CC BY
54
Ахмеджанов Ф. М. Akhmedzhanov Е. M.
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры « Управление и сервис в технических системах», ФГБОУВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Крымский В. Г. Кгут8ку V. G.
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры « Управление и сервис
в технических системах», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
УДК 519.873:007.5
ИНТЕРВАЛЬНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ НАДЕЖНОСТИ: НОВАЯ МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДИКИ SPAR-H
В статье предлагается новая модификация известной методики SPAR-H для оценки надежности человека в составе сложной технологической системы. Данная модификация основана на представлении всех коэффициентов, входящих в SPAR-H модель, и предназначенных для уточнения вероятностей ошибок оператора применительно к реальным условиям в виде интервальнозначных величин. Соответственно, вычисляемые вероятности и характеристики их достоверности также приобретают «интервальный» смысл. Показано, что дальнейший анализ, использующий аппарат интервальнозначных вероятностей и предполагающий привлечение дополнительной экспертной оценки максимума плотности распределения вероятности человеческой ошибки, позволяет решить поставленную задачу и ведет к адекватному и приемлемому по точности результату. Приводятся численные примеры применения алгоритма, реализующего эту модификацию методики SPAR-H.
Ключевые слова: человеческая надежность, методика SPAR-H, интервальнозначные вероятности.
AN INTERVAL-PROBABILISTIC ALGORITHM FOR ASSESSING HUMAN RELIABILITY: A NEW MODIFICATION OF SPAR-H METHODOLOGY
The paper proposes a new modification of the well-known SPAR-H methodology for assessing human reliability in a complex technological system. This modification is based on the representation of all the coefficients included in the SPAR-H model and intended to refine the probabilities of operator errors in relation to real conditions, in the form of interval-valued quantities. Accordingly, the calculated probabilities and the characteristics of their validity also acquire an «interval» meaning. It is shown that further analysis using the technique of interval-valued probabilities and assuming an additional expert judgement on the maximum probability density of the probability of human error allows us to solve the problem posed and leads to an adequate and acceptable accuracy. Numerical examples of the application of the algorithm realizing this modification of the SPAR-H methodology are given.
Key words: human reliability, SPAR-H methodology, interval-valued probabilities.
Введение
Проблемы надежности человека-оператора (англоязычный вариант: Human Reliability Analysis, или HRA) в составе сложных технических систем не только привлекают внимание чрезвычайно большого числа исследователей и специалистов: в настоящее время необходимость учета человеческого фактора при прогнозировании аварийных ситуаций регламентируется во многих странах как отраслевыми, так и государственными стандартами. В России введен в действие ГОСТ Р МЭК 62508-2014 «Менеджмент риска. Анализ влияния на надежность человеческого фактора», который ориентирован на указанную проблематику и является первым стандартом такого рода в истории страны. Стандарт содержит, в частности, перечисление существующих «узаконенных» методик и подходов к качественному и количественному анализу человеческой надежности. Среди них особое место занимает методика SPAR-H (Standardized Plant Analysis Risk — Human Reliability, т.е. «стандартизованный анализ риска объекта — человеческая надежность»). Разработка подхода, лежащего в основе этой методики, была начата в 1994 г. по инициативе Комиссии по регулированию использования ядерной энергии (NRC) США. По мере накопления практического опыта методика модернизировалась и была в 1999 г. «закреплена» в отраслевом стандарте ядерной энергетики США NUREG/GR-6883 «The SPAR-H Human Reliability Analysis Method». В дальнейшем в нее продолжали вносить корректировки и уточнения.
SPAR-H предусматривает двухэтапную процедуру, в ходе которой обеспечивается реализация HRA:
а) первоначально производится идентификация номинальных (базовых) значений NHEP вероятности ошибки человека (Human Error Probability, или HEP);
б) отмеченное значение корректируется с использованием комплексного показателя, учитывающего совокупность (composite) фактических уровней факторов, которые влияют на надежность (Performance Shaping Factors, или PSF).
