Инвариантно-групповые свойства моделей метрологических характеристик и задача метрологического обслуживания средств измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Инженерная методика оценки показателей надёжности сложных технических систем.

5. АРМ анализа надёжности сложных технических систем на этапе проектирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Айламазян А.К., Стась Е.В. Информатика теория развитая. -М., 1989.

2. Вильсон Дж. Энтропийные методы моделирования систем. -М., 1978.

3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. -М., 1983.

4. Горькова В.И. Системно-структурные исследования документальных потоков: Дис. д-ра техн. наук. 1990.

5. КолесниковА.А. Основы теории синергетического управления. -М., 2000.

А.М. Бухтаревич

ИНВАРИАНТНО-ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК И ЗАДАЧА МЕТРОЛОГИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Современный этап организации производства, эксплуатации сложных технических объектов характеризуется необходимостью контроля множества параметров. Причем правильное функционирование объектов зачастую определяется непрерывным и высокоточным измерением значений параметров.

Степень развития микропроцессорной техники и приборостроения позволяют решать вопросы контроля в соответствии с предъявляемыми к объектам тактикотехническими требованиями. Параметрический контроль осуществляется как посредством одиночных средств измерений (СИ), так и с помощью информационноизмерительных систем (ИИС), включающих в свой состав необходимые измерители [1]. При этом точность используемых средств контроля при проведении технических измерений довольно часто доходит до уровня рабочих эталонов (РЭ).

Для технических объектов, выработавших свой ресурс, но имеющих продленные сроки эксплуатации, увеличение объема точных измерений параметров - также единственная гарантия возможности безопасного и безаварийного применения по назначению

[2]. В данной ситуации уже не достаточно знания только о том, что СИ поверено и пригодно для решения измерительных задач. Весьма остро встает вопрос о действительных значениях нормируемых метрологических характеристик (МХ) средств измерений в случае проведения измерений.

Рост количества высокоточных СИ, использующихся в области технических измерений, «старение» парка РЭ из-за нехватки государственных ресурсов ведет к тому, что лаборатории измерительной техники (ЛИТ), обслуживающие РЭ, должны по-новому строить свою деятельность в системе передачи единиц физических величин. В настоящее время, при планировании деятельности ЛИТ, помимо традиционного «увязать с желаемыми сроками», необходимо учесть еще и степень неопределенности знания о значениях МХ подлежащих поверке приборов.

Эффективное решение изложенной проблемы возможно при переходе к метрологическому обслуживанию указанных СИ по действительному состоянию их метрологических характеристик.

В данной работе освящен метод получения закона управления процессом метрологического обслуживания СИ на основе учета инвариантно-групповых свойств моделей МХ.

Рассмотрим задачу определения закона управления метрологическим обслуживанием РЭ и технических СИ высокой точности применительно к одной из поверочных лабораторий. Будем считать, что все СИ поверяются в месте расположения лаборатории.

Предположим, что имеется q объектов метрологического обслуживания (контрольно-измерительных лабораторий и систем контроля), в которых эксплуатируются указанные выше СИ, и где необходимо провести поверку (регулировку) измерительной техники в течение определенного интервала времени [0,Т]. Требуется так организовать процесс обслуживания СИ, чтобы к моменту времени 1 = Т остаточная неопределенность относительно погрешностей обслуживаемых приборов была наименьшей. Критерий оптимальности при такой постановке задачи может быть представлен в виде

J = и | ¿1 к N к ^ О ^ ® шт ’ (1)

где ю - некоторая скалярная функция, например, ю1{Л} = 1х{А}, ю2{Л} = ёе1:{А} и т.д.

[3]; ^к - весовой коэффициент, отражающий степень важности к-го объекта; N к (О ) -прогнозируемая ковариационная матрица ошибок оценивания погрешностей СИ к-го объекта в момент времени 1 = Т с учетом предполагаемых поверочных мероприятий на интервале [0,Т]; П - множество возможных планов организации метрологического обслуживания СИ.

В большинстве случаев процесс изменения погрешностей СИ во времени описывается линейной моделью [4,5].

