CC BY
15ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2008, том 18, № 2, c. 81-85
= ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ =
СИСТЕМЫ
УДК 621.391.81: 621.391.822 © В. Н. Трифанов
ИНВАРИАНТНАЯ СТАТИСТИКА СЛАБЫХ СИГНАЛОВ
Предлагается решение проблемы обнаружения и распознавания слабых сигналов на фоне сильного шума. Оно основано на применении статистических инвариантов, не зависящих от числа наблюдаемых событий. Исследована когерентная экспозиция т сигналов с п независимыми переменными в полном наборе п = п ■ т . Показано почти линейное увеличение обнаружения сигнала от численности т экспозиции.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема обнаружения и распознавания слабых сигналов в условиях сильного шума является важной в измерении, обработке и интерпретации наблюдаемых данных. В отличие от традиционных статистических методов решения проблемы предлагается альтернативный метод на основе статистических инвариантов, не зависящих от числа независимых событий в совокупности. Эти инварианты можно получить, разлагая моменты наблюдаемой совокупности в ряд по степеням ее дисперсии. Но проблема усложняется тем, что наблюдаемая совокупность есть смесь слабого сигнала и сильного шума. Обнаружить слабый сигнал на фоне сильного шума не так-то просто. Астрономы и фотографы ночных объектов обнаруживают этот сигнал за счет длительной временной экспозиции. Физики его обнаруживают за счет пространственной когерентно возбужденной совокупности частиц.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
Пусть неделимая смесь (когерентный сигнал плюс шум) есть
X = Xms + = mxs + Xx .
(1)
X = У x.
n ^^
(2)
В работе автора [1] разработана теория и технология решения таких задач. В основе этой теории лежат статистические инварианты. Они строятся на моментах разных порядков. Для наблюдаемой совокупности имеем:
X = пХ, Юп = пЮ, Оп = Юп / Хп ,
п ' п ' п п п '
X3 = 3 Ю, X4 = 3, Ю + 3Ю\
п 1 п ' п 2 п п '
33 = Хп5/Юп - 103Юп, (3)
34 = Х6п/Юп -(1532 +103,2)Юп - 15Юп2.
Здесь Хп, Юп — среднее значение и дисперсия наблюдаемой совокупности; Оп — диссипатив-ный инвариант; 3к (к > 1) — статистические инварианты.
Эти зависимости позволяют непосредственно вычислить статистические инварианты:
О п = / Т
п п п
Ji = Xn3/Dn, J = Xn4/Dn -3Dn, J = Xn5/Dn -10JiDn,
J4 = Xn6/Dn -(15J2 + 10Ji2)Dn - 15D2.
(4)
Здесь т — число когерентных сигналов хл Хх — шум.
Наблюдаемая совокупность содержит п независимых смесей
Здесь Хк — к-й центральный момент наблюдаемой совокупности (к > 2).
Коль скоро инварианты не зависят от п, получаем:
J1 = X3/D, J2 = X4/D - 3D,
J3 = X5/ D - 10J1 D,
Предполагаем, что можно наблюдать отдельно фон при отсутствии сигнала и смесь при его наличии. Задача состоит в том, что на основе этих двух наблюдений обнаружить и распознать сигнал.
О = Ю / Х,
3' Ю, 3 2 = Х / Ю — 3Ю,
/ Г> 1(1 Г П (5)
34 = Х6/Ю - (1532 +1032)Ю - 15Ю2.
Здесь Хк (к > 2) — моменты неделимой части наблюдаемой совокупности; Х, Ю — ее среднее значение и дисперсия.
Дисперсионный момент неделимой части наблюдаемой совокупности определяется из соотношений:
О3 - А1О2 + А2О - Аз = 0, А = 2( з2 - з2),
АХ / Ат = X,, т = X / X .
. = 2(34 - ¿2) + 9(¿22 - 34) + А2 = 12 +
+
А3 =
12зД32 -33)
12 ,
(зз - з З2)2 - (з2 - з4)(з2 - з2)
12
0 < О < О..
