CC BY
3
2024 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 20. Вып. 2
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 004.94, 616-036.22 МЯС 92Б30, 93А30, 68Т05
Интегральная модель притока и оттока и ее приложения*
Ю. Е. Балыкина1'2, В. В. Захаров1
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова, Российская Федерация, 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7
Для цитирования: Балыкина Ю. Е., Захаров В. В. Интегральная модель притока и оттока и ее приложения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2024. Т. 20. Вып. 2. С. 121-135. https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.201
Описана общая интегральная модель притока и оттока динамической системы, параметры которой имеют стохастический характер. Для такого типа динамических систем формулируется общий принцип динамического баланса, а также вводятся понятия интервальной динамической сбалансированности интегральных объемов притока и оттока и характеристики динамического баланса. Класс стохастических динамических процессов и систем притока и оттока, удовлетворяющих принципу динамического баланса, достаточно широк (распространение эпидемий вирусов и динамика заболеваемости в медицине, процессы изменения численности и структуры населения в демографии, динамика спроса-предложения в экономике и т. д.). Возможности применения предлагаемой модели для построения кратко- и долгосрочных прогнозов демонстрируются на примерах распространения эпидемии СОУГО-19 в Москве и Санкт-Петербурге, а также прогнозирования роста населения Земли и отдельных стран. Приводятся результаты вычислительных экспериментов по построению ретроспективных прогнозов состояния динамических систем с использованием метода динамических трендов стохастических параметров интегральной модели и классического метода АШМА. Проводится сравнительный анализ точности прогнозирования.
Ключевые слова: динамические системы притока и оттока, принцип динамического баланса, характеристика динамического баланса, математическое моделирование, прогнозирование.
1. Введение. Класс стохастических динамических процессов и систем притока и оттока достаточно широк. К нему, например, относятся многочисленные процес-
* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-10049 (https://rscf.ru/project/23-21-10049) и гранта Санкт-Петербургского научного фонда. © Санкт-Петербургский государственный университет, 2024
сы в области здравоохранения, такие как эволюция вирусных эпидемий и заболеваний невирусного характера, в области демографии — процессы роста численности и изменения структуры населения стран и Земли в целом, в экономике — процессы движения капиталов.
Пусть динамическая система X в момент времени t = to ^ 0 состоит из X(to) ^ 0 элементов определенного типа. Предположим, что в каждый момент времени t = to + 1, to + 2,..., to + T (1 ^ T < то) задано число xinf(t) > 0 новых элементов того же типа, поступающих в систему, и число xof(t) > 0 элементов, покидающих систему, xinf(to) = xof(to) = 0. Временные ряды xinf(t) и xof(t) будем соответственно называть притоком и оттоком. Рассмотрим дискретную модель динамики системы X(t) при наличии притока x;nf(t) и оттока xof(t). Очевидно, что состояние системы можно описать дискретным уравнением
X(t)= X(t - 1)+ Xinf(t) - Xof(t). (1)
Если приток и отток представляют собой недетерминированные динамические процессы, то эволюция системы X(t) есть случайный процесс, определяемый динамикой временных рядов притока и оттока, а сама система (1) в общем случае имеет стохастический характер.
Прогнозирование динамики такой системы не представляет труда, если значения притока и оттока xinf(t) и xof(t) являются детерминированными функциями времени. Для анализа и прогнозирования систем, для которых указанные временные ряды стационарные, существуют много статистических методов, позволяющих генерировать прогнозы достаточно высокой точности. Однако если условие стационарности не выполняется и/или функции распределения неизвестны, то принятие решений о построении прогнозов динамики системы будет связано со значительной неопределенностью.
К наиболее известным и часто используемым моделям прогнозирования временных рядов относится модель ARIMA(p, d, q). Аббревиатура ARIMA носит описательный характер и отражает ключевые аспекты самой модели (AutoRegressive Integrated Moving Average, интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего). AR отвечает за авторегрессионную часть, т. е. за порядок запаздывания (p), I — за степень разности (d), MA — за размер окна скользящего среднего, также называемого порядком скользящего среднего (q). Получается, что разности временного ряда порядка d подчиняются модели ARMA(p, q).
В общем виде модель ARIMA(p, d, q) можно представить следующим образом:
p q
AdXt = c + Y, aiAdXt-i + Y, bj£t-j + £t, i=1 j=1
где ai, bj, c — параметры модели; et — стационарный временной ряд; Ad — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка); Xt соответствует значению X(t).