Пусть математическая модель динамики погрешностей исследуемых СИ описывается уравнением

Ек = О к (0 Е + Gk (0, Е (о) = ^ко, t е [о, О ], к = 1,я, (2)

где Ек^к е Rnk , Ок е RnkХПк ; Zk - вектор состояния комплекта СИ к-го объекта, у

которого I ^ко ] =0, I Еко^ко ]=N ко; элементы вектора

Ек = ^ Z2 ... zi], 1 = 1,Пк определяются погрешностями СИ к-го объекта, « т »

- символ транспонирования; Фк - известная вещественная матрица, характеризующая закономерности изменения погрешностей приборов к-го объекта; Ок - вектор, учитывающий влияющие факторы.

При очередном метрологическом обслуживании СИ какого-либо объекта в момент времени 1- е [0,Т], г = 1,д, 10 = 0, tq = Т производится определение значений элементов вектора состояния, что может быть выражено следующим уравнением:

Л кг = вкг ^ кг + ^кг , (3)

где Лкг, Гкге Rlk ; А кг е Rlk ХПк ; Ё кг = Ё к (^) Е^г = Е (tr); Вкг - вещественная

матрица, определяющая порядок получения значений погрешностей поверяемых приборов в момент времени 1 = 1:,.; Гкг - вектор, характеризующий погрешности поверочной

аппаратуры для СИ к-го объекта: Мр^.] = 0, Мр^. ГкгТ] = Бкг, Бкге Rlkх1к .

Заметим, что в дальнейшем, с целью сокращения выражения «средства измерений обслуживаемого объекта», в рамках данной работы используются термины «обслуживаемый объект» или «объект».

Система передачи единиц физических величин накладывает ряд ограничений на процесс метрологического обслуживания, которые должны быть учтены при решении рассматриваемой задачи. За временной промежуток [0,Т], не превышающий межпове-рочный интервал, должны быть обслужены все q объектов. Каждый объект подвергается обслуживанию только один раз в соответствующий момент времени 1Є [0,Т], 1г-1

< 1, пока не поверены СИ других объектов. Выбор к-го объекта обслуживания в момент времени 1, если в момент 1 = 1г-1 обслуживался 8-й объект -1)(8 = 1^ ), за-

висит от управления и^ ■ Значения управлений и^ выбираются из ряда {0,1} и подчиняются условиям:

І^І^1, при к *8; (4)

к=1 г=1

и[к-1) * икг), при к * 8 ; (5)

44 ()

11 и8Гк) = 0 , при к = 8. (6)

к=1г =1

Рассмотрим закон эволюции ковариационных матриц апостериорных ошибок оценивания векторов состояния обслуживаемых объектов на интервалах времени [І^.ьУ между поверками. В соответствии с [6] для принятой модели динамики погрешностей СИ ковариационная матрица Ркг определяется матричным дифференциальным уравнением

_ N к = N кОк + О кК к, N к (1г-1 )= ^кг_1,К к (1о )= N ко , (7)

где Nкг-1 - начальное условие: результат оценки вектора состояния к-го объекта при его последнем (1 = ) метрологическом обслуживании.

По результатам поверок в моменты времени ^ ковариационные матрицы апостериорных ошибок оценивания векторов состояния объектов от значений векторов состояния не зависят и, в соответствии с леммой об обращении матрицы [7], вычисляются следующим образом:

Йкг =(і + ик^ кгА £. ^г )-1А кг ^ кг, икг) = 1 и[гк), к * 8, (8)

8=1

где Ркг - результат решения уравнения (7) на интервале 1(.-1) £ ^ < 1. ; I - единичная матрица.

Представим выражение (8) в более общем виде [8]:

N = (Е + PW0 М¥)-1 Р, (9)

где М и * = Ш(1;) - неособенные вещественные матрицы размера пк х пк; Ш(1;) - реше-

ние матричного уравнения

У = -№О , Ш(0) = I. (10)

Преобразование (9) обладает следующими свойствами: функция (9) трижды дифференцируема по совокупности своих аргументов; матрица параметров М = {М1, М2, ...}

каноническая,

Р =1 Е + PWwM1W Р

-1

Р =|Е + PW ° M2w] Р =| Е + PW ° (М; + М2 )w] Р ; при М = 0 Р = Р [9]

-1

Таким образом, соотношение (9) представляет собой группу преобразований с матрицей канонических параметров М.

