующее обозначение для тензора функции Грина:

Л дС ]

I,] (у, ю I х)=——(у, ю I х) -

дУ,

ут~(у)^^4 (у, ю I х) + V] (у)дСс4(у, ю I х)

дУ, дУ,

6„ ( д ) -

Су, ю I х).

+-± 2

,ю+Ук —

дУк у

Здесь Ё,]-ы (у,А, ю)— фурье-образ двухточечной корреляционной функции турбулентного источника:

] (у, А, ю) = І ] (у, А, Т)е-,ют л т = ІТ] (у, і )Т'ы (у + А, і + т)е-,ют Л т, (5)

модель которой будет рассмотрена в следующем разделе.

Во всех расчетах и результатах эксперимента, приведенных в данной работе, спектральная плотность звука (2.12), соответствующая акустической мощности струи в точке наблюдения,

Ф(х, ю) ^ ч_ 1

Ро~ 2п

представлена в единицах дБ: Ж = 10 • ^10-2—, ф(х, ю) = — Р(х, ю), где принято использо-

вать значение Р0 = 2 10_5 Па. Отметим, что в соответствии с теоремой Парсеваля площадь под кривой Ф(х, ю) равна среднеквадратичной пульсации давления — акустической энергии в точке наблюдения:

І Ф(х, ю)# = І Р '(х, і)2Лі, Р '(х, і) = р(х, і)■

Модель акустического источника. Для моделирования источника в настоящей работе было использовано решение на основе метода крупных вихрей (ЬБ8). В рамках ЬБ8 предполагается, что операция фильтрации решения по пространству статистически эквивалентна операции осреднения по ансамблю реализаций поля турбулентных пульсаций. Ширина фильтра настраивается в соответствии с минимальным характерным масштабом турблентных пульсаций, который может быть разрешен на заданной сетке с использованием численного метода. Использование операции осреднения приводит к проблеме замыкания системы уравнений, содержащих рей-нольдсовский член напряжения в уравнении для импульса. Для моделирования подсеточных масштабов в решении ЬБ8, использовавшемся в настоящей работе, применялась стандартная модель Смагоринского с коэффициентом (С$) 0.15 и ее модификация с дополнительным введением вязкости у границ сопла для предотвращения нефизичного отрыва пограничного слоя от границы сопла. Для решения системы уравнений Навье — Стокса в рамках ЬБ8 использовался консервативный конечно-разностный метод на основе направленных разностей второго порядка аппроксимации по пространству. Численное решение было получено на многоблочной гексагональной структурированной сетке, позволяющей обеспечивать достаточно малую диссипативность решения по сравнению с тэтраэдральными сетками. Для интегрирования по времени использовалась схема Рунге — Кутта третьего порядка. Полный размер расчетной сетки с учетом сопла соответствовал 17 106 ячеек. Численный алгоритм был реализован с использованием технологии распараллеливания МР1 на многопроцессорном кластере университета Лафборо, Великобритания, так, что каждый блок сетки соответствовал одному процессору [14]. Решению ЬБ8 при нулевых начальных условиях требовалось порядка 100 000 шагов для выхода на статистически стационарное распределение средних величин. После выхода на полезный режим было сделано еще 100 000 шагов, в течение которых решение выгружалось с интервалом в 40 временных шагов ЬБ8 для акустического постпроцессинга.

Решение ЬБ8 использовалось для вычисления коэффициентов корреляции для ряда точек струи х, расположенных на расстоянии от 2 до 8 диаметров сопла от начала струи и на расстоянии

+«>

+«>

Rn,n(dx,dt)

1.2

0.8

-0.2

■ LES, dx/D = 0

♦ LES, dx/D = 0.1

* LES, dx/D = 0.21

• LES, dx/D = 0.32 x LES, dx/D = 0.43 + LES, dx/D = 0.61

■a— Gaussian fit, dx/D = 0 -«—Gaussian fit, dx/D = 0.1 ■*— Gaussian fit, dx/D = 0.21 «—Gaussian fit, dx/D = 0.32 Gaussian fit, dx/D = 0.43 -i—Gaussian fit, dx/D = 0.61

