Интерлокационные формулы Лагранжа и Эрмита для локусов-точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

не принадлежащие Microsoft, поддерживают ADO на уровне собственных классов и компонентов (например, Delphi 5 и C++Builder; 5) , несмотря на наличие других встроенных механизмов доступа к данным.

Научная новизна заключается в проведении сравнительного анализа существующих технологий и в выработке рекомендаций по разработке приложений для работы с хранилищами данных в банковских компьютерных сетях.

Практическое значение в том, что объектная модель ADO позволяет придавать последним реализациям этой технологии новые возможности ,что обязательно приведет к повышению популярности этой технологии.

Будущее применение — это использование технологии ADO с нереляционными базами данных.

Литература: 1. Федоров АЕлманова Н. ADO в Delphi: Пер. с англ. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 816 с. 2. Фаронов В.В. Delphi 3. Учебный курс. М.: Нолидж, 1998. 400 с. 3. Фаронов В.В. Delphi 5. Руководство программиста. М.: Нолидж, 2000. 780с. 4. Фаронов В.В., Шумаков П.В. Delphi 5. Руководство разработчика БД. M.: Нолидж, 2000. 640 с. 6. Кенту М. Delphi 5 для профессионалов. СПб.: Питер, 2001. 944 с.

Поступила в редколлегию 28.06.05

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Машкаров Ю.Г.

Кобы лин Анатолий Михайлович, канд. техн.наук, проф. каф. информатики ХНУРЭ. Научные интересы: информационные технолоии. Адрес: Украина, 61166, пр. Ленина, 14, (057)-7021-419.

Маркова Елизавета Юрьевна, студентка 5 курса ПММ ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и информационные технологии. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057)-7021-419.

УДК 517.95

ИНТЕРЛОКАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА И ЭРМИТА ДЛЯ ЛОКУСОВ-ТОЧЕК

УВАРОВ РА., ШЕЙКО Т.И._________________

Исследуются интерлокационные формулы Лагранжа и Эрмита при восстановлении функции двух переменных, когда узлами являются локусы-точки. Модифицируется интерлокационная формула Эрмита для возможности использования сглаживающих функционалов при известных и неизвестных значениях частных производных функции в узлах. Для сглаживания начальных приближений применяются функционалы, моделирующие натяжение «мыльной плёнки» и изгиб пластины.

Постановка цели и задач исследования

Целью данной работы является модификация интерлокационных формул Лагранжа и Эрмита для локусов-точек.

Для выполнения поставленной цели нужно выполнить следующие задачи:

1) исследовать результаты применения интерлокационной формулы Лагранжа на системе локусов-точек, моделируя натяжение «мыльной плёнки», установить возникающие трудности и предложить пути их преодоления;

2) исследовать результаты применения интерлокационной формулы Эрмита на системе локусов-точек, моделируя изгиб пластины в случае, если известна информация о частных производных, путем некоторой её модификации;

3) модифицировать интерлокационную формулу Эрмита на системе локусов-точек в случае, если информация о частных производных неизвестна, оценить результаты её применения, моделируя натяжение мыльной пленки и изгиб пластины, применить её и оценить результаты при восстановлении кусочно-гладких функций.

142

Основное содержание исследования

Конструктивный аппарат теории R-функций [1], который позволяет учитывать геометрическую информацию в аналитическом виде, оказывается полезным математическим инструментарием для решения задач с неполной информацией об объекте, а также связанных с обработкой данных, имеющих разброс.

При восстановлении значения функции в области по заданным значениям функции на локусах используется интерлокационная формула Лагранжа, а когда на локусах заданы значения функций и производные по заданным направлениям, используется интерлокационная формула Эрмита.

Интерлокационная формула Лагранжа:

u = u0 + Ui

N N ю. 1 N

(~ ®;)• (~—) + (~ Ю;)Ф ,

i=0 i=0 Фi

(1)

ffld -ю.

