CC BY
7
интервальный анализ метода адамса для уравнении
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Джумабекова А.С.
Джумабекова Айнагуль Сериковна — магистрант, кафедра математического и компьютерного моделирования, Международный университет информационных технологий, г. Алматы, Республика Казахстан
Аннотация: в статье рассматривается интервальное расширение метода Адамса, применимое для уравнений с запаздыванием.
Ключевые слова: интервальный анализ, дифференциальные уравнения с запаздыванием, метод Адамса.
Введение
С каждым днем интерес к интервальному анализу растет, так как при постановке и решении инженерных и практических задач наиболее адекватным представлением данных является интервал. Таким образом, указываются только границы возможных значений некоторой величины и с помощью методов интервального анализа разрешается неопределенность. Величина, заданная интервалом, может быть представлена только пределами её изменений, мерой интервала является ширина диапазона значений.
Важную часть интервальная арифметика занимает при вычислениях на компьютере. По отношению к традиционным вычислениям, когда в расчет берутся только точные значения данных, без учета ошибки округления, полученная интервальная величина гарантированно содержит корректный результат в промежутке между нижним и верхним пределом значений. Основные положения интервальной арифметики
„ Га, b] = {x | x e R, a < x < b}
Интервалом назовем следующую величину L ' J 1 1 ' '
Основные операции записываются следующим образом [1]:
A = [a, b], B = [c, d ] A + B = [a + c, b + d ] A - B = [a - c, b - d]
A * B = [min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}] A / B = [a, b]*[1/d ,1/c]
Таким образом, результатом каждой из четырех основных операций является интервал, значения которого, соответствуют точному диапазону каждого набора значений из областей интервалов-операндов при выполнении над ними определенной операции Метод Адамса
Пусть задано следующее дифференциальное уравнение
f (t, y(t)), a □ t □ b y(0) = Уо
Разобьем отрезок от a до b на n равных частей, тогда значение функции в каждой точке будет вычисляться по следующей формуле: h
y(n +1) = y(n) + ^ (55 f (уя) - 59 f (y„-!) + 37 f (y„-2) - 9f ())
Первые три значения вычисляются с помощью метода Рунге-Кутта. Интервальное расширение метода Адамса
Задается дифференциальное уравнение, причем каждая переменная задана на определенном множестве [1].
y ' = f (x, y), y(0) = y0
(x, y) eA x ®A y
Рассмотрим интервальное расширение для каждой переменной X сА х ;¥ сА у
Решение заданного уравнения является интервальная функция, определённая следующим образом
Г (п +1) = Г (п) + А (55^ (Уп) - 59F (1пА) + 37F (Уп_2) - 9F (¥п_г)) + Ц Ж + (А у ))к5
где
¥00 = / (/ ) +11/Ч/')2 /" + 7/3// "' + 4/3 (/")2 + / 4/)
Численный эксперимент
Рассмотрим интервальный метод Адамса для динамической математической модели взаимосвязи белков р53-М(!т2. Она представляет собой следующую систему уравнений с запаздывающим аргументом [4]:
х,(0 =1 - Ь1 МО (1)
У1 ) = х ) - (ах + а12у2 (^)) У V) (2)
= f(Уl(t-П) □ ¿2 Ч*) (3)
У2() = Х2(0 - а2 У 2 () (4)
где функция f (X) является функцией Хилла
/ (х) = —-, а > 0, п е N
а + хп
Также известно из [5], следующие соотношения
X,(0) = Х10 = У1(0) = Ую, Х2(0) = х20 = 1 f (У10), У2(0) = У20 - f(Мо)
Ь2 b2(a2 + а21Ую)
Варьируя численные параметры модели a., Ьг, a12 G (0,1],i = 1,2 , сможем проверить
устойчивость метода Адамса для решения уравнений с запаздывающим аргументом Интервальная арифметика была реализована в среде Matlab.
При изменении начальных параметров на 1%, результаты получили колебания в пределе 5%. Таким образом, можно сделать вывод о том, что метод устойчив для решения дифференциальных уравнений с запаздыванием Выводы
Как показывает практика в современном мире компьютерных вычислений необходимо учитывать ошибку округления, которая накапливается и мешает получить верные результаты. Для данного рода проблем подходит интервальный анализ, который рассматривает величины как диапазон предельных значений. Также интервальная арифметика помогает проверить устойчивость метода при стрессовом возмущении. Был рассмотрено интевальное расширение метода Адамса, и показана его устойчивость для динамической математической модели взаимосвязи белков p53 и Mdm2.
