Инвариантные свойства элементов дифракционной квазиоптики Текст научной статьи по специальности «Физика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

И.В.Минин^ О.В. Минин

ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ДИФРАКЦИОННОЙ КВАЗИОПТИКИ

Введение

Развитие элементов интегральной оптики, средств ввода-вывода оптической информации, обработки изображений, создание основ элементной базы оптических ЭВМ стимулируют разработку новых элементов дифракционной квазиоптики (ЗДК). Основные достоинства ЭДК заключаются в возможности применения планарной технологии изготовления, высокой разрешающей способности, мало отличающейся от дифракционного предела, наличии частотных свойств и т.п. Изучение свойств ЭДК и разработку их новых типов удобно проводить в С В Ч диапазоне, где соблюдается масштабный эффект. Кроме того, ЭДК С В Ч диапазона представляют собой и значительный самостоя тел ьный интерес.

Исследованиям фокусирующих и частотных свойств простейшего дифракционного квазиоптического объектива (зонной пластины (3П)) посвящено достаточно много работ. Так, в работе [1] показано, что в миллиметровом диапазоне длин волн фа-зоинверсная ЗП по своим фокусирующим свойствам эквивалентна плосковыпуклой СВЧ линзе с гиперболической поверхностью, но из-за значительно меньшей толщины обладает гораздо меньшими потерями СВЧ мощности на поглощение в материале объектива. В работе [2] в приближении дифракции Френеля показано, что ЗП обладает разрешением, как и идеальный безаберрационный объектив. Подробно частотные и фокусирующие свойства ЗП, предназначенной для преобразования расходящегося сферического волнового фронта в сходящийся сферический при осевом точечном источнике излучения, представлены в работе [3]• Показано, что светосильный объектив на основе ЗП сохраняет свои фокусирующие и частотные свойства в широком спектральном диапазоне длин волн, отличных от номинальной (то есть от той, на кото-рую рассчитывалась ЗП). При этом ЗП с относительным отверстием 1/2 и апертурой -200 обеспечивает поле зрения порядка 30 градусов при числе элементов изображения в кадре не более 50*50 [4].

В ряде работ индийских ученых [5-7] рассматриваются дифракционные объективы на поверхностях вращения второго порядка (сфере [5], параболе [7])» В этих работах полумены соотношения для радиусов зон Френеля на соответствующих поверхностях; в приближении геометрической оптики проанализировано влияние точности установки излучателя в фокусе на величину смещения его изображения вдоль оптической оси» На основе аналитических расчетов, проведенных в приближении Френеля» показано, что у объектива со сферической поверхностью полуширина распределения интенсивности поля вдоль оптической оси в области фокуса несколько уже, чем для ЗП, однако уровень боковых лепестков рассеяния выше [5] -

Что касается дифракционного объектива, выполненного на параболической по-

• • •

верхности, то из результатов работ [6, 7] следует, что по сравнению с ЗП и сферическим объективом"параболический11 обеспечивает наиболее узкое распределение интенсивности поля вдоль оптической оси в области фокуса. Кроме того, в работе [7] показано, что при изменении частоты излучения примерно в 1,35 раза его фокусное расстояние изменяется в 2 раза.

Изучение информативных свойств (частотных и фокусирующих) светосильных одно-и двухкомлонентных дифракционных объективов на параболической поверхности проведено в работе [8]. Показано, что при относительном отверстии 1/2 и апертуре

• • I ■ • • • г . • . •

й/Х ~40 такие фокусирующие системы обеспечивают поле зрения не менее 20-30 градусов соответственно при разрешении, мало отличающемся от дифракционного преде-ла#и при сохранении Фокусирующих свойств в диапазоне длин волн, отличных от номинальной до ±20$. Отмечено также, что дифракционная квазиоптика на неплоских

поверхностях обладает свойством невзаимности, заключающимся в том, что при расчете объектива следует учитывать ориентацию источника и приемника излучения относительно вершины его поверхности.

В то же время известные работы носят частный характер, не позволяют установить взаимосвязь информативных свойств плоских и неплоских ЭДК.

Целью настоящей работы является установление инвариантных свойств элементов дифракционной квазиоптики, выполненных на произвольной поверхности вращения второго порядка«.

Частотные свойства

Не снижая* общности задачи, рассмотрим для наглядности ЭДК, преобразующий плоский падающий волновой фронт в сходящийся сферический. Записывая выражения для эйконалов дифрагированной и опорной волн, легко показать, что дискретная фазовая функция пропускания дифракционного объектива (радиусы зон Френеля) определяется из условия (для произвольной формы поверхности):

(1)

/

хо

<В-хп)а+у£=В-хп + п -5- 1

где

В - расстояние от вершины объектива до области фокусировки; Х0 - номиналь ная длина волны; <хп, уп) ~ декартовы координаты границы п-й зоны Френеля ( рис . 1) «,

Для случая падения электромагнитной волны на вогнутую поверхность дифракционного объектива следует поменять знак при хп.

