CC BY
57
Ч ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 389
ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СРЕДНИХ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ
И. Г. Ханыкова, магистр
аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
Санкт-Петербург, РФ
Постановка задачи: проблема восстановления значений измерений по косвенным данным актуальна в технической диагностике тогда, когда отсутствует возможность прямого измерения и контроля данных. Пять классически средних: арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое, контргармоническое — это часто встречаемые в технике, науке и быту средние. Ранее найденные инвариантные соотношения этих средних были получены для случая двух измерений. Целью данной работы является вывод инвариантных соотношений классических средних от трех измерений, а также решение обратной задачи поиска самих измерений по известным средним. Методы: составлены системы уравнений; последовательно исключены неизвестные переменные; рассмотрено влияние априорной информации об измерениях. Результаты: выведены инвариантные соотношения для каждой тройки из пяти средних от трех аргументов. Решена задача восстановления измерений по известным средним величинам. Обе задачи решены для двух видов априорной информации: измерения — соседние члены прогрессии или нет. Выведенные формулы восстановления измерений по средним величинам представлены в таблицах. Практическая значимость: выведенные инвариантные соотношения, связывающие каждые три из пяти классических средних, могут оказаться полезными в технической диагностике и при обработке результатов косвенных измерений.
Ключевые слова — классические средние, инвариантные соотношения, средние от трех измерений, прямая задача о средних, обратная задача о средних.
Введение
В математике и технике известно много средних величин. Их исследованию посвящены работы [1-12]. Самыми распространенными являются пять классических средних: арифметическое A, геометрическое G, гармоническое H, квадратическое Q, контргармоническое C. Формулы этих средних для случая трех аргументов a, Ь, &
а + Ь + с „ ч^^ „ 3
А =---; G = ЩаъС; Н = ----;
3 - + - + -
а Ь с
Q = ]а2 + Ь2 + с2 ; С = (*)
V 3 а + Ь + с
Среднее арифметическое имеет наибольшее распространение как в научной деятельности, в технике, в промышленности, так и в быту.
Среднее геометрическое применяется в прикладной статистике при нелинейной шкале измерений, в теории автоматического регулирования при анализе быстродействия систем управления.
Среднее гармоническое равно обратному среднему арифметическому от обратных величин. Оно применяется в расчетах средней скорости, средней продолжительности жизни, средней цены продукции при известных объемах продаж и в других случаях.
Среднее квадратическое применяется в теории вероятностей и математической статистике
при определении дисперсии и среднеквадратиче-ского отклонения.
Среднее контргармоническое находит применение в цифровой обработке изображений для устранения шумов типа «соль» и «перец».
В статье рассматриваются две задачи — поиск инвариантных соотношений (ИСО) между средними и решение обратной задачи теории измерений для случая малых выборок.
Первая задача сводится к поиску выражений, связывающих три различных средних из пяти (*). Выражения представляют собой полином, который включает в себя средние. В зависимости от априорной информации в него может войти и известное измерение, например a.
Вторая задача — она же обратная к первой — состоит в восстановлении значений измерений Ь, е} по известным значениям трех средних из пяти (*) и выражения ИСО, связывающего последние.
Решение обеих задач зависит от априорной информации об измерениях Ь, е}. Все задачи решаются для п = 3 измерений.
Два случая вывода инвариантных соотношений
Для поиска инвариантных соотношений, как правило, задается априорная информация. Рассмотрим два случая информации этого рода.
В основе первого случая лежит допущение о том, что значение одной величины из набора Ь, е},
ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
например а, определяется, а две другие — изменяются.
Алгоритм отыскания ИСО для этого случая выглядит следующим образом:
1) берем выражения для трех из пяти средних (*) (всего 10 вариантов);
2) исключив из этих выражений измерения Ь, с, получаем соотношения, которые инвариантны к исключенным измерениям.
Например, взяв первые три из средних (*), можно записать
3А = а + Ь + с; в3 = аЬс;
Н(аЬ + Ьс + ас) = ЗаЬс.
Выразив из первого и второго уравнений Ь и с:
Ь = ЗА - с - а, с =-, и подставив их в третье,
аЬ
получаем соотношение, не зависящее от исключенных измерений:
-3На2А + На3 - Нв3 + Зав3 = 0.
Это соотношение выполняется при любых значениях Ь и с, т. е. оно является инвариантом. Поступая аналогичным образом для оставшихся троек средних, взятых из (*), находим еще девять ИСО. Все они представлены в табл. 1.
Заметим, что в табл. 1 ИСО тройки (А, в, С) образуются из тройки (А, в, Q), а пятая (А, Н, С) — из четвертой (А, Н, Q) подстановкой выражения тройки (А, Q, С).