Основное выражение для определения HEP при этом имеет вид:
нер_ nhep*psfcomposite (1)
nhep * (psfcomposite -1) +1 ' Данная методика предполагает «интегральный» учет ошибок двух типов: омисси-онных (когда человеком не выполняются требуемые действия) и комиссионных (когда действия выполняются, но неверно). Величины базовых вероятностей устанавливаются стандартом NUREG/GR-6883 по следующему правилу: для задач диагностики (распознавания оператором ситуации) NHEP = 0,01, а для задач выполнения им действий NHEP = 0,001. В отношении учета PSF подход ориентируется на рассмотрение восьми влияющих факторов (таблица 1). В свою очередь
PSK
composite
f\PSFt.
(2)
Так, если PSF1 =10, PSF2=2, PSF3 =2, PSF4 =1, PSFs = 5, PSF6 = 0,5, PSF., = 1, PSF^ = 0,5, т о PSFcomposite =50, и при NHEP = 0,001 (неверные действия оператора) по формуле (1) можно найти вероятность ошибки HEP = 0,047.
Важным аспектом анализируемой проблемы является то, что факторы PSFt, i = 1,2,...,8, на практике являются взаимозависимыми. В описании стандарта NUREG/GR-6883 приводится схема (рисунок 1), иллюстрирующая характер указанных зависимостей. В ее верхней части показано, что действия оператора могут быть ошибочными (с вероятностью HEP) либо успешными и правильными (successful performance). Некоторые факторы непосредственно влияют на способность человека выполнять требуемые функции, улучшая или ухудшая ее (improve or degrade performance); другие же действуют «косвенно», внося свой вклад в изменение непосредственно влияющих факторов. На схеме сплошные линии соответствуют сильным взаимосвязям, а пунктирные — связям умеренной интенсивности.
Рисунок 2 показывает, каким образом вероятность HEP ошибок оператора зависит от величины базовой вероятности при разных
значениях PSF,
composite
= 1 (график для HEP1
соответствует для HEP2 - PSFC HEP3 - PSF,
composite
= 5 для = 10). Фактически
composite
Таблица 1. Влияющие факторы
Номер Наименование Множитель РБ^, г = 1,2,...8,
фактора фактора для учета фактора
1 Располагаемое — РВ меньше требуемого времени (ТВ); — Вероятность ошибки равна 1
время (РВ) — РВ ~ ТВ; 10
Available time — номинальное время;
— РВ > 5* ТВ; 0,1
— РВ > 50* ТВ; 0,01
— недостаточно информации 1
2 Стресс — экстремальный; 5
Stress — высокий;
— номинальный;
— недостаточно информации 1
3 Сложность — высокий; 5
Complexity — средний;
— номинальный;
— недостаточно информации 1
4 Опыт / уровень — низкий; 3
обучения — номинальный;
Experience / — высокий; 0,5
training — недостаточно информации 1
5 Программы дей- — отсутствуют; 50
ствий — неполные; 20
Procedures — доступные, но плохие;
— номинальные; 1
— недостаточно информации 1
6 Эргономика — не реализована; 50
Ergonomics — плохая; 10
— номинальная;
— хорошая; 0,5
— недостаточно информации 1
7 Пригодность к — непригодность; — Вероятность ошибки равна 1
выполнению — сниженная пригодность; 5
задачи — номинальная;
Fitness for duty — недостаточно информации 1
8 Процесс выпол- — плохой; 5
нения работы — номинальный;
Work process — хороший; 0,5
— недостаточно информации 1
при PSFC0mp0SIte -ШЕР = NHEP, а при Р$¥сотртШ НЕР^-1. Эти обстоятельства дают представление об идеях, которые лежат в основе модели SPAR-H.
