CC BY
12
УДК 517.55
Инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре
Гулмирза Х. Худайберганов* Аскар М. Халкназаров
Механико-математический факультет, Национальный университет Узбекистана, Вузгородок, Ташкент 100174
Узбекистан
Получена 29.11.2011, окончательный вариант 29.12.2011, принята к печати 20.01.2012
В статье найден инвариантный оператор Лапласа в матричном шаре и решена задача Дирихле.
Ключевые слова: оператор Лапласа, матричный шар, задача Дирихле.
Пусть С[т х т] — пространство [т х т]-матриц с комплексными элементами. Обозначим через Сп[т х т] декартово произведение п экземпляров С[т х т] :
Сп[т х т] = С[т х т] х ... х С[т х т] .
4-V-'
п-раз
Множество В = (£ = (£ь ...,£„) е Сп[т х т] : I(т) - (£, £) > 0}, где (£, £) = + £2^2* +... + £„£„* — "скалярное" произведение, 1(т) —единичная [т х т]-матрица, * = — матрица, сопряженная и транспонированная к , V = 1, 2, ...,п, называется матричным шаром. Здесь I — (£, £) > 0 означает, что эрмитова матрица I — (£, £) положительно определена, т.е. все собственные значения положительны. Остовом В является множество
Пусть
X = {Z е Cn[m х m] : (Z, Z) = I}.
/ j(m) 0. .0 \ Aoo Aoi . .. Aon \
H= 0 _J (m) . .0 , A = Aio Aii . .. Ain
V о 0. . —J (m) ) Ano Ani . .. A nn )
блочные квадратные матрицы порядка п +1, А^^ — квадратные матрицы порядка т. Рассмотрим линейное преобразование, порожденное матрицей А, вида
n n
wq =^2 Zj Aoj, Uk = ^2 Zj Akj, k = 1,2,...,i
3=0
удовлетворяющее соотношению
j=o
AHA* = H,
где оз, — квадратные матрицы порядка т и матрица Со не вырождена.
*gkhudaiberg@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved
(1) (2)
Очевидно, что (2) выполняется тогда и только тогда, когда
АсоА5о - £ Ао^ = I(т), 8=1 П
А'0Ако = Ак8, 3 = к
8=1
(3)
- £ А^аА*,а = -I(т), з > 1 .
8=1
Рассмотрим теперь матрицы Zk = Со 1Ск , к = 1, 2, ...п . Тогда преобразование (1) перейдет в дробно-линейное преобразование
^к = = ^Аоо + ¿1 ZjАо^-^ ^Ако + ¿1Ам^ , к = 1, 2,..., п. (4)
Известно [1], что отображение (4) является автоморфизмом матричного шара В тогда и только тогда, когда коэффициенты А^^, , г, 3 = 0,1,..., п, удовлетворяют соотношениям (3). Автоморфизм матричного шара вида (4), переводящий точку Р = (Р1,..., Рп) в 0, имеет вид
= Д-1(/(т) -<Я,Р» ^ (^ - Ра )Qак , к = 1,...,П.
8=1
(5)
Из равенств (3) получается, что матрицы Д и Я8к, в, к = 1,...,п, порядка т должны удовлетворять соотношениям
Д*(/(т) - (р,р))Д = /(т)
д*(/(тп) - р*р)д = /(тп).
(6)
Я
Здесь Я — блочная матрица
Я11 Я12
Яп1 Яп2
Теперь введем дифференциальный оператор
I д
Я1п
Япп
д \
дг
(V)
11
дг
(V)
д
V дг.
(V) т1
д.гМ
=
= , г,3 = 1, 2, ..., т, V = 1, 2,..., п.
Пусть П — открытое подмножество В, ^ = (у>1, ...,уп) — автоморфизм шара, который точку 0 переводит в Р € П, а / € С2(П). Если
/(Р) = (/ О у)(0),
то, дважды применяя цепное правило (см. [2]) к (/ о ^)(0), получим, что
пп
д/(Р) = Е Е(^)(0)А(Д.^)(0)*(£*/)(Р)
,к=1 8 = 1
п
1
т
д
и
n
где Д = DvDv*. Теперь вычислим (Dy)(0). Дифференцируя (5) в точке Р, в силу условия
¿=1 (6) имеем
dW = P-1(I(m) - (P, P))-1dZ << Q = P*dZ << Q. Отсюда получается, что
dZ = P*-1dW <g> Q-1,
где знак < означает кронекеровское произведение. Тогда (D^)(0) = P*-1®Q-1 и (D^)(0)* =
й-1 <g> Q*-1.