Для определения частотных свойств объективов на неплоских поверхностях из выражения (1) необходимо выразить величину В:

УЙ-Сп

Впи)--- * "п

(2)

2

Подставляя в (2) значения координат зон Френеля рассматриваемого объектива, получаем искомые зависимости.

Полученное выражение (2) позволяет сделать важный вывод о частотных свойствах дифракционных объективов, выполненных на произвольной поверхности вращения. В самом деле, найдем асимптотики границ рабочего спектрального диапазона длин волн объектива на произвольной поверхности. Минимальная длина волны находится из (2), если знаменатель приравнять нулю:

Аппп-0. (3)

Максимально возможная длина волны определяется из условия равенства числи-теля выражения (2) нулю:

(4) где =

что при уп»хп дает

2

Сравнивая полученные оценки для рабочего спектрального диапазона элементов дифракционной квазиоптики на произвольной поверхности вращения (3)-(4), можно сделать следующие выводы:

- максимально возможная длина волны объектива не зависит от направления падения излучения относительно вершины поверхности объектива и определяется стрелкой прогиба данной поверхности;

- при падении электромагнитного излучения со стороны вершины объектива его рабочий спектральный диапазон шире, чем в противном случае;

- скорость изменения фокусного расстояния от относительной расстройки длины волны при падении излучения со стороны вершины поверхности меньше, чем в противоположном случае.

Приведенные аналитические зависимости наглядно показывают, что частотные свойства рассматриваемой дифракционной квазиоптики существенно отличаются от аналогичных свойств ЗП (плоской квазиоптики), у которой стрелка прогиба поверхности равна нулю.

Рис. 1. Схема расчета элемента дифракционной к,вазиоптики на поверхности

вращения второго порядка

Указанные особенности частотных свойств дифракционной оптики на неплоской поверхности свидетельствуют о том, что выбором формы поверхности объектива и ее ориентацией в пространстве возможно управлять его частотными свойствами -как усиливать их, так и ослаблять.

■ • ■ • Продольное разрешение

Рассмотрим продольное разрешение (глубину резкости) "неплоских" объективов. Следуя работе [3]» из условия синфазности излучения в точке В и противофазности его в некоторой точке В+Д2 легко получить следующее выражение для продольного разрешения Д2:

<±>

\[св ; Хп)а ♦ УЙГ/а 2[ССВ ; ХП)* + у*)1/* - (В ; Хп) ± 5

(5)

где знак <±) при хп относится к выпуклому ( + ) и вогнутому (-) объективам соответственно. Знак <±) при X относится к положению первого минимума распределения интенсивности поля вдоль оптической оси дальше точки В (+) и ближе ее (-).

Из (5), в частности, следует, что выбором стрелки прогиба поверхности объек тива хп возможно регулирование его продольного разрешения и глубины резкости. Так, при уп»(В-хп) и УП»Х из (5) для вогнутого объектива получаем, что

Д^- ; Л/2.

Для выпуклого объектива при уп«(В + хп> и СВ + хп)»Л соответственно имеем

Л<±> ^ - >2

Д2 ^ + Х<—> .

Указанные особенности поведения глубины резкости дифракционного объектива на неплоской поверхности позволяют, в частности, создать системы, обладающие значительно большим коэффициентом усиления, чем известные квазиоптические дифракционные объективы.

Дифракционный интеграл Френеля-Кирхгофа

Теоретические исследования фокусирующих и частотных свойств дифракционной квазиоптики на поверхностях вращения второго порядка проводились в форме вычислительного эксперимента с использованием скалярной теории дифракции.

Рассмотрим вычисление дифракционного интеграла Френеля-Кирхгофа в трехмерном случае (рис. 2). Пусть образующая поверхности элемента ЗДК описывается уравнением вида:

Р<х, у, г)

Рис. 2. Расчет дифракционного интеграла

Тогда элемент площади можно записать в виде

ds = г[1 + <~>а] 1/adzd0.

¿г

Для точки наблюдения Р с координатами Сх1, у,, 2,) в случае падения на диф ракционный объектив плоского волнового фронта дифракционный интеграл записывается как

(7)

*n 2ti

Un = If exp(-i Q) dS,

zn-i

где

Q = [(B-z)3 + (r cos 0)a + <r sin в - xn)2]1/a,

x(Q) - коэффициент наклона, равный в данном случае

X(Q) = 1 + (B-z)/Q.

