Интегроинтерполяционная реализация конечно-разностной модели теплопереноса при сварке труб с трубными решетками теплообменных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Tcarapkin Roman Aleksandrovich, postgraduate, KniaZ988@mail. ru, Russia, Moscow, Moscow aviation Institute (national research University)

УДК 621.791

ИНТЕГРОИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ПРИ СВАРКЕ ТРУБ С ТРУБНЫМИ РЕШЕТКАМИ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ

В. А. Раевский, А.Е. Смоловик

Предложена конечно-разностная модель теплопереноса для расчета тепловых полей при сварке соединения «труба - трубная решетка» теплообменных аппаратов на основе консервативной разностной схемы; постановка выполняется в виде нестационарной квазилинейной задачи (интегроинтерполяционная реализация).

Ключевые слова: труба, трубная решетка, распределение тепловых полей, конечно-разностная схема.

Режим сварки труб с трубными решетками рекомендуется либо подбирать на основании эксперимента, либо определять расчетным путем. В настоящее время предпочтение отдается натурному эксперименту, при этом к недостаткам этого метода, учитывая изготовление образцов-свидетелей, следует отнести длительность и трудоемкость [1]. Расчетный путь основывается на применении формул, предложенных в [2, 3]:

Яп^свЛ!

V

пр~ gS]

пл

кПр =pHB

2 (в - 25) + ^

3 4

3

где Упр - объем расплавленного металла, м ; gп - погонная энергия сварочной дуги, Дж/с; tсв - время сварки, с; % - термический КПД; 7 -удельный вес, Н/м ; - теплосодержание при температуре плавления, Дж/кг; Н - глубина проплавления, м; В - ширина шва, м; - диаметр осевой линии шва, м.

Эти формулы базируются на идеализированном представлении источников теплоты и формы тела, не учитывают зависимости теплофизиче-ских свойств материала от температуры, нелинейность граничных условий. Известно [4, 5], что эти методы позволяют производить расчеты температурных полей с достаточной точностью, но только в области низких температур (примерно ниже 0,7 температуры солидуса материала).

33

Таким образом, актуальным является создание программных комплексов, позволяющих моделировать сварное соединение труб с трубными решетками, и, в частности, распределение тепловых полей при сварке.

Как отмечалось выше, в настоящее время при постановке натурных экспериментов по подбору режимов сварки труб с трубными решетками теплообменных аппаратов применяются образцы-свидетели, конструкция которых показана на рис. 1, а. Исходя из геометрии этого соединения задачу теплопереноса удобно решать в цилиндрической системе координат (Я, ф, 2), располагая последнюю, как показано на рис. 1, б.

Для снижения затрат машинного времени конечно-разностная модель соединения имеет две области: с постоянным шагом в области высоких температурных градиентов (сварочная ванна и прилежащие области) и с переменным шагом, изменяющимся по геометрической прогрессии, в области низких температурных градиентов.

а б

Рис. 1. Заводской образец-свидетель и конечно-разностная

модель соединения

Задачей описания тепловых процессов при сварке является нахождение связи трехмерного поля температур Т = Т(х, у, 2) с удельным потоком тепловой энергии источника теплоты в рамках теории теплообмена и теплопереноса.

Известно [6], что для численных задач теплопроводности замена производных конечными разностями основывается на предположении о малом изменении производной дТ / д/ на соответствующих интервалах А/.

34

Данное утверждение может стать несправедливым в случае резкого изменения теплофизических коэффициентов, являющихся функциями от температуры, наличия в них точек разрыва и т. п.

Поэтому для получения непрерывного точного решения разностные уравнения следует получать из аппроксимации не операторов дифференциального уравнения теплопроводности, а дифференциальных уравнений теплового баланса для любых соседних объемов, исходя из предположения о малом изменении теплового потока д(/) на интервалах А/.

Таким образом, разностное решение строится на основании выполнения закона сохранения энергии как для произвольного элементарного объема, так и для любой области, составленной из этих элементарных объемов. Это позволяет получать правдоподобное решение даже в области грубой конечно-разностной сетки.

Постановка выполняется в виде нестационарной квазилинейной задачи.