Подставим полученные выражения в Д/ (P). Используя свойства кронекеровского произведения (см. [3]) и соотношения (6), имеем:
Д/(P) = (I(m) - PP*)D • (I(mn) - P*P)D*/(P).
Оператор SpA назовем инвариантным оператором Лапласа области B. Более подробная запись оператора йрД выглядит следующим образом:
m m n / m \ / m \
*рД == £ £ E - £ zj Her - £ • . (7)
¿,j = 1 e,Y= 1 v=1 \ a=1 ) \ k = 1 ) dZiY dZje
Оператор при n =1 есть оператор Лапласа для матричного круга [4], а при m = 1 совпадает с инвариантным оператором Лапласа для единичного шара [2].
Определение 1. Вещественную функцию U(Z) G C2(B) будем называть A-гармоничес-кой в B, если она удовлетворяет условию
(^рД)и (Z) =0
в каждой точке матричного шара B.
Через B обозначим замыкание B. Множество точек Z = (Z1,...,Zn) из B таких, что матрица I - (Z, Z) имеет ранг r, обозначим через <r(r), r = 0,1,...,m. Ясно, что <г(0) = X, <r(m) = B и B равно сумме всех <r(r), r = 0,1,..., m.
Определение 2. Множество точек:
/ I (m-r) 0 \
Z = U 1 0 Zо г 0 + ] V I(r) - Z0Z0* > 0, (8)
у 0 Z 0[r,mn - m + r] J
назовем r-накрывающей. Здесь U и V — две фиксированные унитарные матрицы соответственно порядков m и mn.
Отметим, что при n = 1 определение 2 совпадает с соответствующим определением для квадратных матриц (см. [4]).
Каждая точка из <r(r) содержится в некоторой r-накрывающей, но две различные накрывающие могут иметь общие точки.
Теперь определим оператор Лапласа на границе В. Пусть Z G <rr и любая из ее r-накрывающих определена в виде (8). Поскольку оператор Лапласа инвариантен относительно преобразований Z1 = UZV, то точку Z можно написать в форме
I(m-r) 0
Z = 1 0 Zо г 0 + ] , I(r) - Z0Z0* > 0. (9)
у 0 Z °|r, mn - m + r] J
Для точек r-накрывающей (9) оператор приводится к виду
5рД = Sp{(I - Z0Z0*)D • (I - Z0*Z0) • D*}.
Определение 3. Вещественную функцию и(Я) € С2 (В\Х) будем называть А-гармони-ческой в В, если она удовлетворяет условию
(^рД)и (Я) = 0 (10)
в каждой точке В\Х.
Пусть Ш = (Я) — автоморфизм матричного шара В, который точку Р € В переводит в 0. Тогда справедливы следующие утверждения (см. [1]): А. Верно равенство (при Я, Ш € В)
I(т) -(<Р(Я),<Р(Ш)> =
= до1(7(т) - (Я,Р>) о1 (7(т) - >) (7(т) - (Р,Ш>) о1Д*°
Б. Для любой функции /, голоморфной в В и непрерывной на В, имеет место интегральная формула
Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В, (11)
где Р(Я, и) — ядро Пуассона, имеющее вид
Р и ) = (Гп
' (I (т) -(Я, и» |2У
Предложение 1. Если V, и € X и V = (и), то
^ (/(т) -(Р,и>)|2тП
Р(Ш, V) = Р(Я, и) • ^-—х ' ") тп .
^ ; ^ ; [det (/(т) -(Р,Р»]тп
Доказательство. Из а) следует, что
(I(т) - (Ш, V>)-1 (I(т) - (Ш,Ш>) (I(т) - (^Ш>)-1 = = Д* (1(т) - (Р,и>) (1(т) - (Я, и>)о1 (/(т) - (Я,Р>) Дх хД°1(/(т) - (Я,Р>)о1 (/(т) - (Я,Я>) (/(т) - (Р,Я>)о1Д*-1х (12)
хД* (/(т) - (Р, Я>) (1(т) - (и, Я>)о1 (1(т) - (и,Р>) Д = = Д*(/(т) - (Р, и>)(/(т) - (Я, и>)о1(/(т) - (Я, Я>)(/(т) - (и, Я>)о1(/(т) -(и,Р>) Д
Поэтому
[det(/(т) - (Ш, Ш>)]тп (т) - (Я, Я>)]тп |det(/(т) - (Р, и>)|2тп
|det(/(т) - (Ш, V >)|2тп ^(/М - (Я,и>)|2тп ^(/(т) - (Р,Р>)]т" '
□
Для т = 1 это предложение совпадает с теоремой 3.3.5 в [2] для ядра Пуассона в единичном шаре.