Второй случай априорной информации имеем, если известно некоторое функциональное соотношение, связывающее три измеряемые величины. В общем случае оно имеет вид f(a, Ь, с) = 0. Далее мы ограничимся рассмотрением случая, когда априорно известно, что величины {а, Ь, с} являются соседними членами арифметической, геометрической или гармонической прогрессии.
Формулы, связывающие измеряемые величины для этих трех прогрессий, имеют вид:
— арифметическая прогрессия: а = Ь - q; Ь, с = = Ь + q, q = 1, 2, 3...;
— геометрическая прогрессия: а = Ь/q; Ь, с = = aq, q = 1.1, 1.2, 1.3.;
1 , 1
— гармоническая прогрессия: а =-; Ь = —;
1 я -1 я
с =-я = 2, 3, 4....
Ч +1
Алгоритм отыскания ИСО в этом случае выглядит так:
1) выбираем формулы одной из трех ранее описанных прогрессий для операции замены переменных;
2) берем тройку из пяти средних (*) (всего возможны десять комбинаций) и вносим в нее для измерений-аргументов {а, Ь, с} принятую на предыдущем шаге замену переменных;
3) из полученной тройки выражений, последовательно исключая аргументы а, q (или Ь, q, или с, q), получаем соотношение, инвариантное к исключенным аргументам.
Приведем примеры для набора средних (А, в, Н) при разной априорной информации.
Пример 1. Пусть априори известно, что измерения {а, Ь, с} образуют арифметическую прогрессию. В этом случае выражения для средних (А, в, Н) приобретают вид
А = а + q; в3 = а(а + q)(a + 2q);
Н =
3а (а + я )(а + 2я )
(а + я )(а + 2я ) + а (а + 2я ) + а (а + я )
Исключение переменных а и q из получившейся системы дает ИСО:
2НА3 + Нв3 - 3Ав3 = 0,
где А — среднее арифметическое; в — среднее геометрическое; Н — среднее гармоническое.
■ Таблица 1. Инвариантные соотношения при заданном а
Тройка средних Инвариантные соотношения
(А, в, Н) На3 - 3НАа2 - Нв3 + 3в3а = 0
(А, в, Q) -2а3 + 6Аа2 - - 9в2)а + 2в3 = 0
(А, в, С) 2а3 - 6Аа2 + (9А2 - 3СА)а - 2в3 = 0
(А, Н, Q) 2а3 - 6Аа2 + (9А2 - 3Q2)a - 3НА2 + ^2 = 0
(А, Н, С) 2а3 - 6Аа2 + (9А2 - 3СА)а - 3НА2 + НСА = 0
(А, Q, С) Q2 - СА = 0
(в, Н, Q) Н2а6 - 3H2Q2a4 - 2Н2в3а3 + 9в6а2 - 6в6На + в6Н2 = 0
(в, Н, С) Н2а6 - Н2Са5 + (-2Н2в3 - 3в3НС)а3 + (СН2в3 + 9в6)а2 - 6в6На + в6Н2 = 0
(в, Q, С) 2С2а3 - 6CQ2a2 + (9Q4 - 3С^2)а - 2С2в3 = 0
(Н, Q, С) 2С2а3 - 6CQ2a2 + (9Q4 - 3С^2)а + HQ2С2 - 3^4 = 0
■ Таблица 2. Инвариантные соотношения, получаемые при образовании тройкой измерений {а, Ь, с} арифметической прогрессии
Тройка средних Инвариантные соотношения
(А, С, Н) -2НА3 - НС3 + 3АС3 = 0
(А, С, 6) -3А62 + 5А3 - 2С3 = 0
(А, С, С) -3СА2 + 5А3 - 2С3 = 0
(А, Н, 6) -3НА2 + 62Н - 3А62 + 5А3 = 0
(А, Н, С) -3НА + СН - 3АС + 5А2 = 0
(А, 6, С) 62-АС =0
(С, Н, 6) 50С9 - 12С2в4С3 + 4Н366 - 15Н62С6 - 27Н3С6 = 0
(С, Н, С) 50С6 - 9Н2С3С - 2Н3С3 - 12НС2С3 - 27Н3С3 = 0
(С, 6, С) 2С3С3 + 264С2 - 566 = 0
(Н, 6, С) 564 - 362С2 - 362СН + НС3 = 0
■ Таблица 3. Инвариантные соотношения, получаемые при образовании тройкой измерений {а, Ь, с} геометрической прогрессии
Тройка средних Инвариантные соотношения
(А, С, Н) С2 - НА = 0
(А, С, 6) 2АС + 62 - 3А2 = 0
(А, С, С) 2С + С - 3А = 0