При выполнении условия (10) дифференциальное многообразие, порождаемое (7), является инвариантным по отношению к (9). Это значит, что групповое преобразование (9) переводит любое решение (7) в некоторое другое решение этого же уравнения.

Поставив в соответствие выражению (8) преобразование (9), возможно для некоторого к в момент 1 = ^ определить конкретное значение

-1

Мкг = и^Wk°r ] 1 В°г ^кг )-1 Вк^кг

Wkr = Wk (^).

(11)

Поскольку матрица параметров М является канонической, а (9) при условии (10) переводит любое решение (7) в момент времени 1* в некоторое другое его решение в тот

же момент времени, то все дискретные преобразования Nкг, соответствующие (3), (8), можно свести к концу интервала обслуживания 1 = Т :

/ „ ч-1

Рк (° )= Е + Рк (° К°г (°)! м^кг (°) Рк (°),

г=1

V /

где Рк(Т) - решение уравнения (7) для 1 = Т при Рк(0) = Рко. Перепишем (12) в следующем виде:

Рк (° )=(Е + Рк (° А )-1Рк (°)

где

Ак = Wk° (° .

(° І і икг’(< вї, <^г >-1 вкг«к-;

-1

Wk (°).

(12)

(13)

(14)

Выражение (13) отражает групповые свойства преобразований ковариационных матриц ошибок оценивания (8) и позволяет рассчитывать значения прогнозируемых ковариационных матриц относительно момента времени 1 = Т с учетом ранее проведенных поверок. Переход от одного решения (7) к другому, а значит и выбор очередного объекта обслуживания осуществляется в каждый г-й момент времени под действием

(г)

управлений ик .

Возможность вариации параметра Ак = {Ак1, Ак2, ... , Акч} в зависимости от момента времени 1* обслуживания к-го объекта влечет за собой получение q различных

значений Рк (о )- {Рк1 (о )Рк2 (0 )• • •,pkq (о)}. При к = {1,2, ... ^} возникает q! вари-

в (1) такова, что справедливо равенство

антов решения задачи.

В случае, когда функция

/ q 1 q

^ Ек - ^и (Ек), где Ек - некоторая матрица, критерий (1) можно записать в сле-к-1 к-1

дующем виде:

Jb = Е Е uU ) ® min , (15)

r=1к=1 В

где

Jkr)= u {i к (e + N к (о К к )_1N к (о )}. (16)

Применение (16) позволяет рассчитать значения приращений критерия (15) для каждого объекта обслуживания для любой из возможных поверок в какой-либо момент

времени tr. Получаемое множество значений j'*, к = 1,q, r = 1,q обеспечивает поиск

комбинации составляющих сумм критерия (15), соответствующей некоторому из вариантов процесса обслуживания. Конкретная реализация процесса обслуживания зависит

от выбранной последовательности управлений u'* - закона или программы управления

очередностью обслуживания объектов на интервале [0,Т].

С целью оптимизации процесса метрологического обслуживания СИ объектов в смысле критерия (15) воспользуемся методом динамического программирования.

Процедура поиска оптимального закона управления, доставляющего минимум критерию оптимальности, заключается в следующем.

Учитывая ограничение (6), строится граф состояний, показанный на рисунке, отражающий процесс метрологического обслуживания СИ q объектов за q шагов на интервале [0,Т].

1. На основании (5), для обеспечения однозначности переходов на графе от объекта к объекту, в соответствии с условиями задачи, производится разложение графа (см.рис.1) на подграфы. В таком случае система из q объектов распадается на идентичные по структуре подсистемы, но отличающиеся значениями векторов состояний и, соответственно, вариантами очередности обслуживания объектов.

2. Далее, в соответствии с (16), для q-го момента времени tr рассчитываются зна-(г )

чения J' '. Вычисления производятся относительно всех полученных подсистем.

3. Для каждого состояния z[q-1) на q-м шаге определяется условно оптимальное

*(q )

управление u^'', где

к0 = arg min j'4). (17)

к к

t0 О

tq=T t

Значение jjk? ), соответствующее u*jq), обозначим jj(q).