Автокорреляционные методы регрессионного анализа достаточно широко применялись для прогнозирования, например, динамики временного ряда притока новых случаев заболевания во время пандемии COVID-19. В статьях [1-4] рассматривается использование модели ARIMA при построении прогнозов распространения пандемии в ряде стран мира. Следует отметить, что эта модель по сравнению с другими инструментами дает более точные прогнозы, однако, хотя модели временных рядов
и являются популярным инструментом прогнозирования, их применение для оценки распространения новых инфекций не всегда позволяет построить прогнозы высокой степени точности.
Модели анализа временных рядов широко внедрены для прогнозирования тенденций, структурных сдвигов, циклов и ненаблюдаемых значений и доказали свою полезность в области медицины [5, 6]. Было показано, что модель авторегрессионного скользящего среднего обладает многообещающей точностью для прогнозирования динамики различных инфекционных заболеваний [7, 8]. При этом исследователи отмечают, что АШМА способна давать качественные результаты на краткосрочном горизонте прогнозирования [9].
При изучении СОУГО-19 с помощью модели АШМА проводилось прогнозирование количества новых случаев заболевания, смертей и выздоровлений на основе ежедневных данных из разных стран для оценки будущей динамики эпидемии [10— 13]. В течение первой волны эпидемии СОУГО-19 было несколько попыток спрогнозировать дальнейшее развитие эпидемической ситуации благодаря моделям АШМА. Например, в работе [14] модель АШМА применялась для краткосрочного прогноза общего количества новых случаев заболевания на основе ежедневных данных ООН с 21 января по 16 марта 2020 г. Для оценки построенных моделей использовались информационный критерий Акаике (А1С) и тест Люнг — Бокса. Чтобы оценить достоверность предложенной модели, были рассчитаны средняя абсолютная процентная ошибка (МАРЕ) и среднеквадратическая ошибка (ЯМБЕ) между наблюдаемыми и спрогнозированными значениями числа новых случаев СОУГО-19. Авторы [14] предложили использовать модель с параметрами АШМА(1, 2,1), при этом горизонт прогнозирования составлял 5 дней. В [15] была проанализирована динамика развития эпидемии СОУГО-19 в Южной Африке. С помощью модели АШМА(11,1, 9) был осуществлен 15-дневный прогноз новых случаев заболевания СОУГО-19, обучающими историческими данными служили сведения за период с 7 марта 2020 г. по 3 августа 2021 г.
2. Интегральная модель притока и оттока. Рассмотрим суммы членов временных рядов притока и оттока до момента времени * ^ Т.
Определение 1. Будем называть Х^(*) интегральным значением притока в систему Х с момента времени *о + 1 до момента времени * ^ Т сумму членов временного ряда притока:
г
Х^(*) = жш(т).
т=го
Определение 2. Будем называть Хо^*) интегральным значением оттока из системы X с момента времени *о + 1 до момента времени * ^ Т сумму членов временного ряда оттока:
г
ХоК*) = Жо^Т). т=1о
Следует заметить, что полученные таким образом временные ряды Х^(*) и Хо^*) зависят от всех членов временных рядов ж^(т) и жо^т), *о + 1 ^ т ^ * соответственно.
Уравнение (1) с учетом введенных ограничений можно преобразовать к виду Х (*) = Х (*о)+ Х;пГ(*) - ХоК*).
Введем также для любого t > to + 1 следующие обозначения:
ЛЛ 1ПП - xini(t - 1) rinf(t) = 100--——---, (2)
Xinf(t - 1)
Величина rinf(t) называется процентным приростом интегрального значения притока в момент времени t, а rof(t) — процентным приростом интегрального значения оттока.
Рассмотрим систему дискретных уравнений переменных X (t), Xinf(t) и Xof(t) с недетерминированными параметрами rinf(t) и rof(t) (см. (2) и (3)):
X(t)= X(to) + Xinf(t) - Xof(t), (4)
*inf(i)= + (5)
Xoi{t)= (1 + ^)Xof(i_1) (6)
при Xinf(t0) = Xof(t0) =0, t > t0 + 1. Систему (4)-(6) будем называть интегральной моделью притока и оттока системы X.
Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Пусть X(t0) = 0, xinf(t0) = xof(t0) = 0, xinf(t) > 0 и xof(t) > 0 для всех t > t0. Для того чтобы множество динамической системы X, состояние которой удовлетворяет системе (4)-(6), было не пусто при t > t0, необходимо и достаточно, чтобы для любого t > t0 было выполнено неравенство
Xinf(t) > Xof(t). (7)
Доказательство. Необходимость. Пусть множество системы X не является пустым при t > t0, это означает, что X(t) > 0. Тогда, поскольку X(t0) = 0, с учетом системы (4)-(6) получаем справедливость неравенства (7) для t > t0.
