Inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model with degeneracy Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

MSC 35R30

INVERSE PROBLEM FOR A LINEARIZED QUASI-STATIONARY PHASE FIELD MODEL WITH DEGENERACY

N.D. Ivanova, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

The inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model is considered. The inverse problem is reduced to a linear inverse problem for the first order differential equation in a Banach space with a degenerate operator at the derivative and an overdetermination condition on the degeneracy subspace. The unknown parameter in the problem dependens on the source time function. The theorem of existence and uniqueness of classical solutions is proved by methods of degenerate operator semigroup theory at some additional conditions on the operator. General results are applied to the original inverse problem.

Keywords: inverse problem, phase field model, Sobolev type equation, degenerate operator, operator semigroup, Banach spaces.

Preface

Let Q C R™ be a bounded domain with a boundary dQ of C^ class, T > 0 [, 5 € R. Consider the initial-boundary value problem

([ + A)(v(x, 0) — v0(x)) = 0, x € Q, (1)

dv dw

(1 — 5)v + 5—(x,t) = (1 — 5)w + 5—(x,t) = 0, (x,t) € dQ x [0,T], (2)

dn dn

for the system of equations

vt(x,t) = Av(x,t) — Aw(x,t) + b\(x,t)u(t), (x,t) € Q x [0,T], (3)

0 = v + ([ + A)w + b2(x,t)u(t), (x,t) € Q x [0,T], (4)

with overdetermination condition on the subspace of degeneracy

Jk(y)w(y, t)dy = rf(t), (x,t) € Q x [0,T], (5)

n

Up to a linear change of functions v(x,t), w(x,t), the system coincides with the linearization of the quasistationary phase-field model, describing phase transitions of the first kind in terms of

v(x, t) w(x, t)

u( t)

differential equation with a degenerate operator at the derivative, i.e. the Sobolev type equation.

Linear inverse problems for the Sobolev type equations were studied in [1, 2j with an

uu were considered in linear case in [3j, and in nonlinear case in [4, oj. However, an overdetermination operator, herewith, acted on the resolving Sobolev type equations semigroup image. In the present paper this operator acts on the semigroup kernel.

1. Statement of the abstract problem

Let X, Y and U be Banach spaces. Consider operators L € L(X; Y) (i- e. linear and continuous) with ker L = {0}, M € Cl(X; Y) (linear, closed and densely defined), $ € L(X;U), B € C 1([0,T]; L(U; Y)), functions y € C:([0,T]; Y), * € C:([0,T];U) and an element xo € Dm-Here Dm is a domain of the operator M, endowed with the graph norm ||x0||dm = Hx0||x + llMxo||y-

Theorem 1. [6] Let p € {0}U N, ^e opera tor M be strongly (L,p)-radial. Then (i) X = X0 ©X1, Y = Y0 ©Y1;

Xo X1 Yo Y1

P = s- lim (pRL(M))p+1, (Q = s- lim (^LL(M))p+1);

(iii) QL = LP, QMx = MPx for all x € Dm ;

(iv) Lk = L\x* € L(Xk; Yk), Mk = M\Dmnx* € Cl(Xk; Yk), k = 0,1;

(v) operators M0-1 € L(Y°; X0) and L-1 € L(Y1; X1) exist;

(vi) the operator H = M-1 L0 is nilpotent of a degree not greater, than p;

(vii) there is a strongly continuous operators semigroup {V(t) € L(X) : t > 0}, that resolves the equation Lx(t) = Mx(t).

M ( L, p)

Lx(t) = Mx(t) + Bu(t) + y(t), t € [0,T], (6)

Px(0) = x0, (7)

$x(t) = *(t), t € [0,T], (8)

which is to find a pair of functions x € C 1([0, T]; X) n C ([0, T]; Dm ) and u € C 1([0, T]; U), named as a solution.

