CC BY
3Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 35
www.mai.ru/science/trudv/
УДК 532.517.4
Инженерная модель турбулентности с диффузией пульсациями
давления
И. Г. Головнев, С. А. Платов
Аннотация
Модифицирована популярная низкорейнольдсовая модель турбулентности к-8 Лама-Брэмхорста включением модели диффузии пульсациями давления в уравнение переноса энергии турбулентности, что позволило с достаточной для инженерной практики точностью предсказывать ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое. Модель диффузии пульсациями давления неградиентного типа - ёру/ёу=Сру*ё(Ш)/ёу (интеграл ёру/ёу по сечению слоя равен нулю, в однородном потоке ёру/ёу=0) с постоянным коэффициентом Сру.
Ключевые слова
модель турбулентности; энергия турбулентности; диффузия пульсациями давлении; ламинарно-турбулентный переход.
Введение
Появление современных программных комплексов вычислительной гидродинамики CFD с эффективными алгоритмами решения дифференциальных уравнений переноса импульса (энергии турбулентности k, etc.) на первый план с точки зрения достоверности и точности моделирования выдвинуло выбор модели турбулентности, содержащей минимум эмпирических констант и функций и универсальной для широкого класса течений.
С физической точки зрения основное требование к модели турбулентности как универсальной - это точность расчета коэффициента трения cf (или коэффициента теплоотдачи а) в едином алгоритме для ламинарного, переходного и турбулентного режимов течения.
Появился ряд сомнительных с физической точки зрения моделей, использующих: а) специальное феноменологическое дифференциальное уравнение переноса перемежаемости у (Cho-Chung, 1992, Menter, 2007, etc.), б) «экспоненциальный» дополнительный член в уравнении
переноса k «специально работающий» лишь в зоне ламинарно-турбулентного перехода [7], в) модель диффузии пульсациями давления как «источниковый» член в уравнении переноса k [8].
Более продуктивным представляется корректное моделирование всех членов (требующих аппроксимационных соотношений), в балансовых уравнениях переноса энергии турбулентности k, рейнольдсовых напряжений uiuj и диссипации 8 (завихренности ю, etc.) с использованием решений DNS [5]. В настоящей работе рассмотрена лишь первая стадия модификации двухпараметрических моделей типа k-8, а именно представлена модель для члена диффузии пульсациями давления, входящая в уравнение переноса энергии турбулентности k - именно этим членом практически все пренебрегают (на основе балансового уравнения для k течения в круглой трубе или плоском канале), полагая, что он будет малым и в других типах турбулентных сдвиговых течениях (в однородном потоке с изотропной турбулентностью член 3pv/3y равен нулю). Но метод «Plug and Play» при модификации конкретной k-8 модели на основе данных DNS (плоский канал) по балансовому уравнению для k не совсем корректен, потому константа Cpv модельного выражения для члена 3pv/3y хотя и должна быть близка к модельной по DNS, но для каждой конкретной k-8 модели, очевидно, будет разной (разные демпфирующие функции fp , разные константы уравнения для диссипации C81, C82 и др.).
Базовая модель Лама-Брэмхорста
Модель Лама-Брэмхорста [6] состоит из двух уравнений переноса (для упрощения записаны в двумерном приближении пограничного слоя): 1. энергии турбулентности к
ТТдк тгдк д U — + V— = — дх ду ду
v + -
К
С
ду
+ Рк -£ + D
2.
диссипации 8
ттде тгде д U— + V— = — дх ду ду
v +
v
С
д£ ду
+ ( fi - Рк - CS2 - f2 е) + E
к
замыкаемых соотношением по гипотезе Колмогорова-Прандтля [3]
К = см- f^- к-(к / е)
с константами и переменными
CA C s2 D E Sw Pk
1.44 1.92 1.00 1.30 0 0 5e/5y=0 Vt.(dU/dy)2
и эмпирическими функциями
f, f1 f2
[1 -exp(-0.01635• Re„)2 + R0-j ( \3 , 0.055 1 1 + - V f^) 1 - exp(- Re 2)
с граничными условиями:
- на твердой непроницаемой стенке к№=0, (38/3у)те=0;
- на внешней границе пограничного слоя кда=Гк(х), 8да=Г8(х).
Модель Лама-Брэмхорста и данные DNS
Модель Лама-Брэмхорста удовлетворительно предсказывает коэффициент трения cf в развитых турбулентных течениях в каналах и пограничных слоях благодаря удачно сконструированной демпфирующей функции f,.