(А, Н, 6) -4А3Н + 64 - 662А2 + 9А4 = 0
(А, Н, С) -4НА + С2 + 9А2 - 6АС = 0
(А, 6, С) 62 - СА = 0
(С, Н, 6) -62Н2 - 2НС3 + 3С4 = 0
(С, Н, С) -НС - 2НС + 3С2 = 0
(С, 6, С) С2 + 2СС - 362 = 0
(Н, 6, С) 4С62Н - С4 + 6С262 - 964 = 0
■ Таблица 4. Инвариантные соотношения, получаемые при образовании тройкой измерений {а, Ь, с} гармонической прогрессии
Тройка средних Инвариантные соотношения
(А, С, Н) -Н3 + 3АН2 - 2С3 = 0
(А, С, 6) -66 + 9А264 - 27А462 + 27А6 + 6С362А - 18А3С3 + 4С6 = 0
(А, С, С) 4С6 + 6СА2С3 - 18А3С3 - С3А3 + 9С2А4 - 27СА5 + 27А6 = 0
(А, Н, 6) 3А2 - 3АН - 62 + Н2 = 0
(А, Н, С) 3А2 - 3АН + Н2 - СА = 0
(А, 6, С) 62 - СА = 0
(С, Н, 6) 4С6 - 362Н4 - 2С3Н3 + Н6 = 0
(С, Н, С) 4С6 - (2СН2 + 2Н3)С3 + Н6 - СН5 = 0
(С, 6, С) 4С6С6 + (6С564 - 18С366)С3 + 9С468 - 27610 С2 + 27612 - С666 = 0
(Н, 6, С) ^(С - Н)( -VС2 + 6 НС -3Н2 | При замене ? = , , (С - И)Н -6С2<?2 - 24НС<32 + 6Q2И2 + 6Q2C^¡K + 6Q2Н^К + 8И2С2 - 4Н2с4к = 0, К = С2 + 6НС -3Н2
Пример 2. Пусть известно, что измерения {а, Ь, с} являются соседними членами геометрической прогрессии: Ь = аq, с = aq2. Тогда выражения для средних (А, в, Н) имеют вид
3А = 2а + aq + q2; в3 = а^(а + q2);
Н =
3а2я (а + я2 )
а2я + ая (а + я 2 ) + а (а + я 2 )
Исключив из получившейся системы переменные а и q, получаем ИСО:
в2 - НА = 0.
Пример 3. Аналогичные действия при априорной информации о гармонической прогрессии измерений {а, Ь, с} позволяют из системы
3 А = а +1 + - 1
(
Н
\
а
- + -г г
г г +1 1
О3 =-
(г +1) г +1) г (г + 1)
(г +1) 3а
получить следующее инвариантное соотношение:
-Н3 + 3АН2 - 2в3 = 0.
Проделав подобные выкладки для всех десяти троек средних, получаем результаты, приведенные в табл. 2-4. В них измерения {а, Ь, с} образуют арифметическую, геометрическую и гармоническую прогрессии соответственно.
Обратим внимание, что ИСО для тройки средних А, Q, С во всех случаях совпадают.
Обратная задача
Как было сказано ранее, обратная задача о трех средних от трех измерений {а, Ь, с} состоит в восстановлении самих значений измерений по известным значениям трех из пяти средних (*) и заданному выражению ИСО, связывающему последние.
Аналогично прямой задаче, в обратной тоже можно выделить два случая в зависимости от вида априорной информации. Решения обратной задачи позволяют либо выразить одно среднее через другие по заданному ИСО (первый случай), либо отыскать значения измерений {а, Ь, с} по известным значениям тройки средних (второй случай).
В первом случае обратная задача формулируется таким образом: по известному измерению и известным двум средним найти третье среднее.
Для ее решения воспользуемся ИСО, приведенными в табл. 1. Например, из ИСО На3 - 3НАа2 - Нв3 + 3в3а = 0 могут быть выве-
дены формулы для расчета среднего арифметического, гармонического, геометрического:
3
..а Н^О I 3а£ Л/Д
А =---; Н = -
3а£3
3На
3а2 А - а3 + О3 '
О =
(На2 (3А - а)(-Н + 3а)2 ) -Н + 3а
1/3
Во втором случае обратная задача формулируется так: по известным значениям двух средних величин от трех измерений {а, Ь, с}, образующих некоторую прогрессию, найти сами значения измерений.