О3 - А, ОХ + А2Ох - Аз = 0,
2
А, = 2(зх - з2х),
[2(з4х - ) + 9(- з4х)] +
12
+
[122х - ззх)]
12
Аз =
[(ззх - ^х)2 - (з2х - з4х)(^ - з2х)]
12
0 < О„ < О_.
х их
(9)
(6)
С ростом когерентности (экспозиции) т среднее значение фона падает вплоть до нуля, тогда как среднее значение сигнала тХх растет. После некоторой критической экспозиции, когда
(тХ~ >> Тх),
сигнал будет устойчиво наблюдаться. Можно показать, что инварианты сигнала с ростом экспозиции растут:
з , = ткз, ,
тк, к, -
(10)
Аналогичные соотношения можно получить для фона, предполагая, что (Хх = 0):
^ = хз/ Ох, з2х = хх4/ Ох - зОх, ззх = Х5/ Ох -10з,хОх,
з4х = Хх6 /Ох - (15з2х +10з2)Ох - 15Ох2.
Это позволяет найти дисперсию неделимой части фона из соотношений
(7)
где зтк,, зь — к-й инвариант когерентной совокупности сигналов и одного сигнала соответственно.
ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА
Если сигнал постоянный, то уравнения (9) позволяют обнаружить сигнал X, и его когерентный масштаб (экспозицию) т. Если сигнал имеет частотную структуру, то изложенные зависимости позволяют найти инварианты сигнала из структуры наблюдаемой совокупности и фона.
Покажем, как это можно сделать. Для начала рассмотрим дисперсию неделимой части смешанного сигнала в центральной системе координат:
X = mXs + Xx,
< X > = 0, < Xx > = 0, < X, > = 0;
(здесь угловые скобки < > обозначают средние значения)
О = X2 = + Xx )2 = т2 О, + Ох, (11)
дО/дт = 2тО , д2О/дт2 = 2О .
(12)
После изложенного можно выйти на обнаружение сигнала и на определение его инвариантной структуры.
Исходным является соотношение (1)
X = mXs + Xx.
Коль скоро фон центрирован, то его среднее значение
X:=0.
Для средних значений получаем:
X = тТ, + Тх, ~х = 0, X = тX . (8)
Меняя масштаб когеренции (экспозиции), находим
Варьируя число когерентных частиц (экспозицию), можно найти дисперсию слабого сигнала О,, даже если дисперсия фона Ох очень высока. Сопоставляя (11) с (8), находим диссипативный инвариант
О, = Оs /X,. (1з)
Но с другой стороны имеем
О = О / X = (т 2Ох + Ох )/(тТ + Тх). (14) При больших экспозициях
Тх - 0, X = тТх. (15)
В этом случае получаем
О = тОх + (1/т)Ох / Т3. (16)
Минимальное значение диссипативного инварианта, а следовательно, максимальная организованность смеси получается при условии
дО/дт = 0, = (1 -т2)Ох /Та = 0. (17)
Откуда находим
m
= Dx ¡Ds, m = 4DJDS.
(18)
Это наилучшее значение когерентных частиц (экспозиции). Чем больше дисперсия шума Ох по сравнению с дисперсией сигнала О,, тем больше должна быть экспозиция для обнаружения сигнала.
Для третьих центральных моментов имеем:
X 3 = JiD = (mXs + Xx)3 = m3X3 + X3x =
= m3 Jis Ds + JixDx.
(19)
Отсюда находим инвариант зи сигнала, зная инварианты смеси и фона.
Для четвертых моментов получаем:
X 4 = J2D + 3D2 = (mXs + Xx)4 =
= m4 X4 + 6m2 DD + Xx4, J2 D + 3D2 = m 4( J2 sDs + 3D2) +
+ 6m2 DD + J2 XDX + 3D2.
(20)
Отсюда находится инвариант з2,.
Пятый момент раскрывается аналогичным образом:
X 5 = (т^ + Xx )5 = т5(зъО, +10з^) +
+бт3зиО,Ох + 4т2зХхОрх + зЪхОх+юз,хО2х. (21)
Это позволяет найти инвариант (зз,).