0.4 0.6

0.65 Uj /D dt

Rn,n(dx,dt)

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

LES, dx/D = 0 LES, dx/D = 0.15 LES, dx/D = 0.31 LES, dx/D = 0.48 LES, dx/D = 0.64 LES, dx/D = 0.1 Gaussian fit, dx/D =0 Gaussian fit, dx/D = 0.15 Gaussian fit, dx/D = 0.31 Gaussian fit, dx/D = 0.48 Gaussian fit, dx/D = 0.64 Gaussian fit, dx/D = 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.65 Uj /D dt

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.8

0

a) б)

Рис. 2. Аппроксимация двухточечной корреляционной функции источника, полученной при обработке решения LES с помощью аналитической гауссовой функции («Gaussian fit») для точки внутри струи на расстоянии rlD = Q.5 от оси симметрии и на расстоянии от внешней кромки сопла: a — x/D = 4; б — xlD = б. Аргументы двухточечной

корреляционной функции:

dxlD — сдвиг по пространству; UlD dt— сдвиг по времени; D — диаметр струи; U — скорость струи при выходе из сопла (данные LES

соответствуют осреднению по азимутальному направлению)

от 0.2 до 0.7 диаметров сопла от оси симметрии струи. Основное внимание уделялось анализу коэффициентов корреляции в аксиальном направлении х, отвечающему основному направлению переноса в струе. Соответствующие функции корреляции второго и четвертого порядка определялись по формулам:

Ку (У, А,Ж) = 7р(у + А, т + ж)у'(у + А,т + Ж)л/р(у, т)у"} (у, т)

К,]Ш (У, А, &) = р(у + А, т + Ж >'(у + А, т + Ж )у* (у + А, т + Ж )р(у, т>Ш (у, ф'(у, т) -,

р(у + А, т + <*)у(у + А, т + Ж )уУ (у + А, т + Ж) • р(у, т>Ш (у, т)у(у, т)

где черта обозначает осреднение по длине временного сигнала. Для изотермических струй результат осреднения с высокой точностью совпадает с результатом осреднения пульсаций скорости без учета плотности р(х), которая может быть вынесена за знак осреднения.

Как показывает сравнение с обработанными результатами прямого численного моделирования (ЬБ8), двухточечная корреляционная функция (5) может быть хорошо аппроксимирована простой, компактной для интегрирования гауссовой функцией (рис. 2):

КуШ1 ^ ^ т) = А,]Ш1 (У)ехр[-А1/(м (У К (У)) - 1п2 (А1 - (т)2 +А 2 +а2 )/12 (У) (6)

где АуШ1 (у) — амплитуда автокорреляции компоненты, отвечающей пространственным индексам

/, у,Ш,I = 1,2,3 в точке у , и — средняя скорость струи в этой точке, ^ (у) и т^ (у) — характерные корреляционные масштабы длины и времени и Аь А2, А3, т — смещения между двумя точками по пространству и по времени (индекс 1 соответствует координате в направлении течения струи, индексы 2 и 3 — координатам в направлении полярного угла и по радиусу).

В отличие от ряда предыдущих работ [11, 12], в настоящей статье все параметры (6) однозначно определяются из решения ЬБ8. При обработке данных ЬБ8 оказалось, что пространственные распределения функций автокорреляции и корреляционных масштабов могут быть приближены на основе соответствующих комбинаций переменных, полученных из решения ЯЛК8 [7, 10 — 13]:

Ajki (y) = C,jki (2Pk)2, ls (y) = Clk312/e, (y) = cxk /e,

(7)

где Cjik , Ci, cT — безразмерные параметры, слабо меняющиеся в наиболее акустически активной зоне струи (в окрестности 2 — 3 диаметров струи в конце потенциального ядра струи), 3/2

k / e и k / e — турбулентные масштабы k-e модели RANS. Отметим, что в данной работе использовалось решение RANS, полученное с помощью пакета Fluent с использованием стандартных установок и без какой-либо специальной настройки на решение LES.