Достаточность. Пусть для всех t > t0 неравенство (7) выполняется. Тогда X(t) > 0 при любом значении X(t0) ^ 0. То есть множество элементов системы X не является пустым при любом при t > t0. □
Рассмотрим для всех значений t, таких, что t0 + 1 ^ t ^ t0 + T, задачу целочисленного линейного программирования
min т (8)
iö + l^r <t
при условии, что
Xinf(T) > Xof(t). (9)
Обозначим через т(t) решение задачи (8), (9). Справедлива следующая теорема.
Теорема (принцип динамического баланса систем притока и оттока).
Пусть для любых целых значений t, таких, что t0 + 1 ^ t ^ t0 + T, выполнено неравенство Xinf(t) > Xof(t), и т(t) есть решение задачи целочисленного программирования (8), (9). Тогда для любых значений t, таких, что t0 + 1 ^ t ^ t0 + T, имеет место неравенство
Xinf(T(t)) > Xof(t) > Xinf(T(t) - 1). (10)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 в [16].
Замечание. В соответствии с принципом динамического баланса систем притока и оттока временные ряды Xinf(t) и Xof(t) удовлетворяют условию (10), которое содержательно означает, что величины интегральных объемов оттока в момент времени t находятся между последовательными значениями интегральных объемов притока в моменты времени т(t) — 1 и т(t). Такое свойство будем называть интервальной динамической сбалансированностью притока и оттока.
Определение 3. Пусть т(t) есть решение задачи (8), (9). Величина 0(t) = t — т(t) называется характеристикой динамического баланса интегральных объемов притока и оттока в системе X.
3. Применение интегральной модели притока и оттока.
3.1. Прогнозирование динамики эпидемий новых вирусов. Наиболее популярной моделью для описания процессов распространения инфекционных заболеваний в некоторой популяции является трехкамерная модель SIR (Susceptible — Infected — Removed). В текущий момент времени каждый человек из этой популяции принадлежит одной из трех групп: восприимчивые к вирусу (Susceptible), инфицированные (Infected) и группа, для которых болезнь завершилась (выздоровевшие или умершие (Removed)). В группу восприимчивых входят все люди, которые еще не подверглись заражению инфекцией. По мере распространения вируса часть из них переходят в группу инфицированных, а затем в группу выбывших (выздоровевших или умерших). Предполагается, что полное число людей в популяции равно сумме численностей этих трех групп. Впервые модель была в общем виде описана в работе У. Кермака и А. Мак-Кендрика в 1927 г. [17], однако наибольший интерес исследователей был в дальнейшем сосредоточен на частном случае этой модели в виде системы из трех дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [18].
Следует заметить, что публикуемые статистические данные о заболеваемости COVID-19 содержат ежедневное число новых случаев заболевания, ежедневное количество выздоровевших и умерших, общее количество заболевших и общее количество выздоровевших и умерших с начала эпидемии. На основании этих данных можно вычислить текущее число болеющих людей (активных случаев болезни). Фактически статистические данные содержат значения временных рядов притока (новых случаев заболевания) xinf(t) и оттока (общее число выздоровевших и умерших) xof(t) в системе, текущее число элементов в которой X(t) равно численности группы инфицированных (болеющих людей) в момент времени t.
Вместо трехкамерной модели SIR рассмотрим модель, описываемую при t > to системой дискретных уравнений следующего вида:
I (t) = C(t) — R(t), (11)
c(i)=(l + ^)c(i-l), (12)
R(t)={i + r-j^R(t-i), (13)
I (to) = C (to) = R(to) = 0.
В этой модели переменная C (t) характеризует интегральный приток (общее количество) новых случаев заболевания (Confirmed Cases), а переменная R(t) — интегральный отток суммарного количества выздоровевших и умерших (Removed), начиная с момента времени to + 1 до момента времени t (включительно):
г
г=го+1 г
Я(*) =
г=го+1
Параметрами модели являются процентный прирост интегрального объема притока (общего количества выявленных случаев заболевания) и процентный прирост
интегрального объема оттока (общего количества выздоровевших и умерших пациентов) меняющиеся во времени.
Будем называть модель динамики заболевания (11)—(13) интегральной моделью притока и оттока болеющих людей.
3.2. Результаты вычислительных экспериментов. Рассмотрим результаты вычислительных экспериментов по построению ретроспективных прогнозов состояния динамических систем с использованием прогнозов линейных по времени трендов стохастических параметров интегральной модели и классического метода
ЛШМЛ.
Приведем сначала пример применения интегральной модели притока и оттока болеющих людей для прогнозирования динамики заболевания СОУГО-19 в Москве и Санкт-Петербурге в период первой волны эпидемии при прогнозировании динамики процентных приростов интегральных объемов притока с помощью линейных трендов [16] этих параметров.
