CC BY
21
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
УДК 535.319
Н. Ю. Агафонова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Напряженное состояние однородного изотропного тела QeR\ находящегося под действием некоторых объемных или поверхностных сил, описывается уравнением вида [1]
£
= Щь1(р)ии(Р0,р)с/д(р), (1)
Q
где Р() — фиксированная точка тела, Р - некоторая точка поверхности Е, р - некоторая точка тела , г, - компоненты вектора поверхностных сил, - компоненты вектора объемных сил, и 1 - компоненты вектора перемещений.
Компоненты матрицы фундаментальных решений выражаются формулой
Компоненты матрицы сингулярных решений имеют вид
г <Р РЛ 1-2у 1 ]8г к , 3 дг дг ТЧ (Р0 • = о_„ -Г- 5» +
9( 0' ' 8тг(1 - V) ,-2 [ дг, [' * + 1 - 2\> дх, дх
дг дг
-И : -I----И;
} J сЬа дХ]
где г" =(х,- х/ )(х1~хI), x¡ - координаты точки Р, х^; - координаты точки Р0, п} - компоненты вектора нормали п к поверхности тела.
Пусть является телом вращения. Перейдем к цилиндрической системе координат х, = х, х2=^С08(Р' А"з = Язю ср. Уравнение (1) примет вид
го й о
где V/ - компоненты вектора перемещений, Уи, Тк1 — компоненты матриц фундаментальных и сингулярных решений соответственно, Рк, Вк - компоненты поверхностных и объемных сил соответственно, записанные в цилиндрической системе координат. Здесь О - двумерная область, вращением которой получается тело (), а Г - ее граница. При этом
у =■----
у 16тгц(1-у)г
с^к оц,
ТЫ =
1 - 2у 1 I дг 8тс(1 - V) г2 ) сп
о 3 дг дг
дг о - , <Эг
где а,, - направляющие косинусы, й - вектор нормали, с^ - цилиндрические координаты произвольной точки тела, г|; — цилиндрические координаты точки, в которой ищется решение.
Раскладывая компоненты векторов V, Р, В в ряды Фурье вида
X
И,(х,Я,(р) = /?/(*,/?)соетф + Л/(дг,/?)птиф для / = 1,2,
т=0
А/(дг,Д,ф)= ^/г/(х,Я)со5отф + /г/'(д:,Л)81птф для / = 3
т=0
и проводя необходимые преобразования, получаем следующую систему интегральных уравнений для коэффициентов v^(x,R), у|(л:,Л), v3(x,R).
V,' + \(У\Т{\ + - + /г/И/, )КсПГ =
г г
о
у| + /(у,с7£ + у|Г£ +усъТ3'2)ЛС1Г - ¡(/]СУС2 + Р£ У22 +Р3У32)Лс1Г = г г
= + в7¥22 +В3У32)ЯС15;
о
V! + /да + +ус3Т^)ЯС{Г - /(те + Т^У/з +Гс3У3с3)ЯсПГ = г г
= + 62>23
р
Заменой индексов с <=> ^ получается соответствующая система для
коэффициентов у['(х,Л), у2(л(дг,/?).
(2)
Компоненты
2л 2л
Тк/ = cos/жр а'ф, T¿ = jT/j sin т<р dq>,
о о
2л 2л
V¡a ~ Jijeos икр Лр и Vk¡ - jVysinrmp d<,p
о о
требуют вычисления интегралов вида
л/2
J —где р2=(л-л:0)2+(Л-Яо)2 + 4tf/?0sinV а = 1,3,5.
о
Используя метод представления границы плоской области в Р-форме, предложенный в [2], в уравнениях (2) перейдем к параметру с. Предположим, что всю границу Г можно разбить на гладкие участки Li,L2,...,Ln , представимые уравнениями в параметрическом виде х = х(а) = хк(а), R = R(c¡) = Rk (ст), ст e£t. Положительным направлением движения по Г считается то, при котором подобласть с большим номером остается слева. Параметр а выбирается так, чтобы он монотонно увеличивался при движении по Lk в положительном направлении и конечное значение а на Lk_| было его начальным значением на Lk. Тогда участок Lk взаимно однозначно отобразится на отрезок [dk^,dk ], а вся граница Г области D - на отрезок [d0,dN\ числовой оси а. Элемент поверхности Е для областей вращения выразится теперь следующим образом:
dE = R(c)x{o)dydo, х(а) = л/И а)]2 + [Л'(а)]2.
Первое уравнение системы (2) примет вид
¿л
vf(a0) + J(víT,<i + у|Г2с, +ус3Гз5, )R(a)X(v)da -
do
dN
~ /(ТО + Fffl:i +FÍK )R(a)x(o)da =
do
= {(5,% + Д^6, для « = 0,1,...
do
Остальные уравнения преобразуются аналогично.
Таким образом, для тел вращения получена система одномерных интегральных уравнений, после решения которых по формулам вида (2) можно получить значения компонент вектора перемещений как на поверхности, так и внутри изотропного тела.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Угодчикив А. Г.. Хуторянский Н. М. Метод граничных интегральных элементов в механике деформируемого твердого тела. Качаны Изд-во Качан, ун-та, 1986. 295 с.
2. Федик И. И.. Колесов В. С, Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 280 с.
УДК 539.3
Э. В. Антоненко, Н. С. Хлопцева
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
К тонкостенным элементам оболочечных конструкций относятся стрингеры, шпангоуты и обшивка. Физическими моделями этих элементов являются стержни, кольца и гладкая оболочка. Для снижения массы конструкции ее элементы могут выполняться геометрически неоднородными (с переменной по их периметру жесткостью или толщиной).
Математические модели потери устойчивости элементов можно разделить на две группы. В основе первой находятся решения задач на собственные значения дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. Критические силы входят в коэффициенты этих уравнений. Будем называть такой метод расчета «точным».
Вторая группа математических моделей строится на базе прямых методов (с использованием законов сохранения в механике). Обычно используется условие безразличного равновесия, когда работа внутренних сил приравнивается работе внешних сил.
Критическую нагрузку потери устойчивости обозначим через р*, прогибы - и-', изгибную жесткость - В . Штрихами будем обозначать производные по осевой координате х или по угловой координате ф.
1. Потеря устойчивости при сжатии неоднородного стержня длиной / описывается уравнением
(0(л>"(х))" + р,м{х)= 0 . (1)
При дискретном и непрерывном изменении жесткости вдоль стержня имеется ряд решений этой задачи [1].
Энергетический метод позволяет найти критическую силу по формуле
Р* = (£ 0(х)[и'"(х)]2 &)/ [ \{ч.-\х)}2с1х
где функции прогиба должны удовлетворять граничным условиям.