где Ю i = -——--- — функция, нулевой уровень

которой определяет локус; ю.(х, у) — функция, нулевой уровень которой определяет границу локу-

N

са, а ~ х. = xi ~ Х2 ~... ~ xn . i=1

Здесь используется ассоциативная операция R-

ху

равнозначности: х~у = ——

х + у

если х, у > 0 или

m

х~у =

ху

2т/х2т + у2т

—для произвольных х, у , где

т — положительное целое число.

Интерлокационная формула Эрмита:

u = Uo + Ui =

(N ki +1) (

= (~ V )• (

i=0

N

ki +1

i=0 фi -qiaiD(li)(9i) + qiю.уi

-)_1 +

РИ, 2005, № 3

+ (~ юki +1)ф, (2)

i=0

где ki = <|0, “0” — на тех Qi, где не заданы уi, а “1” — где заданы;

qi =

РІ‘(ю i)

(D)i (юД)1 +Юі

01і (юД = (УгоіД)

Эю: Эю:

=-----cos а н----sin а

Зх ду

Если направлениями, заданными на границах Qi,

_ Зю: Зю :

являются нормали V і = (-,---), то это приводит

Эх ду

к формуле:

u = uo + ui =

N

ki +1 ^

N

1

k: +1

=(~ ®г )• (

i=1

i=1 фi -roiD((i)(фi) + Юіфi

-)_1 +

N

+(~ rok1+1)ф

i=1

(3)

Второе слагаемое в (1), (2) и (3) играет роль остаточного члена. Для реализации процедуры сглаживания входящую в него неопределенную компоненту ф обычно аппроксимируют полиномом р с неопределенными коэффициентами, которые можно найти из условия минимума некоторого известного функционала, на множестве функций, принимающих заданные значения на локусах Qi.

В дальнейшем будем полагать, что неопределенную компоненту ф отыскиваем из решения задачи Плато [2] (моделирующей натяжение “мыльной пленки” на “каркас) о минимуме функционала

I =1

□L

(f)2

ox

+(f)1

ду

dQ

(4)

или задачи об изгибе тонкой пластины, моделируемой классическим уравнением Софи Жермен [3], которое может быть сведено к минимизации функционала

I =1

Q

(^U)2

Эх

2 '

+ 2

д2u д2u (д2U)2 Эх2 ду2+ ду1

dQ

(5)

на множестве функций, принимающих заданные значения или значения частных производных на локусах Qi.

В [4-6] при построении интерлокационных функций в качестве локусов Qi не использовались точки. Если все Q і являются точками, то приходим к классической интерполяционной задаче, которая, например, для регулярной сетки в n -мерном пространстве (n > 1) может быть получена повторным применением соответствующей формулы для одно-

мерного случая. Для нерегулярной сетки реализация такой идеи становится затруднительной и ей часто предпочитают процедуру построения аппроксима-

M

ционных полиномов u = 2 cjX j (x, y), коэффици-

j=1

енты cj которых отыскивают по методу наимень-

ших квадратов:

MM

m1n Е(Е j j(xb 1=1 j=1

уі)-Фі)2

. Но это

уже другая задача — не интерполяции, а аппроксимации: функция u в этом случае может и не равнять-

ся фі в і -м узле.

Формула (1) может быть применена и для интерпо -ляции на системе точек. Вначале посмотрим, что получится, если их задать нормализованными уравнениями:

Qі = (юі = -\(x-xj2 + (y-у;)2 = 0). (6)

Формально так поступить можно, однако в этом случае функции юі имеют в точках (xi, у і) разрывные частные производные:

Эю і (x - xi)

5x V(x - xi)2 + (y -Уі)2 ;

Эю^ = (У ~ Уі)

dy ^(x - хі)2 + (У - Уі)2 .

Так, при стремлении к этой точке вдоль прямой

Эю і

х = xi, ~х стремится к нулю, а вдоль прямой у = уі при х > 0 — к единице.

Это приводит к тому, что первое слагаемое интерлокационной функции (1) имеет между узлами сложный характер. Чтобы подчеркнуть отрицательное влияние указанного характера поведения

Зюі Зюі

производных ’ ~q^ , а не, возможно, флуктуаций табличных значений в соседних узлах, ниже рассмотрим тестовый пример, в котором входная информация для оператора интерполяции представлена в виде таблицы, заведомо допускающей существование идеально гладкой интерполирующей функций. Для этого воспользуемся аналитической функцией

ut =

1

1 + 2х2 + у1

(7)

по которой составим таблицу для интерполяции.