Алгоритм восстановления измерений содержит следующие шаги:
1) из пяти средних (*) берем одну пару (всего возможно 10 пар);
2) в выбранной паре средних выполняем замену переменных. Тройку аргументов-измерений {а, Ь, с} преобразуем в соответствии с априори заданной прогрессией; в получаемом выражении присутствуют две переменные: аргумент прогрессии q и аргумент-измерение, например Ь;
3) из полученной системы уравнений исключаем одну из переменных (допустим, это q или Ь);
4) решая образовавшееся уравнение относительно оставшейся в нем переменной, находим ее значение.
Пример 4.
Из набора пар средних: (А, О), (А, Н), (А, Q), (А, С), (в, Н), (в, Q), (в, С), (Н, Q), (Н, С), ©, С) — выбираем первую пару. Выполняем замену в паре согласно априори известной арифметической прогрессии измерений: А = а + q, в3 = а(а + q)(a + 2q). Выражаем q через а из первого уравнения и, подставив во второе, решаем относительно а полученное уравнение:
-в3 - Аа2 + 2А2 = 0.
Его решением будет
а = А +
6 А2 +6СА "2 '
Найденное значение а позволяет найти q и два остальных измерения Ь и с:
я = А +
£
6 А2+6СА
2
6 А2 + 6СА
Ь = А, с = А -
2
Поступая аналогично, находим результаты для случаев, когда измерения {а, Ь, с} образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Решение также зависит от того, в каком порядке извлекались переменные-измерения {а, Ь, с}
■ Таблица 5. Решение обратной задачи для пары средних (А, С), если измерения {а, Ь, с} образуют арифметическую и геометрическую прогрессии
Пара средних
Решение исключением q
Решение исключением a
(A, G)
Арифметическая прогрессия
Замена: q = A - a Выражение: G3 + Aa2 - 2A2 Решение:
Замена: a = A - q Выражение: Aq2 + G2 - A3 = 0 Решение:
a = A-
A3 - G3
, b = A,
a = A-
A3 - G3
A
, b = A,
c = A -
A3 - G3
A
-> q = -
A3 - G3
A
c = A -
A3 - G3
A
q = ■
A3 - G3
(A,G)
Геометрическая прогрессия
Замена: q =
G3 - a3 + 3 Aa2
Замена: a =
3A
3 Aa2
1 + q + q
Выражение: -a2 + (3A - G)a - G2 Решение:
Выражение: -Gq2 + (3A - G)q - G Решение:
q=
2G
3 A - G -\[9A2 - 6GA - 3G2
q=
3 A - G + \/9A2 - 6GA -3G2
2G
3 A - G +49A2 - 6GA -3G2
2G2
b = G,
3 A - G +\/9A2 - 6GA -3G2
,, b = G,
2G2
3 A - G -V9A2 - 6GA - 3G2
3 A - G +\/9A2 - 6GA -3G2
a
a
2
c=
c=
2
из исходной тройки средних. Часть полученных результатов, учитывающая очередность удаления переменных и вид априорной информации, приведена в табл. 5.
Заключение
В статье рассмотрены задачи поиска инвариантных соотношений между средними и восстановление измерений по известным средним в случае малых выборок.
Литература
1. Мироновский Л. А., Слаев В. А. Алгоритмы оценивания трех измерений. — СПб.: Профессионал, 2010. — 192 с.
2. Slaev V. A., Chunovkina A. G., Mironovsky L. A. Metrology and Theory of Measurement. — Berlin: De Gruyter, 2013. — 560 p.
3. Мироновский Л. А., Слаев В. А. Оценивание результатов трех измерений по малым выборкам // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. C. 69-78.
4. Джини К. Средние величины. — М.: Статистика, 1970. — 417 с.
При решении первой задачи найдены инвариантные соотношения для различных троек средних от трех измерений при наличии и отсутствии априорной информации. При решении второй задачи получены выражения для расчета неизвестных измерений {а, Ь, с} по известным значениям трех средних (обратная задача теории измерений).
Полученные формулы сведены в таблицы. Они могут оказаться полезными в технической диагностике и при обработке результатов косвенных измерений.
5. Мироновский Л. А., Слаев В. А. Инварианты в метрологии и технической диагностике // Измерительная техника. 1996. № 6. С. 3-14.
6. Годин А. М., Русин В. Н., Соколов В. П. Статистические средние и другие величины и их применение в различных отраслях деятельности. — М.: Дашков и Ко, 2006. — 252 с.
7. Барский Б. В., Соколов М. В. Средние величины, инвариантные относительно допустимых преобразований шкалы измерения // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006. Т. 72. № 1. С. 59-66.
