Инверсия скрещенного колпака и римской поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Е. Степанов, И. И. Цыганок, Й. Микеш

9. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М., 1948.

10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1991. Т. 1.

11. Постников М. М. Дифференциальная геометрия. Семестр IV. М., 1988. C. 167.

S. Stepanov, I. Tsyganok, J. Mikes

Liouville type theoremabout projective mapping of complete Riemannian manifold

In the present paper we prove a vanishing theorem for projective dif-feomorphisms of a Riemannian complete manifolds. We will use the well-known Yau Liouville type theorem for complete Riemannian manifolds.

Key words:complete Riemannian manifold, projective diffeomorphism.

УДК 514.75

М. А. Чешкова

Алтайский государственный университет, Барнаул cma@math.asu.ru

Инверсия скрещенного колпака и римской поверхности

Если вдоль некоторой замкнутой кривой на поверхности локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется односторонней. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса. К односторонним поверхностям относится также скрещенный колпак, римская поверхность, скрещенный колпак с крышкой являются моде-

© Чешкова М. А., 2017

лями проективной плоскости. Изучается инверсия римской поверхности и скрещенного колпака. C помощью системы компьютерной математики строятся рассматриваемые поверхности.

Ключевые слова: скрещенный колпак, лист Мёбиуса, римская поверхность, проективная плоскость, инверсия.

Впервые уравнение односторонней поверхности, открытой Мёбиусом, было получено Машке [1]. Если гауссова кривизна листа Мёбиуса равна нулю, то он называется плоским. Библиография работ на эту тему дана в работе [2]. В [3—6] изучаются односторонние поверхности.

Если на поверхности в Еп существует замкнутая кривая (дезориентирующий контур), обладающая тем свойством, что при ее обходе локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется односторонней.

В евклидовом пространстве рассмотрим две гладкие вектор-функции 5 = s(u) , I = 1(и), и е [-ж, ж], V е[-ж,ж]. Предполагается, что 5 = 5(и) есть 2ж -периодическая, I = I(и) есть 2ж -антипериодическая функции, и векторное произведение [5 '(и), I(и)] Ф 0 .

Определим поверхность Р уравнением

г(и, V) = (1 + С08^)).?(и) + 8т(у)/(и), (1)

и е [-ж, ж], V е [-ж, ж].

Теорема 1. Поверхность Р определяет модель проективной плоскости, а линия г = 2я(и) есть дезориентирующий контур поверхности.

Доказательство. Рассмотрим проективную плоскость как фактор-пространство [7, с. 75]

[-ж, ж]X[-ж, ж] / [(-ж, -V)»(ж, V), (-и, -ж)»(и, ж)].

Так как s(u + 2ж) = s(u), /(и + 2ж) = -/(и), то г (-ж,-V) = = г(ж, V), г (-и,-ж) = г(и,ж), и поверхность Р определяет модель проективной плоскости. Из (1) следует

ги = (1 + ))s'(u) + )/'(и),

Г = -8т^).?(и) + С08^)/(и).

Исследуем вектор нормали п = [пи, пу ]. Имеем

п = [Г,, гу ] = cos(v )(1 + cos(v)[s'(u), / (и)] + (2)

+ sin(v)cos(v)[/ (и), / '(и)],

п(и,0) = 2[/(и),/(и)], п(и + 2ж,0) = -2[/(и),/(и)].

Откуда следует, что кривая г(и,0) = 2^(и) есть дезориентирующий контур.

Рассмотрим инверсию

т2(г - Го) (3)

< г - г,, г - г, >

относительно сферы радиуса т с центром г0.

Теорема 2. Если поверхность Р не проходит через центр инверсии, то инверсияповерхности Р есть модель проективной плоскости. Дезориентирующий контур при инверсии переходит в дезориентирующий контур.

Доказательство. Обозначим р =< г - г0, г - г0 >.

Так как р(-ж,-у) = р(ж, V), р(-и,-ж) = р(и, ж) и г (-ж,-V) = г (ж,V), г (-и,-ж) = г (и,ж), то поверхность г * = г *(и, V) является моделью проективной плоскости.