Для облегчения сравнительного анализа результатов интерполяции в рассмотренных ниже примерах приведем картины линий уровня и графики этой функции в некоторых сечениях прямоугольной области 0 < х < 1, 0 < у < 1.8 (рис.1,а).

Пример 1. Предположим, что нам даны табличные значения фі функции (7) на сетке в указанной выше области, построенной с шагом по оси абсцисс

РИ, 2005, № 3

143

hx = 0.25 и по оси ординат — hy = 0.2 . В качестве уравнений ТОЧеК (x;, у; ) Примем (6), а фуНКЦИЙ ф; - значения (7) в этих точках. Результаты вычислений первого слагаемого интерполирующей функции (1) представлены в виде картины линий уровня на рис. 1,6.

а 6 в

Рис. 1. Картины линий уровня функции: а — определенная по формуле (7); 6 — начальное несглаженное приближение при (6); в — начальное несглаженное приближение при (8)

Конечно, нельзя рассчитывать в этом случае на то, что эти результаты удастся сгладить с помощью надлежащего выбора неопределенной компоненты ф (1), минимизируя функционал (4) на полиномах ограниченной степени или функционал (5) на полиномах любой степени, поскольку подынтегральные выражения в данном случае, как уже было сказано выше, содержат разрывные производные.

Может показаться, что эта трудность преодолима путем замены уравнений (6) на уравнения

Q; = (Ю- =Ю;2 = (X - X;)2 + (у - у;)2 = 0) (8)

с полиномиальными левыми частями. Оказывается, однако, что теперь производные от интерполирующей функции в любом узле и по любому направлению равняются нулю. Действительно, в этом случае производные от интерполирующей функции в узловых точках равны производным от Ф; (т.е. от констант). Это обстоятельство хорошо иллюстрируется на рис. 1, в картиной линий уровня и графиками в сечениях функции uo .

В данном случае при любом выборе функции ф , входящей в остаточный член, имеющий вид:

N

U1 = (~ Ю2 )Ф , (9)

;=1

график интерполирующей функции в узловых точках имеет горизонтальные касательные, что неизбежно навязывает ему волнистый характер. Скорректировать же этот остаточный член так, чтобы в узлах его производные были отличны от нуля и зависели от выбора ф , нельзя. Действительно, если в (9) заменить а? на ю. , определяемое формулой (6), то (9) окажется недифференцируемой в узлах функцией. Это не позволит воспользоваться, как уже отмечалось выше, сглаживающи-

ми функционалами (4), (5), содержащими операторы дифференцирования.

Покажем, что применение формулы Эрмита (3) после некоторой ее модификации позволяет преодолеть те трудности, с которыми мы встретились при попытке использовать формулу Лагранжа (1).

Пусть в узловых точках даны значения не только функции, но и ее частных производных х _^Ui- у

V; _ qx ’ ^; ~ Qy . В этом случае на основе (3)

получаем интерполяционный вариант формулы Эрмита:

U = Uo + Ui =

N

N

= (~ о• (~-----------!—у--------

І=1 І=1 Ф; + ф X(x - X; ) + ф у (у - у ; )

) 4 +

N

+ (~ Ю2)ф ,

Ї=1

(10)

где ю; задаются по формуле (6). При таком задании информации об интерполируемой функции хорошие результаты можно получить, к тому же, на существенно более редких сетках.

Пример 2. Пусть заданы значения 1 X 4х;

Ф; =

1+2x2 + у2 ,

vX =-

у

2у;

(1+2X2 + у2)2 ^ (1+2x2 +у2)2,

определяемые для функции (7) и ее производных всего лишь в 15-ти узлах: (0;0), (0;0.4), (0;1), (0; 1.6), (0;2), (0.5;0), (0.5;0.5), (0.5;1), (0.5;1.5), (0.5;2), (0.75;0.5), (0.75;0.9), (1;0), (1;1), (1,2) и даже в несколько расширенной по сравнению с Примером 1 области 0 < X < 1, 0 < у < 2 .