Методика оценки вероятности ошибок человека-оператора, зафиксированная в стандарте NUREG/GR-6883, достаточно простая и «прозрачная», обладающая, тем не менее, определенной гибкостью с точки зрения ее применимости к конкретным ситуациям. Между тем, она имеет ряд проблемных «мест», создающих предпосылки к дальнейшим исследованиям с целью ее совершенствования и модернизации.
Остановимся на проблемных аспектах данной методики более подробно.
Необходимость правильной идентификации базовой вероятности NHEP
Само понятие «базовая (номинальная) вероятность» несколько спорно. Оно подразумевает, что можно говорить о вероятности ошибок человека в условиях, когда влияющие факторы не действуют (т.е. в своеобразном «вакууме», как это справедливо отмечается в работе [1]). В реальности такие условия, конечно, невыполнимы. Поэтому NHEP — некоторая «абстрактная» величина, позволяющая перейти к интересующей исследователя вероятности HEP с помощью соотношения (1), учитывающего уровни влияющих факторов. Возникает вопрос: из каких соображений эта величина должна вычис-
Data processing facilities and systems
Рисунок 1. Схема взаимосвязи факторов, влияющих на вероятность ошибки оператора
заданной NHEP с помощью соотношения (1), предлагается рассматривать в качестве математического ожидания фактического значения HEPfact этой вероятности. В свою очередь, HEPfact при этом выступает в роли случайной величины, которая, согласно стандарту, подчиняется специальному «неинформативному учитывающему ограничения» («constrained non-informative prior», или CNI) распределению, относящемуся к классу бета-распределений [2]. Неинформативным оно называется в силу того, что соответствует критерию максимума энтропии, т.е. минимума информации [3, 4]. В то же время, задание единственного CNI-распределения, а не множества допустимых распределений, которым на самом деле может подчиняться HEPfact в силу разнообразной обстановки, требующей вмешательства (решений или действий) человека, снижает степень адекватности сформированной модели неопределенности реальным обстоятельствам.
Необходимость учета взаимосвязей влияющих факторов
Как уже отмечалось, влияющие на вероятность ошибки факторы взаимосвязаны.
NHEP
Рисунок 2. Зависимости вероятности ошибок HEP от величины базовой вероятности NHEP при постоянных значениях
ляться или назначаться? Два численных значения (NHEP = 0,01 и NHEP = 0,001) даются в стандарте без обоснований, и в силу этого вопрос остается открытым.
Необходимость учета неопределенности при определении HEP
В разделе, посвященном допущениям, стандарт NUREG/GR-6883 постулирует, что в качестве наиболее значимой информации о показателях системы целесообразно ориентироваться на данные о средних значениях (математических ожиданиях). В этой связи величину HEP, найденную применительно к
Между тем, методика SPAR-H не содержит каких-либо специализированных механизмов учета таких взаимосвязей. Множители в формуле (1), характеризующие уровни влияющих факторов, должны определяться по результатам экспертного оценивания. В такой ситуации задача учета взаимосвязей факторов также возлагается на экспертов, которые должны принимать во внимание, что задание того или иного уровня одного фактора автоматически сужает диапазон, в котором может задаваться уровень другого фактора.
Формулировка задачи оценивания человеческой надежности по методике SPAR-H: переход к интервальной модели неопределенности
Методику анализа надежности человека-оператора в рамках подхода SPAR-H можно сделать более адекватной реальным ситуациям, если дополнить ее соответствующими моделями неопределенности.
На практике значения базовой вероятности NHEP и коэффициентов влияющих факторов PSF, /'=1,2,.. .,8, могут быть получены только с помощью экспертного оценивания. Тем не менее, задание экспертом фиксированных («точечных») значений указанных компонентов формулы (1) достаточно затруднительно ввиду отсутствия предварительной информации и высокой степени неопределенности. Существенно проще для эксперта назвать интервалы, которым эти значения могут принадлежать. В такой интерпретации разрабатываемая модификация методики SPAR-H будет относиться к области интервального анализа, а элементарные операции над величинами должны будут осуществляться согласно правилам интервальной арифметики [5, 6].
