CC BY
55ИНТЕРАКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА GEOGEBRA В ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
© Разумова О.В.*
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань
В статье раскрываются анимационные возможности геометрической среды GeoGebra при изучении школьного раздела геометрии «Геометрические построения на плоскости».
В современном мире учебный процесс, будь то в общеобразовательной школе, либо в высшем учебном заведении, немыслим без широкого использования средств информационных технологий. Одним из наиболее перспективных направлений в технологиях обучения математике является внедрение и развитие интерактивных геометрических сред, и как следствие, выявление эффективных путей их использования в образовательном процессе.
В мире созданы и успешно развиваются достаточно много программ динамической геометрии - интерактивные геометрические среды, которые представляют собой программное обеспечение, позволяющее выполнять геометрические построения на компьютере таким образом, что при изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные также изменяются, сохраняя заданные отношения неизменными. Программы динамической геометрии позволяют создавать высококачественные чертежи. Воспользовавшись анимацией, глядя на изменяющийся чертеж, можно совместно с обучаемыми устанавливать, открывать заново те или иные свойства рассматриваемой фигуры.
В настоящее время существует несколько десятков вариантов программного обеспечения для поддержки курса динамической геометрии. Особенно выделяются немецкие программы Cinderella и Zirkel und Linean, а также австрийская программа GeoGebra, доступна для платформ Windows, Linux и MacOS.
GeoGebra - это программное обеспечение, которое объединяет и связывает между собой геометрическое, алгебраическое и табличное представления, являющиеся тремя важными представлениями математических понятий, благодаря своей динамической структуре. Здесь можно создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их, строить анимации. GeoGebra позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно наглядно составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора параметров. Решенные с помощью данного программного обеспечения задачи легко просматриваются в режиме презентации. Созданный файл можно экспортировать как инте-
* Доцент кафедры Теории и технологий преподавания математики и информатики, к.п.н.
рактивный чертеж в формате Web-страницы (для ее корректного отображения следует предварительно установить Java Runtime Enviroment) [1].
Автором статьи совместно со студентами педагогического отделения Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета разработан элективный курс «Геометрические построения на плоскости» для учащихся 10-11 классов средней школы. Разработанный курс органично дополняет школьный курс геометрии, раскрывающий методы решения планиметрических задач на построение с помощью циркуля и линейки.
В 2011-2012 учебном году было организовано опытное преподавание элективного курса «Геометрические построения на плоскости» средствами геометрической системы GeoGebra студентами 5 курса во время педагогической практики в гимназии № 52, лицее № 116 г. Казани.
Остановимся более подробно на решении нескольких примеров из раздела «Геометрические места точек плоскости» разработанного элективного курса, иллюстрирующих средства программного обеспечения GeoGebra.
Пример 1.
Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Решение.
Пусть окружность с центром О проходит через данные точки А и В. Поскольку ОА = ОВ (как радиусы одной окружности), точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Обратно, каждая точка О, лежащая на серединном перпендикуляре к АВ, равноудалена от точек А и В.
Приведем шаги создания чертежа в GeoGebra:
1. С помощью инструмента «отрезок по двум точкам» (на панели инструментов), строим отрезок АВ произвольной длины.
2. Строим окружность с с центром в точке О, проходящую через концы отрезка АВ (с помощью инструмента «окружность по центру и точке»).
3. Строим окружность d с центром О], проходящую через концы отрезка АВ и пересекающую окружность с (инструмент «окружность по центру и двум точкам»).
4. С помощью инструмента «отрезок по двум точкам» соединяем попарно точки О и О], точки О и А, точки А и О], точки О] и В, точки В и О.
Из чертежа видно, что ОА = ОВ - как радиусы окружности с, О]А = О]В -радиусы окружности d. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ, так как равноудалена от концов этого отрезка (для О] - аналогично).
С помощью инструмента «надпись» можно внести пояснения к чертежу или сделать подпись (рис. 1). Полученный рисунок легко импортировать в любой графический редактор.
Ф Ввод: 1 ▼ а ▼ Команда...
Рис. 1
Пример 2.
Даны окружность и точка М вне ее. Через точку М проводятся все возможные окружности 51, пересекающие окружность 5. Х - точка пересечения касательной в точке М к окружности с продолжением общей хорды окружностей 5 и 5;. Найдите геометрическое место точки Х.
Решение.
Пусть А и В - точки пересечения окружностей 5 и Тогда ХЫ^ХЫ=ХА, ХВ = ХОХО - RR, где О и Я соответственно центр и радиус окружности 5. Поэтому ХОХО - ХЫ^ХЫ = RR, а значит, точка X лежит на перпендикуляре к прямой ОМ.
Шаги создания чертежа в GeoGebra следующие:
1. С помощью инструмента «окружность по центру и точке на ней» строим окружность 5 с центром О.
2. Окружность с центром О;, строим аналогично и таким образом, чтобы она пересекала окружность 5.
3. Отметим точку А и точку В на пересечении окружностей (инструмент «пересечение» или «точка»).
4. Проведем касательную к окружности (инструмент «касательная»), отметим точку касания М (инструмент «точка»).
5. С помощью инструмента «луч по двум точкам» проведем общую хорду.
6. Отметим точку пересечения хорды и касательной, точка Х (инструмент «пересечение» или «точка»).
7. Выделим треугольники АХМи ОХВ (инструмент «многоугольник»).
8. Проведем прямую ОМ (инструмент «луч по двум точкам»).
9. Опустим перпендикуляр из точки Х на ОМ (инструмент «перпендикулярная прямая»).
В результате соответствующих построений в GeoGebra получаем следующий рисунок (рис. 2).
Рис. 2
Таким образом, использование графических средств программного обеспечения GeoGebra в учебном процессе позволяет повысить уровень развития элементарной и функциональной математической грамотности обучающихся.
Список литературы:
1. Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды GeoGebra 3.0 в учебном процессе // Материалы 10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». - Смоленск, 2009.