Наконец, для шестого центрального момента находим
(22)
X 6 = (mXs + Xx )6 = m6Xs6 + 15m4Xs4X2 +
+ 20m3 X3 Xx3 + 15m2 X2 Xx4 + Xx6. Выразим моменты через инварианты:
X 6 = J4D + (15J2 +10J2)D2 +15D3, Xx6 = J4 xDx + (15 J2 x +10 J2x) D2 +15 Dx3, Xs6 = J4 D + (15 J2s +10 J2) D2 +15 D3,
Xs4 = J2 SDS + 3D2, Xx4 = J2 xDx + 3D2,
Xs3 = J1sDs, Xx3 = J1xDx,
Xs2 = Ds, X2 = Dx.
Такая система позволяет найти инвариант з4,. Итак, наблюдая когерентную экспозицию смеси
(23)
(сигнал плюс шум) и отдельно фон (шум), получаем инварианты смеси, инварианты сигнала и шума. Для этого необходимо наблюдать независимо друг от друга фон (шум) в случае отсутствия сигнала и смесь в случае его предполагаемого присутствия.
Такое разрешение проблемы смеси в рамках традиционной статистики практически невозможно.
РЕЗОНАНСНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ
Но имея такую информацию, в рамках инвариантной статистики можно получить резонансные спектры смеси сигнала и шума как для неделимого события, так и для наблюдаемой совокупности неделимых событий.
Для неделимого события следует решить функциональное уравнение
X3 - S1X2 + S2X - S3 = 0,
S1 = (J3 - J1J2 + 6 J1D) /(J2 - J2 + 2D), (24)
-S2 = J2 - J1S1 + 3D, S3 = (J1 - S)D.
Корни этого уравнения
X = (X1,X3, X2), (X1 < X3 < X2)
являются резонансами неделимого события. Вероятности возбуждения резонансов определяются по формулам:
P = (D + X2X3)/[(Х1 -X2)(( -X3)],
P2 = (D + X1X3)/ [(Х2 - X1) (X2 - X3)], (25)
P3 = (D + X1X2)/[(Х3 -X1 )((3 -X2)].
Аналогично проявляются резонансы фона (шума):
Xx3 - S1xX2 + S2xXx - S3x = 0,
S1x = (J3 x - J 1xJ2 x + 6J1xDx )/(J2x - J2 + 2 Dx ), (26) -S2x = J2x - «x + 3Dx, S3x = (J1x - S1x )Dx .
Корни этого функционального уравнения Xx = (X1x, X3x, X2x ), (X1x < X3x < X2x )
являются резонансами неделимого события шума. Вероятности их возбуждения будут равны
P1x = (Dx + X 2 xX 3 x )/[(( - X 2 x )(( - X3x )] ,
P2x = (Dx + X1xX3x)/[( - X1x )( - X3x )], (27)
P3 x = (Dx + X1xX2x )/[( - X1x )( - X 2 x )] .
Напомним, что эти распределения получаются при независимом наблюдении смеси и шума, при-
чем число неделимых событий в наблюдаемой совокупности определяется соотношением
n = Dn / D . (28)
Резонансные спектры неделимого сигнала определяются из функционального уравнения
X3 - SUX2 + S2X - S3, = 0,
Ъ = J - J + 6JlsDs) /(J2s - J\s + 2Ds), (29) -S2 = J2, - JisSis + 3D,, S3, = J - Sls)D,.
Корни этого уравнения
X, = (Xi,,Хз,, X2,), (Xi, < Хз, < X2,)
являются искомыми резонансами неделимого события сигнала. Вероятности возбуждения этих ре-зонансов равны
P = (D, + X2,X3,)/[(( -X2, )(( -Xз,)],
P2s = (D, + Xi,X3,)/[((2, - Xi,))(X2, -X3,)], (30) ^ = (D, + Xi,X 2,)/[((3, - Xi,)(( - X 2,)].
Наблюдаемая совокупность событий рассматривается в виде смеси резонансов неделимых событий:
Xk = « X1 + «3 X3 + n2 x2,
Xkx = «jXjx + n3X3x + n2x2x , Xb = «j Xj, + n3X3, + n2 x2,,
nk = (nj, n3, n2), nj + n3 + n2 = n.
