CC BY
16
удк 004.9, 004.94, А. А. Коляда [A. A. Kolyada], 004.56 П. В. Кучинский [P. V. Kuczynski],
А. Ф. Чернявский [A. F. Chernyavskii]
ИНТЕРВАЛЬНО-ИНДЕКСНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ СИНТЕЗА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ МОДУЛЯРНО-ПОЗИЦИОННОГО КОДОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ТАБЛИЧНО-СУММАТОРНОй КОНФИГУРАЦИЕЙ
Interval-index technology of synthesis of the parallel algorithms for modular-point code conversion
with the table-summation configuration
Изложены базовые принципы интервально-индексной технологии синтеза алгоритмов преобразования минимально избыточного модулярного кода в позиционный код. Предлагаемые алгоритмы основаны на прямой реализации интервально-модулярной формы чисел с применением интервального индекса, который имеет предельно простую вычислительную структуру. Приведена новая параллельная процедура модулярно-позиционного кодового преобразования. Получены оценки эффективности представленной разработки.
Ключевые слова: обратное преобразование, китайская теорема об остатках, модулярная арифметика.
The article describes the basic principles of interval-index technology of synthesis transformation algorithms minimally redundant modular code in the position code. The proposed algorithms are based on the direct implementation of interval- modular form of interval numbers using an index that has a very simple computational structure. Shows the new modular parallel procedure-point code conversion. Estimates are obtained for the development of effective representation.
Key words: reverse conversion, Chinese Remainder Theorem, modular arithmetic.
Введение
Неотъемлемой составной частью математического обеспечения инфокоммуникационных систем (ИКС), которые содержат как модулярные, так и позиционные компоненты, являются средства их сопряжения. Эффективность конфигураций арифметики модулярных систем счисления (МСС) - модулярной арифметики (МА), в решающей мере определяется оптимальностью применяемых немодульных процедур. Главным фактором, оказывающим наибольшее влияние на качественные показатели алгоритмов немодульных операций, является уровень вычислительной сложности расчетных соотношений для базовых интегральных
характеристик модулярного кода (МК) и связанных с ними форм представления целых чисел (ЦЧ) [1-4]. Приоритетные позиции в этом отношении принадлежат интервально-индексным характеристикам [1], а также приближенным аналогам интегральных характеристик МК (ИХМК) [3, 4].
Представляемые исследования относятся к проблематике оптимизации немодульных процедур с помощью интервально-индексной технологии. Фундаментальные преимущества данной технологии далее демонстрируются на примере разработки параллельных алгоритмов мо-дулярно-позиционного кодового преобразования. Предлагаемая методология базируется на принципах минимально избыточного модулярного кодирования [1] и таблично-сумматорных вычислений [5]. При синтезе алгоритмических структур особое внимание уделяется оптимизационным аспектам, охватывающим приложения МА на диапазонах больших чисел (ДБЧ) и прежде всего криптографические МА-приложения.
Принципиальные основы интервально-индексных
технологий синтеза немодульных процедур
На множестве Z ЦЧ МСС определяется набором попарно простых модулей - оснований т1, т2, ..., тк (к > 1). При этом X е Z в данной ММС представляется кодом
(X, х, ..., х) (х- = |Дт- (- = ^))
где (х, X, ..., Хк) (Х = Хпч (- = 1Л)); через |х|т обозначается элемент множества 2т = {0,1,...,т - 1}, сравнимый с х (в общем случае рациональным числом) по модулю т. Максимальная мощность множества DМСС ЦЧ
X на котором отображение X ^ (хь Х2,..., X) взаимно однозначно, составит
ляет Мк = П mi элементов. В этом случае DМСС выполняет роль диапазона
г=1
МСС с базисом М = {ть т2, ..., тк}. Обычно в качестве диапазона используют либо ZMk = {0,1,...,Мк - 1}, либо ZMk = {- [Мк /2_|, - Мк /2 + 1,..., Г Мк /21 - 1} (через [ х\ \х\ обозначаются ближайшие к х слева и справа ЦЧ).
