Интуитивная семантика для релевантного следования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интуитивная семантика для релевантного следования

Д. В. Зайцев

abstract. In this paper I return an old but fruitful idea suggested independently by J.M. Dunn and E.K. Voishvillo of true (relevant) entailment as a relation between premisses and conclusion when an information contained in conclusion as a part of information contained in premisses. In so doing I consider Belnap's famous logical and approximation lattices that form bilattice FOUR and prove that informational semantics for first-degree entailment can be developed on the basis of approximation lattice taken alone.

Ключевые слова: релевантное следование первого уровня, бирешет-ка, интуитивная семантика.

Среди множества исследовательских программ в области релевантной логики выделяется оригинальный подход, развиваемый Е.К. Войшвилло. Отличительными особенностями этого подхода можно считать относительную простоту предпринимаемых построений и ясную содержательную интерпретацию семантических понятий. Е.К. Войшвилло исходит из понимания логического следования, предложенного В. Аккерманом: A |= B ^ логическое содержание B составляет часть логического A

гическое содержание высказывания естественно трактовать как информацию, которую содержит высказывание в силу своей логической формы, т. е. независимо от значений входящих в него дескриптивных терминов» [1, с. 70], т. е. «А = B ^ если и

BA с. 299]. Не будет преувеличением сказать, что информационная трактовка релевантного следования представляет собой ключевой момент в развиваемом Е.К. Войшвилло понимании релевантной логики (см., например, [2]).

Другой патриарх релевантной логики Дж. Майкл Дани, также не обошел вниманием иптуитивпоипформациоттуго трактовку логического следования. Хорошо известна «интуитивная семантика» для первоуровттевого релевантного следования, предложенная Данном в [10] pi [11]. Базовым семантическим понятием оказывается понятие ситуации, а вместо функции приписывания значений предлагается использовать трехместное отношение между множеством высказываний, множеством ситуаций pi множеством истинностных значений {t, f}. В результате получается, что для произвольного предложения существует четыре

t

f приписаны оба ис-

тинностных значения, pi ему может быть не приписано тш одно PI3 истинностных значений. Такрш образом, абстрактные ситуации в интуитивной модели Данпа могут быть противоречивыми pi неполными.

В более ранней работе [9], представляющей собой докторскую диссертацию, Дж. Майкл Дани приходит к тому же результату, по другим способом. Для каждого высказывания вводится понятие «пропозиционального суррогата» как упорядоченной пары < X,Y >, компоненты которой представляют собой множества. Элементы X интуитивно трактуются как темы («topics»), отно-срттельпо которых данное суждение (пропозиция) песет опреде-

Y

по которым определенную информацию несет отрицание данного суждения. Все эти темы образуют множество U, называемое «универсум рассуждений». Интерпретация в U — это функция I, приписывающая пропозициональный суррогат каждому высказыванию. Как замечают Шрамко pi Вапзипг [18], введенное Данном понятие интерпретации представляет собой обобщение классического понятия функции приписывания истинностных значений.

Следующий птаг в развитии идей о связрт релевантного следования pi информации был сделан Нуэлем Д. Белпапом [7, 8], предложившим свою известную полезную логику для рассуждающего компьютера. Теперь возможные подмножества мпоже-{t, f}

зпачетшя, что приводит, по мнению Шрамко pi Вапзипга, к обоб-

щеттито уже самого понятия истинностного значения. Как известно, результатом интуитивных рассуждений Белттапа стало множество значений 4 = {Т, Е, В, N1, на котором достаточно естественным образом определяется функция приписывания значений и задается отношение логического следования. С алгебраической точки зрения полезной логике Белттапа соответствует рептетка с двумя отношениями порядка: логическим (или упорядочение по истинности) и информационным.

Еще через несколько лет Метьто Гиттзберг в [16] и [17] ввел понятие бирептетки и показал, что значения Белттапа образуют наименьшую петрививальттуто биретттетку (см. рис. 1).

в

N *

Рис. 1. Бирешетка ЕОиЯ.2.

