Научная статья на тему 'Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром'

Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
681
56
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / NONLINEAR INTEGRAL EQUATION / УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА / VOLTERRA EQUATION / ВЫРОЖДЕННОЕ ЯДРО / DEGENERATE KERNEL / АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ / SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS / ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ / ONE VALUED SOLVABILITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Солодова О.В., Юлдашев Т.К.

Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами. Метод вырожденного ядра развит для случая интегральных уравнений Вольтерра. Использован метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS WITH DEGENERATE KERNEL

It is considered the questions of one value solvability of the nonlinear Volterra integral equations with degenerate kernels. The method of degenerate kernel is developed to the case of Volterra integral equations. It is used the method of successive approximations combined it with the method of compressing maps.

Текст научной работы на тему «Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром»

УДК 517. 9

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

О. В. Солодова Научный руководитель - Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: tursunbay@rambler.ru, tema_bulov@mail.ru

Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости нелинейных интегральных уравнений Воль-терра с вырожденными ядрами. Метод вырожденного ядра развит для случая интегральных уравнений Вольтерра. Использован метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: нелинейное интегральное уравнение, уравнение Вольтерра, вырожденное ядро, алгебраическая система уравнений, однозначная разрешимость.

It is considered the questions of one value solvability of the nonlinear Volterra integral equations with degenerate kernels. The method of degenerate kernel is developed to the case of Volterra integral equations. It is used the method of successive approximations combined it with the method of compressing maps.

Keywords: nonlinear integral equation, Volterra equation, degenerate kernel, system of algebraic equations, one valued solvability.

Интегральные уравнения Вольтерра находят широкое применение в задачах математической физики, механики сплошной среды, электродинамики, астрономии, экологии, сейсмики и т. д. (см., напр., [1-3]).

Сначала рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра с простым вырожденным ядром

0

где K (t, s) є C (DT x DT); K (t, s) = a (t) • b (s) > 0; f (t,u (t)) є C (DT x U); U - замкнутое ограниченное множество на числовой оси; DT = [ 0;T ]. Примем обозначение

VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS WITH DEGENERATE KERNEL

О. V. Solodova Scientific supervisor - Т. К. Yuldashev

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: tursunbay@rambler.ru, tema_bulov@mail.ru

(1)

(2)

0

Тогда уравнение (1) принимает вид

u (t) = -a (t) 3 (t) + f (t, u (t)).

(3)

Подставляя (3) в (2), имеем

3 (t) + J a(s) b(s) 3 (s) ds = J b(s) f (s, u(s)) d

s.

(4)

0

0

Дифференцируя (4), получаем следующее дифференциальное уравнение

S '(t) + a (t) b (t) S (t) = b (t) f (t, u (t)). (5)

Для решения дифференциального уравнения (5) из (2) получим следующее начальное условие S (0) = 0. Решение этой задачи Коши имеет вид

S (t) = Jb (s)exp j-JK (Є, Є) d Є j f (s, u (s)) ds. (6)

Подставляя (6) в (3) окончательно имеем

t

u (t) = f (t, u (t)) -J K (t, s)exp j-J K (0,0) d 0 j f (s, u (s)) ds.

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: f (t,u) є Bnd (M) n Lip (L),

t \ ? 1 0 < M, L = const; p = L (l + Aj )<1, Aj =max J K (t, s)exp j-J K (0,0) d 0І ds. Тогда интегральное

ІЄ°Т 0 1 s 1

уравнение (l) имеет единственное решение на отрезке DT .