Найденные значения безразмерных параметров (7) находятся в хорошем согласии с параметрами, полученными в ряде других моделей, откалиброванных на экспериментальных акустических данных по круглым струям (см. таблицу). Это говорит о том, что в рамках струй одного класса набор эмпирических параметров может считаться универсальным. Возможность использования моделей RANS, наряду с LES, является важным преимуществом для практических инженерных расчетов, для которых необходимым является не только получение решения в пределах критической точности, но и в сжатые сроки, например до начала дорогостоящих стендовых испытаний новой конструкции сопла.

Безразмерные параметры пространственных и временных масштабов и амплитудного коэффициента

Параметры [11] Параметры [12] Параметры, полученные в настоящей работе из анализа решения LES

Временной масштаб, ci 0.13 0.78 0.37

Пространственный масштаб, ст 0.308 1 0.36

Амплитуда, yjcj 0.257 0.26 0.25

Отметим, что в отличие от ряда предыдущих работ [10 — 13], в данной работе параметры (7) однозначно определены из принципов решения ЬБ8 с точностью ±10% . Как показали проверочные расчеты, эта точность соответствует изменению акустического интеграла в точке наблюдателя в пределах ±0.5 дБ.

На рис. 3, в приведено сравнение величины автокорреляций только для одной величины — свертки диагональных элементов тензора источника Кцц, имеющей смысл среднего квадрата турбулентной кинетической энергии для решений ЬБ8 и ИЛК8 в разных аксиальных точках струи. Такое же хорошее соответствие получено и для пространственного и временного корреляционных масштабов на основе решений ЬБ8 и ИЛК8, откалиброванного с помощью трех постоянных параметров (рис. 3, а, б).

0.0003 0.00025 0.0002 0.00015 0.0001 0.00005

0

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 x/D 0.1

rin-flS

. r/D - 0 6

-L- r/D - 0.475

x/D

8

4

a)

б)

в)

Рис. 3. Сравнение параметров двухточечной корреляционной функции источника, полученных с использованием приближения решения LES гауссовым распределением («Gaussian fit») и решения RANS для разных точек в струе: а — пространственного масштаба корреляции Ь(у); б — временного масштаба корреляции т для r/D = 0.5; в — амплитудного коэффициента = jRj (y, 0,0) /(2pk) для r/D = 0.475, 0.5, 0.6 (обозначения x, r, D те же, что на рис. 2)

2

4

6

6

0

2

4

6

8

R1222

R1112[

R2323

R1212

R1133

R2233

R1122

R3333

R2222

R1111

TiiTkk

R1222

R1112 С

R2323

R1212

R1133

R2233

R1122

R3333

R2222

R1111

TiiTkk

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

a)

0.8 1.0

б)

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Рис. 4. Азимутально осредненные величины автокорреляций компонент акустического источника, соответствующих различной направленности и нормированных на амплитуду Rnnty, 0, 0) для точек на расстоянии r/D = 0.5 от оси

симметрии струи и на расстоянии от внешней кромки сопла:

a — x/D = 4; б — x/D = 6

Знание величины Run само по себе еще недостаточно для расчета шума. Однако, используя пульсации компонент скорости, полученные из LES, можно таким же образом получить и все остальные величины автокорреляций, Rjki. При обработке данных LES оказалось, что наиболее

существенными являются всего 6 компонент (компонента 1-я параллельна оси струи, а 2-я и 3-я лежат в плоскости, перпендикулярной ей; 2-я — азимутальное направление; 3-я — радиальное): R1111, R2222, R3333, R1212, R1313, R2323 (и компоненты, равные им, из соображений симметрии, такие, как R2112, R1221 и т. д.) [17]. Оказывается, что в зоне максимальных амплитуд автокорреляций турбулентных пульсаций струи — области слоя смешения — относительные величины автокорреляционных коэффициентов слабо зависят от местоположения в струе (рис. 4). Аналогичное распределение относительных величин автокорреляций было получено при обработке результатов LES при моделировании другой круглой изотермической струи с числом Маха M = 0.9 и числом Рейнольдса Re = 104 [18]. Это является свидетельством в пользу достаточной универсальности найденной направленности акустического источника в классе дозвуковых изотермических турбулентных струй.

