CC BY
31
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539.3
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ТРЕУГОЛЬНОМ КОНЕЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ПРИ РАСЧЕТЕ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА
А.Ш. Джабраилов, кандидат технических наук, доцент Р.И. Маловичко, кандидат педагогических наук, доцент
Волгоградский государственный аграрный университет
В настоящей статье произведен сравнительный анализ различных способов аппроксимации перемещений. Рассмотрен пример расчета тонкостенной оболочечной конструкции, допускающей при своей эксплуатации смещения как жесткого целого. Сделан вывод об эффективности векторного способа интерполяции перемещений в определении НДС подобного рода конструкций.
Ключевые слова: векторная интерполяция, изопараметрический, оболочка вращения, тонкостенная конструкция.
Разнообразные цистерны, резервуары для жидких и газообразных продуктов, трубопроводы оросительных систем - невозможно назвать все конструктивные решения, в основу которых положены оболочки. Ни одна отрасль техники, в том числе и сельскохозяйственного назначения (рис. 1-3), не обходится без услуг оболочечных построений.
Одной из важнейших при определении напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций является проблема учета смещений конечного элемента как абсолютно твердого тела [3]. Многие авторы отмечают, что данную проблему можно решить путем использования изопараметрической аппроксимации перемещений, при помощи которой данное явление воспроизводится довольно точно [1].
Рисунок 1 - Сепаратор для молочной Рисунок 2 - Ректификационная колонна промышленности для производства спирта-сырца
и спирта ректификата
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА
Рисунок 3 - Муковоз АСП-25
В связи с этим, большой интерес представляет сравнительный анализ использования изопараметрических конечных элементов и дискретных элементов других типов, в частности формируемых на основе векторной аппроксимации перемещений.
При изопараметрической аппроксимации геометрические величины внутренней точки конечного элемента определяются через свои узловые значения. Так, при использовании треугольного конечного элемента, для радиуса вращения можно записать следующую интерполяционную зависимость
жно выразить через узловые значения радиуса вращения и его производные в глобальной системе координат
Дифференцированием (3) по глобальной криволинейной координате S можно найти производные радиуса вращения
На основании (3) с учетом (4) формируется матрица жесткости изопараметриче-ского конечного элемента размером 27*27. При этом геометрические параметры узло-
ваемой поверхности, а во внутренней точке конечного элемента с локальными координатами ^, п на основании соотношений (4).
Координаты точки интегрирования ^, п в локальной системе координат являются заданными величинами, по которым можно точнее определить значения глобальных координат с использованием соотношений
(1)
(2)
где
к }=[
[= Ъ р а ^ - матрица перехода.
Зависимость (1) с учетом (2) можно представить в виде
} а [РЯ]
(3)
Г ,* = ({ф^Г ^+{р,п} п^ \РЯ І(У}; (4)
Г ^ = ({ф^Г ^+{ф,пп Т пі +2{чЧ п Т ^ п,* р ]{у }.
г
вых значений векторов Гу определяются по аналитическим зависимостям рассматри-
S = Si (1 -4-л)+SJ 4+ sk л;
0 = 0і (1 -^-л)+07' 2, + ^ л (5)
где , 0й (и = і, k, ]) - координаты узлов элемента в глобальной криволинейной системе координат.
В результате требуемые геометрические параметры в точке интегрирования конечного элемента можно определить по аналитическим зависимостям.
Пример. В качестве примера был рассчитан эллипсоид вращения, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 4).
Исходные данные принимались следующие: Е = 2 • 105 МПа, ц = 0.3, q = 5 МПа,
I = 0.02 м, параметры эллипса а = 1.3 м, Ь = 0.9 м, координата х изменялась в пределах 0 < х <1.2 м.
На правом краю оболочка имеет пружинные опоры, позволяющие ей смещаться в меридиональном направлении как абсолютно твердому телу под действием заданной нагрузки. Ввиду наличия осевой симметрии, эллипсоид представлялся одной полоской треугольных конечных элементов, ориентированной в меридиональном направлении.
Очевидная сложность расчетов обуславливала полную компьютеризацию вычислительного процесса. Для чего авторами разработан пакет прикладных программ на Delphi 7.0.
Дадим краткое описание вычислительного процесса.
Для начала расчета в файл исходных данных вводятся следующие параметры: число элементов рассчитываемой конструкции, количество точек интегрирования КЭ, вариант комбинации используемых полиномов, модуль упругости, толщина оболочки, расчетная нагрузка, геометрические характеристики конструкции. Весь вычислительный процесс наглядно представлен блок-схемой на рисунке 5.