Theorem 2. Let the operator M be strongly (L,p)-radial, $ € L(X;U), $H = O, X1 C ker$ B € C 1([0,T]; L(U; Y)), y € C 1([0,T]; Y), (I — Q)y € Cp+1([0,T]; Y), * € C 1([0,T];U), the inverse operator ($M0 1(I — Q)B(t))-1 exists for all t € [0,T] and ($M0 1(I — Q)B)-1 € C 1([0,T]; L(U)), x0 € Dm nXl. Then there is a unique solution (x; u) of the problem (6)-(8). It has the form

t

x(t) = V(t)x0 + j V(t — s)L-1Q(B(s)u(s) + y(s))ds—

o

p

-M-\l — Q)B(t)u(t) — £ HkM-1 ((I — Q)y(t))(k , (9)

/1/1 „ II ---- Q I / II l.)U(t) ---- ’ " Ml ~ III

k=0

P

— 1/r /"l\ Dl'+W — 1 I VTr/-A l \ ' /Г. Tjk л/г — 1

u(t) = — ($M-\I — Q)B(t))-1 *(t) + ^ $HkM-\(I — Q)y)(k)(t)\ (10)

V k=0 J

and satisfies the following conditions:

HxHC 1([0,T];X) < c (IIPx0||dm + WC 1([0,T];U) + llyHCP+1([0,T];y)) , (11)

llullc1([0,T];U) < c (l№ 1([0,T];U) + llyIIcp+1([0,T];Y^ , (12)

where a constant c > 0 does not depend on x0, y,

Proof. Act with the operator $ on the solution x of the direct problem (6), (7) with the known element u. Then

p

$x(t) = $(I - P)x(t) = -$M-1(I - Q)B(t)u(t) -^2 $HkM-1((I - Q)y)(k)(t) = *(t) (13)

k=0

for all t € [0, T] due to the overdetermination condition (8), the conditions X1 C ker $ $H = O x

u

is taken into account. Estimates (11), (12) follow from (9), (10) and an operator semigroup

{V(t) € L(X) : t > 0} exponential growth.

□

2. Inverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model

Reduce the problem (l)-(5) to (6)-(8). To do this,let us assume X = Y = (L2(Q))2, U = R,

l=( o 0) • m=(t - a ) • B(t=(htt) ■ m=

H](tt) = jh € H2(tt) : + (1 - S)^ h(x) = 0, x € 9^ ,

Dm = (Hf(Q))2. Thereby, L € L(X), M € Cl(X), ker L = {0}.

Denote Aw = Aw Da = H2(Q) C L2(Q). Let {<£k : k € N} be orthonormal (in the sense of the scalar product {■, •} in L2(Q)) eigenfunctions of the operator A, numbered in decreasing eigenvalues {Xk : k € N}, counting multiplicities. Let -P € &(A) define Sk = (P + Xk)-1(P + 1 + Xk)Xk, for Xk = -P- Using the expansion in the basis {^k : k € N} in a space L2(Q), determine operators

( £ O \

(rL(m ))2 =

\k=-/3 (p-Sk)2 -{■,vk)vk

E-\',Vk)Vk (ТЦ

(в+A, )(,,-X. )2 O

\ Xk=-e (e+Ak)(^-Sk) )

sp {■,Vk)Vk sp Ak {-,<Pk)Vk

(LL(M))2 = | Ak = -e (^-Sk)2 Ak = -e (l3+Xk)(^-Sk)

Hence, considering the Hilbert spaces X, Y, we obtain the strong (L, 1)-radiality of the operator M [6]. By formulas P = s- lim (^RL(M))2, Q = s- lim (^LL(M))2 we derive the projectors

P

Ak=-в

E(-,<Pk)lPk о

e+Ak O

\ Ak=-в k )

Q = Ak = -в Ak = -в

Theorem 3. Let -p € a(A), K € L2(Q), {K,pk) = 0 for Xk = -p, bi € C 1([0,Tj; L2(Q)),

i = 1, 2, and {bi( ■ ,t),pk) = 0 far Xk = -P, {K,b2(■,t)) = 0 for all t € [0,T], ф € C 1[0,T], v0 € H2(Q). Then there exists a unique solution of the problem (l)-(5).

Proof. To prove this theorem it is sufficient to verify the conditions of Theorem 2.

_______________________________________________________________________________________________□

130 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование»

References

1. Urazaeva A.V., Fedorov V.E. Prediction-Control Problem for Some Systems of Equations of Fluid Dynamics. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 8, pp. 1147-1156.