Результаты моделирования. На рис. 5, 6 приведены результаты моделирования круглой изотермической струи с параметрами, соответствующими эксперименту JEAN. Процесс линейного звукопереноса в струе с учетом геометрии кромки сопла рассчитывался с помощью решения

Акустическая мощность струи в точке наблюдения, дБ

Гц

Гц

Гц

a)

б)

в)

Рис. 5. Сравнение результатов расчета спектральной плотности мощности звука с экспериментом для наблюдателя

под разными углами относительно струи: а — 30°; б — 60°; в — 90°. Маркеры соответствуют результатам расчета, сплошная линия — экспериментальным данным (цена одного деления на графиках соответствует 10 дБ, частота 10 кГц соответствует числу 8Ь = /Ц/Ю = 2)

о 5 10 15 о 5 10 15 о 5 10 15

а) б) в)

Рис. 6. Эффективный источник звука — пространственная плотность акустической мощности в струе при угле

наблюдения 30° к струе и частотах:

а — /и/О = 0.2; б — /и/О = 1; в — /и/О = 2 (контуры соответствуют нормировке на максимальное значение величины при /и/Д = 0.2, /— размерная частота в Гц. Обозначения для х, г, О, и те же, что на рис. 2)

системы линеаризованных уравнений Эйлера (2) в осесимметричной постановке. Модель турбулентного акустического источника строилась на основе решения ЯЛК8 и восьми безразмерных параметров, полученных из решения ЬБ8 (4) — (7). Результаты расчета спектральной плотности звука находятся в пределах точности 2 дБ от экспериментальных данных для широкого диапазона частот и углов наблюдателя.

Следует подчеркнуть, что полученная точность достигнута без каких-либо эмпирических настроек, все компоненты модели однозначно определены из решения уравнений Эйлера, решений ЯЛК8 и ЬБ8. Важным преимуществом моделирования шума турбулентной струи с использованием теоремы о взаимности является то, что, поскольку спектральная плотность звука находится как свертка функции Грина с источником, оказывается возможным идентифицировать распределение плотности эффективного звукового источника внутри струи для каждых частоты звука и положения наблюдателя. Распределение плотности эффективного звукового источника показывает, где внутри струи создается звук, обладающий максимальной звуковой мощностью и способный достичь наблюдателя при заданных частоте и угле наблюдения. Например, как видно из рис. 6, с увеличением частоты звука эффективный звуковой источник приближается к соплу, и при частоте, отвечающей максимальной мощности звука, он лежит вблизи конца потенциального ядра струи. Амплитуда плотности эффективного акустического источника плавно меняется в слое смешения струи, а в середине струи имеет резко очерченный максимум за потенциальным ядром струи. Отмеченные характерные черты распределения плотности эффективного звукового источника хорошо согласуются с результатами недавних измерений зависимости коэффициентов кросс-корреляции турбулентных пульсаций в отдельных точках осесимметричной изотермической струи, соответствующей М = 0.9, и акустического сигнала в точке наблюдения под малым углом к оси струи, с использованием метода молекулярно-релеевского рассеяния [19].

Выводы. Представлен новый гибридный подход для моделирования шума турбулентных струй и дано описание каждой из его трех основных компонент: линеаризованной модели звуко-переноса, двухточечной корреляционной функции турбулентного источника на основе решения ЬБ8 и ее аналитической гауссовой модели с использованием упрощенной модели ИЛК8. Для построения аналитической модели источника использованы параметры, однозначно определяемые из решения ЬБ8, которые могут считаться универсальными для этого класса дозвуковых изотермических круглых струй.