Предложение 2. Ядро Пуассона Р(Я, и) является функцией, А-гармонической в матричном шаре В\Х.
Доказательство. Докажем сначала, что
(5рД) Р (Я, и) = 0
при Я = 0. Имеем
(5рД) Р(Я, и)|^=о = ^ (££*) • Р(Я, и)|г=о
д2 ^(/(т) -(Я,Я>)]
т п д2
£ е р (Я,и)
2=о
£ £
1 дЛ-^ [det(/(m) - (Я, и>)(/(т) - (и, Я>)]г
7,а=1 V _ _ _ _
тп
2=о (13)
..... д2 д _
£ £ (V) ^(1(т)-(Я,Я>)]тп + —- [det(/(m)-(Я,и>)]°тпх
¿,а=1 ^ д-}а д-}а д-}а
х Т^Г^(1(т) - (и,Я>)]отп}|^=о =0.
В силу однородности области В и из предложения 1 получаем утверждение предложения 2 для любой точки области В. □
Совокупность А-гармонических в В функций, непрерывных на X, обозначим через а.
Теорема 1. Для любой непрерывной на Х функции /(и) интеграл Пуассона
Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В,
X
представляет А-гармоническую функцию класса а.
Для доказательства этой теоремы дифференцируем интеграл
(5рД)Г(Я) = У /(и)(5рД)Р(Я, иМа(и) = 0
X
и получаем для любой точки В\Х (£рД)Г(Я) = 0.
Оставшаяся часть теоремы следует из того, что для произвольной непрерывной функции /, заданной на остове Х матричного шара В, преобразование Пуассона
Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В,
X
является непрерывным на В и Г = / наХ [1].
Следствие. Задача Дирихле для любой функции /, непрерывной на X, единственным образом решается интегралом Пуассона
Г (Я ) = У / (и )Р (Я, и )^а(и), Я € В.
X
Теорема 2. Пусть р(Я) — вещественная функция, а ) — 'решение уравнения в частных производных
(5рД) )= р(Я). (14)
Если р(Я) > 0, то ) не может достигать в В максимума, а если р(Я) < 0, то минимума.
Доказательство. Предположим, что $(Z) достигает своего максимума в точке Zo £ B, которую без ограничения общности мы можем считать нулем (см. [4]). Тогда (7) и (12) дает нам
m n
ЕЕТТЙТ-Й)lz=o = Р(0) > 0. (15)
j,a=1 v=1 d-ja d-ja
Но поскольку $(Z) имеет в точке Z = 0 максимум, то
m n 2
ЕЕ^ $(Z )lz=o < 0
j,a=1 v=1 ja d-ja
что противоречит (13). А вторая часть утверждения теоремы получается из первой заменой р и $ на — р и — $ соответственно. □
Теорема 3. A-гармоническая функция класса а достигает максимума и минимума на многообразии X.
Доказательство. Обозначим через M точную верхнюю грань U(Z) £ а на границе B. Допустим, что найдется внутри B такая точка Wo, что
U(Wo) >M + е. (16)
Рассмотрим вспомогательную функцию
$(Z) = U (Z) + nSp[(Z — Wo)(Z — Wo)*],
е
где n выбрано настолько малым, что nSp[(Z — Wo)(Z — Wo)*] < - , Z £ B. Для любой точки P, лежащей на границе B, имеем
е
$(Wo) = U(Wo) > U(P) + е = $(P) — nSp[(P — Wo)(P — Wo)*] + е > $(P) + -. Значит, $(Z) достигает максимума во внутренней точке B. Но
(SpA)$(Z) = (SpA)U (Z) + n(SpA){Sp[(Z — Wo)(Z — Wo)*]} = = nSp(1(m) — ZZ*)Sp(/(mn) — Z*Z).
Поскольку Sp(1(m) — ZZ*) > 0 и Sp(1(mn) — Z*Z) > 0, мы пришли к противоречию с теоремой 1. □
Список литературы
[1] С.Косбергенов, О ядре Бергмана в матричном шаре, Уз. мат. журн., 1998, №1, 42-49.
[2] Хуа Локен, Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях , М., 1959.
[3] У.Рудин, Теория функций в единичном шаре из Cn, М., Мир, 1984.
[4] П.Ланкастер, Теория матриц, М., Наука, 1982.
Laplacian Invariant Operator in the Matrix Ball
Gulmirza Kh. Khudayberganov, Askar M. Khalknazarov
In article it is considered Laplacian invariant operator in a matrix ball and it is solved the problem of Dirichlet.
Keywords: Laplace operator, matrix ball, problem of Dirichlet.