Таблица 1. Ретроспективные прогнозы количества болеющих людей в Москве в период первой волны эпидемии С0"У10-19 в 2020 г. при использовании линейных трендов процентных приростов интегральных объемов
притока и оттока
Дата ИП, Прирост ПО, Прирост Щ, /(4), чел. Точность
чел. ИП, % чел. ПО, % чел. (прогноз) прогноза, %
1 2 3 4 5 6 7 8
14 апреля 13 002 12.93 1111 20.89 11 891
15 апреля 14 776 13.64 1311 18.00 13 465
16 апреля 16 146 9.27 1507 14.95 14 639
17 апреля 18 105 12.13 1644 9.09 16 461
18 апреля 20 754 14.63 1827 11.13 18 927
19 апреля 24 324 17.20 1939 6.13 22 385
20 апреля 26 350 8.33 2042 5.31 24 308
21 апреля 29 433 11.70 2290 12.14 27 143
22 апреля 31 981 8.66 2528 10.39 29 453
23 апреля 33 940 6.13 2736 8.23 31 204
24 апреля 36 897 8.71 3060 11.84 33 837
25 апреля 39 509 7.08 3413 11.54 36 096
26 апреля 42 480 7.52 3579 4.86 38 901
27 апреля 45 351 6.76 3959 10.62 41 392
28 апреля 48 426 6.78 4609 16.42 43 817
29 апреля 50 646 4.58 5156 11.87 45 490
30 апреля 53 739 6.11 5746 11.44 47 993
1 мая 57 300 6.63 6424 11.80 50 876 50 876 100.00
2 мая 62 658 9.35 7069 10.04 55 589 53 813 96.81
3 мая 68 606 9.49 7758 9.75 60 848 56 793 93.34
4 мая 74 401 8.45 8337 7.46 66 064 59 802 90.52
5 мая 80 115 7.68 8686 4.19 71 429 62 827 87.96
1 2 3 4 5 6 7 8
6 мая 85 973 7.31 9324 7.35 76 649 65 852 85.91
7 мая 92 676 7.80 10 132 8.67 82 544 68 861 83.42
8 мая 98 522 6.31 11 215 10.69 87 307 71 835 82.28
9 мая 104 189 5.75 13 789 22.95 90 400 74 756 82.69
10 мая 109 740 5.33 14 858 7.75 94 882 77 604 81.79
11 мая 115 909 5.62 18 946 27.51 96 963 80 358 82.87
12 мая 121 301 4.65 20 821 9.90 100 480 МАРЕ = 13.24 %
13 мая 126 004 3.88 22 738 9.21 103 266
14 мая 130 716 3.74 24 617 8.26 106 099
15 мая 135 464 3.63 25 920 5.29 109 544 109 544 100.00
16 мая 138 969 2.59 27 464 5.96 111 505 112 873 98.77
17 мая 142 824 2.77 28 993 5.57 113 831 116 069 98.03
18 мая 146 062 2.27 30 493 5.17 115 569 119 114 96.93
19 мая 149 607 2.43 33 147 8.70 116 460 121 991 95.25
20 мая 152 306 1.80 38 662 16.64 113 644 124 683 90.29
21 мая 155 219 1.91 42 476 9.86 112 743 127 175 87.20
22 мая 158 207 1.93 45 449 7.00 112 758 129 450 85.20
23 мая 161 397 2.02 49 347 8.58 112 050 131 495 82.65
24 мая 163 913 1.56 51 833 5.04 112 080 133 298 81.07
25 мая 166 473 1.56 55 620 7.31 110 853 134 845 78.36
26 мая 169 303 1.70 63 729 14.58 105 574 МАРЕ = 10.63 %
27 мая 171 443 1.26 69 641 9.28 101 802
28 мая 173 497 1.20 73 505 5.55 99 992
29 мая 175 829 1.34 77 055 4.83 98 774
30 мая 178 196 1.35 80 732 4.77 97 464
31 мая 180 791 1.46 82 656 2.38 98 135
1 июня 183 088 1.27 84 792 2.58 98 296
2 июня 185 374 1.25 90 893 7.20 94 481
3 июня 187 216 0.99 94 339 3.79 92 877
4 июня 189 214 1.07 97 464 3.31 91 750 91 750 100.00
5 июня 191 069 0.98 100 164 2.77 90 905 90 582 99.64
6 июня 193 061 1.04 103 295 3.13 89 766 89 379 99.57
7 июня 195 017 1.01 105 633 2.26 89 384 88 147 98.62