Из Китайской теоремы об остатках следует, что ЦЧ ХО X DMCC может быть получено по своему МК (хь X, ..., X) по формуле
(1)
к—\
где М,к-1 = Мк-1 / ; Мк-1 = П т] ; 1(Х) - интервальный индекс (ИИ)
/=1
числа X. Равенство (1) называется интервально-модулярной формой (ИМФ) ЦЧ X.
Как известно, использование в числовых системах избыточности позволяет улучшить их арифметические и иные свойства. Так называемое минимально избыточное модулярное кодирование В ^ Z х Z х...х Zт , определяющее минимально избыточную МСС (МИМСС) с базисом М, предусматривает применение диапазона Б = БМИМСС, мощность которого меньше мощности диапазона DМСС классической (неизбыточной) МСС с базисом М. Сущность реализуемого принципа раскрывает нижеследующая утверждение.
Теорема 1.
О минимально избыточном модулярном кодировании.
Для того, чтобы в МСС с попарно простыми основаниями ть т2, ..., тк ИИ /(X) = /¿(X) каждого элемента X = %ь %2, ..., Хл диапазона DМИМСС = = {-М,-М + 1,..., М- 1} (М = т0Мк-1; т0 - вспомогательный модуль) полностью определялся компьютерным ИИ - вычетом I (X) = \/(Х\тк , необходимо и достаточно, чтобы к-е основание удовлетворяло условию: тк > 2т0 + к - 2 (т0 > к - 2). При этом для /(X) верны расчетные соотношения:
(2)
5ХЫ
КкЛ(/к) = \Мк_1%кI
(3)
(4)
Как показывает теорема 1 переход от 2~Мк к 2ш предельно упрощает расчет интервально-индексной характеристики /(X) (см. (2)-(4)). Это приводит к адекватной оптимизации и немодульных процедур, базирующихся на ИМФ (1). Количество необходимых таблиц и модульных операций для таких процедур при расчете базовых ИХМК сокращается в к/2 раз. С увеличением мощности рабочего диапазона МИМСС получаемый выигрыш становится особенно значимым.
Теоретическая база параллельных алгоритмов модулярно-позиционного кодового преобразования
Сущность интервально-модулярной технологии синтеза процедур преобразования минимально избыточного МК (МИМК) в позиционный код (ПК) параллельного типа раскрывает нижеследующее утверждение.
Теорема 2.
Пусть ЦЧ X из множества
представлено в виде Х = 2 X, (Х] е 2п ; г > к > 1; п > 1) и пусть числа X заданы своими г-ичными кодами (х П- х (/) п-2 ... х Й))г (хП-1 у е 2г = {0,1, ...,г-1}; (у = 0,л-1; / = йк). Тогда для цифр ПК (хп_1 хп_2 ... х0)г (ху е 2г) числа Xверна формула
(5)
где х0 = Я,, х1 = + О' = \,п-\)\
% = 24° (/ = 6^1);
П,=
1-\
(1*п-1);
(6)
(7)
(8)
ту-1 - булева величина, определяемая по правилу
Ю;
= |_(й + Пм)//и 0, л - 1);
(10)
1'еСЛИ"'=Г-1' </*0,1,»-1). (11) О-в остальных случаях,
Параллельный алгоритм преобразования кода МИМСС в ПК
Теорема 2 позволяет сформулировать нижеследующий параллельный алгоритм модулярно-позиционного кодового преобразования.
Параметры алгоритма: модули mbm2,...,mk МИМСС, выбираемые из множества простых чисел промежутка (215;216) с минимизацией k [5] и основание r = 2b (b е {16,32}), используемой позиционной системы счисления (ПСС).
Входные данные алгоритма: МИМК (х1, х2, ..., Xk) элемента Хдиапа-
зона Z-2M.
