CC BY
65
П.П. Кравченко, Ю.М. Бородянский
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Предлагается новый метод кусочной интерполяции, основанный на оптимизированных дельта-преобразованиях второго порядка [1].
Пусть необходимо найти кривую со степенью гладкости 1, проходящую через заданное множество точек (в самом простом случае состоящее из 2-х точек). Известны координаты этих точек и их первые производные.
Предположим, что существует такая точка ^ на интервале [а,Ь] (значения функции на границах интервала и производные в них известны), в которой происходит переключение траекторий, тогда можно записать следующую систему уравнений [1]:
= 2А - 2А -(Т - D)+(T - D)2|,
21 = 2 А -(Т - ^
2в = 21 +21 •+(D)2 у,
2 в = 21 + D • Р,
где Т - длина интервала [а,Ь], D - интервал изменения независимой переменной справа от точки переключения знака кванта модуляции.
Необходимо найти значение функции и производную в точке переключения ^ и 21), значение кванта модуляции (Р) и интервал изменения независимой переменной справа от точки переключения знака кванта модуляции (Р).
Решая эту систему, получим
D = 2 в - 2 А + Т - Р , (1)
2 • Р
2 1 = 2в + 2А - Т - Р , (2)
12
Р
2а + 2в + 2А (Т - D)-(T - D)2P- 21 • D - D2 21=------------------------- 2 ^, (3)
Р = -(2в - 2А - 0’5Т(2В + 2А ))±а/(2В - 2А - 0’5Т(2В + 2А ))2 + °’25Т2 (2в - 2А )2 (4)
0,5Т2
Из проведенных выше выкладок видно, что существуют два решения этой системы. Необходимое единственное решение можно получить, если учесть еще одно условие:
0 < D < Т . (5)
Пусть даны значения интерполируемой функции у на интервале [а,Ь] У(х1)У(хк) ,где а= Х1 <■■■< хк =ь.
Как следует из вышесказанного для построения кривой на интервале [х1,х1+1] необходимо вычислить два параметра: с1 - модуль кванта модуляции и Б1 - точка переключения знака кванта модуляции. По формулам (1),(4) вычисляем значения Б1 и Р1,(12).Учитывая условие (5), выбирается единственное решение, и тогда С1 = .
В случае, когда известно поведение функции, могут быть известны и её первые производные в узлах интерполяции. Если же yi (x;) неизвестно, то можно использовать следующую формулу вычисления производной в узле xt:
yi - yi-1 + yi+1 - yi
'( ) Xi - Xi-1 Xi+1 - Xi
yi (xib ——i 1 1-L ■
Значения граничных производных yi и yk выбираются из естественных граничных условий (например, равенство 0) или из других соображений [2].
Тогда непосредственно сплайн на интервале [xbx1+i] строится на основе следующих формул:
Y-j+1Vt = YyVt + Ci А ;
Yi,j+1 = Yi,j+1 + Yi,jVt + °-5ciА ; где j = 1,..,Т1 - 1;T1 = x1+1 - x1, с1 - модуль кванта приращения производной,
А = - sign (Pi) - j < Ti - Di (траектория В);
А = sign (Pi) - j > Ti - Di (траектория А).
В табл.1 указаны теоретические вычислительные затраты на подготовку параметров для интерполяции кривой предлагаемым методом и некоторыми другими: кубический сплайн, кубический В-сплайн, многочлен Эрмита [2,3,4], а также на вычисление одной интерполируемой точки, n - количество узлов интерполяции.
Таблица 1
А-преобразова- ния Кубический сплайн Кубический В-сплайн Многочлен Эрмита
Пара- метры 38(n-1) -8 31n-23 98+36(n-1)+ 2(n+2)3/3; 9(n-2)
точка 5-6 19 43 24
В табл.2 представлены некоторые экспериментальные данные относительно времени обработки большого количества интерполируемых точек рассматриваемыми методами при заранее вычисленных параметрах кривых; время выполнения представлено в секундах.
_________________________________________________________________________Т аблица 2
Кол-во интерполируемых точек А-преобразо-вания (с) Кубический сплайн (с) Кубический В-сплайн (с) Многочлен Эрмита (с)
1 000 000 0,4 2,4 6,2 2,8
5 000 000 2,3 12 30,5 13,9
10 000 000 4,5 23,9 61,1 27,9
50 000 000 22,3 119,6 305,6 139,2
Данные, представленные в табл.2, практически подтверждают теоретическое соотношение скоростей рассматриваемых методов. Предлагаемый метод, основанный на дельта-преобразованиях, позволяет существенно повысить скорость обработки интерполируемых функций, при сохранении гладкости 1-го порядка. Это создает предпосылки для эффективного использования данного метода для применения в системах реального времени, где достаточна гладкость 1-го порядка и требуется максимальная скорость.
Данный метод был применен при восстановлении отраженного сигнала в компьютерном ультразвуковом эхоэнцефалоскопе, разработанном в НКБ «Миус»[5], а также в устройстве для измерения сопротивления изоляции в многопроводных сетях.
Рассмотрим далее возможность построения поверхностей на основе предлагаемых сплайнов. Пусть заданы сетка w
a = ^ < X < ... < хт_ < хт = ь , с = У0 < У1 < ... < Уп_1 < Уп = d и набор чисел zij, 1 = 0,1,...,ш, ] = 0,1,...,п.