Квазилинейность выражается в использовании на т -м шаге по времени значений зависимых от температуры теплофизических коэффициентов (теплопроводности 1, объемной теплоемкости ср и коэффициента полной поверхностной теплоотдачи а), вычисленных для температур на предыдущем временном шаге.

Также в приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: Q - количество теплоты, Т - температура, £ - площадь элементарной поверхности сетки, в которую входит удельный тепловой поток, V - величина элементарного объема сетки, т - время, дд - тепловой поток сварочной дуги.

Было решено принять следующие обозначения в записях разностных уравнений для нумерации узлов трехмерной конечно-разностной сетки: по оси Я используется символ /, по оси ф - символ у, по оси Z -символ к.

Узлы сетки, соответствующие первому и последнему элементарным объемам, соответственно имеют обозначения ш, ж по оси Я, кн, кк по оси Z, коэффициент расширения переменной области конечно-разностной сетки - , ksh по оси Я и Z соответственно, последние узлы сетки с постоянным шагом - по оси Я и Z is, ks соответственно.

К основным размерным параметрам конечно-разностной сетки, которые входят в разностные уравнения, относятся: шаг конечно-разностной сетки АЯ;, Аф, А2к; в области сетки с постоянным шагом АЯ; = АЯсошг,

А2к = АХсошг; в области сетки с переменным шагом АЯ; = АЯсоп^ ■ ishi,

= А2сош( • кэкк к; координаты центра элементарного объема постоянной области конечно-разностной сетки Я/ = АЯ/ • /, ф7 = Аф • 7,

^к =Zк •к■

Запишем уравнения теплопереноса и теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси Я (рис. 2).

Количество тепла, поступающего в элементарный объем узла с номером /, ], к из элементарного объема / —1, 7, к;

—1=1(Т) » 17—1/2,/,к АГ + ,к

(1)

,],к Щ—1 + АЯ/ 2

Выполнив преобразования, получим коэффициент теплопроводности на границе между элементарными объемами узлов /

и

/ — 1

17—1 1—1/2,7,к

\7—1-1 . л 7—1 = 1/—1,7,к • /эк + 1/,—,к

1 + /эк

и площадь границы

А$—1/2 =

Я/

Щ 2

АфА1к

Рис. 2. Схема к определению теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси Я

Таким образом,

Л да— 1 • 7 . Л да— 1 грШ грШ

Ы—1, у,к • + Ч /,к Ч, у,к — Т—1,/,к

да—1 л^да

^да

а

V—1

У,к ,

1,.7,к

1 +

Щ—1 + АЯу 2

Я

АЯ 2

АфА2к.

(2)

По аналогии с (1), (2) количество тепла, поступающего в элементарный объем узла с номером V, у, к из элементарного объема V +1, у, к,

ут—1 _ ^ + ут—1 ^ л /гл\ ЭТ , V, у,к V+1, у,к V+1, у,к 1 V, у,к

Q/+1 = 1(1)—- Д^о »--—-—--г-^—А ' X

2

(3)

X

о +

АЯ 2

АфА1к.

Уравнение теплового баланса элементарного объема узла с номером V, у, к по оси Я имеет вид

а—1—а+1=ср(г) ^ ^ »сру ■^—ЫА щ щ АфА2к. (4)

,у,к Ах

Для элементарных объемов сетки с постоянным шагом по оси Я, учитывая, что /sh = 1, АЯ/+1 = АЯ/ = АЯ/—1, эти уравнения записываются следующим образом:

лт—1 . лт—1 лг^т гг,т

1—1, /,к + Ч /,к Ч, у,к —Т—1, /,к

т-1 т

а—1

1,у,

2

АЯ-

Я

ЛЯ, 2

АфА2к,

а

V+1

ут—1 + ут—1 ^т

V, у,к V+1, у,к V+1, у,к 1/, у ,к

Тт , /

2

о АЯ^

Я + /

V

2

АфА1к,

у

Тт -Тт-1 п П = срт—1 1/,у,k 1/,у,к

а—1 — а+1 = ср7, /,к "

Я/ АЯ АфА2к.