Результатами экспертного оценивания в данном случае будут величины нижних и верхних границ соответствующих интервалов NHEP < NHEP < NHEP, PSFi < PSFt < PSFi, /'=1,2,.. .,8, такие, что
PSFcomposite ~ PSFcomposite - PSF composite, (4)
NHEP < NHEP < NHEP, PSFj < PSFi < PSFi, i = 1,2,...,8.
С учетом (2) величина PSFC
composite
причем
PSFcomposite PSF composite = (5)
i=l ¡=1
Преобразуем далее формулу (1) к следующему виду:
1
НЕР = -
(6)
1 + (1 /PSFcomposite) ■ (MNHEP-X)
Выражение (6) показывает, что HEP монотонно возрастает при увеличении значения NHEP и/или PSFcomposite в пределах своего интервала. Таким образом, правомерна запись
(7)
где
НЕР = -
НЕР < HEP < HEP, 1
НЕР =
1 + (1/Ж^posite)МЕР "О
_1_
1 + (1/PSF composite) ■ (1 /NHEP - 1) ' (8)
Как уже отмечалось, методика SPAR-H предполагает рассмотрение фактической вероятности HEPfact ошибок человека-оператора как случайной величины с математическим ожиданием M[HEP/act] = HEP. Обозначим далее Y = HEPfact [0, 1], а функцию распределения этой случайной величины Pr(Y < y) = F(y). В свою очередь, плотность f(y) = dF(y)/dy распределения в задачах такого типа обычно заранее не известна. Тем не менее, по располагаемой информации можно записать три соотношения, которым данная функция должна удовлетворять:
/00>0, (9)
1
\fWy-
1,
(10)
1
нер < мт = | у/ГуУу < нёр. (11)
о
Поставим целью оценить вероятность Р* того факта, что НЕР/ас( не превысит заданную величину у* < 1. Тогда
Р' =\h^y)f(<y)dy,
(12)
(3)
оказыва-
ется известной также с точностью до содержащего ее интервала
где /[о^Су) — индикаторная функция, равная 1 при у < у* либо равная 0 в противном случае.
Мы можем рассматривать Р* как оптимизируемый функционал, стремясь найти
1 1 P' = inf■¡I[0tyt](y)f(y)dy, P' = sup f/[0,y,](y)f(y)dy, (13)
с учетом ограничений (9) - (11).
Поставленная задача принадлежит классу задач определения так называемых «интервальных», или «неточных» («imprecise»), вероятностей, в отношении которых основополагающими работами принято считать монографии [7, 8]. В то же время, речь здесь идет о нахождении показателей, характеризующих «неопределенность 2-го порядка» (а именно: неопределенность значения вероятности ошибки оператора, которая сама по себе тоже служит количественной мерой возможности этой ошибки в условиях неопределенности). Указанное обстоятельство достаточно близко ситуациям и моделям, исследуемым в работах по иерархической природе неопределенностей (в частности публикации [9]).
Предложенный подход к оценке человеческой надежности обладает тем достоинством, что он не требует априорного задания вида распределения величины HEPfact, в том числе из соображений обеспечения максимума энтропии. Фактически, здесь ищется интервал допустимых значений вероятности P* применительно ко всему множеству функций плотности распределения, удовлетворяющих ограничениям (9) - (11).
К недостаткам следует отнести тот факт, что найденный таким образом интервал может оказаться слишком широким, чтобы его можно было считать информативным с точки зрения поддержки принимаемых управленческих решений.
В работе [10] показано, что одной из главных причин получения неоправданно широких интервалов для решений поставленной задачи является отказ от исключения из множества рассматриваемых функций плотности f(y) таких вариантов, при которых f(y) представляет собой линейные комбинации ¿-функций. Между тем, подобные плотности характеризуют сосредоточение «вероятностной массы» в дискретной совокупности точек, что не соответствует реальным процессам, для описания которых используются эти вероятностные модели.