Примем, что образующая поверхности дифракционного элемента описывается корнем квадратным из квадратного трехчлена:

г = [az2 + Bz + с]1/а . (8)

Зта форма представления удобна потому, что уравнение (8) описывает:

• •

- эллипс при ас - За/4 <0, а<0;

- конус при 0 = с =0, а>0;

- гиперболу при ас - За/4 <0, а>0;

- параболу при a = с =0,

Вычисляя элемент площади по (6), с учетом (8) имеем:

dS = 0,5 [(2г)2 ♦ (2az + 3> а] 1 ^dedz .

Подставляя полученное выражение в (7), получаем окончательное выражение для интеграла Френеля-Кирхгофа, описывающего дифракцию скалярной волны на дифракционном квазиоптическом объективе, выполненном на поверхности вращения второго порядка. Для сокращения времени счета вычисление С7) проводилось по алгоритму, предложенному в работе [3] ■ на разработанной интерактивной системе проектирования компьютерной оптики [9].

Экспериментальные исследования проводились в четырехмиллиметровом диапазоне длин волн; в качестве источника излучения использо.вались стандартные генераторы типа ГЧ-142, приемником служил кремниевый диод типа Д-407, нагруженный на открытый конец четырехмиллиметрового волновода.

Измерения проводились на оптической скамье, где были приняты меры по устранению переотражения излучения от металлических частей экспериментальной устано-ки. Ее схема и методика проведения экспериментальных исследований подробно описаны в работе [э] i погрешность эксперимента составляла ~1% .

Дифракционный объектив был выполнен на конической поверхности и изготовлен на станках с числовым программным управлением из оптического полистирола, имеющего следующие оптические константы: показатель преломления п=1.59, показатель поглощения к~10~3. Фазовый профиль наносился на внутреннюю поверхность полого конуса с углом расствора а=70 градусов, высота фазовой ступеньки определялась по выражению:

. \ / 1 cosaa

h = ТГК=ТТ у 1--г

п

Радиусы зон Френеля определялись в соответствии с выражением

ПХ0 гПХ0 УП

Уп = • ТТГЪ + С-1Г<—7~ + + 2'

tg2 а tg. а

Номинальная длина волны составляла = мм, апертура = задний от

резок В»Р. Максимальная стрелка прогиба поверхности ЭДК составляла <х>/А,0=«32 Внешний вид дифракционного объектива приведен на рис. 3*

Рис. 3. Внешний вид ЭДК на конической

поверхности

Результаты исследований

Распределение интенсивности поля вдоль оптической оси в области фокуса рассматриваемого элемента ЭДК для различных длин волн СВЧ излучения приведено на рис. и. По оси абсцисс отложено относительное расстояние вдоль оптической оси в единицах продольного разрешения для эквивалентной зонной пластины.

Анализ приведенных результатов показывает следующее:

- полуширина распределения интенсивности поля вдоль оптической оси (на полу" высоте) для конической ЭДК с приведенными выше параметрами в 2 раза уже, чем для эквивалентной зонной пластины (при падении излучения со стороны вершины ЭДК);

• при падении излучения со стороны основания ЭДК ширина распределения интенсивности поля вдоль оптической оси примерно в -2,5 раза больше, чем для эквивалентной ЗП;

- Форма рассматриваемого' распределения, представленная в относи тельных величинах, изменяется мало (~2%) в диапазоне длин волн, отличных от расчетной не менее чем на ±13^;

- при уменьшении длины волны СВЧ излучения от расчетной возрастает интенсивность первого бокового максимума, расположенного дальше от ЗП относительно максимума распределения, При этом величина возрастания его относительной интенсивности примерно совпадает с величиной расстройки длины волны излучения.

При падении на элемент ЭДК плоской электромагнитной волны оценку продольного разрешения (5) можно записать как

= Аэп} * <хп>/ (9)

— 94 —

где

С±)

Дзп " продольное разрешение эквивалентной ЗП;

<хп> - средняя величина стрелки прогиба поверхности ЭДК.

Таким образом, основной вывод заключается в том, что выбором стрелки проги-ба поверхности ЭДК и ее ориентацией в пространстве можно регулировать продольное разрешение дифракционного объектива; при этом имеет место инвариант продоль ного разрешения (9).