Применение формулы (10) приводит к результатам, один из которых показан на рис.2,а. А рис. 2, б иллюстрирует результат сглаживания функции u 0 путем использования функционала (5) при аппроксимации ф степенным полиномом третьего порядка. Сравнение рис. 1,а и 2, б показывает совпадение (6) и интерполирующей функции с относительной нормированной погрешностью и 3% .

а б

Рис. 2. Картины линий уровня интерлокационной функции Эрмита (10) для 15 узлов: а — начальное неслаженное приближения U0 ; б — интерлокационная функция, моделирующая изгиб пластины

144

РИ, 2005, № 3

Естественно, результаты можно существенно улучшить, если взять большее число точек. Так, для сетки из Примера 1, содержащей 50 узлов, получаем результаты, приведенные на рис.3.

а б

Рис. 3. Картины линий уровня интерлокационной функции Эрмита (10) для 50 узлов: а — начальное неслаженное приближения u0 ; б — интерлокационная функция, моделирующая изгиб пластины

Относительная нормированная погрешность в этом случае составляет и 0.7%. Итак, если в узлах интерполяции кроме значений функции известны и значения частных производных, то проблем со сглаживанием не возникает. Информация о частных производных интерполируемой функции в практических задачах далеко не всегда бывает априори известной. (Редким примером, когда имеется возможность получить такие данные, является геодезическая съемка местности.) Приведенные выше результаты наводят на мысль, что, если значения производных в узлах не заданы, то их можно выбрать так, что получится достаточно гладкое решение.

Действительно, если формулу (10) переписать в виде:

N

N ®2 ч-1

u - uo +ui - (~ Ю i) • (~ -) +

i=1

i=1 Фі

N

N

+ [(~ ® і) • (

Ю і

-)_1 +

і=1 І=1 у і (х - Хі) + yf(y - Уі)

N

+ (~ Юі)Ф] , і=1

(11)

где в роли остаточного члена щ выступает слагаемое в квадратных скобках, то процедуру сглаживания первого слагаемого uo можно осуществить следующим образом: отыскивать минимум функционала (5), варьируя не только коэффициенты Cj (j = 1,...,Np) полинома р , которым аппроксимируется ф , где N р — количество его коэффициентов, но и постоянные фх, фУ (і = 1,...,N) ( n — количество узлов интерполяции), определяющие градиенты интерполирующей функции в узлах. Таким образом, суммарное количество определяемых коэффициентов в этом случае равно Np + 2N .

РИ, 2005, № 3

Пример 3. Применим формулу (11) к исходной информации, заданной в Примере 1, где на 50-ти узлах в прямоугольнике 0 < х < 1; 0 < у < 1.8 были известны только значения функции фі, ив котором начальное приближение uo неизбежно оказывается плохим. Не используя даже второе слагаемое в квадратных скобках формулы (11), т.е. остаточный член формулы (10), перешедший в (11) “по наследству”, получим результаты, приведенные на рис.4,а. Нормированная погрешность составляет 1.8%.

Если вместо функционала (5) использовать функционал (4), соответствующий процедуре сглаживания начального приближения с помощью мыльной пленки, то мы не сможем устранить отмеченный ранее дефект, касающийся равенства нулю частных производных функции u в узлах интерполяции. Так, если в рассмотренном только что примере это сделать, то результаты будут иметь вид, приведенный на рис.4,б, и нормированная погрешность составляет 6.3%.

а б

Рис. 4. Картины линий уровня интерлокационной функции Эрмита (11) для 50 узлов: а — начальное неслаженное приближения u0 ; б — интерлокационная функция, моделирующая натяжение мыльной плёнки

В то же время сглаживание с помощью функционала (5), по сравнению с (4) даже для меньшего в двараза числа точек (25 точек, hx = 0.25; hy = 0.45), приводит к заметно лучшим результатам (4.6% , рис.5,б) при плохом характере u0 (рис.5,а).