Необходимо построить на прямоугольнике R=[a,b]x[c,d] гладкую функцию 2(х,у), которая принимает в узлах сетки w заданные значения Z(xj,yj)= ziJ , 1=0,1,.,.,ш, ] =
=0,1,...,п.
Одним из способов применения метода дельта-преобразований для интерполяции поверхностей может быть построение поверхностей Кунса [2,3].
Пусть Р(и^) - функция двух переменных, обладающая таким свойством, что в случае, когда и и V - константа, эта функция сводится к параметрическому представлению пространственной кривой. Пусть
Р^у ) =
Р(0,у)
Р(1,у)_
Р2 (и ) =
Р(и,0)
Р(и,1)_
• Ь(и) =
Ь0 (и) ь1(и).
Ь0 (и)+ Ь1(и)= 1
Конечный участок поверхности с замкнутой границей можно построить, объединяя граничные кривые Р(и,0), Р(и,1), Р(0;у), P(1,v), построенные с помощью метода дельта-преобразований, следующим образом :
S(u,v)= Ьт (и )Р^у)+ Р/ (и)ь(у)- Ьт (и )МЬ(у), (6)
где М - матрица с элементами Му = Р^о).
Уравнение (6) гарантирует непрерывность построенной поверхности, которая, однако, не обязательно будет гладкой, что объясняется возможностью разрывности градиента. Для того чтобы этого избежать, можно в качестве смешивающих функций Ь0 и Ь1 выбрать кривые дельта-преобразования, изменяющиеся в пределах [0,1]. Ь0(0) = 1, Ь0(1)= = 0, Ьх (0) = 0, Ьх(1) = 0. Ь0 и Ь1 имеют равные нулю граничные производные.
Другой способ применения метода дельта-преобразований для интерполяции поверхностей можно представить следующим образом.
На первом шаге вдоль одной из переменных по сетке w строится ряд интерполяционных кривых, проходящих через все узлы сетки. На втором шаге происходит непосредственное заполнение всех точек поверхности путем построения кривых вдоль другой переменной.
В табл.3 указаны теоретические вычислительные затраты на подготовку параметров поверхности предлагаемым методом и некоторыми другими: кубический сплайн, кубический В-сплайн, многочлен Эрмита [2,3,4], а также на вычисление одной точки, п,ш - количество узлов интерполяции по двум переменным.
Т аблица 3
Параметры Точка
Д-преобразования 1 способ 18(ш—2)(п—2)+ 31 ((п—1)т+(т—1)п) 55
2 способ 9(ш—2)п+31 (п—1)ш 73(5)
кубический сплайн (31т—23)(п+2)+(31п—23)2т 77
кубический В-сплайн 36п+52тп+2(тп)3/3 119
многочлен Эрмита 9(п—2)(т+2)+18п(т—2) 69
Как видно из табл.3, применение каждого из способов интерполяции дельтапреобразованием имеет свои преимущества и недостатки. Первый способ более приемлем для случаев, когда необходимо вычислить некоторые не связанные между собой точки на интерполирующей поверхности. Второй способ обладает большим преимуществом в скорости, в случаях, когда требуется сплошное заполнение всех точек поверхности, так как максимальные вычисления (73 операции) требуются только при вычислении первой точки кривой внутри элементарного куска поверхности, а далее на каждую точку требуется всего лишь 5 операций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и обработка информации. Таганрог, 1997.
2. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: РиС, 1985.
3. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. М.: Диалог-МИФИ, 1996.
4. АльбергДж.,Нильсон Э.,Уолш Дж. Теория сплайнов и их приложения. М.: Мир, 1972.
5. Бородянский И.М., Бородянский Ю.М. Восстановление отраженного сигнала в системе ультразвукового эхоэнцефалоскопа методом дельта-преобразований второго порядка// Материалы Всероссийской научно-технической конференции с международным участием “Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности”. Таганрог. 2002.
М.В. Савельев, А.В. Гордиенко, В.А. Кучевский
СТРУКТУРА СИСТЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ
СЕТЕЙ
На значительном пути развития вычислительных систем, которые переживают значительный подъём, ввиду того, что они соединились в своём развитии с информационными технологиями, особый интерес у пользователей вызывает рост информационных услуг. Наряду с основными требованиями, предъявляемыми к системам проектирования компьютерных сетей (КС) с точки зрения создания САПР (математическое, программное и аппаратное обеспечение), возникает потребность в средствах, с помощью которых возможно проектирование систем такого рода. Отечественные программные продукты на рынке САПР КС почти отсутствуют.
Структура систем проектирования КС является совокупностью подсистем планирования, моделирования и баз данных (рисунок). В общем виде система проектирования КС предназначена для нахождения решений, связанных с размещением оборудования (периферийных устройств) таким образом, чтобы при заданном качестве передачи информации получить наибольший экономический эффект. Т ехнологический процесс планирования КС состоит из следующих операций:
- распределение пользователей на местности и задание их свойств;
- определение направлений линий связи и типа кабеля;
- проектирование графика (режима) обработки информации пользователя;
- расчёт объёма (потока) передаваемой по сети информации;
- прогноз роста объёма информации в сети;
- анализ полученных расчётных значений.
