CC BY
69
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________2007, том 50, №4____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
У.А.Хоитметов
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 30.07.2007 г.)
В настоящей работе методом обратной задачи рассеяния выводится эволюция данных рассеяния оператора Штурма-Лиувилля, потенциал которого является решением общего уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) с самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих комплекснозначных функций.
гдей = и(х^). Согласно [1], существуют полиномы Рк (от и и производных и пох) такие,
Пусть С,С,с2’■■■’СР - произвольные действительные числа. Введем следующие обозначения
Пусть
2 с1хъ с/х
что ял=р;+,
удовлетворяет соотношению Лакса
(1)
р
р
Тогда справедливо равенство
Уравнение
называется общим уравнением КдФ. В частности, при р = 1, с0 = 0, сх = 4 мы получаем классическое уравнение КдФ: и{ - 6иих + мш = 0.
Мы будем рассматривать систему уравнений
3 °°
= І Ф(х,гі)ф(х,-гі ёг/, дх
(2)
(3)
Ьф = г)2ф
Система нелинейных уравнений (2) - (3) рассматривается при начальном условии
и(х, 0) = и{) (х), Х£Й, (4)
где начальная функция и0 (х) является комплекснозначной и обладает свойствами:
1) для некоторого в > 0
||г/0(х)|е£^й&с < со,
(5)
2) оператор ДО) имеет N комплексных собственных значений -^(0), ^(0),Дж(0) с кратностями щ (0), щ (0),..., щ (0) и не имеет спектральных особенностей.
В рассматриваемой задаче функция ф(х,г/^) - решение уравнения (3), определяемое асимптотикой
ф —» к{т], г)е~щх при х^оо, (6)
где //(?7,0 - изначально заданная непрерывная функция, удовлетворяющая условиям
+
дк(г],Г)
дх
2 Л
ёг! < оо
(7)
при всех неотрицательных значениях ^ .
Пусть функция м(х,^) = Ыем(х,Г) + /1тм(х,Г) обладает достаточной гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при х —» +оо, так что
д]и(х, і)
<3х < °о, 7 = 0,1,2,3 .
(8)
Основная цель данной работы - получить представления для решений ?/(х, / ), ф(х, г/, /) задачи (2)-(8) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора Ь(ґ) .
Метод обратной задачи рассеяния хорошо освещен в работе [2]. Возможность применения этого метода к эволюционным уравнениям с самосогласованными источниками показана в работах [3-5].
2
£\Х
е
Отметим, что в нашей задаче оператор Ь(ї) является несамосопряженным, так как потенциал и(х, Ї) является комплекснозначным. Хорошо известно, что несамосопряженный оператор Щ) может иметь спектральные особенности, которые лежат на непрерывном спектре. Мы предполагаем, что оператор Ь(ґ) не имеет спектральных особенностей. Кроме того, при выполнении вышеуказанных условий оператор Щ) имеет конечное число (в общем случае кратных) собственных значений.
Обратная задача рассеяния для оператора Щ) изучена в работах [6-7].
Рассмотрим уравнение Штурма-Лиувилля
—у" + и(х)у = Л у, Л = к2, х є (-«з, оо), (9)
где и (х) - комплекснозначная функция, удовлетворяющая условию (4). При выполнении условия (4) существуют решения Йоста уравнения (9) со следующими асимптотиками на бес-
конечности при 1ш к > - —
е+(х,к) ~ е1кх, х —>+оо; е_(х,к)~е~1кх, х—»-оо.
Пары функций {е+(х,к), е+(х,-к)} и {е_(х,к), е_(х,к)} образуют в полосе |1т&|<-^-фундаментальные системы решений, поэтому
^ = е+ (х’к">+Т? е+ ^ ~к^ ’
2гк 2гк
тдесо(к) - Ж{е(х,к),е+(х,к)}, у(к) - Ж{е+(х, -к),е_(х,к)} . Функция со(к) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет там конечное число (в общем случае кратных) нулей. Пусть невещественные нули со(к) есть к1,к2,...,кы, тогда Я. = к2, _/ = 1,2,..., ТУ, - собственные значения оператора к. Кратность корня к; уравнения со(к) - 0 обозначим через
^ О'= !,сосуществует так называемая нормировочная цепочка чисел {%]0, , | такая, что
имеют место соотношения
_1_
Ті
Ґ ^ \<ік
е_ (х, к)
д_
\ сік у
е+{х,к)
к=к
Набор \8(к),Л,,х!, ■,XI р ./ = 1,^} называется данными рассеяния для уравнения (9). В работах [6-7] показано, что по данным рассеяния потенциал и (х) восстанавливается однозначно.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Если функции и(х, /), філ,х,і) являются решениями задачи (2)-(8), то данные рассеяния оператора Щ) с потенциалом и(х, і) меняются по і следующим образом
St =
ік'У'с,(2k2У -2n\h(k,t)\ + 2i Н ^ dij
- 1 1 І к + т]
1=0
S.
Ilm к\ < — 1 1 2
д£
dt
F
I
q=0
^2<г1
г! (2^ + 1)! 2 ы
i=o (2<7 + 1—/)!
k2q+l-> +2
к
■dri
г = 0,1,2,...,да„-1.
Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (2) - (8).
Ургенчский государственнийуниверситет Поступило 01.08.2007 г.
Республики Узбекистан
ЛИТЕРАТУРА
6. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. - М.: Наука, 1984.
7. G.S. Gardner, I.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura - Phys.Rev. Lett., 1967, v.19, pp.1095-1097.
8. Leon J., Latifi A. - J.Phys.A: Math.Gen. , 1990, v.23 , pp. 1385-1403.
9. В.К. Мельников. Метод интегрирования уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником // - Препринт. Дубна ,1988.
10. Хасанов А.Б., Уразбаев Г.У. - УзМЖ, 2003, № 2, с.53-59.
11. Блащак В.А. - Дифф. уравнения, 1968. т.4, № 8, с. 1519-1533.
12. Блащак В.А. - Дифф. уравнения , 1968, т.4, № 10 , с. 1915-1924.
У.А.Хоитметов
ИНТЕГРОНИИ МУОДИЛАИ УМУМИИ КОРТЕВЕГ-ДЕ ФРИЗ БО МАНБАЪИ НАМУДИ ИНТЕГРАЛИИ ХУДМУТОБИЦ ДАР СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ЗУДКАМШАВАНДА
Дар макола бо методи масъалаи баръакси пароканиш эволютсияи маълумотх,ои пароканиши оператори Штурм-Лиувилл, ки потенциалаш хдлли муодилаи умумии Кортевег-де Фриз бо манбаъи намуди интегралии худмутобик дар синфи функсиях,ои зудкамшаванда мебошад, муайян карда шудааст.
U.A.Hoitmetov
THE INTEGRATION OF GENERAL KDV EQUATION WITH SELF-CONSISTENT SOURCE INTEGRAL TYPE
In this work laws of evolution of the scattering data of the Sturm-Liouville operator with potential being solution of general Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source integral type in a class of rapidly decreasing complex valued functions are deduced.
