Исчисление сложности и трудности учебных тестовых заданий по математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 37.001.5

Л. В. ГИДЛЕВСКИЙ Т. В. КОШКАРОВА

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

Омский государственный аграрный университет

ИСЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНОСТИ И ТРУДНОСТИ УЧЕБНЫХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

В работе анализируются недостатки распространенных подходов к оценке сложности учебных задач по математике, выполняющих функции тестовых заданий. Предлагается простой способ оценки трудности учебных тестовых заданий, имеющий высокое разрешение и широкие перспективы практического использования в школе и в вузе.

Ключевые слова: тестовое задание, сложность задачи, граф структуры решения, трудность решения, субъект-предикатный подход.

Проблема оценки таких характеристик учебных тестовых заданий, как сложность и трудность, находится в числе основных проблем современного российского образования. Это вызвано как массовостью тестовых мероприятий, например, ЕГЭ, так и очевидным характером необходимости индивидуализированного обучения.

Результаты анализа работ, посвященных данной проблеме, имеются в ряде публикаций, например, в [ 1 — б]. Основные выводы из этих результатов можно сформулировать в нескольких пунктах.

1. Большинство исследователей полагает, что трудность тестового задания — это субъективная характеристика, которая зависит от огромного числа «внутренних параметров» человека и не может быть эффективно формализована. Однако Р. А. Гильманов и др. считают, что трудность, как и сложность, могут выступать объективными, а точнее, объективированными характеристиками, поскольку зависят от вполне объективных алгоритмов человеческого мозга [1, 2, 7].

2. Большинство исследователей использует в качестве базовой исчисляемой характеристики сложность учебных тестовых заданий, ввиду отсутствия конструктивных подходов к оценке их трудности.

3. Под сложностью тестового задания часто понимается сложность его выполнения, выражаемую через количество операций. Однако при этом возникает ряд проблем, связанных с разнокачественностью операций, из которых одни оказываются сложнее других. Имеются и другие подходы, которые, однако, вместе с обозначенными, не дают эффективного инструментария оценки сложности заданий. Слишком низкой оказывается его точность.

Сказанное в последнем пункте отчасти будет проиллюстрировано ниже. Однако основной задачей данного сообщения является обоснование эффективности применения предлагаемого нами способа исчисления трудности выполнения тестовых заданий по математике. Эффективность предлагаемого ме-

тода в применении к тестовым заданиям по физике уже обсуждалась в ряде наших публикаций [1,8].

Для решения обозначенной выше задачи мы обсудим некоторые подходы к оценке сложности учебных тестовых заданий по математике. При этом особое внимание мы уделим методам В. И. Крупича, О. Б. Епишевой, а также Н. Г. Рыженко и его последователей, поскольку именно они достигли заметных успехов на пути создания практически пригодного инструментария для измерения сложности учебных задач по математике [3 — 5, 9, 10]. На пути исследований им удалось получить интересные и важные результаты. Анализ мы проведем с точки зрения поиска трудноустранимых противоречий, а затем попытаемся их учесть в предлагаемом нами методе. На этом пути мы и покажем эффективность нашего способа оценки трудности.

Обратимся к задаче, предложенной в [10, с. 64].

Задача 1. Определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны б см и 5 см (рис. 1).

Дано: А АБС; АВ=ВС = 5 см; АС = 6 см; ОВ, О А, ОС — радиусы описанной окружности.

Найти: ОВ.

Предлагаемое авторами решение является стандартным для данного типа задач и сводится к следующему. Из подобия треугольников ОВЕ и АВй следует:

ОВ ВЕ

----=----, откуда:

АВ ВБ

1) ОВ= -Б ВЕ ; (1)

ВО

2) ВЕ = -АВ; (2)

2

3) ВС = л/лВ2-А02 ; (3)

4) АГ> = -АС. (4)

2

Рис. 1. Рисунок к задаче 1

ОВ

Рис. 2. Граф структуры решения задачи 1 по [11, с. 66]

Граф структуры решения показан на рис. 2.