8 июня 197 018 1.03 107 317 1.59 89 701 86 892 96.87
9 июня 198 590 0.80 112 766 5.08 85 824 85 620 99.76
10 июня 199 785 0.60 116 618 3.42 83 167 84 338 98.59
11 июня 201 221 0.72 118 907 1.96 82 314 83 053 99.10
12 июня 202 935 0.85 121 211 1.94 81 724 81 771 99.94
13 июня 204 428 0.74 122 789 1.30 81 639 80 500 98.60
14 июня 205 905 0.72 124 972 1.78 80 933 79 244 97.91
15 июня 207 264 0.66 126 574 1.28 80 690 78 013 96.68
16 июня 208 680 0.68 129 500 2.31 79 180 76 811 97.01
17 июня 209 745 0.51 131 819 1.79 77 926 75 645 97.07
18 июня 210 785 0.50 133 914 1.59 76 871 74 523 96.94
19 июня 211 921 0.54 135 965 1.53 75 956 73 449 96.70
20 июня 212 978 0.50 138 114 1.58 74 864 72 429 96.75
21 июня 213 946 0.45 139 153 0.75 74 793 71 470 95.56
22 июня 215 014 0.50 140 287 0.81 74 727 70 576 94.44
23 июня 216 095 0.50 142 891 1.86 73 204 69 752 95.28
24 июня 216 906 0.38 144 925 1.42 71 981 69 003 95.86
25 июня 217 791 0.41 145 863 0.65 71 928 68 333 95.00
26 июня 218 604 0.37 147 885 1.39 70 719 67 746 95.80
27 июня 219 354 0.34 149 757 1.27 69 597 67 244 96.62
28 июня 220 071 0.33 150 833 0.72 69 238 66 831 96.52
29 июня 220 853 0.36 151 863 0.68 68 990 66 508 96.40
30 июня 221 598 0.34 154 193 1.53 67 405 66 278 МАРЕ 98.33 = 2.71 %
В табл. 1 в столбцах 2-5 находятся фактические данные об интегральных объемах притока (ИП) и оттока (ИО), значениях их процентных приростов и количестве активных случаев в Москве, полученные из ежедневных отчетов Коммуникационного центра Правительства РФ по ситуации с коронавирусом, размещенных в открытом доступе на портале стопкоронавирус.рф. В столбце 7 представлены ретроспективные прогнозы количества болеющих людей, построенные при использовании линейных трендов процентных приростов интегральных объемов притока и оттока на основании статистики, предшествующей датам построения прогнозов 1 мая, 15 мая и 4 июня 2020 г., в столбце 8 — ежедневные абсолютные значения точности полученных прогнозов, а также МАРЕ — средняя абсолютная ошибка в процентах для соответствующего горизонта прогнозирования.
В табл. 2 приведены аналогичные данные для Санкт-Петербурга. Однако прогнозы количества активных случаев болезни (см. столбец 7) получены при использовании для прогнозирования процентных приростов притока и оттока модели АШМА. Для этого были построены модели АШМА отдельно для прогнозирования динамики изменения интегральных притока и оттока. Гиперпараметры моделей обновлялись при рассмотрении различных интервалов для моделирования. Так, для прогнозирования прироста интегрального притока в начале мая 2020 г. применялась модель АШМА(7,1,7), для интервала прогнозирования с 1 по 30 июня 2020 г. — модель АШМА(2,1,1). Для каждого горизонта прогнозирования также приведены точность прогноза и показатель МАРЕ.
Таблица 2. Ретроспективные прогнозы количества болеющих людей в Санкт-Петербурге в период первой волны эпидемии С0"У10-19 в 2020 г.