Проведя расчет развитого турбулентного течения в плоском канале (при ReT=uxh/v~400) по CFD-комплексу [2], из сравнения баланса модельных членов уравнения переноса энергии турбулентности k (рис.1) с данными DNS (Rex=uxh/v=395, Moser-Kim-Mansour [5]), имеет место соответствие всех моделируемых членов уравнения переноса энергии турбулентности (диссипации, турбулентной диффузии), как видно из рис.2. Малость диффузии пульсациями давления (на рис.2 это член 3(pv)/3y = kDpj) конкретно в этом типе течения (развитое турбулентное течение в плоском канале), конечно, не означает, что его моделированием можно пренебречь в других типах течений.
Баланс K [Umax=6,13 Tuo=3,1%] Lam-Bremhorst (без dpv/dy)
0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
-0,05 -0,1 -0,15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Pk О Dis Д Dif_t V Dif_v О Dk —dpvdy
Retau=400,2 Re(2h)=1,398e+4 h=0,020 Uo=5,44 cf=0,00518 utau=0,31
Рис.1. Баланс членов уравнения переноса к по Лам-Брэмхорсту (без Зру/су), где: Рк - генерация (производство); Бе - диссипация; БИ^у - диффузия молекулярной вязкостью; БИМ: - диффузия турбулентной вязкостью; Зру/Зу - диффузия пульсациями давления.
0 yplus j 50
Рис.2. Баланс членов уравнения переноса k из данных DNS [5] для ReT=uxh/v=395, здесь члены: kPk - генерация; 8 - диссипация; kDv - диффузия молекулярной вязкостью; kDt -диффузия турбулентной вязкостью; kDp - диффузия пульсациями давления.
Поведение модели Лама-Брэмхорста в предсказании перехода
Хорошо известна проблема неудовлетворительного предсказания начала ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое и размера области перехода моделью турбулентности Лама-Брэмхорста [1, 2, 11]. На рис.3 представлены расчеты тестового эксперимента [9] ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое (известный тест Т3А) по модели турбулентности Лама-Брэмхорста оригинальной ([6], без учета Зру/Зу, "о") и по предлагаемой нами модели (с модельным выражением для члена Зру/Зу, "А"):
оГ 1_ат-Бгет™^ 1_=0,750м 11=5,0 м/с (М=0,01 И=0,0км) Ти=3,12-1,61% То=25 Тш=250
л Tu,%% • cf Abu-Ghannam cfx Mayle
_« N,
я s.
и L 4
? i_ 4 _
f L ~— ■—
SH ■утГС mm ■Ml •OO . - i ii 1 17 -cf т (Шульц-Грунов) О без dPV/dy Д c dPV/dy
1 a j ■ЛЩ f-4
"Ml ДД t luutnr Д Д тг2
(V •
9
7 г д
'.'¿я
"ЧБ i i i
1 •i г
Sn» —% -A
_ X. Лл. .
У1
* А
......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
,05 ,1 ,15 ,2 ,25 ,3 ,35 ,4 ,45 ,5 ,55 ,6 ,65 ,7 ,75
Рис.3. Расчет трения cf ламинарно-турбулентного перехода (тест T3A) [9], где: эмпирические зависимости для трения cf области ламинарно-турбулентного перехода по Abu-
r^u Re ** = 163 + exp[6.91 - Tu 1 Л/Г ~ Re Г = 400 х Tu -0625 ,, ттт
Ghannam н PL J и по Мэили н ; cf_т - корреляция Шульца-
Грунова для турбулентного погранслоя; Tu - изменение «внешней» турбулентности вдоль
пластины, "*".
Из рис.3 ясно видно, что «оригинальная» модель Лама-Брэмхорста («базовая» в SOLID WORKS [10]), в три раза занижает начало ламинарно-турбулентного перехода. Этот факт заставляет скептически отнестись к попыткам моделирования и расчета по SOLID WORKS с моделью турбулентности Лама-Брэмхорста таких объектов, как крылья самолетов, лопатки турбин и др., где «доля» ламинарного течения по длине объекта велика.
Модель диффузии пульсациями давления
Как правило, турбулентную диффузию пульсациями давления ру в уравнении для энергии турбулентности (для краткости ниже будем писать не р-1 -Зру/Зу, а просто Зру/Зу)
Dk — ди д
-= uv--8 +--
дт ду ду
Pv+kv р
моделируют совместно с тройными корреляциями скорости известным градиентным представлением
д Г- -1 1 д
— [ии^к +р • pu к\ = —
дхк дхк
v дк.