Применительно к рассматриваемому приложению данного подхода влияние наличия ¿-функций в решениях оптимизационной задачи (9) - (12) на ширину итоговых интервалов для P* можно проиллюстрировать результатами следующего анализа.
Предположим, что у* <нер<нер.
Тогда максимальное значение вероятности P* = Pr (Y<y*) будет достигаться для плотности распределения fy) = C1S(y-y*) + C25(y-1), где C и C2 — неотрицательные постоянные (рисунок 3).
В то же время C1 + C2 = 1 (согласно (10)) и C1y* + C2 = HEP (величина, удовлетворяющая неравенству (11)). Поэтому
р' = д =д-НЕР)/д-у*1 (14)
Вместе с тем, в такой ситуации
t=0, (15)
так как при этом вся «вероятностная масса» может быть сконцентрирована в точках, расположенных правее y* (рисунок 3).
Совершенно аналогично рассматривается случай HEP < HEP < у*. Величина Р* здесь
Рисунок 3. Плотность распределения fy), обеспечивающая максимальное значение вероятности p* при у" < hep < hep
достигается приДу) = С]8(у) +С23(у-у*), где С] и С2 — как и ранее, неотрицательные постоянные (рисунок 4). Соответственно
р= сх=\-нер!у ,
(16)
Р= 1. (17)
Но наиболее неблагоприятная для оценивания ситуация складывается, если hep <у* < hep. В этом случае «вероятностная масса» может быть сконцентрирована в любой точке отрезка \нер, нер\ В результате приходим к выводу, что здесь
Р* = 0, Р* =1. (18)
Приведенное заключение (18), конечно, не информативно и не может служить для поддержки принятия управленческих решений. По указанной причине вопрос о возможности исключения ¿-функций из числа «претендентов» на плотности распределения, обеспечивающие экстремумы вероятности P*, достаточно актуален.
Как показано в работах [11, 12, 13], добиться исключения ¿-функций и их комбинаций из множества рассматриваемых плотностей f(y) можно, например, путем добавления к ограничениям (9) - (11) неравенства
яу)<к, (19)
где в данном случае K > 1 — величина, устанавливаемая по результатам экспертного оценивания.
Указанное оценивание часто вполне реально: для приближенного получения K эксперту необходимо высказать суждение о том, какие максимальные приращения вероятности Pr(7 < y) могут иметь место при воз-
никновении приращений у. Далее отношение этих приращений будет служить оценкой K.
Таким образом, приходим к задаче: найти верхние и нижние границы (13) функционала (12) при соблюдении ограничений (9) - (11) и (19). Ниже излагается метод решения этой задачи.
Решение поставленной задачи и обсуждение результатов
Решение сформулированной задачи следует базировать на обобщенном подходе к поиску таких функций fy), применительно к которым выполняются заданные ограничения и, в то же время, обеспечиваются максимум или минимум оптимизируемого функционала (12) (т.е., согласно терминологии вариационного исчисления [14], «экстремалей»). В работах [15, 16] показано, при ограничениях (9) - (11) и (19), а также функционале (12) экстремали будут представлять собой кусочно-непрерывные функции, причем на каждом интервале непрерывности они принимают значения либо 0, либо K. Количество «точек переключения» z (переходов от одного интервала непрерывности к другому) для подобных функций и ограничений здесь может составлять от 1 до 3 (если z > 1, то одна из них соответствует y =y*) [16].
Рассмотрим, как и ранее, ситуацию * - —*
у < hep < hep и поиск значения р .
