CC BY
63ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА В КОНТЕКСТЕ СПЕКТРА ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ Абикенова Ш.1, Таугынбаева Г.2
1Абикенова Шолпан - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; 2Таугынбаева Галия - доктор PhD, старший научный сотрудник, Институт теоретической математики и научных вычислений, Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Нур-Султан, Республика Казахстан
Аннотация: в статье представлен краткий обзор и анализ применения преобразования Радона, как одного из интегральных преобразований, получивших широко применение в различных задачах, выходящих за пределы математики. Дается примерное содержание учебного курса по данному вопросу, предлагаемого к изучению в курсе послевузовского образования. Научные результаты получены при реализации проекта AP05132938 «Преобразование Радона в задачах дискретизации». Ключевые слова: интегральное преобразование, преобразование Радона, задачи применения, учебная программа.
Теория интегральных преобразований развивалась на протяжении более полутора столетий, впервые упоминаются в постановке чисто фундаментальных математических задач в конце XIX века в научных трудах знаменитых французских математиков Ж. Фурье «Аналитическая теория теплоты» (1822 г.) и П. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г.), в которых были изложены основные идеи интегральных преобразований. Математический аппарат теории интегральных преобразований дает возможность получить решения сложных задач в различных областях знаний. Современный этап ее развития характеризуется как самостоятельная область с приложениями не только в классических областях естественных и технических наук, но и в медицине, экономике, геологии, экологии, энергетике и в других областях.
Помимо уже указанных, наиболее известных научной общественности, преобразований Фурье и Лапласа, и их обращений, применяются вейвлет преобразование, интегральные преобразования Меллина, Ханкеля или Гильберта, Радона и т.п. Отличие этих методов состоит в разных подынтегральных выражениях, входящих в определение интегрального преобразования, т.е. интегральное преобразование определяется пределами преобразования, ядром и весовой функцией. Развитие технического прогресса привело к возникновению новых задач и как следствие, интегральные преобразования, как метод решения этих задач, получали различные модификации и вариации для решения конкретных прикладных задач. Подробнее об этом см. [1-3].
В 1917 году в статье, опубликованной в трудах Саксонской академии наук, австрийским математиком Иоганном Радоном был предложен метод восстановления (реконструкции) многомерных функций по их интегральным характеристикам [4]. Этот метод, впоследствии был назван преобразованием Радона в честь автора знаменитой публикации «Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten (Об определении функций по их интегральным значениям вдоль некоторых многообразий)». Аналоги этого преобразования, встречались и ранее, однако именно Радоном была получена формула обращения для отображения, сопоставляющего функции f на плоскости функцию F на множестве всех прямых на плоскости, равную интегралам от f вдоль всех прямых. Суть применения метода заключается в том, что по набору «изображений» прошедшего сквозь тело излучения требуется восстановить внутреннюю структуру тела. При просвечивании объекта интенсивность луча на выходе равна интегралу функции
распределения плотности вещества вдоль траектории луча. Таким образом, регистрируемое излучение (радоновский образ или проекция), вычисленное под различными углами, позволяет посредством преобразования Радона восстановить изображение поперечного сечения объекта. Численное восстановление функций по их линейным (плоскостным) интегралам, нашло применение в различных областях. Но, стоит отметить, что после публикации формулы обращения Радона в журнале «Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften» в Лейпциге в 1917 году и до Нобелевской премии 1979 года в области медицины, присужденной Аллену М. Кормаку и Годфри Н. Хаунсфилду за их новаторский вклад в развитие компьютерной томографии прошло 62! года. Каждый из ученых нашел формулу независимо друг от друга, не зная результатов, полученных Радоном. Кормак, как известно, изучал распространение рентгеновских лучей через ткани человека, а Годфри Хаунсфилд был инженером, который разрабатывал сканеры. Но, именно этот случай, подтверждает, что стремительное развитие математических методов продиктовано практической потребностью, в данном случае прогрессом компьютерной томографии. Этот метод не нашел практического применения до тех пор, пока не появились, во-первых, рентгеновские установки, позволяющие получать большое количество высококачественных снимков, необходимых для восстановления внутренней структуры реальных объектов, во-вторых, быстродействующие ЭВМ, способные эти снимки обрабатывать.
Спектр применения преобразования Радона оказался достаточно широким: радиоастрономия, электронная микроскопия, рентгенодиагностика, биохимия, промышленность, геофизика, сейсмология и т.п. Другая широчайшая область применения преобразования Радона и различных его модификаций - цифровая обработка изображений, а именно определение параметров различных кривых и их идентификация, будь то простейшая прямая линия, рукописный шрифт или фотография лица человека. Наиболее важным оказалось приложение преобразования Радона к томографии - методу исследования скрытых в организме образований (опухолей, внутренних кровоизлияний и т.п.), заключающемуся в получении послойного изображения объекта при его облучении. Внедрение методов компьютерной томографии в медицину позволило существенно повысить эффективность диагностики и обеспечило создание новых методов лечения. В настоящее время методы компьютерной томографии также широко используются в электронной и рентгеновской микроскопии — для получения структур кристаллов и макромолекул; в геофизике — для поиска и разведки месторождений полезных ископаемых; в астрофизике — для исследования полей планет и в других областях науки и техники.