Список литературы
1. Калмыков С.А. Методы интервального анализа / С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев. Новосибирск: Наука, 1986.
2. Tiana G., Jensen M.H., Sneppen K. Time delay as a key to apoptosis induction in the p53 network // Europ. Phys. J.B., 2002. Vol. 29. P. 135-140.
3. Horhat F.R., Neamtu M., Mircea G. Mathematical models and numerical simulations for the P53—Mdm2 network // Appl. Sci., 2008. Vol. 10. P. 94-106.
4. Mihalaç G.I., Neamtu М., Оргц D, Horhat R.F. A dynamic P53-MDM2 model with time delay // Chaos, Solitons & Fractals. № 30 (4). P. 936-945.
5. Mircea G., Neamtu М., Opris D. Hopf bifurcations for dynamical systems with time delay and application // Mirton Publishing House, Timisoara.
6. Hoo Yann Seong, Zanariah Abdul Majid, Fudziah Ismail Solving Second-Order Delay Differential Equations by Direct Adams-Moulton Method // Volume 2013, 2013. Article ID 261240. 7 p.
ПРИМЕНЕНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ДИАГНОСТИКЕ
КАРИЕСА Гришай В.С.
Гришай Вероника Сергеевна - магистрант, направление: биотехнические системы и технологии, кафедра физики и информационных систем, физико-технический факультет, Кубанский государственный университет, г. Краснодар
Аннотация: применение лазеров в медицине началось на самом раннем этапе развития лазерной техники, практически сразу после изобретения лазеров. К настоящему времени круг применений лазерного излучения вырос настолько, что можно говорить о появлении отдельного направления науки и техники - лазерной медицины. Сегодня развитие лазерной медицины идет по трем основным направлениям: лазерная диагностика, лазерная терапия и лазерная хирургия.
Ключевые слова: лазер, Er:YAG, CO2, доплеровская флоуметрия, кариес, эмаль, дентин.
Лазеры в стоматологии используются для диагностики, обработки твёрдых и мягких тканей полости рта.
Результат воздействия лазерного излучения на биологические ткани зависит от строения и оптико-физических свойств тканей, а также от спектральных, пространственно-энергетических и временных характеристик лазерного излучения. Очевидно, что грамотное применение лазеров в стоматологии невозможно без этих знаний.
Лазеры в диагностике кариеса
Анализ параметров рассеянного биотканью оптического сигнала лежит в основе многих современных методов диагностики, в том числе в стоматологии.
Отражённый эмалью оптический сигнал содержит диффузную и зеркальную компоненты. Зеркальная компонента формируется за счёт отражения поверхностью, а диффузная за счёт отражения света объёмом интактной (здоровой) эмали. Метод светорассеяния предусматривает измерение интенсивности рассеяния света назад (диффузного отражения) при падении на эмаль светового пучка. По величине отражённого света судят о степени поражения. В стадии мелового пятна малая толщина кариозного поражения не позволяет прошедшему через него свету существенно понизить свою интенсивность, что затрудняет диагностику. Если меловое пятно находится под источником света, то рассеяние на нём повышает суммарную интенсивность диффузной компоненты отражённого эмалью сигнала [1]. Очень часто значительная интенсивность зеркальной компоненты, а также низкие рассеивающие свойства мелового пятна в совокупности со значительной глубиной его залегания (между поверхностью эмали и меловым пятном существует объём ткани, который, с одной стороны, рассеивает, а с другой, ослабляет свет, падающий на меловое пятно) приводят к тому, что наличие или отсутствие дополнительного вклада рассеяния от мелового пятна в интенсивность суммарного отражённого сигнала трудно различимо. Для оценки рассеяния света от поверхности эмали используется волоконно-оптическая измерительная головка, состоящая из двух пучков оптических волокон. Пучки образуют Y-образный волоконно-оптический зонд с одним общим торцом, который приводят в контакт с исследуемой поверхностью зуба. Раздельные торцы предназначены для ввода излучения источника и для подачи отражённого света к фотоприёмнику (рис. 1).