На рис. 2, в отличие от рис. 14 работы [10, с. 66] узлы соединены не стрелками, направленными вверх, а отрезками прямой. Направленные вверх стрелки в [9, 10] трактуются авторами как направления, в которых осуществляется решение задачи, что не совсем так, поскольку решение проводится в последовательности сверху вниз, а снизу вверх осуществляется подстановка известных значений величин для нахождения численного результата.

Для вычисления сложности решения авторы [10] предлагают способ, который уже был ранее описан в [9, с. 108]: Б=т+п+1, где т — число элементов задачи, п — число явных связей, 1 — число видов связей в структуре задачи [ 10, с. 57]. Под числом элементов т авторы понимают количество выражений вида с=аЬ [10, с. 60]. Данное выражение авторы называют основным отношением [10, с. 60].

В данном отношении величины а и Ь не должны являться константами [10, с. 66 — 67], хотя в то же время к основным отношениям авторы [10] причисляют выражения (2) и (4) в решении задачи, утверждая фактически, что высота в равнобедренном треугольнике не всегда делит основание пополам [ 10, с. 66 — 67]. Мы же считаем отношение половины к целому константой. С другой стороны, они отказывают выражению (3) во вкладе в сложность задачи, хотя как мы увидим далее, вклад этого выражения в трудность решения задачи (а тем самым и в сложность) самый высокий. Авторы не причисляют выражение (3) к основным, поскольку, по их мнению, оно не представлено в форме с—аЬ. Однако, кто мешает задать значение а или Ь, равное единице ? Можно также расширить диапазон признаков основного отношения, включив и другие операции, кроме умножения [3 — 5].

Таким образом, авторы [10] выделяют три элемента задачи:

АВВЕ

1) ОВ = -

ВО

ОВ, ВЕнАй. Чтобы связь вершин можно было считать явной, соответствующие вершины должны быть соединены одним отрезком. Например, явной считается связь вершин ВЕ и ОВ. Других явных связей для вершин ОБ, ВЕ и АИ нет. В случае неявных связей число соединяющих отрезков больше единицы. Так, на рис. 2 к неявным связям следует отнести связи между вершинами ОБ и АД ВЕ и АО, каковые связи обеспечены, соответственно, двумя и тремя отрезками. Таким образом, в структуре решения задачи имеют место два вида связей (1 — 2) — явные и неявные. Вычисляем сложность задачи: 5 = 3+1+2 = 6. Как можно видеть, цена деления шкалы сложности равна единице. Д5 = 1. Именно на столько отличаются по сложности смежные (по сложности же) задачи. Условимся, что разрешение шкалы в процентах равно:

АЗ-100 % л

в =--------. Для нашего случая это значение равно

5

приблизительно 17 %. Как видим, разрешение метода невелико, что, возможно, объясняется теми обстоятельствами, в соответствии с которыми авторы не задавались проблемой точности измерительного инструмента для сложности задач по математике.

Концепция основного отношения находит ограниченное применение в методологии авторов [9,10]. Так, например, в ряде задач по алгебре авторы данную концепцию не используют. Рассмотрим одну из таких задач для выяснения некоторых дополнительных аспектов методологии, предлагаемой указанными авторами для исчисления сложности математических задач.

Задача 2. «Выполнить поиск решения уравнения Зх + 1 х — 1

-----------= 1 и определить его сложность» [10, с. 57].

х + 2 х-2

Поиск, который предлагают авторы, состоит из последовательности преобразований, которые зафиксированы в следующих выражениях:

(Зх + 1)(х -2) (х -1) (х + 2) = (х + 2) (х-2) (х + 2) (х - 2) (х - 2) (х + 2) (х + 2) (х-2)

(Зх +1) (х - 2) - (х -1) (х + 2) = (х + 2) (х - 2) г

Зх2 + х-6х-2-х2 + х-2х + 2 = х2-4-

Зх +х-6х-2-х2 + х-2х + 2-х2+4 = 0,

х — 6х + 4 = 0 •

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2) ВЕ = — АВ;

2

4) АО = -АС.