В данном случае возможный вид графика плотности распределения, обеспечивающей максимум указанной вероятности, представлен на рисунке 5. При этом:
а) в соответствии с (10) k(y*-a) + k(c-b) = 1, откуда
с-Ъ = а-у' +UK, c + b = 2b + a-y* +ИК; (20)
А /Су)
Ci5(v)
С\Ъ(у-у)
HEP
hep
У
Рисунок 4. Плотность распределенияДу), обеспечивающая минимальное значение вероятности р* при нер < нер < у*
а
Data processing facilities and systems
б) согласно (11) должно выполняться
у* 1 _
HEP < \yf{y)dy +\yf{y)dy = HEP < HEP, (21)
a b
откуда
f(/2-«2) + f(c2-62) = tf*P, (22)
или
+ 1рЬ + а-у*+\1к)=НЕР.
Отсюда
»-I 2
/К/Су)
2HEP!К-{у*2 -а2) а-у* +UK
-а + у*-ПК
(23)
(24)
а у HEP HEP b с 1 У
Рисунок 5. Плотность распределения f(y), обеспечивающая максимальное значение вероятности P* при у* < HEP < HEP и наличии ограничения(19)
Кроме того, с учетом соотношений (20) получаем
c = b + a-y* +1/К. (25)
Необходимо, чтобы величины a, b и c, соответствующие выражениям (24) и (25), удовлетворяли неравенствам:
0<а<у* <Ь<с<\. (26)
Анализ показывает, что этого наиболее просто добиться при HEP = HEP.
При соблюдении отмеченных ограничений для достижения р* =р следует обеспечить K(y*-a) ^ max, что эквивалентно требованию
а—>min. (27)
Решить такую задачу можно, последовательно наращивая значение a от 0 до y* и фиксируя, при какой минимальной величине a условия (24) - (26) выполняются.
На рисунке 6 в качестве примера приведены графики изменения параметров b и с, вычисляемых согласно (24) и (25), при указанном наращивании a в случаях, когда HEP = 0,5 и y*= 0,3, а K принимает значения K = 1,2 и K = 2,0 соответственно. Из графиков видно, что если K = 1,2, то условия (24) - (26) выполняются уже при a = 0; искомая вероятность в этом случае будет равна р*=Ку*= 0,36. (28)
1.2 1.1 1
0.9 В.8 0.7 В.6 В.5 0.4 В.З В.2
b — с -
X.
\
В.85
В.1
В.15
0.2 8.25
К= 2,0
0.3
Рисунок 6. Зависимости значений b и с на рисунке 5 от величины a при HEP = 0,5 и y*= 0,3
Если же К = 2,0, то для выполнения (24) - (26) требуется а > 0,033; тогда вероятность Р оказывается равной
Р* = К(у* -а) = 0,534. (29)
Отметим, что минимальной величине а всегда соответствует с = 1. Поэтому график плотности _Ду), являющейся экстремалью, фактически имеет 3 точки переключения на отрезке [0, 1]: у = а, у = у* и у = Ь.
Что же касается нижней границы интервала вероятности Р*, то для ее поиска надо ориентироваться на график плотности распределения _Ду), показанный на рисунке 7. Должны соблюдаться неравенства (26), и при этом необходимо добиваться выполнения условия (27).
Анализируя графики изменения величин Ь и с на рисунке 8 в зависимости от а при тех
Рисунок 7. Плотность распределения Ду), обеспечивающая минимальное значение вероятности Р* при у* < НЕР < НЕР и наличии ограничения(19)
же численных данных, видим, что при К = 1,2 минимально допустимое значение а составляет 0,12, а при К = 2,0 оно равно 0,033. Таким образом, в первом случае Р* = 0,204, а во втором - Р* = 0,066. В обоих случаях при минимально допустимом значении а величина Ь = у* (т.е. экстремаль фактически имеет 3 точки переключения, одна из которых у ).
Рисунок 8. Зависимости значений Ь и с на рисунке 7 от величины а при НЕР = 0,5 и у* = 0,3
Итак: если K = 1,2, НЕР = 0,5 и у*= 0,3, то Р* е [0,204, 0,360], а при тех же и у*, но K = 2,0 - Р* е [0,066, 0,534].