при использовании АШМА
Дата ИП, Прирост ИО, Прирост т, /(4), чел. Точность
чел. ИП, % чел. ИО, % чел. (прогноз) прогноза, %
1 2 3 4 5 6 7 8
14 апреля 799 17.85 82 0.00 717
15 апреля 929 16.27 100 21.95 829
16 апреля 1083 16.58 117 17.00 966
17 апреля 1507 39.15 138 17.95 1369
18 апреля 1646 9.22 240 73.91 1406
19 апреля 1760 6.93 247 2.92 1513
20 апреля 1846 4.89 249 0.81 1597
21 апреля 1973 6.88 291 16.87 1682
22 апреля 2267 14.90 341 17.18 1926
23 апреля 2458 8.43 385 12.90 2073
24 апреля 2711 10.29 431 11.95 2280
25 апреля 2926 7.93 483 12.06 2443
26 апреля 3077 5.16 516 6.83 2561
27 апреля 3238 5.23 516 0.00 2722
28 апреля 3436 6.11 571 10.66 2865
29 апреля 3726 8.44 737 29.07 2989
30 апреля 4062 9.02 808 9.63 3254
1 мая 4411 8.59 812 0.50 3599 3599 100.00
2 мая 4734 7.32 910 12.07 3824 3693 96.59
3 мая 5029 6.23 1095 20.33 3934 3858 98.07
4 мая 5346 6.30 1234 12.69 4112 4004 97.37
5 мая 5572 4.23 1505 21.96 4067 4138 98.25
6 мая 5 884 5.60 1572 4.45 4312 4265 98.91
7 мая 6190 5.20 1596 1.53 4594 4387 95.50
8 мая 6565 6.06 1645 3.07 4920 4506 91.59
9 мая 6990 6.47 1715 4.26 5275 4623 87.64
1 2 3 4 5 6 7 8
10 мая 7404 5.92 1727 0.70 5677 4739 83.47
11 мая 7711 4.15 1737 0.58 5974 4854 81.25
12 мая 8050 4.40 1842 6.04 6208 МАРЕ = 7 %
13 мая 8485 5.40 1911 3.75 6574
14 мая 8945 5.42 1968 2.98 6977
15 мая 9486 6.05 2079 5.64 7407 7407 100.00
16 мая 10 011 5.53 2189 5.29 7822 7710 98.57
17 мая 10 462 4.51 2260 3.24 8202 8075 98.45
18 мая 10 887 4.06 2299 1.73 8588 8437 98.24
19 мая 11 340 4.16 2367 2.96 8973 8796 98.03
20 мая 11 795 4.01 2579 8.96 9216 9152 99.31
21 мая 12 203 3.46 2765 7.21 9438 9506 99.28
22 мая 12 592 3.19 2966 7.27 9626 9856 97.61
23 мая 12 955 2.88 3237 9.14 9718 10 203 95.01
24 мая 13 339 2.96 3585 10.75 9754 10 548 91.86
25 мая 13 713 2.80 3728 3.99 9985 10 889 90.95
26 мая 14 076 2.65 3894 4.45 10 182 МАРЕ = 5 %
27 мая 14 463 2.75 4616 18.54 9847
28 мая 14 846 2.65 4950 7.24 9896
29 мая 15 215 2.49 5291 6.89 9924
30 мая 15 580 2.40 5564 5.16 10 016
31 мая 15 949 2.37 5884 5.75 10 065
1 июня 16 313 2.28 5961 1.31 10 352
2 июня 16 689 2.30 6231 4.53 10 458
3 июня 17 069 2.28 6571 5.46 10 498
4 июня 17 444 2.20 6959 5.90 10 485 10 485 100.00
5 июня 17 822 2.17 7367 5.86 10 455 10 709 97.57
6 июня 18 169 1.95 7808 5.99 10 361 10 816 95.61
7 июня 18 509 1.87 8136 4.20 10 373 10 924 94.68
8 июня 18 835 1.76 8307 2.10 10 528 11 035 95.18
9 июня 19 153 1.69 8534 2.73 10 619 11 148 95.02
10 июня 19 466 1.63 9003 5.50 10 463 11 262 92.36
11 июня 19 769 1.56 9384 4.23 10 385 11 379 90.43
12 июня 20 043 1.39 9837 4.83 10 206 11 497 87.35
13 июня 20 305 1.31 10 130 2.98 10 175 11 616 85.83
14 июня 20 561 1.26 10 274 1.42 10 287 11 738 85.90
15 июня 20 813 1.23 10 374 0.97 10 439 11 861 86.38
16 июня 21 047 1.12 10 660 2.76 10 387 11 986 84.61
17 июня 21 275 1.08 11 414 7.07 9861 12 112 77.18
18 июня 21 506 1.09 12 080 5.83 9426 12 239 70.15
19 июня 21 734 1.06 12 964 7.32 8770 12 369 58.97
20 июня 21 966 1.07 13 779 6.29 8187 12 499 47.33
21 июня 22 195 1.04 14 303 3.80 7892 12 631 39.95
22 июня 22 412 0.98 14 516 1.49 7896 12 765 38.34
23 июня 22 632 0.98 14 772 1.76 7860 12 899 35.89
24 июня 22 850 0.96 15 453 4.61 7397 13 035 23.78
25 июня 23 071 0.97 16 061 3.93 7010 13 172 12.09
26 июня 23 294 0.97 16 503 2.75 6791 13 311 4.00
27 июня 23 518 0.96 17 276 4.68 6242 13 450 0.00
28 июня 23 735 0.92 17 895 3.58 5840 13 591 0.00
29 июня 23 954 0.92 18 161 1.49 5793 13 732 0.00
30 июня 24 207 1.06 18 446 1.57 5761 13 875 0.00
МАРЕ = 45 %
На рисунке представлены результаты моделирования для Москвы и Санкт-Петербурга.