(5)

(6)

(7)

^^ Ах

По аналогии с уравнениями (1) - (7), уравнения теплопереноса и теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси Z (рис. 3) запишем как

т 1 т 1 т т

ЭТ _ 1/, у к—1к^ +1/, у ,к T/, у к — T/, у,к—1

т 1 т

Ок—1 = 1(Т)

1 + ksh

А^к—1 + А^к 2

Я АЯ/ Аф,

Тт

— 1 7 I . лто—1 т^т ДГ 1 • • , ksh + 1. . , ,, 1. - , , т.

/О 1(т\Э1 ле ~ V, у ,к_1,у,к+1 V, у ,к+1 V, у,к

Пк+1 =1(Т) ^ ~--Т^- А2к +А2к+1 Х

X Яу АЯу Аф,

37

т т7 , — Т7—1

Ок—1 — Ок+1 = ср(Т)—¿V » с^кк А 7 Я/ АЯ/АфА2к■

¿х Ах

Рис. 3. Схема к определению теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси Z

Уравнения теплопереноса и теплового баланса для конечно-разностной сетки с постоянным шагом оси Z:

17—1 +17—1 т7 — т7

^ Л7, 7,к—1 +1/, 7,к т/, 7,к т/, 7,к—1 п А п А

Ок—1 »--^-^--^-^-Я, АЯ,- Аф,

к 1 2 А2к 1 1

17 —1 + 17 —1 т7 — т7

^ Л/', 7,к + 1/', 7,к+1 т/, 7,к+1 т/', 7,к п А п А

Ок+1»—7 0 7--7 А7 7 ЯАЯ/ АФ,

2 А/к

Т Т,- 7'

Ок—1 — Ок+1 » ср7—к Ах 7,к Я/ АЯ/ АфА1к■

38

Учитывая, что шаг по оси ф на всей сетке постоянный (Аф 7+1 = Аф 7 = Аф 7—1 = Аф), уравнения теплопереноса и теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки с по оси ф будут записаны следующим образом (рис. 4):

17 —1 +17—1 т7 —Т7

& 1=-^—1,к /,],к Т/,],к Т/,]—1,к ая/ык,

7 2 Я/Аф

17 1 + 17 1 7 7

п = ЧМ +Ч7+1,к 1/,]+1,к T/',7,к АЯ А7 О7+1 =--о--Б~а-АЯ/' А/к,

2 Я/Аф

Т7 — Т7—1 0/—1 — О+1 = ср7~\ 1,],кАх 7 Я/ АЯ/АфА2к.

Рис. 4. Схема к определению теплового баланса во внутреннем элементарном объеме конечно-разностной сетки по оси ф

Запишем разностные уравнения для граничных элементарных объемов, в которых будут учтены граничные условия третьего рода и которые замкнут общие системы уравнений разностных схем, описывающих процесс теплопереноса вдоль осей Я и Z. Система разностных уравнений, описывающих процесс теплопереноса по оси ф, не имеет граничных условий; для ее решения используется метод циклической прогонки.

Уравнения теплопереноса в первом граничном элементарном объеме конечно-разностной сетки с постоянным шагом по оси Я (рис. 5):

Оа»а ту (токр —тн у к Неф^к,

а

т 1 т 1 А™ 1 ь + Ы

/е,у,к +1ш+1,у,к T•е+1,у,к 1ш,у,к

т

т+1

1

т

гр[ _

Оа" йн+1 »< Р?н, 1" ^^¡Т^1"

т

Т

АЯШ

т—1

Ят +

АЯi

т

2

АфМ",

Ят ^^т , Щн

2

АфА2".

Рис. 5. Схема к определению теплового баланса в граничных элементах по оси Я

8

Уравнения теплопереноса в последнем граничном элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси Я (рис. 5):

\т~1 ^и I \т~1 тт тт / л ™ Ч

к/к-1,',к • + к/к,',к т/к, j,к - Т1к-1,/,к ( „ АЯ Л

б/к-1 ---г--;--гъ-ГТЪ— Я/к--— АФА/к

1 + ish АЯ/к-1 +АЯ/

/к

2

2

ба - ат,1к (^/Х j,к - Токр )ЯгнАфА^к,

тт - тт-1

б/к-1 - ба- 'Г'

Г 2 Л

Я/к АЯ/к АЯ/к

2 8

АфА2к.