Имеем

2 2 2 2 * т . , ч т * т . , ч т г =--;-ф (г - г0) +--г, г =--—ф (г - г0) +--г,

и / 2 ' и V 0 / / и ' V /2 ' V V 0 / / V '

4 4

т , г , т

п = [ги, г*\ = -—г фи [ г - г0, г ] -—ф [ ги, г - г0] +

т. Ф Ф (4)

+ -ГТ[Ги, Г- ],фи = 2 < ги , г - г0 >,ф = 2 < Г, Г - г0 > • ф

Полагаем V = 0, получим

г = 2,*>(и), Ги = 2^(и), гV = 0, ф = 4 < s(u), s(u) > -4 < s(u),г0 > + < г0,г0 >, фи = 2 < 2л'(и), 2^(и) - г, >, фу = 2 < 2/(и), 2s(u) - г >, ф(и + 2л) = ф(и), фи (и + 2л) = фи (и), ф^ (и + 2л) = ф (и),

ги (и + 2 л) = ги (и), г (и + 2 л) = -г (и).

* *

Из (3) и (4) следует п (и + 2л, 0) = -п (и, 0). Теорема доказана.

Исследуем поверхности, когда Р есть скрещенный колпак с крышкой, и Р есть римская поверхность.

Пример 1. Поверхность Р есть скрещенный колпак с крышкой.

Положим в (1)

s(u) = (С08(и), 8т(и), 0),

/(и) = (С08(и) С08(и / 2), 8т(и)с08(и / 2), 81п(и / 2)). Имеем

г(и, V) = (1 + С08^))(с08(и), 8ш(и),0)) + + sin(v)(c0s(u) С08(и / 2), 8ш(и)с08(и / 2), 81п(и / 2)).

Обозначим заданную поверхность через К , а дезориентирующий контур через dk . Из теоремы 1 следует, что окружность г = 2s(u) есть дезориентирующий контур поверхности К . Итак,

dk: г = г(и,0) = 2(^(и),sin(и),0). (6)

Поверхность имеет пересечение — отрезок прямой

рк: г = г(0, V) = (1 + ок^) + sin(v))(1,0,0). (7)

Построим их (дезориентирующий контур — светлый).

2 2

Рис. 1. Поверхность К и кривые рк, ёк

Рассмотрим инверсию (3). Для поверхности К обозначим

* * * *

поверхность г = г (и, V) через К , а кривую г = г (0, V) — через рк . Определим их и построим. Положим г0 = (1,1,1), т = 2. Тогда

4

рк =

ёк =■

3 + 2cos(v)sin(v)

4_

7 - 4 cos(м) - 4 sin(м)

«у) + ^(У), -1, -1) + (1,1,1), (8)

(2 ^(и) -1, 2 sin(м) -1, -1) + (1,1,1).

* „ *

Рис. 2. Поверхность К и кривые рк , ёк

Пример 2. Римская поверхность. Положим в (1) s(u) = (0, 0, -1 / 4sin(u)), /(и) = (1 / 2^(и / 2), 1 / 2sin(u / 2), 0). Имеем

г (и, v) = (1 + ^^ ))(0, 0, -1/4 sin(u)) + + sin(v)(1 / 2 ^(и / 2),1/ 2 sin(u / 2), 0).

Линия г = s(u) у этой поверхности есть отрезок прямой. В прямоугольных координатах данная поверхность определяет-

(9)

ся уравнением: у 2 г2 + г2 х2 + х2 у 2 + xyz = 0. Мы получили римскую поверхность Штейнера [3, С. 302]. Построим ее.

Рис. 3. Римская поверхность

Обозначим рассматриваемую поверхность через Я . Римская поверхность имеет три отрезка прямых

рг1: г = г(0, V) = )(1, 0, 0),

рг2: г = г(л, V) = )(0,1, 0),

1

dг : г = г(и,0) = -2^т(и)(0, 0,1).

Построим их.

(10)

Рис. 4. Римская поверхность и кривые рг1, рг2, йг

Конечные точки отрезков рг1, рг2, йг есть критические точки поверхности. Построим, например, фрагмент поверхности в окрестности точки г(0, ж/2) .