2

В выражении для сложности фигурирует также количество явных связей п между вершинами, маркирующими основное отношение. Таких вершин три:

Авторы называют данные уравнения действиями или преобразованиями, хотя действие или преобразование — это процесс получения из одного выражения другого. Лучше было бы, на наш взгляд, назвать полученные уравнения (1—5) модификатами заданного условием задачи уравнения. Однако к последнему термину мы еще вернемся.

Как говорят авторы [10]: «Предварительно заметим, что аналитико-синтетический поиск решения уравнений, неравенств и их систем содержит только два вида преобразований: тождественные и равносильные. Тождественные преобразования — это преобразования выражений, а равносильные — преобразования формул» [10, с. 55]. О выражениях (1-5) авторы говорят следующее: «Здесь действия 1,3 и 5 тождественные, а действия 2 и 4 — равносильные преобразования» [10, с. 57]. Как можно понять, конструкты 1, 3 и 5 — это выражения, а 2 и 4 — формулы. Хотелось бы, конечно, понять получше, чем выраже-

о

>

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (98) 2011

ния отличаются от формул. Главную роль в решении задачи, по мнению авторов [10], играют тождественные преобразования. «Тождественные преобразования не нарушают равносильности уравнений, следовательно, уравнения, полученные в результате этих преобразований, можно принять в качестве элементов внутренней структуры исходного уравнения» [10, с. 56]. Несмотря на недостаточность используемого авторами концептуального аппарата, все же можно понять, что в расчетах сложности авторы учитывают лишь выражения 1, 3 и 5, связи между которыми не являются непосредственными, а опосредованы выражениями 2 и 4. То есть между выражениями 1, 3 и 5 существуют лишь неявные связи. С учетом сказанного, сложность решения данной задачи

5=3 + 0 + 1=4.

В последние годы активно развивается метод расчета сложности решений алгебраических задач, предложенный Н. Г. Рыженко и его последователями [3 — 5, 11]. Данный метод отличается от рассмотренного выше большей основательностью, более активным использованием графологического подхода, дальнейшим развитием метода отношений. Однако указанный метод имеет важное для нас противоречие, а именно: чем дальше отстоит действие от начала решения, тем больше его вклад в итоговую сложность. Другими словами, сколько действий, столько раз учитывается сложность последнего действия. Например, вклад сложности простых операций умножения на 0,5 в общую сложность решения задачи 1 составляет 60 %. Точность метода, по ряду причин, однозначно определить трудно.

Базовой характеристикой решений учебных задач, и в первую очередь тех, которые выполняют роль тестовых заданий в процедурах индивидуализированного обучения и измерения качества образования, является трудность. Данная характеристика зависит от сложности, каковая является суперпозицией величин и связей между ними, а также от ряда когнитивных характеристик, основные из которых могут быть эффективно учтены. Сложность решений задач, как мы видели выше, а иногда и их условий, определяется, главным образом, через количество операций, что вполне оправдано, и в большинстве случаев исчисляется количеством действий или близкой величиной. Исходя из сказанного, нами в свое время был предложен эффективный способ оценки трудности решений физических задач [1,8], каковой мы и проиллюстрируем на примерах рассмотренных выше задач, сложность которых при известном простом методе оценки трудности будет представлять, если можно так выразиться, исторический интерес.