Уравнения теплопереноса в первом граничном элементарном объеме конечно-разностной сетки с постоянным шагом по оси Z (рис. 6):

ба - а^т-Ткн (Токр - ' )Я/ АЯ/ Аф + дД,

лт-1 + кт-1 тт - тт

.о Ы, /,к + /,кн+1 Ti, /,кн+1 Ti, /,кн папа

бкн+1-—-—^--—— Я щ АФ.

2 А/кн

Уравнение теплового баланса:

б - б = ^рт-1 Тим - ТК]М Я АЯ/ АФА2кн

ба бкн+1~ ',кн ах 2 '

Уравнения теплопереноса и теплового баланса в последнем граничном элементарном объеме конечно-разностной сетки с переменным шагом по оси 2 (рис. 6):

лт-1 / 7 . лт-1 г^т ^т

1. ., , ksh + к. . Т. ., - Т. ,

бкк-1 ------А2-+А2-Я/ /Аф ,

2 А2кк-1 +А2кк

2

ба^т-кк (' - Токр )я/ АЯ/ АФ ,

тт - тт-1 б - б = срт-1 'ЦМ Я ЩАФА2кк

бкк-1 ба г/',/',кк Ах 2 .

Таким образом, получены системы уравнений, с помощью которых протекание трехмерного процесса теплопереноса можно рассматривать как результат последовательной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от распределения температурного поля, возникшего после окончания предыдущего одномерного процесса (расщепление задачи по пространственным направлениям или локально-одномерная схема).

Применение неявной аппроксимации одномерных задач обеспечивает устойчивость схемы, а общее число арифметических действий оказывается пропорционально числу узловых точек, что определяет малые затраты машинного времени на шаге по времени.

Рис. 6. Схема к определению теплового баланса в граничных элементах по оси Z

После подстановки уравнений теплопереноса в соответствующие уравнения теплового баланса методом прогонки получили промежуточные распределения по оси R и Z, а затем методом циклической прогонки по оси j - окончательное распределение температурного поля.

Программная реализация осуществлена в среде Compaq Visual Fortran.

Список литературы

1. Селиверстов Г.В., Анцев В.Ю., Вобликова Ю.О. Построение оптимального алгоритма диагностирования крановых металлоконструкций // Строительные и дорожные машины. 2013. № 7. С. 23 - 24.

42

2. Демянцевич В.П., Зеленин В. А. Расчет параметров проплавления при сварке труб с трубными досками // Электротехническая промышленность. Серия «Электросварка». 1972. Вып. 3(12). С. 15 - 17.

3. Зеленин В. А., Семенов В.П. Расчет параметров проплавления при сварке труб с трубными досками // Сварка. 1969. №12. С. 162-169.

4. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Анищенко Л.М. Высокотемпературные технологические процессы: теплофизические процессы. М.: Наука, 1986. 172 с.

5. Eagar N., Tsai N. Temperature fields produced by traveling distribution heat sources // Weld. J. 1983. №12. P. 346 - 355.

6. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена: учеб. пособие для теплофизич. и теплоэнерге-тич. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1990. 207 с.

Раевский Владимир Алексеевич, канд. техн. наук, доц., var-77@mail.ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),

Смоловик Андрей Евгеньевич, канд. техн. наук, доц., asmolovik@yandex.ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)

INTEGR OINTERPOLA TIONIMPLEMENTA TION OF FINITE-DIFFERENCE MODEL OF HEAT TRANSFER IN THE WELDING OF TUBES WITH TUBE SHEETS OF HEAT

EXCHANGERS

V.A. Raevskiy, A.E. Smolovik

In the article the finite-difference model of heat transfer for calculation of thermal fields at welding joints "tube-tube grid" boiler heat-exchanger-preparations on the basis of conservative difference schemes; production is performed in a non-stationary quasi-linear problem (integrointerpolation implementation).

Key words: pipe, tube sheets, distribution of thermal fields, finite-difference

scheme.

Raevskiy Vladimir Alekseevich, candidate of technical sciences, docent, var- 7 7@mail. ru, Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University Kaluga Branch,

Smolovik Andrej Evgen'evich, candidate of technical sciences, docent, asmolo-vik@yandex.ru, Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University Kaluga Branch