Рис. 5. Фрагмент римской поверхности

и е[-ж/6, ж /6], Vе [ж/2- ж/6, ж/2 + ж/6]

Поверхность в окрестности критической точки имеет вид зонтика Уитни — Кэли [8, с. 229]. Такие точки называются точками пинча.

**

Для поверхности Я обозначим поверхность г = г (и, V)

_ * * * * * * *

через Я ,а кривые г = г (0, V), г = г (ж, V), г = г (и, 0) через рг1*, рг2*, йг*.

Замечаем, что если центр инверсии не принадлежит ни одной из прямых, содержащих отрезки рг1 , рг2 , dг , то кривые рг1 , рг2 , dг являются дугами окружностей. Если центр

инверсии находится на прямой, содержащей один из этих отрезков, но не на отрезке, то кривые рг1 , рг2 , dг являются: одна — прямая, две другие — дугами окружностей. Рассмотрим примеры построения поверхности Я и кривых рг1*, рг2*, dг*.

Пример 1. Положим г0 = (1,1,1), т = 2. Тогда

рП* = 1/4 • 2( )4 ■ ( ) 3(1 /2япОО-1,-1,-1) + (1,1,1),

) - Sin(v) + 3 . 4

рг2 = 1/4 ^ 2( ) ^ ( ) 3(-1,1 /2япМ-1,-1) + (1,1,1),

1/4sin (V) -sin(v) + 3

*4

dг =л,л • ^ Л . , у. (-1,-1,-1^ш(и)) + (1,1,1).

1/4sin (и) + sin(u) + 3

* * * *

Построим поверхность Я и кривые рг1 , рг 2 , dг .

Рис. 6. Поверхность Я* и кривые рг1 , рг2 , dг , г0 = (1,1,1), т = 2

Пример 2. Положим г0 = (1, 0, 0). Тогда

рП* = 1/у, -2, 4 - г, л (1 / 2 sin(v) -1, 0, 0) + (1, 0, 0),

) - sin(v) + 1 . 4

рг 2 =л,л- 2,, л (-1,1/ 2sin( У),0) + (1,0,0),

1/4sin2(v) +1 *4

йг =л,л- 2Г , л (-1,0,-1/ 2sin(u)) + (1,0,0). 1^пг(и) +1

* * * * Построим поверхность Я и кривые рг1 , рг 2 , аг .

*

Рис. 7. Поверхность Я и кривые рг1 , рг2 , йг , г0 = (1,0,0), т = 2

При инверсии критические точки перейдут в критические

*

точки. Построим фрагмент поверхности Я в окрестности

*

точки г (0, ж/ 2).

Рис. 8. Фрагментповерхности г = г (и, V),

и е [-ж/6,ж/6], V е [ж/2-ж/6,ж/2 + ж/6]

Список литературы

1. Mashke H. Note on the unilateral surface of Moebius // Trans. Amer. Math. Sos. 19ОО. Vol. 1:1.

2. Сабитов И. Х. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мёбиуса в евклидовы пространства // Известия РАН. 2ОО7. Т. 71, №5. С. 197—224.

3. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. М., 2ООб.

4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., 1981.

5. Чешкова М.А. О бутылке Клейна // Известия Алтайского университета. Барнаул, 2О12. № 1/1. С. 1ЗО—1З5.

6. Чешкова М. А. Обмотка тора и лист Мёбиуса : сб. тр. 17 региональной конференции по математике. МАК. Барнаул, 2О14. С. З7—4О.

7. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко А. Т. Введение в топологию. М., 1995.

8. Арнольд В. И. Теория катастроф // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / ВИНИТИ. М., 1985. Т. 5 : Итоги науки и техники. С. 219—227.

M. Cheshkova Inversion Cross-cap and Roman surface

If along a closed curve on the surface the local orientation of the tangent space changes sign, then the surface is called a one-sided surface. The simplest one-sided surface is the Mobius band. Cross-cap, Roman surface are also one-sided surfaces, The Roman surface, cross-cap are models of the projective plane. We study the inversion of the Roman surface and cross-cap. We constructed in the space model for Cross-cap and Roman surface with a help of mathematical package.

Key words: crossed cap, Möbius band, Roman surface, projective plane, inversion.