Для дальнейшего изложения необходимо ввести некоторые важные понятия, касающиеся бирептеток. Эти алгебраические структуры активно изучались А. Авроттом и М. Фиттиттгом [4, о, 6, 12, 13, 14, 15]. Для определения бирептетки удобнее, следуя М. Фиттиттгу, начать с понятия пред-бирептетки.

Пред-бирешетка — это структура В =< В, где В —

непустое множество, а ^, ^ — отношения частичного порядка такие, что < В, и < В, ^>, представляют собой решетки. Пред-бирептетка является полной, если для каждого упорядочивания существуют объединение и пересечение.

Понятие пред-бирептетки тте предполагает каких-либо дополнительных связей или отношений между двумя заданными тта ттей порядками. Соответстветттто, под бирешеткой (в широком смысле) Фиттиттг понимает пред-бирептетку, тта которой два отношения порядка каким-либо образом связаны. В исходном (узком) определении Гинзбурга, во-первых, рассматривались два

не обязательно совпадающих множества, па которых были заданы отношения порядка, а во-вторых, указанная связь осуществлялась через отрицание, представляющее собой решеточный гомоморфизм. Полезно привести еще несколько связанных понятий.

Бирептетка является чередующейся (interlaced), если порождаемые каждым порядком операции объединения и пересечения являются монотонными по отношению к обоим порядкам (свойство чередования).

Бирептетка является дистрибутивной, если все возможные законы дистрибутивности (для четырех операций их оказывается

ОН е1ДЦ elT ^ выполняются. Всякая дистрибутивная решетка является чередующейся.

Операция отрицания (дополнения) тта бирептетке предполагает, во-первых, сохранение ¿-порядка, во-вторых, обращение t-порядка, и в-третьих, выполнение свойства «двойного отрицания». В принципе это представляется вполтте естественным, если интуитивно понимать ¿-порядок как порядок приращения знания. При такой интерпретации, если знание об A включается в знание о B, то знание об отрицании A не превышает знание об отрицании B.

Кроме того, тта бирептетке может быть задана двойственная операция, сохраняющая t-порядок, «оборачивающая» ¿-порядок и также обладающая свойством «двойного дуального отрицания». Введем эти понятия строго.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть B =< B, <t, <i, — > бирептетка, то-

если a Ъ, то —a —Ъ; если a ^i Ъ то —a —Ъ; ——a=a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Унарный оператор ± на бирептетке обладает следующими свойствами:

если a b то ± a b;

если a Ъ, то ± a b;

сЗ. LL a = a; с4. L —a = — L a.

Задача. данной стать»! coctopit в том, чтобы показать, что определенное стандартным образом в семантике Белпапа отношение логического следования соответствует информационной трактовке следования Е.К. Войшвилло, т. е. A \= Б, если и только если I(Б) С I(A).

Будем исходить из понятия стандартного языка релевантной логики первого уровня со связками Л, V, Рассмотрим бире-шетку FOUR2 =< 4, П, U, —, П> IL * >, где П, U, — представляют собой пересечение, объединение pi дополнение па решетке < 4, а П> Ц, * — те же операции па решетке < 4, ^>

*

во-первых, охарактеризованный выше опреатор «двойственного -

анализ *

Пусть данная бирептетка выступает в качестве модельной структуры. Зададим па пей две функции v и i, понимаемые как функция приписывания значений pi функция «информатизации», ставящая каждой формуле в соответстврге ее информацию.

v

4

обладающее следующими свойствами: v (A Л Б) = v (A) П v (Б); v (A V Б) = v (A) U v (B); v (-A) = —v (A).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Для произвольных формул A и Б A \= Бiff Vv (v (A) < v (Б)).

i

4

обладающее следующими свойствами: i(A Л Б) = i(A) П КБ); i(A V Б) = i(A)U i(Б);

г(-А) = *г(А).

Легко показать, что для произвольных формул А и В г(А) ^ г(В)гЦЩг(А) < г(В)).