Из рассмотренных выше примеров мы видели, что решения начинаются от выражений, которые необходимо подвергнуть последовательности модификаций (операций). Сказанное относится к большей части учебных задач. Для эффективного представления структуры содержания решения задачи наиболее убедительным представляется субъект-предикатный подход «в редакции» Л. П. Доблаева [12]. При таком подходе выражение, которое принимается в качестве исходного, выступает в роли главного текстового субъекта, предикат которого представляет собой иерархию текстовых субъектов более низких рангов. Первый шаг в рении задачи, как известно, самый трудный, последние же являются часто очевидными следствиями предыдущих. Разность в трудности . субъектов такой последовательности можно учесть, I положив коэффициент трудности субъекта послед-

него, самого низкого ранга равным единице, и увеличивать этот коэффициент на единицу при каждом повышении ранга, как это сделано, например, у А. И. Новикова [13, с. 160]. Этот «трудностный» коэффициент назовем коэффициентом иерархичности кг Каждый текстовый субъект может быть модифицирован в один или несколько субъектов ранга, который меньше на единицу. Если субъект далее не подвергается модификации, то коэффициент его модифицируемости кт принимаем равным единице. Если его «преемником» является лишь один модификат, то коэффициент модификации такого субъекта принимается равным двум. Если «наследниками» субъекта являются два субъекта нижележащего ранга (два модифи-ката), то для него коэффициент модифицируемости равен четырем и. т.д. При таком подходе трудность решения буде представлять собой сумму трудностей субъектов, составляющих предикат главного тестового субъекта. Трудности же соответствующего субъекта Тх вычисляются через произведение исходной трудности Т0, каковую удобно принять равной единице, на определенные для данного субъекта величины коэффициентов иерархичности к{ и модифицируемости кт [1, 8].

Величину Т. можно назвать трудностью определения для того или иного субъекта. Она зависит от двух коэффициентов. Коэффициент к. определяет трудность нахождения, а коэффициент кт — трудность раскрытия.

Иные «когнитивные» коэффициенты вводить нецелесообразно, поскольку это неоправданно увеличит громоздкость метода. Существенно, что для однозначности результатов трудность вычисляется лишь для экспертных решений, каковые являются самыми простыми, лаконичными, эффективными. Начнем с применения данного подхода к последней задаче, поскольку для нее структура решения является самой простой (рис. 3).

Главным текстовым субъектом является исходное выражение. Ему соответствует первый слева узел графа, имеющий обозначение (0). (1) — (5) — моди-фикаты, имеющие соответствующие обозначения в задаче, которая рассмотрена выше. (6) —модификат уравнения (5), который представляет собой выражение для вычисления корней квадратного уравнения. Для этого модификата коэффициент иерархичности к. равен единице, так же, как и коэффициент модифицируемости кт.

Составим таблицу 1 для субъектов (1) — (6).

Результирующее значение трудности, как нетрудно видеть, равно 41, что соответствует разрешению

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6)

•-----•------•-----•-----•-----•-----•

Рис. 3. Структура решения задачи 2

Таблица 1

Значения коэффициентов, а также трудности для субъектов, показанных на рис. 3.

Субъекты (1) (2) (3) (4) (5) (6)

К 6 5 4 3 2 1

К 2 2 2 2 2 1

12 10 8 6 4 1

шкалы трудности (дифференцирующей способности метода для задач данной трудности) около 2,5%.

Авторы [10] определили величину сложности данной задачи, равную 4 при разрешении 25 %.

Как видим, разрешение нашего метода на порядок выше. К тому же он свободен от противоречий. Можно заключить, что для оценки трудности учебных задач по математике, связанных с преобразованием выражений, предложенный нами метод обладает высокой эффективностью.

Теперь посмотрим, как обстоит дело с геометрическими задачами, анализ одной из которых был проведен выше (задача 1). В отличие от метода, предложенного О. Б. Епишевой и В. И. Крупичем, мы не придаем вершинам, обозначенным как 1/2 (рис. 2), статуса субъектов, поскольку субъекты должны либо являться переменными, либо содержать переменные (в нашем случае это длины отрезков). С учетом сказанного, граф решения будет иметь следующий вид (рис. 4).

Необходимые для оценки трудности данные внесены в табл. 2.

Субъекты АВ и АС являются конечными (терминальными) , поэтому для них значение кт = 1. Что же касается коэффициента иерархичности, то поскольку значения трудности для АВ и АС должны быть минимальными, то для них также полагаем величину к. = 1.