ск дхк.
что как видно из данных DNS [5] балансового уравнения k (рис.2), совершенно не отражает истины.
Построим инженерную модель в рамках общепринятого подхода минимизации числа параметров - в уравнении для энергии турбулентности модель диффузии пульсациями давления как функцию f(U,k).
Из уравнения (лапласиана) для пульсаций давления p' при малых пульсаций скорости u' (по
Р' = UU х и
. Коэффициент корреляции (как следует из данных DNS в плоском канале [5]) мал, но отличен от нуля. Следовательно, ковариация
p'v' = pv = Rpv х yfp2 хл/v2
В рамках моделей k-8 появляется (т.к. Ru'v' практически постоянно по сечению слоя)
б p'v' = pv = Cpuv х U х uv б б
возможность представления модели для pv либо в виде puv , либо, что более
p'v' = pv = Cpv х U х к
логично, в виде pv .
Обычной численной оптимизацией, рассчитывая ламинарно-турбулентный переход на плоской пластине по CFD-программе [2] было найдено численное значение коэффициента Cpv=-0,007.
Из рис.3 видно, что введение (простое добавление) модели диффузии пульсациями
дру/ду = 0,007 *U]/ду в модель турбулентности Лама-Брэмхорста [6] существенно улучшает предсказание ламинарно-турбулентного перехода, неплохо коррелируя с данными DNS [5] в плоском канале (рис.1,2) и являясь «истинно» диффузионным членом: интеграл по всему поперечному сдвиговому слою равен нулю, а в изотропной турбулентности (k=const) в потоке с однородным сдвигом (3U/oy=0) автоматически будет равняться нулю.
Заключение
Включение простой модели члена «диффузия пульсациями давления» в уравнении переноса энергии турбулентности позволило расширить диапазон применимости модели Лама-Брэмхорста на расчет ламинарно-турбулентного перехода.
Библиографический список
3. Головнев И.Г., Платов С. А. Расчет ламинарно-турбулентных течений в сложных условиях. //7-я международная конференция «Авиация и космонавтика - 2008», Москва. 2008: Тез. докл. -Москва, 2008. - с.35-36.
4. Тепловая совместимость. C. 2009610202 РФ / Правообладатель ФГУП «ГосНИИАС», авторы Головнев И.Г., Платов С. А. -| 2008614913, заявлено 28.10.2008. -зарегистрировано 11.01.2009|
5. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР. Сер. Физика, 1942, 6, № 1/2, с.56-58.
6. Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980. - 560c.
7. DNS Database of Turbulence and Heat Transfer. THT/FES Joint Lab., The University of Tokyo, 2004.
8. Lam C. K. G., Bremhorst K. A. Modified Form of K-Epsilon Model for Predicting Wall Turbulence // J. Fluids Engineering, Vol. 103, 1981, pp. 456-460.
9. Mayle R.E., Schulz A. The Path to Predicting Bypass Transition // J. of Turbomachinery, 1997, v.119(3), pp. 405-411.
10. Poroseva S. Modeling the "rapid" part of the velocity/pressure-gradient correlation in inhomogeneous turbulence. // Center for Turbulence Research Annual Research Briefs, 2001, p.367-374.
11. Roach P. E., Brierley D.H.: The influence of a turbulent freestream on zero pressure gradient transitional boundary layer development: part 1: test cases T3A and T3B./ ERCOFTAC Workshop. 1st, 1990, Lausanne, Switzerland, Cambridge University Proceedings, 1992, p.123-135.
12. SolidWorks COSMOS Flow Works. User Guide, SolidWorks Corporation. -512pp.
13. Unger D. Numerische Simulation des laminar-turbulenten Grenzschichtumschlags unter Turbomaschinenbedingungen. Dissertation. Darmstadt, 1999. - 143pp.
Сведения об авторах
Головнев Игорь Георгиевич, заместитель начальника подразделения ФГУП «ГосНИИАС», к.т.н., старший научный сотрудник.
+7 499 157-93-29, golovnev@gosniias.ru
Платов Сергей Августинович, ведущий инженер ФГУП «ГосНИИАС», к.т.н. +7 499 157-93-29, ruszima@mail.ru
