Научная статья на тему 'Инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре'

Инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
25
3
Поделиться
Ключевые слова
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА / МАТРИЧНЫЙ ШАР / ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ / LAPLACE OPERATOR / MATRIX BALL / PROBLEM OF DIRICHLET

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Худайберганов Гулмирза Х., Халкназаров Аскар М.

В статье найден инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре и решена задача Дирихле.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Худайберганов Гулмирза Х., Халкназаров Аскар М.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Laplacian Invariant Operator in the Matrix Ball

In article it is considered Laplacian invariant operator in a matrix ball and it is solved the problem of Dirichlet.

Текст научной работы на тему «Инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре»

УДК 517.55

Инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре

Гулмирза Х. Худайберганов* Аскар М. Халкназаров

Механико-математический факультет, Национальный университет Узбекистана, Вузгородок, Ташкент 100174

Узбекистан

Получена 29.11.2011, окончательный вариант 29.12.2011, принята к печати 20.01.2012

В статье найден инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре и решена задача Дирихле.

Ключевые слова: оператор Лапласа, матричный шар, задача Дирихле.

Пусть С[т х т] — пространство [т х т]-матриц с комплексными элементами. Обозначим через Сп[т х т] декартово произведение п экземпляров С[т х т] :

Сп[т х т] = С[т х т] х ... х С[т х т] .

4-V-'

п-раз

Множество В = (£ = (£ь ...,£„) е Сп[т х т] : I(т) - (£, £) > 0}, где (£, £) = + £2^2* +... + £„£„* — "скалярное" произведение, 1(т) —единичная [т х т]-матрица, * = — матрица, сопряженная и транспонированная к , V = 1, 2, ...,п, называется матричным шаром. Здесь I — (£, £) > 0 означает, что эрмитова матрица I — (£, £) положительно определена, т.е. все собственные значения положительны. Остовом В является множество

Пусть

X = {Z е Cn[m х m] : (Z, Z) = I}.

/ j(m) 0. .0 \ Aoo Aoi . .. Aon \

H= 0 _J (m) . .0 , A = Aio Aii . .. Ain

V о 0. . —J (m) ) Ano Ani . .. A nn )

блочные квадратные матрицы порядка п +1, А^^ — квадратные матрицы порядка т. Рассмотрим линейное преобразование, порожденное матрицей А, вида

n n

wq =^2 Zj Aoj, Uk = ^2 Zj Akj, k = 1,2,...,i

3=0

удовлетворяющее соотношению

j=o

AHA* = H,

где оз, — квадратные матрицы порядка т и матрица Со не вырождена.

*gkhudaiberg@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

(1) (2)

Очевидно, что (2) выполняется тогда и только тогда, когда

АсоА5о - £ Ао^ = I(т), 8=1 П

А'0Ако = Ак8, 3 = к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8=1

(3)

- £ А^аА*,а = -I(т), з > 1 .

8=1

Рассмотрим теперь матрицы Zk = Со 1Ск , к = 1, 2, ...п . Тогда преобразование (1) перейдет в дробно-линейное преобразование

^к = = ^Аоо + ¿1 ZjАо^-^ ^Ако + ¿1Ам^ , к = 1, 2,..., п. (4)

Известно [1], что отображение (4) является автоморфизмом матричного шара В тогда и только тогда, когда коэффициенты А^^, , г, 3 = 0,1,..., п, удовлетворяют соотношениям (3). Автоморфизм матричного шара вида (4), переводящий точку Р = (Р1,..., Рп) в 0, имеет вид

= Д-1(/(т) -<Я,Р» ^ (^ - Ра )Qак , к = 1,...,П.

8=1

(5)

Из равенств (3) получается, что матрицы Д и Я8к, в, к = 1,...,п, порядка т должны удовлетворять соотношениям

Д*(/(т) - (р,р))Д = /(т)

д*(/(тп) - р*р)д = /(тп).

(6)

Я

Здесь Я — блочная матрица

Я11 Я12

Яп1 Яп2

Теперь введем дифференциальный оператор

I д

Я1п

Япп

д \

дг

(V)

11

дг

(V)

д

V дг.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(V) т1

д.гМ

=

= , г,3 = 1, 2, ..., т, V = 1, 2,..., п.

Пусть П — открытое подмножество В, ^ = (у>1, ...,уп) — автоморфизм шара, который точку 0 переводит в Р € П, а / € С2(П). Если

/(Р) = (/ О у)(0),

то, дважды применяя цепное правило (см. [2]) к (/ о ^)(0), получим, что

пп

д/(Р) = Е Е(^)(0)А(Д.^)(0)*(£*/)(Р)

,к=1 8 = 1

п

1

т

д

и

n

где Д = DvDv*. Теперь вычислим (Dy)(0). Дифференцируя (5) в точке Р, в силу условия

¿=1 (6) имеем

dW = P-1(I(m) - (P, P))-1dZ << Q = P*dZ << Q. Отсюда получается, что

dZ = P*-1dW <g> Q-1,

где знак < означает кронекеровское произведение. Тогда (D^)(0) = P*-1®Q-1 и (D^)(0)* =

й-1 <g> Q*-1.