а б

Рис. 5. Картины линий уровня интерлокационной функции Эрмита (11) для 25 узлов: а — начальное неслаженное приближения u0 ; б — интерлокационная функция, моделирующая изгиб пластины

145

Вариация параметров у f, у У , имеющих смысл частных производных в узловых точках, в силу конструкции формулы (11) оказывает лишь локальное влияние на характер интерполирующей функции u в зонах, расположенных в окрестностях соответствующих узлов, и не может приводить к изменению ее значений и значений ее производных в других узлах. Это позволяет надеяться на возможность применения формулы (11) и для интерполяции кусочно-гладких функций, получая для тех регионов, где значения в узлах интерполяции это допускают, достаточно сглаженные интерполирующие функции.

Рассмотрим пример, в котором для составления таблицы значений <pj используется кусочно-гладкая функция:

ut =

R-V x2 + y2

(12)

при R = 0.7 . Для простоты возьмем ту же сетку, что и в предыдущих примерах с 50-ю узлами.

а б в

Рис. 6. Картины линий уровня функции: а — определенная по формуле (12); б — начальное несглаженное приближение (11); в — интерлокационная функция (11)

Приведенные на рис.6 результаты показывают, что лишь в окрестности линии разрыва производных (дуги окружности радиуса r с центром в начале координат) имеются существенные отклонения (6.4%) интерполирующей функции от функции (12).

УДК 330.131.5:004.735.5

МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНТЕРНЕТПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА

ГРИШКО С.В., НОВИЦКАЯЕ.Е.

Предлагается методика оценки экономической эффективности сайтов, которые используются в хозяйственной деятельности. Методика позволяет рассчитать затраты на разработку и функционирование сайта, оценить возможный эффект от его работы и на основе этого рассчитать показатели эффективности.

Выводы

Научная новизна. Впервые интерлокационные формулы Лагранжа и Эрмита, являющиеся обобщением интерполяционных формул для локусов общего вида, были модифицированы для случая, когда локусами являются точки.

Практическая значимость. Разработанные интерлокационный формулы можно применять для восстановления функции поля различной физической природы в двумерной области по известным, заранее измеренным, уровням этой функции на некоторых локусах различной геометрической формы, в том числе и в виде точек.

Сравнение с аналогами. Благодаря теория R-функций были разработаны интерлокационные формулы, которые представляют уникальную возможность для совместной переработки аналитической и геометрической информации.

Литература: 1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. Киев: Наук. думка, 1982. 552 С. 2. Morrey C.B. The Problem of Plateau on a Riemannian manifold // Ann. ofMath., 49(2). 1948. P. 807-851. 3. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. Киев: Наук. думка, 1987. 175 С. 4. Уваров Р.А. Моделирование экологической обстановки с учётом турбулентного движения в атмосфере // Радиоэлектроника и информатика. 2001. №3. С.129-134. 5. РвачёвВ.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые подходы к построению уравнений трёхмерных локусов с помощью R-функций // Вісник Запорізького державного університету. 2000. №2.С.119-131. 6. РвачевВ.Л., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Интерлокационные формулы при моделировании задач Плато и Софи Жермен // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №3. C. 126-129.

Поступила в редколлегию 16.07.2005

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Курпа Л.В.

Уваров Роман Александрович, канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотр. отдела ПМиВМ ИПМаш им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: теория R-функций, компьютерное моделирование. Адрес: email: [email protected], (0572) 95-95-77.

Шейко Татьяна Ивановна, д-р техн. наук, проф., вед. науч. сотр. отдела ПМиВМ ИПМаш им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы: теория R-функций, математическая физика. Адрес: e-mail: [email protected]. (0572) 95-96-41.____

Постановка проблемы. Растущие потребности в информационном обеспечении обусловили широкое использование информационных технологий. Это привело к созданию новой культуры общения, что отразилось и на структуре деловых отношений. Универсальной коммуникационной платформой, на базе которой происходит слияние средств передачи информации, является Интернет.

Чтобы представлять бизнес в виртуальном пространстве, нужно позаботиться о размещении своих информационных ресурсов с помощью сервиса WWW. Это требует создания и поддержки сайта, который может выполнять самые разные функции: от витрины до полнофункционального магазина.

146

РИ, 2005, № 3