Итоговое значение трудности Т = 24, а разрешение шкалы — около 4 %.

Как видим, и для геометрических задач возможно применение предложенного нами метода оценки трудности решения. Метод прост и обладает приемлемой точностью для эффективного шкалирования задач по их трудности. Можно надеяться, что предложенный нами метод оценки трудности решений пригоден для эффективного шкалирования практически всех видов учебных задач из цикла математических дисциплин и может быть рекомендован для индивидуализированного обучения и измерения эффективности образования и качества его результата.

Заключение

В качестве тестовых заданий в дисциплинах естественнонаучного и математического циклов обычно используются типовые задачи. Для составления тестовых форматов исследователи не прекращают попыток поиска метода оценки сложности таких задач. Однако попытки создания эффективного метода оценки сложности задач не привели к ожидаемому результату. Так, например, в результате постулирования основного отношения в виде с = аЬ в геометрических задачах и тождественных преобразований в алгебраических задачах как структурных единиц решений метод О. Б. Епишевой и В. И. Кру-пича [9, 10] получил несколько проблем, а именно: действия в задаче, которые дают значительный вклад в сложность решения задачи часто не учитываются в расчетах, в результате чего из рассмотрения выпадают важные для решения задачи операции; метод, предлагаемый авторами, дает низкое разрешение шкалы сложности на уровне 15 —25 % вблизи середины шкалы.

Эти проблемы в сочетании со слабой проработанностью концептуального аппарата и низким разрешением шкалы сложности не позволили данному методу получить сколько-нибудь заметное распространение в современной школьной и вузовской дидактике.

ОВ

Рис. 4. Структура решения задачи 1, выявленная с применением субъект-предикатного подхода

Таблица 2 Значения коэффициентов и трудности для субъектов задачи 1

Субъекты К К

АВ 1 1 1

АС 1 1 1

АО 2 2 4

ВЕ 3 2 6

ВО 3 4 12

В методе Н. Г. Рыженко и др., который получил в настоящее время широкое распространение в качестве инструмента для оценки сложности сюжетных задач по математике, имеются, с нашей точки зрения, две проблемы: проблема веса операций, в первую очередь, элементарных, вклад которых в сложность может быть неоправданно высок; проблема высокого вклада последнего действия в результирующую сложность решения. Сказанное, как мы полагаем, может ограничивать применение данного метода для исчисления сложности решений задач по дисциплинам естественнонаучного цикла, а также по ряду разделов школьной и вузовской математики.

Предложенный нами метод оценки трудности задач по математике обладает высокой точностью, прост и потому доступен для применения рядовым преподавателем в его работе.

Библиографический список

1. Образовательно-инновационные технологии: теория и практика : монография [Текст] / В. А. Байдак [и др.] ; под общ. ред. проф. О. И. Кирикова. — Кн. 3. — Воронеж: ВГПУ, 2009. — 351с.

2. Образовательно-инновационные технологии: теория и практика : монография [Текст] / В. А. Байдак [и др.] ; под общ. ред. проф. О. И. Кирикова. — Кн. 6. — Воронеж : ВГПУ, 2010. — 143 с.

3. Быкова, Н. П. Моделирование как средство реализации преемственности в обучении решению задач / Н. П. Быкова, Н. Г. Рыженко//Омский научный вестник. — 2004. — №3(28). — С. 221-225.

4. Жигачева, Н. А.Сюжетные задачи по алгебре. 7 класс: учеб. пособие для учителей и учащихся / Н. А. Жигачева, Н. Г. Рыженко ; под ред. Н. Г. Рыженко. - СПб.: ЛииС, 2002. - 61 с.

5. Рыженко, Н. Г. Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения / Н. Г. Рыженко, Н. А. Жигачева//Вестник Омского университета. — 1998. — №4. — С. 111 — 114.