Для решения поставленной задачи необходимо показать, что А = В & Уг(г(В) < г(А)),т. е. Уи(V(А) ^ V(В)) & Уг(г(В) < г(А)).

Начнем с формулировки двух лемм. Для упрощения дальттей-

4

менты множества-степени {t, {} — Т = Е = {£}, В = {^ {}, N = 0.

ЛЕММА 6. УгЗи(V(А) ^ v(B) ^ г(В) < г(А))

Прежде чем осуществить доказательство леммы, покажем, что по функции V можно задать оценку г, обладающую искомыми свойствами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть V такова, что Р(р) = ЕгЦг(р) = В; Р(р) = ВЩг(р) = Т; Р(р) = ТЩг(р) = N5 Р(р) = ШЦг(р) = Е;

Распространим функцию V на произвольную формулу языка стандартным образом по аналогии с определением 3. Покажем, что новая оценка V действительно является оценкой и для произвольной формулы языка выполняется условие, сформулированное в определении 7.

А

что

V (А) = ЕЩг(А) = В, Р(А) = ВЩг(А) = Т; Р(А) = ТЩг(А) = N Р(A) = ШЦг(А) = Е;

Доказательство.

Доказательство данного утверждения достаточно тривиально. Рассмотрим схемы доказательства только для случаев, когда формула А имеет вид конъюнкции и отрицания. Здесь и далее для упрощения процедуры доказательства будем иметь в виду симметричность связок языка.

1. А есть В Л С.

Пусть г(В Л С) = В г(В Л С) = В о г(А) Ц г(В) = В.

Фактически это означает, что необходимо рассмотреть два случая: (1.1.1), когда одному из конъюнктов (пусть это будет В) приписано значение Е, а другому Т, и (1.1.2), когда

В

писано значение N а значение другого члена конъюнкции выбирается произвольно.

По индуктивному допущению Р(В) = N а Р(С) = В, это равносильно Р(В Л С) = Е, по определению V.

По индуктивному допущению Р(В) = Е, тогда Р(В Л С) = Е по определе нию V.

Доказательство для случаев 1.2.-1.4. осуществляется атталогич-

2. А теть —В.

2.1. Пусть г(—С) = В г(—С) = В о *г(С) = В, следовательно г(С) = N по определению г. По индуктивному допущению Р(С) = Т. Следовательно, Р(—С) = Е.

Остальные случаи могут быть опущены, поскольку рассуждения ничем принципиально не отличаются от приведенных здесь. Таким образом, утверждение 8 доказано. д.Е.О.

Докажем лемму 6.

Доказательство. Пусть Р(А) ^ Р(В). Для произвольной форА

четырем исходным значениям. Рассмотрим только два из них.

1. V(A) = F, тогда V(B) может быть любым. На основании утверждения 8 в этом случае V(A) = B. Следовательно, каким бы ни было значение i(B), будет иметь место i(B) С г(А).

2. V(A) = B, тогда V(B) равно ^и T. На основании утверждения 8 i(A) = T.

Пусть V(B) = B, тогда i(B) = T — тривиальный случай.

Пусть V(B) = T, тогда i(B) = N, т. е. пустому множеству. Очевидно, что i(B) С i(A).

Таким образом, исходное допущение V(А) ^ V(B) приводит к i(B) С i(A)

вептивапием кванторов существования и общности завершается доказательство леммы 6. Q.E.D.

ЛЕММА 9. Vv3i(i(A) С i(B) ^ V(A) ^ V(B)).

Доказательство. Для этой леммы доказательство основывается па свойствах бирептетки и является значительно более простым.

Зададим функцию i* следующим обр азом. i*(p) = — * v(p). Пусть i*(B) С i*(A) т. е. i*(A) i* (B). Это значит, что

— * v(B) — * v(A). По определению 2(с2), последнее влечет * — *v(A) ^i * — *v(B). Используя определение 1(Ь2), получаем

— * — * v(A) — * — * v(B). Теперь на основании определения 2 сначала по с4 к правой и левой частям равенства, а затем также симметрично применяя сЗ и ЬЗ, приходим к искомому v(A) v(B). Дальнейшие шаги доказательства леммы тривиальны . Q.E.D.