Результаты моделирования шума находятся в пределах допустимой точности (2 дБ) от экспериментальных данных в широком диапазоне частот и углов наблюдателя. Новый метод позволяет идентифицировать эффективный звуковой источник в струе, ответственный за генерацию и перенос звука для разных частот и углов наблюдателя.

1.Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically: I. General theory // Proceedings of the Royal Society of London A, 222, 1952, p. 564 — 587.

2. Ffowcs Williams J. E. The noise from turbulence convected at high speed // Phil Trans. Roy. Soc. Lond. 255, 1963, p. 469 — 503.

3. Dowling A. P., Ffowcs Williams J. E.,Goldstein M. E. Sound production in a moving stream // Phil Trans. Roy. Soc. Lond., A 288, 1978, p. 321 — 349.

4. Mani R. The influence ofjet flow on jet noise. Parts 1 and 2 // J. Fluid Mech., 73, 1976, p. 753 — 793.

5. Lilley G. M. On the noise from jets // Noise Mechanisms, CP-131-Agard, 1974, 113.1 — 13.12.

6. Goldstein M. E. A generalized acoustic analogy // J. Fluid Mech., 488, 2003, p. 315 —

333.

7. Tam C. K. W., Auriault L. Mean flow refraction effects on sound radiated from localized sources in a jet // J. Fluid Mech., 370, 1998, p. 149 — 174.

8. Argawal A., Morris P. J., Mani R. Sound propagation in non-uniform flows: Suppression of instability waves // AIAA J., 42, 2004, p. 80 — 88.

9. Karabasov S. A., Hynes T. P. Adjoint Linearized Euler solver in the frequency domain for jet noise modelling // AIAA-2006-2673, 12th AIAA / CEAS Cambridge, Massachusetts, 2006.

10. Bechara W., Lafon P., Bailly C., Candel S. M. Application of a k-£ turbulence model to the prediction of noise for simple and coaxial free jets // J. Acoust. Soc. Am. 97, 1995, p. 3518 — 3531.

11. Tam C. K. W., Auriault L. Jet mixing noise from fine scale turbulence // AIAA J., 206, N. 2, 1999, p. 145 — 153.

12. M o r r i s P. J., F a r a s s a t F. Acoustic analogy and alternative theories for jet noise prediction // AIAA J., 40, 2002, p. 671 — 680.

13. Afsar M. Z., Dowling A. P., Karabasov S. A. Jet noise in the zone of silence // AIAA-2007-3606, 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference. — Rome, Italy, May 2007.

14. Page G. J., Li Q., M c Gui r k J. J. LES of impinging jet flows relevant to vertical landing aircraft // AIAA-2005-5226, 23rd AIAA Applied Aerodynamics Conf. — Toronto, Canada, June 2005.

15. Power O., Kerherve F., Fitzpatrick J., Jordan P. Measurements of turbulence statistics in high subsonic jets // AIAA-2004-3021, 10th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference. — Manchester, UK, June 2004.

16. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1.— М.: Мир, 1978.

17. Karabasov S. A., Afsar M. Z., Hynes T. P., Dowling A. P., Pocora C., McMullan A., Page G., McGuirk J. J. Using large eddy simulation within an acoustic analogy approach for jet noise modelling // AIAA Рaper 2008-2985, 14th AIAA/CEAS conference. — Vancouver, Canada, 5 — 7 May 2008.

18. Xia H, Tucker P. G., Eastwood S. Jet flow LES of conceptual nozzles for acoustics predictions // 46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, Nevada, 7 — 10th Jan 2008, Paper AIAA-2008-0010, 2008.

19. Tam C. K. W., Vi s wan athan K., A huj a K. K., Panda J. The sources of jet noise: experimental evidence // J. of Fluid Mech., 615, 2008, p. 253 — 992.

Рукопись поступила 3/VII2009 г.