Выходные данные: дополнительный r-ичный ПК (xn-1 xn-2... x0)r ЦЧ X длины n = [lüg r (2 M) ] цифр.
Предварительно получаемые данные:
• Таблицы TII_i[x] = RM) (X = 0,^-1; i = Щ, TRes_UPk[x] = |216 x|mk (x = 0,216 - 1) и TResk[x] = |x|mk (x = 0,216 + Щ - 2 ) для расчета компьютерного ИИ ЦЧ согласно (3), (4).
Таблицы TPCiJ (i = ; j = 0,п - 1) формируются по правилу
/ ч \МЬ при у = 0,тп-1,
X*=X*(x) = i. , , --г (14)
Iмк-1 (l - щ ) при X = т0 > тк -
которые, при x = X, (i = 1Д-1 ), X = I(X) являются состовляющими ИМФЦЧ:
К K-L , ,
(15)
Таблицы TPCiJ формируются по правилу
При этом для получения кодов (12) чисел (13), (14) можно воспользоваться любой из подходящих процедур преобразования МИМК в ПК.
Тело параллельного алгоритма модулярно-позиционно-го кодового преобразования на основе прямой реализации ИМФ ЦЧ:
МП. 1 В соответствии с (3), (4) по МИМК (хь X ,.., X) ЦЧ Х рассчитать его компьютерный ИИ согласно схеме 5 = % Т11_/[х,]; 5(0) = s л (216 - 1), 5(1) = s >> 16; /(X) = |*Ц = Т^к[5(0) + TRes_UPk[s(1)]] .
МП. 2. Для всех у = 0,и —1 вычислить суммы одноименных цифр ПК (х(')п_1х(')п_2 ... х0(,)) составляющих Xi ИМФ числа X, т. е. компонент наборов х-1 = {ТРС1_у[х 1],..., х/к) = ТРСк - 1_у[х к-1] ■ = ТРСк /{[/(X)]} (см. (12-(16)): с получением Яу = ■ и П,- = [5,- / 5 (/ Ф п - 1).
МП. 3. Применяя (5), (10) и (11), найти Зс1, х2,...,хп-1, а также сформировать признаки ш1, ю2,..., юп-2 и Ь2, Ь3 ,...,Ьп-2.
МП.4. Следуя булевым выражениям (9), найти поправки т1, т2 ,..., тп-2 и согласно (5) произвести коррекцию приближений цифр ПК числа X.
МП.5. Результирующие значения переменных х0, х1 ,..., хп-
1 зафиксировать в качестве цифр искомого ПК (хп-1, хп-
2 ... х0) г и завершить работу алгоритма.
Теоретически алгоритм МП.1-МП.5 обеспечивает макси-мальнуюпроизводительностьприегореализациинап-процессорнойвычис-лительнойсистеме,вкоторойвсецифрыкода(хп-1,хп_2... х0) г ПССсоснованием г = 2Ь (Ь е {16, 32}) формируются параллельно. Временные затраты на выполнение приведенной процедуры модулярно-позиционного кодового преобразования определяются оценочным выражением
¿ТМлшп (к,п) = (|"^2 к + п + 3)Га + 5^ (17)
где tсл и ^ - длительности операций сложения и извлечения элемента из таблицы соответственно.
В случае, когда г = 216 и мощность МИМСС удовлетворяет условию 2М > 21025, которому отвечают к = п = 65, оценка (17) при = 2 нс, tч = 1,14 нс дает ^Млшп (65,65) = 155,7 нс. Если 2М > 22463, то к = п = 155 и ^Млшп (155,155) = 337,7 нс. При Ь = 32 бита условиям 2М > 21025 и 2М > 22463 отвечают соответственно п = 33 и п = 77. В этих случаях оценочное выражение (17) принимает значения: ^М.тт (65,33) = 91,7 нс, ^мтт (155,77) = 181,5 нс.