Пересчитаем в качестве альтернативы зна-
— *
чение Р по формуле (14), т.е. без учета
дополнительного ограничения (19): оно
—* „
равно Р =0,714. Величина Р при этом, как указывалось выше, равна 0. Таким образом, предлагаемый вариант использования дополнительной оценки (19) при K = 2,0 позволяет уточнить (сузить) интервал значений вероятности Р*на 35 %. В свою очередь, при K = 1,2 уточнение составляет 78 %.
Совершенно аналогично можно проанализировать ситуации НЕР < у* < НЕР и НЕР < НЕР < у* Во всех случаях предложенный подход (привлечение экспертной оценки, нашедшей отражение в неравенстве (19)) позволяет существенно уточнить границы интервала для Р*, делая решения поставленной задачи значительно более информативными. В целом, «интервальная» версия алгоритма, реализующего идеи методики SPAR-H, обеспечивает требуемое качество оценивания человеческой надежности, не нуждаясь в ряде допущений, принимаемых при использовании традиционной версии.
Вывод
Роль человека-оператора в современных автоматизированных комплексах управления технологическими процессами постоянно возрастает в связи с высокой ответственностью выполняемых им функций [17]. По этой причине проблема оценки надежности этого сложного и специфического системного компонента становится особенно острой. Существующие методики такого оценивания зачастую основываются на слишком большом количестве допущений, не всегда обоснованных с точки зрения реальных практических условий.
В представленной статье показывается, что одна из известных методик (SPAR-H) может быть успешно модифицирована за счет применения аппарата, ориентированного на высокий уровень неопределенности, а именно методов, использующих положения интервального анализа и теории интерваль-нозначных вероятностей. При этом она становится более адекватной реальным условиям и не требует столь значительных допущений, как традиционная версия.
Список литературы
1. Соболев А.В. Учет опыта эксплуатации при оценках показателей надежности и безопасности реакторных установок с применением вероятностных моделей: дис. ... канд. техн. наук. Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики — филиал НИЯУ «МИФИ». 2016. 132 с.
2. Atwood C.L. Constrained Non-Informative Priors in Risk Assessment // Reliability Engineering and System Safety. 1996. Vol. 53. No. 1. P. 37-46.
3. Janes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics // The Physical Review. Series II. 1957. Vol. 106. No. 4. P. 620-630.
4. Janes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics II // The Physical Review. 1957. Series II. Vol. 108. No. 2. P. 171-190.
5. Moore R.E. Interval Analysis. Engle-wood Cliffs (NJ, USA): Prentice Hall, 1966. 145 p.
6. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлда-шев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 222 с.
7. Walley P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities. London: Chapman and Hall, 1991. 719 p.
8. Кузнецов В.П. Интервальные статистические модели. М.: Советское радио, 1991. 352 с.
9. Kozine I.O., Utkin L.V. Processing Unreliable Judgements with an Imprecise Hierarchical Model // Risk, Decision and Policy. 2002. Vol. 7. Issue 03. P. 325-339.
10. Utkin L.V., Kozine I.O. Different Faces of the Natural Extension // Proceedings of the 2nd International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications. Maastricht: Shaker Publ, 2001. P. 316-323.
11. Krymsky V.G. Computing Interval Bounds for Statistical Characteristics Under Expert-Provided Bounds on Probability Density Functions // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3732. 2006. P. 151-160.
12. Kozine I., Krymsky V. Enhancement of natural extension // Proceedings of the 5th International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications (ISIPTA '07). Prague: Action M Agency, 2007. P. 253-262.
13. Kozine I.O., Krymsky V.G. Computing Interval-Valued Statistical Characteristics: What
is the Stumbling Block for Reliability Applications? // International Journal of General Systems. 2009. Vol. 38. No. 5. 2009. P. 547-565.
14. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.
15. Krymsky V.G. Control Theory Based Uncertainty Model in Reliability Applications // International Journal of Performability Engineering. 2014. Vol. 10. No. 5. P. 477-486.
16. Kozine I., Krymsky V. Computing Interval-Valued Reliability Measures: Application of Optimal Control Methods // International Journal of General Systems. 2017. Vol. 46. No. 2. P. 144-157.
17. Крымский В.Г., Жалбеков И.М., Имильбаев Р.Р., Юнусов А.Р. Автоматизация управления технологическими процессами в газораспределительных сетях: проблемы, тенденции и перспективы // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2013. Т. 9. № 2. С. 70-79.
References
1. Sobolev A.V. Uchet opyta jekspluatacii pri ocenkah pokazatelej nadezhnosti i bezo-pasnosti reaktornyh ustanovok s primeneniem verojatnostnyh modelej: Dis. ... kand. tehn. Sci. Obninsk: Obninskij institut atomnoj jenergetiki — filial NIJaU «MIFI», 2016. 132 s.
2. Atwood C.L. Constrained Non-Informative Priors in Risk Assessment // Reliability Engineering and System Safety. 1996. Vol. 53. No. 1. P. 37-46.
3. Janes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics // The Physical Review. Series II. 1957. Vol. 106. No. 4. P. 620-630.
4. Janes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics II // The Physical Review. Series II. 1957. Vol. 108. No. 2. P. 171-190.
5. Moore R.E. Interval Analysis. Engle-wood Cliffs (NJ, USA): PrenticeHall, 1966. 145 p.
6. Kalmykov S.A., Shokin Ju.I., Julda-shev Z.H. Metody interval'nogo analiza. Novosibirsk: Nauka, 1986. 222 s.
7. Walley P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities. London: Chapman and Hall, 1991. 719 p.
8. Kuznecov V.P. Interval'nye statistiches-kie modeli. M.: Sovetskoe radio, 1991. 352 s.
9. Kozine I.O., Utkin L.V. Processing Unreliable Judgements with an Imprecise Hierarchical Model // Risk, Decision and Policy. 2002. Vol. 7. Issue 03. P. 325-339.
10. Utkin L.V., Kozine I.O. Different Faces of the Natural Extension // Proceedings of the 2nd International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications. Maastricht: Shaker Publ., 2001. P. 316-323.
11. Krymsky V.G. Computing Interval Bounds for Statistical Characteristics Under Expert-Provided Bounds on Probability Density Functions // Lecture Notes in Computer Science. 2006. Vol. 3732. P. 151-160.
12. Kozine I., Krymsky V. Enhancement of natural extension // Proceedings of the 5th International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications (ISIPTA '07). Prague: Action M Agency, 2007. P. 253-262.
13. Kozine I.O., Krymsky V.G. Computing Interval-Valued Statistical Characteristics: What is the Stumbling Block for Reliability
Applications? // International Journal of General Systems. 2009. Vol. 38. No. 5. P. 547-565.
14. Jel'sgol'c L.Je. Differencial'nye uravne-nija i variacionnoe ischislenie. M.: Nauka, 1969. 424 s.
15. Krymsky V.G. Control Theory Based Uncertainty Model in Reliability Applications // International Journal of Performability Engineering. 2014. Vol. 10. No. 5. P. 477-486.
16. Kozine I., Krymsky V. Computing Interval-Valued Reliability Measures: Application of Optimal Control Methods // International Journal of General Systems. 2017. Vol. 46. No. 2. P. 144-157.
17. Krymskij V.G., Zhalbekov I.M., Imil'-baev R.R., Junusov A.R. Avtomatizacija upravlenija tehnologicheskimi processami v gazoraspredelitel'nyh setjah: problemy, ten-dencii i perspektivy // Jelektrotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy. 2013. T. 9. № 2. S.70-79.