Теперь рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра с общим видом вырожденного ядра

t

u (t) + A,jK(t,s)u (s)ds = f (t,u (t)), (7)

0

n

где K (t, s) є C (DT x DT); K (t, s) = ^ai (t) • bt (s) > 0; f (t,u (t)) є C (DT x U); U- замкнутое ограни-

i=1

ченное множество на числовой оси; Я- параметр; DT = [ 0;T ]. Примем обозначение

t _

St (t) = Jbl (s)u(s)ds, i = 1,n . (8)

0

Тогда уравнение (7) принимает вид

u (t) = -^a, (t) •Si (t) + f (t,u(t)). (9)

i=1

Подставляя (9) в (8), получаем систему интегрально-алгебраических уравнений

t n t _

S i (t) + b, (s)X a J (s) S j (s) ds = J b, (s) f (s, u (s)) ds, i = 1, n . (10)

0 J=1 0

Дифференцируя (10), получаем следующую систему дифференциально-алгебраических уравнений

S' (t) + ^Лг] (t) S j (t) = Bl (t), i = M , (11)

j=1

где Л,], (t) = aj (t)bi (t), Bt (t) = bi (t) f (t,u (t)) . Пусть выполняется условие

S' (t) = <bSi (t), 0 <ю = const, i = 1,n . (12)

Для решения дифференциального уравнения (12) из (8) получим следующее начальное условие S i (0) = 0. Уравнение (12) при этом нулевом начальном условии имеет только тривиальное решение

S (t) = 0. Подставляя (12) в (11), имеем систему алгебраических уравнений

S, (t) + (t) S j (t) = -1 Б, (t), і = 1,n .

ю

j=1

ю

(13)

Система алгебраических уравнений (13) однозначно разрешима при любых конечных Б, (t). если выполняется следующее условие

А (X, t) =

1 + -An (t) -Ai2(t)

ю ю

^ A 2i(t) 1 + A 22 (t)

ю ю

^ A1 n (t)

ю

X

ю

A 2 n (t)

ю

-An1(t)

X An 2(t) ... 1 +-Ann (t)

ю

ю

* 0.

(14)

Рассмотрим регулярные значения X, при которых выполняется условие (14). Тогда решения системы алгебраических уравнений (13) записываются в виде

S, (t) = А, (X, t) (А (X, t))-1, і = 1,

(15)

где А, (X, t) =

X

X

1

X

1+-An(0 ... A1(i-1)(t) -ЗД -A1(i+1)(t)

ю

ю X

X

-A21(t) ... -A 2(i-1) (t) —Б 2 (t) -A2(i+1)(t)

ю 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ю X

ю

ю

X

ю

ю

X

- A! n (t)

ю

ю A 2 n (t)

ю

-An1(t) ... -An(i-1)(t) -Бп (t) -An(i+1)(t) ... 1 + -Ann(t)

ю

ю

ю

ю

ю

Подставляя (15) в (9), имеем

u (t) = f (t, u (t))-X^a, (t)-А, (X, t) (А (X, t) )-1 .

(16)

,=1

Поскольку Б{ (t) = bt (t)- f (t,u (t)), используя известное свойство определителя А, (X,t), имеем

А, (X,t) = А, (X,t)- f (t,u(t)),

где А, (X, t) =

X

X

1

X

1+-An(0 ... -Ad-JO -b1(t) A1(l+l)(t)

ю

X

ю X

ю 1

ю X

- A 21(t) ... - A 2(!-1) (t) - b 2 (t) - A2(,'+1) (t)

ю

ю

X

ю

ю

-An1(t) ... -An(,-1)(t) -bn (t) -And+1)(t)

ю

^ A1 n (t)

ю

^ A 2 n (t)

ю

1 + X Ann (t) ю

ю ю ю

Тогда формулу (16) можно переписать в следующем виде

u (t) = 5 (t) - f (t, u (t)),

где 5 (t) = 1 - X £ a, (t) -А, (X, t) ( А (X, t)) -1.

,=1

Теорема 2. Пусть выполняются условия (12), (14) и f (t, u) є Бnd (M) n L,p (L), 0 < M, L = const; p = L -А2 <1, А2 =max {| 5 (t )|: t єВт }. Тогда интегральное уравнение (8) имеет единственное решение на отрезке DT .

Библиографические ссылки

1. Бухгейм А. Ч. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 2. С. 272-275.

2. Бухгейм А. Ч. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск : Наука, 1983. 207 с.

3. Гохберг И., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М. : Наука, 1967. 508 с.

© Солодова О. В., 2015

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.