2. Urazaeva A.V., Fedorov V.E. On the Well-Posedness of the Prediction Control Problem for Certain Systems of Equations. Mathematical Notes, 2009, vol. 25, no. 3, pp. 426-436.

3. Fedorov V.E., Urazaeva A.V. Linear Evolutionary Inverse Problem for Sobolev Type

Equations [Lineinaya evoluzionnaya obratnaya zadacha diva uravnenii sobolevskogo t.ipaj. Neklassicheskie uravnenia matematicheskoi fiziki. Novosibirsk: Institut matematiki im.

Soboleva SO BAN [Nonclassical Mathematical Phisics Equations. Novosibirsk: Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences], 2010, pp. 293-310.

4. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Nonlinear Evolutionary Inverse Problem for Certain Sobolev Type Equations [Nelineinye evolutsionnye obratnye zadachi diva nekotorykh uravnenii sobolevskogo tipaj. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestia. P. I. «Teoria i chislennye m,etody reshenia obratnyh i nekorrektnyh zadach» [Siberian Electronic Mathematical News. P.I. «Theory and Inverse and Ill-Posed Problems Numerical Solving Methods»], 2011, pp. 363-378. Available at: http://seinr.inath.nsc.ru/v8/cl82-410.pdf (accessed 8 February 2013).

5. Ivanova N.D., Fedorov V.E., Komarova K.M. Nonlinear Evolutionary Inverse Problem for the Oskolkov System, Linearized in a Stationary Solution Neighbourhood [Nelineinaya obratnaya zadacha diva sistemy Oskolkova, linearizovannoy v okrest.nosti statsionarnogo resheniyaj. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika [Chelyabinsk State University bulletin. Mathematics. Mechanics. Informatics.J, 2012, vol. 13, no. 26 (280), pp. 50-71.

6. Fedorov V.E. Degenerate Strongly Continuous Operator Semigroups [Vyrozhdennye silno nepreryvnye polugruppy operat.orovj. Algebra i analiz [Algebra and Analysis], 2000, vol. 12, no. 3, pp.173-200.

7. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Kohl, VSP, 2003.

УДК 517.9

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ФАЗОВОГО ПОЛЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

Н.Д. Иванова

Рассмотрена обратная задача для линеаризованной квазистационарной модели фазового поля. Она редуцирована к линейной обратной задаче для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной и с переопределением на подпространстве вырождения. Неизвестный параметр в задаче представляет собой зависящую от времени функцию источника. При некоторых дополнительных условиях на оператор переопределения методами теории вырожденных полугрупп операторов доказана теорема существования и единственности классического решения. Общий результат использован при исследовании исходной обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача, модель фазового поля, уравнение соболевского типа, вырожденный оператор, полугруппы, операторов, банаховы, пространства.

Литература

1. Уразаева, А.В. Задачи прогноз-управления для некоторых уравнений гидродинамики / А.В. Уразаева, В.Е. Федоров /'/ Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 8. -С. 1111-1119.

2. Уразаева, А.В. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений / А.В. Уразаева, В.Е. Федоров // Математические заметки. - 2009. - Т. 85, вып. 3. - С. 440-450.

3. Федоров, В.Е. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, А.В. Уразаева // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во Ип-та математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2010. -С. 293-310.

4. Федоров, В.Е. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, Н.Д. Иванова // Сибирские электронные математические известия. Т. 8. Труды второй международной школы-конференции. 4.1. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач>. 2011. С. 363-378. -URL: http://seinr.inath.nsc.ru/v8/cl82-410.pdf (дата обращения: 08.02.2013).

5. Иванова, Н.Д. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения / Н.Д. Иванова, В.Е. Федоров, К.М. Комарова // Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - Вып. 13, № 26 (280). - С. 50-71.

6. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / Алгебра pi анализ,- 2000. - Т. 12, №3. - С.173-200.

7. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln: VSP, 2003.

Наталья Дмитриевна Иванова, ассистент, кафедра метематического анализа, Челябинский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, [email protected].

Поступила в редакцию 26 февраля 2018 г.