При использовании краткосрочных прогнозов линейных трендов процентных приростов ошибка МАРЕ при оценке будущего количества болеющих людей для
Число активных случаев
б
Рис. 1. Фактические и расчетные траектории изменения числа активных случаев заболевания СОУГО-19 в Москве (а) и Санкт-Петербурге (б) на рассматриваемых интервалах прогнозирования (2020 г.) Количество активных случаев: 1 — фактическое, 2 — прогноз с помощью линейных трендов,
3 — прогноз, модель АШМА.
Москвы в периоды 1-11 и 15-20 мая 2020 г. первой волны составила 13.24 и 10.63 % соответственно. Показатели для модели АШМА были равны 18 и 10 % соответственно. При увеличении горизонта прогнозирования до 27 дней (период с 4 по 30 июня 2020 г.)
прогнозы линейных трендов показали более высокие результаты — ошибка МАРЕ составила 2.7 % против 10 % при применении модели АШМА. Схожие результаты были получены и при рассмотрении ситуации в Санкт-Петербурге. Ошибка краткосрочных прогнозов при оценке с помощью линейных трендов не превышала 5.6 %, а модели АШМА — не более 7 %. В случае более далекого горизонта прогнозирования (27 дней) ошибка модели АШМА возрастала до 45 %, в то время как при использовании модели оценки линейных трендов процентных приростов МАРЕ = 3.6 %.
Таким образом, следует отметить, что и для Москвы, и для Санкт-Петербурга при коротких горизонтах прогнозирования как модель притока и оттока, так и модель АШМА показывали схожие результаты. При этом при увеличении интервала прогнозирования ошибка модели АШМА начинала нарастать, а модель оценки линейных трендов стохастических параметров интегральной модели притока и оттока демонстрировала значительно более высокую точность.
3.3. Прогнозирование динамики численности населения. Для прогнозирования численности населения Земли и отдельных стран построим интегральную модель динамики численности населения. Временные ряды ежегодных значений количества родившихся детей и умерших людей формирующих приток и отток в систему народонаселения Земли, содержатся в базе данных ООН [19]. При построении модели следует дополнительно учесть отток населения за счет чистой миграции ЖМ(¿). Систему народонаселения страны обозначим N, численность ее элементов — N(¿). Приток в систему N обеспечивает годовая рождаемость В(£), отток из системы (¿) равен + ЖМ(¿).
Тогда система дискретных уравнений, описывающих динамику численности населения N(¿), будет иметь следующий вид:
N (¿) = N (¿с) + - ^М;^), (14)
Вш{г)= + (15)
ялгМйЛ*) = (1 + - 1), (16)
где
г
Дп^) = Е В(*),
г0+1 г
^М;^) = ^ ^М(¿).
го+1
Результаты моделирования и прогнозирования динамики численности населения Земли в целом представлены в статье [16], а численности населения двух стран Западной Африки — в [20]. Важными особенностями полученных результатов применения модели (14)-(16) при прогнозировании численности населения Земли и отдельно взятых стран являются достаточно высокая точность ретроспективного прогнозирования и достаточно хорошо предсказуемая будущая динамика характеристики динамического баланса рассмотренных демографических процессов. Следует отметить, что в процессе вычислительных экспериментов по ретроспективному прогнозированию интегральных объемов притока и оттока значения характеристики динамического баланса, рассчитанные на основе полученных прогнозов, практически полностью совпадают с фактическими.
4. Заключение. Описанная в работе интегральная модель притока и оттока динамической системы может быть использована при прогнозировании динамики достаточно широкого класса процессов со стохастическими параметрами. Сформулированный общий принцип динамического баланса систем притока и оттока, а также наличие у системы свойства интервальной динамической сбалансированности инте-тральных объемов притока и оттока вместе со свойством монотонного убывания значений процентных приростов этих объемов позволяют обеспечить высокую точность прогнозирования динамики таких систем на достаточно продолжительных временных горизонтах.
Приведенные результаты ретроспективного прогнозирования распространения эпидемии COVID-19 на примере мегаполисов, к каким относятся Москва и Санкт-Петербург, могут быть положены в основу создания аналитической системы для обеспечения мероприятий органов здравоохранения по борьбе с эпидемиями как на общенациональном, так и на региональном уровне. Применение разработанной методики построения линейных трендов значений процентных приростов интегральных объемов притока и оттока вместе с моделью ARIMA дает возможность получения достаточно высокой точности будущей динамики основных переменных рассматриваемых процессов. Однако, как показали проведенные эксперименты, использование линейных трендов имеет существенные преимущества в точности прогнозирования на продолжительных горизонтах времени. Эта методика для построения прогнозов динамики численности населения Земли, ее стран и регионов также хорошо зарекомендовала себя в процессе проведения численных экспериментов. Перспективной задачей будущих исследований является расширение класса динамических процессов и систем притока и оттока, для которых с помощью предложенной модели можно будет обеспечить приемлемый уровень точности прогнозирования будущей динамики таких процессов и систем.