Подставим полученные выражения в Д/ (P). Используя свойства кронекеровского произведения (см. [3]) и соотношения (6), имеем:

Д/(P) = (I(m) - PP*)D • (I(mn) - P*P)D*/(P).

Оператор SpA назовем инвариантным оператором Лапласа области B. Более подробная запись оператора йрД выглядит следующим образом:

m m n / m \ / m \

*рД == £ £ E - £ zj Her - £ • . (7)

¿,j = 1 e,Y= 1 v=1 \ a=1 ) \ k = 1 ) dZiY dZje

Оператор при n =1 есть оператор Лапласа для матричного круга [4], а при m = 1 совпадает с инвариантным оператором Лапласа для единичного шара [2].

Определение 1. Вещественную функцию U(Z) G C2(B) будем называть A-гармоничес-кой в B, если она удовлетворяет условию

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(^рД)и (Z) =0

в каждой точке матричного шара B.

Через B обозначим замыкание B. Множество точек Z = (Z1,...,Zn) из B таких, что матрица I - (Z, Z) имеет ранг r, обозначим через <r(r), r = 0,1,...,m. Ясно, что <г(0) = X, <r(m) = B и B равно сумме всех <r(r), r = 0,1,..., m.

Определение 2. Множество точек:

/ I (m-r) 0 \

Z = U 1 0 Zо г 0 + ] V I(r) - Z0Z0* > 0, (8)

у 0 Z 0[r,mn - m + r] J

назовем r-накрывающей. Здесь U и V — две фиксированные унитарные матрицы соответственно порядков m и mn.

Отметим, что при n = 1 определение 2 совпадает с соответствующим определением для квадратных матриц (см. [4]).

Каждая точка из <r(r) содержится в некоторой r-накрывающей, но две различные накрывающие могут иметь общие точки.

Теперь определим оператор Лапласа на границе В. Пусть Z G <rr и любая из ее r-накрывающих определена в виде (8). Поскольку оператор Лапласа инвариантен относительно преобразований Z1 = UZV, то точку Z можно написать в форме

I(m-r) 0

Z = 1 0 Zо г 0 + ] , I(r) - Z0Z0* > 0. (9)

у 0 Z °|r, mn - m + r] J

Для точек r-накрывающей (9) оператор приводится к виду

5рД = Sp{(I - Z0Z0*)D • (I - Z0*Z0) • D*}.

Определение 3. Вещественную функцию и(Я) € С2 (В\Х) будем называть А-гармони-ческой в В, если она удовлетворяет условию

(^рД)и (Я) = 0 (10)

в каждой точке В\Х.

Пусть Ш = (Я) — автоморфизм матричного шара В, который точку Р € В переводит в 0. Тогда справедливы следующие утверждения (см. [1]): А. Верно равенство (при Я, Ш € В)

I(т) -(<Р(Я),<Р(Ш)> =

= до1(7(т) - (Я,Р>) о1 (7(т) - >) (7(т) - (Р,Ш>) о1Д*°

Б. Для любой функции /, голоморфной в В и непрерывной на В, имеет место интегральная формула

Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В, (11)

где Р(Я, и) — ядро Пуассона, имеющее вид

Р и ) = (Гп

' (I (т) -(Я, и» |2У

Предложение 1. Если V, и € X и V = (и), то

^ (/(т) -(Р,и>)|2тП

Р(Ш, V) = Р(Я, и) • ^-—х ' ") тп .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ ; ^ ; [det (/(т) -(Р,Р»]тп

Доказательство. Из а) следует, что

(I(т) - (Ш, V>)-1 (I(т) - (Ш,Ш>) (I(т) - (^Ш>)-1 = = Д* (1(т) - (Р,и>) (1(т) - (Я, и>)о1 (/(т) - (Я,Р>) Дх хД°1(/(т) - (Я,Р>)о1 (/(т) - (Я,Я>) (/(т) - (Р,Я>)о1Д*-1х (12)

хД* (/(т) - (Р, Я>) (1(т) - (и, Я>)о1 (1(т) - (и,Р>) Д = = Д*(/(т) - (Р, и>)(/(т) - (Я, и>)о1(/(т) - (Я, Я>)(/(т) - (и, Я>)о1(/(т) -(и,Р>) Д

Поэтому

[det(/(т) - (Ш, Ш>)]тп (т) - (Я, Я>)]тп |det(/(т) - (Р, и>)|2тп

|det(/(т) - (Ш, V >)|2тп ^(/М - (Я,и>)|2тп ^(/(т) - (Р,Р>)]т" '

Для т = 1 это предложение совпадает с теоремой 3.3.5 в [2] для ядра Пуассона в единичном шаре.