Заключение
Основные результаты представленных исследований по проблематике оптимизации методов выполнения немодульных операций состоят в ниже следующем.
1. Изложены базовые принципы интервально-индексной технологии синтеза процедур реализации в МИМСС немодульных операций. Главной отличительной особенностью применяемого подхода является избыточное кодирование, вводимое путем незначительного (минимального) сужения классического диапазона.
2. Дано математическое обоснование метода модулярно-позиционного кодового преобразования, который базируется на ИМФ. Благодаря предельной простоте вычисления в рамках минимально избыточного модулярного кодирования интервально-индексных характеристик, расчетные соотношения предложенного метода реализуются гораздо проще, чем при использовании неизбыточного МК.
3. На основе созданного метода и таблично-сумматорной вычислительной технологии синтезирован новый параллельный алгоритм преобразования МИМК в ПК. Для разработанного алгоритма приведены аналитические
оценки быстродействия и затрат табличной памяти, а так же конкретные числовые значения полученных оценок для МИМСС, определенных на ДБЧ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коляда А. А., Чернявский А. Ф. Интегрально-характеристическая база модулярных систем счисления // Информатика. 2013. № 1. С. 106-119.
2. Балака Е. С., Тельпухов Д. В. Принципы построения специализированного вычислителя для задач матричной алгебры с применением параллельной арифметики // Нейрокомпьютеры: разраб., применение. 2010. № 9. С. 46-49.
3. Червяков Н. И. Приближенный метод ускоренного обнаружения и локализации неисправного вычислительного канала ЭВМ, функционирующей в системе остаточных классов / Н.И. Червяков, М.Г. Ба-бенко, П.А. Ляхов, И. Н. Лавриненко // Нейрокомпьютеры: разраб., применение. 2011. № 10. С. 13-19.
4. Червяков Н.И., Лавриненко И.Н. Исследование немодульных операций в системе остаточных классов // Научные ведомости Белгородского государственного ун-та Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. № 1 (120). Вып. 21/1. С. 110-121.
5. Каленик А.Н. Компьютерно-арифметическая и реализационная база быстрых процедур умножения по большим модулям на основе модифицированной модулярной схемы Монтгомери / А.Н. Каленик, А.А. Коляда, Н.А. Коляда, Т.Г. Протько, Е.В. Шабинская // Электроника инфо. 2012. № 7. C. 114-118.
ОБ АВТОРАХ
А.А. Коляда - д.ф.-м.н., доцент, гл. науч. сотрудник, лаборатория специализированных вычислительных систем, Институт прикладных физических проблем им. А.Н. Севченко БГУ (г. Минск, Беларусь). E-mail: [email protected].
П.В. Кучинский - д.ф.-м.н., доцент, директор, НИИПФП им. А.Н. Севченко, Белорусский государственный университет (г. Минск). E-mail: [email protected].
А.Ф. Чернявский - академик НАН Беларуси, д.т.н., профессор, зав. отделом информатики, НИИПФП им. А.Н. Севченко, Белорусский государственный университет (г. Минск). E-mail: [email protected].
A.A. Kolyada - Dr.Sc. (Phys.-Math.), Associate Professor, Main Research Scientist, Laboratory of Specialized Computer Systems, A.N. Sevchenko Institute of Applied Physical Problems of Belarusian State University, Minsk, Belarus. E-mail: [email protected]. P.V. Kuchynski - Dr. Sc. (Phys.-Math.), Associate Professor, Head of A.N. Sevchenko Institute of Applied Physical Problems of Belarusian State University, Minsk, Belarus. E-mail: [email protected]. A.F. Chernyavsky - Dr. Sc. (Eng.), Professor, Head of the Department of Informatics, A.N. Sevchenko Institute of Applied Physical Problems of Belarusian State University, Minsk, Belarus. E-mail: [email protected].