Теперь можно перейти к доказательству основной метатеоре-

МЕТАТЕОРЕМА. Для произвольных формул Arn B Vv (v (A) v(B)) &Vi(i(B) С i(A)).

Доказательство.

Пусть (1) Vv(v(A) v(B)) и (2) неверно, что Vi(i(B) С i(A)). Последнее означает, что (3) существует такая функция информатизации, для которой неверно, что i(B) С i(A). По лемме 6 Vi3v(v(A) v(B) ^ i(B) ^ i(A)). Удалив кванторы, получаем (4) (v(A) v(B) ^ i(B) ^ i(A)). Снятием квантора общности из (1) получаем (5) (v(A) v(B)). По modus ponens из (4) и (5) приходим к (i(B) С i(A)). В то же время из (3) удалением

(i(B) С i(A))

Противоречие. В одну сторону утверждение метатеоремы доказано.

В другую сторону доказательство метатеоремы строится аналогично с использованием леммы 9. Q.E.D.

Литература

[1] Виши,вилла Е.К. Семантика релевантной логики и вопрос о природе логических законов // Разум и культура. Труды международного франко-советского коллоквиума. Лилль, 26-29 апреля 1978 г. М., 1983.

[2] Виши,вилла Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

[3] Вайги,вилла Е.К., Дегтярев М.Г. Логика как часть теории познания и научной методологии (фундаментальный курс), Кн. Т. М., 1991.

[I] Arieli О. and Aurou A. Logical bilattices and inconsistent data // Proceedings 9th IEEE Annual Symposium on Logic in Computer Science, IEEE Press, 1991. P. 168-176.

[5] Arieli O. and Avrou A. Reasoning with logical bilattices // Journal of Logic, Language and Information. 1996. Vol. 5. P. 25-63.

[6] Aurou A. The structure of interlaced bilattices // Mathematical Structures in Computer Science. 1996. Vol. 6. P. 287-299.

[7] Bel-nap N. D. A useful four-valued logic // J. M. Dunn and G. Epstein (eds.), Modern Uses of Multiple-Valued Logic, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1977.

[8] Bel-nap N. D. TIow a computer should think // G. Ryle (ed.), Contemporary Aspects of Philosophy, Oriel Press Ltd., Stocksfield, 1977. P. 30-55.

[9] Dunn J. M. The algebra of intensional logics, Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh, Ann Arbor, 1966 (University Microfilms).

[10] Dunn J.M. An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract) // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 36. P. 362-363.

[II] Dunn J. M. Intuitive semantics for first-degree entailment and 'coupled trees' // Philosophical Studies. 1976. Vol. 29.

[12] Fitting M. Bilattices and the theory of truth // Journal of Philosophical Logic. 1989. Vol. 18. P. 225-256.

[13] Fitting M. Bilattices in logic programming // in G. Epstein (ed.), The Twentieth International Symposium on Multiple-Valued Logic, IEEE Press, 1990. P. 238-216.

[11] Fitting M. Bilattices and the semantics of logic programming // Journal of Logic Programming. 1991. Vol. 11. P. 91-116.

[15] Fitting M. Bilattices are nice things // in V. F. Hendricks, S. A. Pedersen and T. Bolander (eds.), Self-Reference, CSLT Publications, Cambridge University Press, 2001.

[16] Ginsberg M. Multi-valued logics, in Proceedings of AAAT-86 // Fifth National Conference on Artificial Tntellegence, Morgan Kaufman Publishers, Los Altos, 1986. P. 213-217.

[17] Ginsberg M. Multivalued logics: A uniform approach to reasoning // AT, Computer Intelligence. 1988. Vol. 1. P. 256-316.

[18] Shrumko and Wausiug II. Some useful sixteen-valued logics: TIow a computer network should think // Journal of Philosophical Logic. 2005. Vol. 31.