Затем пп. 3, 4 повторяются, но уже для (q-l)-ra шага. При этом

ко = argminj -l) + jj^}. (18)

к

Определение условно оптимальных управлений проводится вплоть до первого шага. В силу единственности начального состояния z[0) системы из q объектов обслуживания, на первом шаге происходит окончательное формирование сумм (15). Оптимальный закон управления n'opt для одной из подсистем формируется из условно оптимальных управлений u;kr), доставивших минимум значению критерия Jn При движении от t = t1 к t = T получаем план n'opt, который принимает вид

п*=i 4°, 42).........»¡к” >■ (19)

Для системы в целом такой закон является субоптимальным. Аналогично получаем n"opt, n/"opt и т.д. для других подсистем. Оптимальный закон управления процессом обслуживания определяется на основании сравнения между собой значений Jn, Jn~,

... (15) субоптимальных планов n'opt, n"opt, ... и выбора наименьшего в соответствии с

критерием (1)

nopt: Jn = mm^ Jп", ■■■}■ (20)

Разработанный метод управления метрологическим обслуживанием СИ позволяет априорно определить оптимальный закон очередности поверки приборов с точки зрения обеспечения максимума сведений о значениях их МХ. Данная процедура стала возможной благодаря использованию групповых свойств моделей (7),(8) ковариационных матриц ошибок оценивания и применению метода динамического программирования. Каноническое свойство матрицы групповых параметров М дает возможность оперативно учитывать изменения условий процесса обслуживания и своевременно принимать меры к его оптимальному развитию.

Применение метода позволяет повысить эффективность использования ресурсов поверочных лабораторий и систем контроля. Проведенные исследования показывают,

что относительный выигрыш от применения оптимального плана составляет не менее 10 %.

Алгоритм поиска закона управления процессом метрологического обслуживания СИ вполне реализуем в любой из ЛИТ при их оснащении вычислительной техникой в настоящее время.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Богданов Г.П.Кузнецов В.А. и др. Метрологическое обеспечение эксплуатации измерительной техники.- М.: Радио и связь, 1990.

2. Лахов В.М., Шайко И.А. Измерительная техника. 2000. №4.

3. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов.- М.: Машиностроение, 1989.

4. Кузнецов В.А., Петров В.А. Измерительная техника. 1992. №7.

5. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений.- Л.: Энергоатомиз-дат, 1985.

6. ЯрлыковМ.С. Статистическая теория радионавигации.- М.: Радио и связь,1985.

7. Сейдж Э.П., Уайт Ч., Оптимальное управление системами: Пер. с англ./ Под ред. Б.Р. Левина.- М.: Радио и связь, 1982.

8. Хуторцев В.В. Радиотехника. 1992. №9.

9. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1987.

М. С. Калмыков

АНАЛИЗ ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Вряд ли кто-то станет опровергать тот факт, что на сегодняшний день наиболее значимыми составляющими жилищно-коммунальной инфрастуктуры муниципальных образований являются инженерные коммуникаций. Сети тепло-, газо-, электро-, водоснабжения и водоотведения, без преувеличения, выполняют функцию жизнеобеспечения городов. Качество и надежность их функционирования во многом определяют жизнеспособность всех прочих городских служб и социальную обстановку.

Современные системы инженерных коммуникаций представляют собой весьма сложные технические объекты разветвленной структуры, управление которыми становится все более и более трудоемким, из-за нехватки таких ресурсов, как организационно-финансовых, так и материальных, начиная от энергоносителей и заканчивая квалифицированным персоналом.

Т ехнологии инженерных коммуникаций основаны на специальных разделах прикладной математики - теории графов, теории гидравлических и электрических цепей. Не владея такими знаниями, невозможно создать полноценную и работоспособную информационную компьютерную систему, которая реально облегчит процесс эксплуатации сетей.

ГИС представляются крайне удобным аналитическим и интегрирующим инструментом для построения муниципальных информационных систем верхнего уровня, поскольку они позволяют на едином плане города "наложить" в виде тематических слоев и баз данных графическую и содержательную информацию из самых разных городских служб.

Любая сеть является в первую очередь направленным математическим графом со всеми вытекающими отсюда топологическими и математическими свойствами, и лишь во вторую очередь она выступает в качестве некоего пространственного объекта ГИС.