В программе «Сетка» формируется матрица индексов, вычисляются координаты узлов и подготавливаются файлы для программы «Гаусс». Программой «Формирование» устанавливается матрица жесткости КЭ, для чего, в зависимости от формы конструкции, предварительно рассчитываются ее геометрические характеристики.
Рисунок 5
Далее с использованием матрицы индексов происходит формирование матрицы жесткости всей конструкции. Т.к. матрица жесткости является матрицей, связывающей деформации и перемещения, то решаемая программой «Г аусс» СЛАУ находит перемещения. На завершающем этапе - программа «Напряжения» - на основании вычисленных перемещений рассчитывает значения напряжений.
Разработанный программный пакет универсален. Фактически можно задать любую форму конструкции, изменив при этом лишь некоторые фрагменты программ «Сетка» и «Формирование», отвечающих за геометрию. На печать можно вывести значения параметров НДС любого интересующего проектировщика узла конструкции.
Расчет выполнялся в трех вариантах.
В первом варианте для дискретизации оболочки использовались изопараметри-ческие конечные элементы; во втором и третьем вариантах геометрические характеристики в точке интегрирования вычислялись по аналитическим формулам, определяющим форму срединной поверхности рассчитываемой оболочки.
Таблица 1
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА
Второй и третий вариант различались способами аппроксимации перемещений внутренней области треугольного конечного элемента. Во втором варианте использовалась традиционная интерполяционная процедура, а в третьем варианте реализован векторный способ аппроксимации перемещений [2].
Изначально жесткость пружинных опор была равна бесконечности, то есть оболочка деформировалась без жестких смещений. Результаты расчета при данных условиях опирания конструкции представлены в табл. 1, где приведены численные значения меридиональных и кольцевых напряжений оболочки на срединной поверхности в зависимости от числа элементов дискретизации.
Анализ результатов, представленных в таблице 1, показал, что во всех трех вариантах расчета наблюдается сходимость вычислительного процесса к точному решению, полученному по формулам сопротивления материалов, однако скорость сходимости вычислительного процесса во втором и третьем варианте выше, чем в первом. В первом варианте контролируемые параметры напряженно-деформированного состояния в характерных точках достигают удовлетворительных значений при числе элементов дискретизации равном 32. Во втором и третьем вариантах близкие к этим значения напряжений наблюдаются уже в 16 элементах.
Если жесткость пружины постепенно уменьшать, то оболочка получит возможность смещаться в меридиональном направлении как абсолютно твердое тело. При этом усилие пружины прямо пропорционально величине оболочки как жесткого целого.
Для различных значений величины жесткого смещения были получены значения меридиональных и кольцевых напряжений в концевом сечении оболочки (точки 1, 2), которые отражены в таблице 2.
Сетка узлов принималась равной 2*33. Анализ данных таблицы 2 показал существенные различия повариантного расчета. Так, в первых двух вариантах, значения контролируемых параметров напряженно-деформируемого состояния эллипсоида значительно меняются в зависимости от величины смещения оболочки как жесткого целого. В первом варианте напряжения возрастают на несколько порядков, во втором -кольцевые напряжения меняются как по величине, так и по знаку. В третьем же варианте наблюдалась стабильность вычислительного процесса даже при достаточно больших значениях величины жесткого смещения.
Таким образом, опираясь на результаты табличного материала, можно сделать вывод, что вычисление геометрических характеристик срединной поверхности оболочки в каждой точке интегрирования по аналитическим функциям в зависимости от глобальных координат, гораздо проще и эффективнее изопараметрической параметризации. Изопараметрическая параметризация не дает возможности в полной мере учитывать смещения оболочки как абсолютно твердого тела. В этих случаях весьма эффективным является векторный способ аппроксимации перемещений, когда компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента выражаются через полный столбец узловых варьируемых параметров, то есть зависят от всех трех компонент вектора перемещения.
Библиографический список
1. Голованов, А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек [Текст]/ А.И. Голованов, М.С Корнишин. - Казань: Казанский физико-технический институт КФ АН СССР, 1989. - 270 с.
2. Николаев, А.П. Применение векторного способа аппроксимации перемещений в криволинейных системах координат при расчете тонкостенных конструкций на основе МКЭ [Текст]/ А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.Ш. Джабраилов // Известия Нижневолжского агроуни-
верситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2009. - № 1 (13). -С. 126-132.
3. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций [Текст] /
В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л. : Судостроение, 1974. - 344 с.
E-mail: [email protected]