6. Балл, Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагоги-ческий аспект / Г. А. Балл. — М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

7. Гильманов, Р. А. Проблемы дидактометрии, трудности учебных упражнений/ Р. А. Гильманов. — Казань, 1989. — 179 с.

8. Гидлевский, А. В. Оптимизация метода оценки трудности дидактического тестового задания / А. В. Гидлевский // Омский научный вестник. — 2010. — №5(91). — С. 193—197.

9. Крупич, В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе / В. И. Крупич. — М.: Изд-во МГПИ, 1985. - 118 с.

10. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности : кн. для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. — М.: Просвещение, 1990. — 128 с.

11. Жигачева, Н. А. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач / Н. А. Жигачева, Н. Г. Рыженко // Математические структуры и моделирование. — 1999. — Вып. 4. — С. 104-117.

12. Доблаев, Л. П. Смысловая структура учебного текста и проблемы его понимания/Л. П. Доблаев. — М.: Педагогика, 1982. — 176с.

13. Новиков, А. И. Семантика текста и ее формализация / А. И. Новиков. — М. : Наука, 1983. — 219 с.

ГИДЛЕВСКИЙ Александр Васильевич, доктор философских наук, доцент (Россия), профессор кафедры философии Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского Адрес для переписки: e-mail: gidlevscky@yandex.ru КОШКАРОВА Татьяна Витальевна, начальник отдела методической работы и образовательных инноваций Омского государственного аграрного университета. Адрес для переписки: e-mail: koshkarovat@mail.ru

Статья поступила в редакцию 31.01.2011г.

© А. В. Гидлевский, Т. В. Кошкарова

УДК 373.1 н. Н. СТЛВРИНОВЛ

Г. А. ТУГУНБАЕВА

Сургутский государственный педагогический университет

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ И УСЛОВИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОФИЛЬНЫМ ОБУЧЕНИЕМ НА МУНИЦИПАЛЬНОМ УРОВНЕ

В представленной статье на примере Сургутского района ХМАО—Югры показаны механизмы изменения в деятельности муниципального органа управления образованием на этапе организации профильного обучения на старшей ступени школы, обоснованы условия, обеспечивающие результативность реализации новой модели и механизмов управления организацией профильного обучения в отдаленных сельских поселениях.

Ключевые слова: организационные механизмы, управление, профильное обучение, сеть, модель.

Одной из основных задач управления образованием, в условиях его модернизации, является организация деятельности муниципальной системы образования, позволяющей эффективно использовать существующие и обеспечивать появление новых возможностей для достижения личных и социальных целей всех субъектов образования. В основе такой деятельности лежат инновационные процессы, требующие адекватных механизмов управления. Одним из таких управляемых инновационных процессов является организация профильного обучения на старшей ступени общего образования.

Как известно, основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование должно стать более индивидуализированным, функциональным и эффективным. В процессе реализации этой идеи школы ориентируются на социально-образовательный заказ, формируемый «снизу» учащимися и их родителями, а также реализуют государственные инициативы, заявляющие те же направления изменений. Одним из таких заказов и в то же время государственной инициативой

является профильное обучение. По справедливому утверждению ряда российских ученых, профильное обучение представляет собой важную и перспективную инновацию, в успешной реализации которой заинтересованы не только педагоги, но и учащиеся, их родители, учреждения профессионального образования, работодатели и государство в целом [ 1 ].

Одной из целей введения профильного обучения на старшей ступени общего образования является предоставление возможности учащимся получить образование в соответствии с индивидуальными образовательными потребностями и возможностями. Однако, как показала практика организации профильного обучения в экспериментальных регионах, в отдельно взятом образовательном учреждении (особенно в малом сельском поселении) сложно удовлетворить разнообразные образовательные потребности учащихся, их интересы и запросы. Большинство учреждений общего образования имеют совокупные ресурсы (материально-технические, методические, кадровые) для реализации всего лишь одного или нескольких профилей, что зачастую является