(31)
Число разбиений числа неделимых событий п на триады пк = (пь п3, п2) равно
N = (« +1)(« + 2)/2.
(32)
Вероятности возбуждения каждой такой смеси («k е N) равны
Рк =
«!
р =
«j !«3 !«2! «!
«j !«3 !«2!
P«j P«3 P«2 1 j J 3 J 2 '
p«j p»j p«2 jx 3x^2x '
^ = '
«!
P«j P«3 P«2
Г7!, ^2, •
«j !«3!«2!
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, проблема разделения наблюдаемой смеси на сигнал и шум, разрешена с помощью инвариантной статистики. Более того, ко-
герентно-экспозиционное накопление сигнала в наблюдаемой смеси позволяет при определенной пороговой экспозиции не только обнаружить сигнал на фоне большого шума, но определить резонансные спектры распределения наблюдаемой смеси, сигнала и шума.
В рамках традиционной статистики такой результат получить практически невозможно. Например, в смеси отказов технических систем, состоящей из внезапного отказа и износа, разделение на распределения внезапных отказов и износов в общем распределении возможно в очень редких случаях при наличии гипотез о распределениях внезапных отказов и износа. В общем виде в рамках традиционной статистики такая задача неразрешима. При решении задач такого рода в полную меру проявляются преимущества инвариантной статистики.
Важным примером являются радиолокационное обнаружение объектов, теряющихся на фоне шума окружающей среды. Появляется возможность не только обнаружить объект, но и построить его резонансный спектр. Это позволяет распознать объект, отличить его от других по особенностям резонансного спектра.
Аналогичная ситуация возникает в гидроакустике. Сигнал объекта незаметен на фоновом шуме моря. Но наблюдая когерентную экспозицию сигнала смеси и отдельно фоновый шум моря, можно не только обнаружить объект, но и определить его резонансный спектр, который отличает обнаруженный объект от других. Это позволяет диагностировать и распознавать обнаруженный объект. Инвариантная статистика позволяет решать задачи подобного рода.
В Институте Ланжевена De Chiara u Palma проанализировали влияние шума на геометрическую ф азу Б ерр и частиц со спином '/г. Они доказали, что с ростом экспозиции флуктуации фазы Берри падают — в пределе до нуля при больших временах экспозиции. Инвариантная статистика позволяет выделить фазу Берри при относительно малых экспозициях. Более того, она позволяет получить квантовый спектр фазы Берри, отделив его от спектра шума в наблюдаемой смеси. Такая возможность позволяет диагностировать квантовое состояние наблюдаемой физической среды.
Отметим исключительно важную особенность инвариантной статистики — она нелинейна. Это вызвано тем, что инварианты построены на статистических полиномах, которые позволяют учитывать групповые эффекты в наблюдаемой совокупности событий. В этом смысле статистические полиномы до шестого порядка включительно являются весьма информативными. Но инварианты не зависят от числа событий в наблюдаемой совокупности. Поэтому они несут "чистую" информацию о внутренней организации исследуемых про-
цессов, что позволяет повысить разрешающую способность диагностики их состояния.
Важно, что резонансные спектры, построенные на инвариантах, являются индивидуальной характеристикой наблюдаемого процесса. Именно эта характеристика позволяет отличить одно состояние от другого и выделить статистические классы подобного состояния. На такой основе прекрасно выстраивается теория статистического подобия наблюдаемых процессов в дополнении к их геометрическому, физическому, аналоговому и алгоритмическому подобию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Трифанов В.Н. Инвариантный статистический анализ и управление в транспортных системах. СПб.: Элмор, 200з. 192 с.
Инстититут проблем транспорта РАН, Санкт-Петербург
Материал поступил в редакцию 22.11.2007.
INVARIANT STATISTICS FOR WEAK SIGNALS
V. N. Trifanov
Institute of Transport Problems RAS, Saint-Petersburg
In contrast to a traditional approach an alternative one based on statistical invariants is described. Coherent exposition of m signals with n independent variables among overall n = n m ones is examined. Almost linear increase in signal detection against increase in exposition number m is shown.