Рассмотрим следующую характеристику элемента ЭДК - его частотные свойства. На рис. 5 приведены зависимости величины заднего отрезка от относительной расстройки длины волны СВЧ излучения, падающего на его вершину. По оси ординат отложена относительная расстройка длины волны излучения, по оси абсцисс - относительное смещение области фокусировки вдоль' оптической оси (сплошная линия -теоретическая кривая, кружочки - экспериментальные данные, штриховая линия -зависимость для эквивалентной зонной пластины, штрихпунктирная - для ЗП с измененной величиной заднего отрезка В1 = В - <х>/2, где <х> - стрелка прогиба поверхности конического элемента ЭДК.

•Ц00 -0,75 -0,50 -0Т25 -0,00 0,» 0,50 0,75 1,00 ( 3-2 >/£2О

Рис. Распределение интенсивности поля вдоль оптической оси в области фокуса ЭДК при падении излучения со стороны

его вершины

Рис. 5. Зависимость изменения фокусного расстояния от относительной

расстройки длины волны:

теория

эксперимент

ЗП

ЗГ с В'*Э-<х>/2

оооооо о о о о

Анализ приведенных частотных зависимостей конического ЭДК и зонных пластин показывает следующее:

- скорость перестройки положения области фокусировки вдоль оптической оси

для конического объектива в 1.5-1.6 раза больше, чем для эквивалентной зонной пласти ны;

- частотные свойства конического ЭДК совпадают с таковыми для зонной пластины, имеющей величину заднего отрезка конического объектива, уменьшенной на зна-

лв/г

чение стрелки прогиба его поверхности. (Последнее также может быть использовано для целей моделирования частотных свойств конической ЭДК.)

Последнее утверждение следует из частотного инварианта рассматриваемого ЭДК, который с учетом (2) и хп«Уп можно записать как

BU)»0,5(B(° (X) + ВС"°(А)>#

где

ВС") - частотные свойства ЭДК при падении излучения со стороны основания и вершины его поверхности соответственно;

В(Л) - частотные свойства эквивалентной ЗП.

Исследования поперечного разрешения рассматриваемого ЭДК показали, что во всем рабочем спектральном диапазоне он обеспечивает разрешение не хуже дифрак-

■л

ционного предела.

Таким образом, в настоящей работе впервые установлены инварианты частотных

• • » * *

свойств и продольного разрешения элементов дифракционной квазиоптики, выполненных на произвольной поверхности вращения второго порядка. Показано, что выбором формы поверхности таких элементов и ее ориентацией в пространстве относительно положения области фокусировки возможно управлять их фокусирующими и частотными свойствами. Это позволяет существенно расширить функциональные возможности дифракционной квазиоптики и тем самым значительно увеличить область ее возможного применения.

Литература

1.S о Ь е I F., W е n t w о г t h F.L., W i I t s е J.С- Quasi-Optical Surface Wavequide and Other Components for the 100 to 300 Gs Region // IRE Trans, on Microware Theory and Techniques, 1961, WMT. 9, N 6, p. 512.

2. Щ у к и н И.И. 0 возможности применения зонных пластинок в антенной технике микроволнового диапазона // Вопросы построения систем оптимальной обработки информации. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. Ун-та, 1976, с. 111.

3. Байбулатов Ф.Х., Минин И.В., Минин 0.В. Исследование фокусирующих свойств зонной пластины Френеля // Радиотех-ника и электроника, 1985 , т. 30, N1 9, с. 1681.

^. M и н и н И.В., Минин 0.В. Дифракционные радиооптические системы СВЧ диапазона // Тез. докл. 6-й Всесоюз. конф. по методам и средствам измерений электромагнитных характеристик материалов на ВЧ и СВЧ. Новосибирск, 1987, с. 169.

5. D е у К.К., Khastgi г P. Comparative Focusing Properties Spherical and Plane Microwave Zone Plate Autennas // Inte

J. Electronics, 1973, v. 35, N 4, p. 497.

6. Khastgir P., Chakravorty J.M., Dey K.K. Micrrowave Pa rabo lo i da I, Spherical and Plane Zone Autennas: a Comparative Study // Indian J. of Radio and Space Phys„, 1973, v. 2, N 3, p. 47.

7. D e у К.К., К r i s h a n S. Design and Focusing Characteristics of a Microwave Paraboloidal Zone Plate // Indian J. of Radio and Space Phys., 1977, v. 6, N 2, p. 202.

8. Минин. И.В., Минин 0.В . Параболические дифракционные

объективы // Современные проблемы физики и ее приложений: Тез. докл.

* . *

Всесоюз. конф. М., 1987, т. 2, с. 10.

• . * *

9. H и н и н И.В., Минин О.В. Интерактивная система проектирования компьютерной оптики // Тез. докл. 4-й Всесоюз. конф. по проблемам машинной графики. Серпухов, 1987, с. 160.