CC BY
15
54
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2010. № 3
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Интерпретация решения диффузионно-волнового уравнения с использованием дробного интегродифференцирования
А. Н. Боголюбов1,0, A.A. Потапов2,6, С. Ш. Рехвиашвили3,1-'
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет,
кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2Институт радиотехники и электроники РАН. Россия, 125009, Москва, ул. Моховая, д. 11, корп. 7. 3Кабардино-Балкарский государственный университет, факультет микроэлектроники и компьютерных технологий, кафедра материалов и компонентов твердотельной электроники. Россия, 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, д. 173. E-mail: а bogan7@yandex.ru, bpotapov@mail.cplire.ru, с rsergo@mail.ru
Статья поступила 28.10.2009, подписана в печать 23.12.2009
Приводится пример реализации метода дробного интегродифференцирования, предложенного работе [1] для интерпретации решения диффузионно-волнового уравнения. Ключевые слова: электродинамика, дробные операторы, дробное интегродифференцирование. УДК: 530.1, 537. PACS: 41.20.Jb, 01.55.+Ь.
В работе авторов [1] было рассмотрено применение метода дробного интегродифференцирования к задачам классической электродинамики. В частности, были приведены для векторного и скалярного потенциалов уравнения с изменяющимся типом — диффузионно-волновые уравнения. Проанализируем свойства свободного электромагнитного поля в диэлектрике с постоянными е и ¡л исходя из диффузионно-волнового уравнения. Для этого запишем одномерное уравнение
(ст)2 д2и{х, Г)
t)
= 0,
(1)
£(1 дх'2
где / — безразмерное время (отнесенное к т), под функцией и(х,1) понимается А или ц>. Уравнение (1) линейное, и его частное решение представимо в виде
и(х, = и0 ехр(йл') 2(/), (2)
где — неизвестная функция, щ — комплексная амплитуда, к — компонента волнового вектора в направлении л'. Подставляя (2) в (1), получаем уравнение
фг(0^о;22(0 = 0, (3)
где ш = скт!\Щх — безразмерная частота. Частным решением уравнения (3) является функция
Z{t)=E2a{-Uflt2a), Eß(x) = J2
п=0
T{nß+IY
(4)
где Ез(х) — функция Миттага-Леффлера. Из (2) и (4) находим
и(х, = и0 ехр(1кх)Е-2а . (5)
На рисунке в качестве примера показаны графики функции Е$(х). Если в (5) параметр а находится в интервале от 1/2 до 1, то по переменной / будем иметь периодическую функцию с частотой ш. Если параметр а находится в интервале от 0 до 1/2, то функция становится монотонно убывающей. Параметры а и т ответственны за скорость убывания.
1.0
0.5
-0.5
\ /V-ß=2.0 /\ 1 //vVß=1'9 1 1 //\\,ß=1.7 / 1 \ Jtß=LiAl
Графики функции Миттага-Леффлера при различных значениях параметра /3
Для наглядной интерпретации решения (5) выделим из него предельные случаи. При а = 1 (гиперболический случай), пользуясь тем, что
Е2(х) = сЬ (у/х) ,
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
55
для решения уравнения (1) запишем
и(х, 0 = ио ехр(1(кх - о>0)- (6)
Выражение (6) задает плоскую монохроматическую волну, являющуюся периодической функцией обеих переменных х и I.
При а= 1/2 (параболический случай) имеем
£1 (х) = ехр(х), и(х, 0 = и0 ехр(Игх) ехр(^ш20- (7)
Решение (7) является периодическим лишь по переменной х. Его также можно понимать как плоскую волну, но с убывающей со временем амплитудой. При этом время, за которое амплитуда поля уменьшается в е раз, будет равно = ец/(с2к2т).
Таким образом, в нашем случае дробное инте-гродифференцирование и соответственно феноменоло-
гический параметр а учитывают влияние фрактальных свойств движения зарядов в диссипативной среде на создаваемое электромагнитное поле. При уменьшении а происходит затухание электромагнитных волн, причем при медленном диффузионном блуждании (а < 1/2) затухание имеет степенную асимптотику E2a(^t2a) ос Г2«/Г(1 —2а), свойственную для многих фрактальных систем [2].
Список литературы
1. Боголюбов А.Н., Потапов A.A., Рехвиашвили С.Ш. Способ введения дробного интегродифференцирования в классической электродинамике // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 4. С. 9.
2. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. М., 2005.
Fractional integro-differentiation interpretation of the diffusion-wave equation solution A.N. Bogolyubov1,0 A.A. Potapov2ft S.Sh. Rehviashvili3c
1 Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2Institute of Radio Engineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, Mokhovaya 11-7, Moscow 125009, Russia.
3Depertment of Materials and Components of Solid-State Electronics, Faculty of Microelectronics and Computer Technologies, Kabardino-Balkar State University, Chernyshevskogo 173, Nalchik 360004, Kabardino-Balkar Republic, Russia.
E-mail: a bogan7@yandex.ru, bpotapov@mail.cplire.ru, c rsergo@mail.ru.
The example of the fractional integro-differentiation application is presented. The method for the interpretation of of the diffusion-wave equation solution was proposed in [1].
Keywords: electrodynamics, fractional operators, fractional integro-differentiation. PACS: 41.20.Jb, 01.55.+b. Received 28 October 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2010).
Сведения об авторах
1. Боголюбов Александр Николаевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: bogan7@yandex.ru.
2. Потапов Александр Алексеевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотр.; тел.: (495) 629-34-06, e-mail: potapov@mail.cplire.ru.
3. Рехвиашвили Серго Шотович — докт. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (866) 242-71-04, e-mail: rsergo@mail.ru.