Предложение 2. Ядро Пуассона Р(Я, и) является функцией, А-гармонической в матричном шаре В\Х.

Доказательство. Докажем сначала, что

(5рД) Р (Я, и) = 0

при Я = 0. Имеем

(5рД) Р(Я, и)|^=о = ^ (££*) • Р(Я, и)|г=о

д2 ^(/(т) -(Я,Я>)]

т п д2

£ е р (Я,и)

2=о

£ £

1 дЛ-^ [det(/(m) - (Я, и>)(/(т) - (и, Я>)]г

7,а=1 V _ _ _ _

тп

2=о (13)

..... д2 д _

£ £ (V) ^(1(т)-(Я,Я>)]тп + —- [det(/(m)-(Я,и>)]°тпх

¿,а=1 ^ д-}а д-}а д-}а

х Т^Г^(1(т) - (и,Я>)]отп}|^=о =0.

В силу однородности области В и из предложения 1 получаем утверждение предложения 2 для любой точки области В. □

Совокупность А-гармонических в В функций, непрерывных на X, обозначим через а.

Теорема 1. Для любой непрерывной на Х функции /(и) интеграл Пуассона

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В,

X

представляет А-гармоническую функцию класса а.

Для доказательства этой теоремы дифференцируем интеграл

(5рД)Г(Я) = У /(и)(5рД)Р(Я, иМа(и) = 0

X

и получаем для любой точки В\Х (£рД)Г(Я) = 0.

Оставшаяся часть теоремы следует из того, что для произвольной непрерывной функции /, заданной на остове Х матричного шара В, преобразование Пуассона

Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В,

X

является непрерывным на В и Г = / наХ [1].

Следствие. Задача Дирихле для любой функции /, непрерывной на X, единственным образом решается интегралом Пуассона

Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В.

X

Теорема 2. Пусть р(Я) — вещественная функция, а ) — 'решение уравнения в частных производных

(5рД) )= р(Я). (14)

Если р(Я) > 0, то ) не может достигать в В максимума, а если р(Я) < 0, то минимума.

Доказательство. Предположим, что $(Z) достигает своего максимума в точке Zo £ B, которую без ограничения общности мы можем считать нулем (см. [4]). Тогда (7) и (12) дает нам

m n

ЕЕТТЙТ-Й)lz=o = Р(0) > 0. (15)

j,a=1 v=1 d-ja d-ja

Но поскольку $(Z) имеет в точке Z = 0 максимум, то

m n 2

ЕЕ^ $(Z )lz=o < 0

j,a=1 v=1 ja d-ja

что противоречит (13). А вторая часть утверждения теоремы получается из первой заменой р и $ на — р и — $ соответственно. □

Теорема 3. A-гармоническая функция класса а достигает максимума и минимума на многообразии X.

Доказательство. Обозначим через M точную верхнюю грань U(Z) £ а на границе B. Допустим, что найдется внутри B такая точка Wo, что

U(Wo) >M + е. (16)

Рассмотрим вспомогательную функцию

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

$(Z) = U (Z) + nSp[(Z — Wo)(Z — Wo)*],

е

где n выбрано настолько малым, что nSp[(Z — Wo)(Z — Wo)*] < - , Z £ B. Для любой точки P, лежащей на границе B, имеем

е

$(Wo) = U(Wo) > U(P) + е = $(P) — nSp[(P — Wo)(P — Wo)*] + е > $(P) + -. Значит, $(Z) достигает максимума во внутренней точке B. Но

(SpA)$(Z) = (SpA)U (Z) + n(SpA){Sp[(Z — Wo)(Z — Wo)*]} = = nSp(1(m) — ZZ*)Sp(/(mn) — Z*Z).

Поскольку Sp(1(m) — ZZ*) > 0 и Sp(1(mn) — Z*Z) > 0, мы пришли к противоречию с теоремой 1. □

Список литературы

[1] С.Косбергенов, О ядре Бергмана в матричном шаре, Уз. мат. журн., 1998, №1, 42-49.

[2] Хуа Локен, Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях , М., 1959.

[3] У.Рудин, Теория функций в единичном шаре из Cn, М., Мир, 1984.

[4] П.Ланкастер, Теория матриц, М., Наука, 1982.

Laplacian Invariant Operator in the Matrix Ball

Gulmirza Kh. Khudayberganov, Askar M. Khalknazarov

In article it is considered Laplacian invariant operator in a matrix ball and it is solved the problem of Dirichlet.

Keywords: Laplace operator, matrix ball, problem of Dirichlet.