Особенность применения данного метода заключается в том, что информативность в большой степени зависит от глубины и тонкости применяемой математической теории. Считаем обоснованным, для развития фундаментального математического образования, введение элективного курса для уровня образования: магистратура или докторантура. Далее представлен учебный план курса на тему «Преобразование Радона в задачах дискретизации». Тема курса выбрана в связи с тем, что авторы статьи являются членами исследовательской группы по проекту AP05132938 «Преобразование Радона в задачах дискретизации». Также отметим, что теория рядов Фурье и интегральное преобразование Фурье в той или иной мере изложено практически во многих учебниках по математике. При этом, в учебниках математики нет информации о преобразовании Радона, которое служит математической основой компьютерной томографии и обязательно должно быть изучено студентами соответствующих специальностей.
Учебно-тематический план дисциплины представлен в таблице 1 с указанием наименования модуля, тем, количества часов в разрезе лекционных, практических занятий и самостоятельной работы (СР) студента (3 кредита).
№ недели Количество часов
Наименование модуля и тем лекци и практика СР
Модуль 1. Необходимые определения и утверждения. Математический аппарат.
1 1.1 Фурье-анализ 1 2
1.2 Интегрирование по сферам 1 1 4
Итого по модулю 1 2 1 6
Модуль 2. Компьютерный (вычислительный)
поперечник. Задача восстановления функций из
классов.
2.1 Общая постановка задачи восстановления. 1 1 4
2-3 2.2 Классы функций как важнейшая составляющая 1 2
постановки задач
2.3 Операторы восстановления функций -
перспективы дальнейших исследований. Важнейшие 2 1 6
примеры функционалов в определении КВП
Итого по модулю 2 4 2 12
Модуль 3. Преобразование Радона
4-5 3.1 Определение, основные свойства, виды преобразования Радона 2 1 6
3.2 Связь преобразования Радона с преобразованием 2 1 6
Фурье
Итого по модулю 3 4 2 12
Модуль 4. Хронология исследований по
использованию преобразования Радона в теории приближений.
6-7 4.1 Преобразование Радона как один из видов 2 1 6
числовой информации в задачах восстановления
4.2 Преобразование Радона и теория аппроксимации. 2 1 6
Итого по модулю 4 4 2 12
Модуль 5. Применение преобразования Радона
5.1 Задача компьютерной томографии, методы 2 1 6
вычислительной томографии.
8-11 5.2 Задача цифровой обработки изображений. 2 1 6
5.3 Обзор применения для медицинской
визуализации, лучевой терапии и промышленного 4 2 12
неразрушающего контроля.
Итого по модулю 5 8 4 24
Модуль 6. Научные результаты по К(В)П исследованию преобразования Радона.
6.1 КВП исследование преобразования Радона по
точной информации. Приближенное восстановление функций из классов Соболева и Коробова по точным 4 2 12
значениям их преобразований Радона. Оценки в
12-15 задаче дискретизации функций по точным значениям их преобразований Радона.
6.2 КВП исследование преобразования Радона по
точной информации. Приближенное восстановление функций из классов Соболева и Коробова по неточным значениям их преобразований Радона. 4 2 12
Оценки в задаче дискретизации функций по
гнточным значениям их преобразований Радона.
Итого по модулю 6 8 4 24
Итого 30 15 90
Из представленных данных следует, что учебно-тематическим планом дисциплины предусмотрено 6 модулей: Модуль 1. Необходимые определения и
утверждения. Математический аппарат; Модуль 2. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Задача восстановления функций из классов; Модуль 3. Преобразование Радона; Модуль 4. Хронология исследований по использованию преобразования Радона в теории приближений; Модуль 5. Применение преобразования Радона в различных отраслях; Модуль 6. Научные результаты по К(В)П исследованию преобразования Радона.
Содержание к модулю 6, т.е. научные результаты по К(В)П исследованию преобразования Радона, представлены частично в работах [5-9]. Также отметим, что в рамках реализации грантового проекта будет подготовлено соответствующее учебное пособие к элективному курсу.
Список литературы
1. Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: Теория и приложения //Монография. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013. 293 с.
2. Жислин Г.М. Интегральные преобразования в задачах математической физики./ /Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. 80 с.
3. Кузнецов А., Румянцев Д. Интегральные преобразования в задачах теоретической физики. // Учебное пособие. Ярославль, ЯРГУ, 2013. 96 с.
4. Radon I. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten. // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Leipzig, Mathematisch-Physikalische Klasse, 69:262-277, 1917.
5. Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Теория приближений, Вычислительная математика и Численный анализ в новой концепции в свете Компьютерного (вычислительного) поперечника// Вестн. ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. Серия Мат., 2018. Т. 124. № 3. С. 8-88.
6. Темиргалиев Н., Жубанышева А.Ж. Компьютерный (вычислительный) поперечник в контексте общей теории восстановления// Изв. ВУЗов. Математика, 2019. Т. 63. № 1. C. 89-75.
7. Deans S.R. The Radon Transform and some of its Applications. / S.R. Deans. Wiley, 1983.
8. Naterrer F. The Mathematics of Computerized Tomography. Classics in Applied Mathematics./ F. Naterrer. SIAM, 2001.
9. Naterrer F.A Sobolev Space Analysis of Picture Reconstruction.// SIAM Journal on Applied Mathematics, 1980. V. 39. № 3. Рp. 402-411.