8. Локоть В. В. Соотношения между средними величинами // Современные проблемы и пути их решения
в науке, транспорте, производстве и образовании: тр. Междунар. науч.-практ. конф., Одесса, 2027 декабря 2010 г. Одесса, 2010. Т. 8. № 4. С. 27-28.
9. Sandor J. On Certain Conjectures on Classical Means // Octogon Math. Mag. 2006. Vol. 14. N 2. P. 643-645.
10. Sandor J., Toader Gh. Some General Means // Czechoslovak Mathematical Journal. 1999. Vol. 49. N 1. P. 53-62.
11. Sandor J. A Note on Some Inequalities for Means // Archiv der Mathematik. 1991. Vol. 56. N 5. P. 471473.
12. Sandor J. On Certain Inequalities for Means // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1995. Vol. 189. N 2. C. 602-606.
UDC 389
Invariant Relations for Averages in Case of Three Measurements
Khanykov I. G.a, Magister, igorioniak@mail.ru
aSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation
Purpose: The problem of recovery of measurement values based on implicit data is relevant in technical diagnostics when it is impossible to carry out direct measurement and data control. The following five classic averages - arithmetic, geometrical, harmonious, quadratic and counter-harmonious - are often used in technology, science and life. Invariant relations of these averages found earlier have been received for the case of two measurements. The goal of this paper is to deduce on the invariant relations of the given classical averages for the case of three measurements as well as to solve an inverse problem of searching measurements based on known averages. Methods: There have been compiled equation systems; then there has been consecutive exception of unknown variable; consideration of influence of aprioristic information on measurements. Results: Invariant relations have been deduced for each three of five classical averages of three measurements. There have been solved the problem of measurements recovery based on known averages. There have also been solved problems of two types of aprioristic information: whether measurements are members of progression or not. The deduced formulae of measurements recovery by averages formulas are represented in tables. Practical relevance: The deduced invariant relations connecting each three of five classical averages can be useful in technical diagnostics and at processing results of indirect measurements.
Keywords — Classical Averages, Invariant Relations, Average from Three Measurements, Direct Problem of Averages, Reverse Problem of Averages.
References
1. Mironovsky L. A., Slaev V. A. Algoritmy otsenivaniia trekh izmerenii [Algorithms for Evaluating the Results of Three Measurements]. Saint-Petersburg, Professional Publ., 2010. 192 p. (In Russian).
2. Slaev V. A., Chunovkina A. G., Mironovsky L. A. Metrology and Theory of Measurement. Berlin, De Gruyter, 2013. 560 p.
3. Mironovsky L. A., Slaev V. A. Evaluation of the Results of Three Measurements on Small Samples. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2011, vol. 50, no. 1, pp. 69-78 (In Russian).
4. Gini C. Srednie velichiny [Average Means]. Moscow, Statistika Publ., 1970. 417 p. (In Russian).
5. Mironovsky L. A., Slaev V. A. Invariants in Metrology and Technical Diagnostics. Izmeritel'naia tekhnika, 1996, no. 6, pp. 3-14 (In Russian).
6. Godin A. M., Rusin V. N., Sokolov V. P. Statisticheskie srednie i drugie velichiny i ikh primenenie v razlichnykh otrasliakh deiatel'nosti [Statistical Averages and Other Means and their Application in Various Branches of Activity]. Moscow, Dashkov i Ko Publ., 2006. 252 p. (In Russian).
7. Barskii B. V., Sokolov M. V. Averages Average Means, Invariant Concerning to an Admissible Scale of Measurement Transformations. Zavodskaia laboratoriia. Diagnostika materialov, 2006, vol. 72, no. 1, pp. 59-66 (In Russian).
8. Lokot' V. V. Relations Between Average Means. Trudy Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Sovremennye problemy i puti ikh resheniia v nauke, transporte, proizvodstve i obrazovanii" [Proc. Int. Sci.-Pract. Conf. "Contemporary Issues and Ways of their Decision in a Science, Transport, Manufacture and Education"]. Odessa, 2010, pp. 27-28 (In Russian).
9. Sandor J. On Certain Conjectures on Classical Means. Octogon Mathematical Magazin, 2006, vol. 14, no. 2, pp. 643-645.
10. Sandor J., Toader Gh. Some General Means. Czechoslovak Mathematical Journal, 1999, vol. 49, no. 1, pp. 53-62.
11. Sandor J. A Note on Some Inequalities for Means. Archiv der Mathematik, 1991, vol. 56, no. 5, pp. 471-473.
12. Sandor J. On Certain Inequalities for Means. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1995, vol. 189, no. 2, pp. 602-606.