Литература
1. Moftakhar L., Seif M., Safe M. S. Exponentially increasing trend of infected patients with COVID-19 in Iran: a comparison of neural network and ARIMA forecasting models // Iran Journal of Public Health. 2020. Vol. 9. P. 92-100.
2. Ahmar A. S., del Val E. B. SutteARIMA: short-term forecasting method, a case: COVID-19 and stock market in Spain // Science of the Total Environment. 2020. Vol. 729. Art. N 138883.
3. Chaudhry R. M., Hanif A., Chaudhary M., Minhas S. 2nd, Mirza K., Ashraf T., Gilani S. A., Kashif M. Coronavirus disease 2019 (COVID-19): Forecast of an emerging urgency in Pakistan // Cureus. 2020. Vol. 12. N 5. Art. N e8346.
4. Tandon H., Ranjan P., Chakraborty T., Suhag V. Coronavirus (COVID-19): Arima based time-series analysis to forecast near future and the effect of school reopening in India // Journal of Health Management. 2022. Vol. 24. Iss. 3. P. 373-388.
5. Earnest A., Chen M. I., Ng D., Leo Y. S. Using autoregressive integrated moving average (ARIMA) models to predict and monitor the number of beds occupied during a SARS outbreak in a tertiary hospital in Singapore // BMC Health Services Research. 2005. Vol. 5. Art. N 36.
6. Li X. J., Kang D. M., Cao J., Wang J. Z. A time series model in incidence forecasting of he-morrhagic fever with renal syndrome // Journal of Shandong University (Health Sciences). 2008. Vol. 46. N 5. P. 547-549.
7. Heisterkamp S. H., Dekkers A. L., Heijne J. C. Automated detection of infectious disease outbreaks: hierarchical time series models // Statistics in Medicine. 2003. Vol. 25. N 24. P. 4179-96.
8. Zhang G. P. Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model // Neurocomputing. 2003. Vol. 50. P. 159-175.
9. De Beer J. Projecting age-specific fertility rates by using time-series methods // European Journal of Population. 1990. Vol. 5. N 4. P. 315-346.
10. Abonazel M., Darwish N. Forecasting confirmed and recovered COVID-19 cases and deaths in Egypt after the genetic mutation of the virus: ARIMA Box-Jenkins approach // Communications in Mathematical Biology and Neuroscience. 2022. Vol. 2022. Art. N 17.
11. Gecili E., Ziady A., Szczesniak R. D. Forecasting COVID-19 confirmed cases, deaths and recoveries: revisiting established time series modeling through novel applications for the USA and Italy // PLoS One. 2021. Vol. 16. N 1. Art. N e0244173.
12. Singh S., Parmar K. S., Makkhan S. J. S., Kaur J., Peshoria S., Kumar J. Study of ARIMA and least square support vector machine (LS-SVM) models for the prediction of SARS-CoV-2 confirmed cases in the most affected countries // Chaos, Solitons and Fractals. 2020. Vol. 139. Art. N 110086.
13. Aditya S. C. B., Darmawan W., Nadia B. U., Hanafiah N. Time series analysis and forecasting of coronavirus disease in Indonesia using ARIMA model and PROPHET // Procedia Computer Science. 2021. Vol. 179. P. 524-532.
14. Duong N., Phuong Th. L., Nhu Q. D., Binh L., Ai L. C., Hong D. P. Predicting the pandemic COVID-19 using ARIMA model // VNU Journal of Science: Mathematics — Physics. 2020. Vol. 36. N 4. Art. N 4492.
15. Claris S., Peter N. ARIMA model in predicting of COVID-19 epidemic for the Southern Africa region // African Journal of Infectious Diseases. 2022. Vol. 17. N 1. P. 1-9.
16. Захаров В. В. Принцип динамического баланса демографического процесса и пределы роста населения Земли // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 15. C. 108-114. https://doi.org/10.31857/S2686954323600301
17. Kermack W. O., McKendrick A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics // Proceedings of the Royal Society A. 1927. Vol. 115. P. 700-721.
18. Anderson R. M., May R. M. Infectious diseases of humans: Dynamics and control. Oxford: Oxford University Press, 1991. 757 p.
19. United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division. World Population Prospects 2022: Methodology of the United Nations population estimates and projections. New York: United Nations Publ., 2022. 64 p.
20. Захаров В. В., Ндиайе С. М. Прогнозирование численности населения и динамические игры против природы // Математическая теория игр и еe приложения. 2024. Т. 16. № 1. C. 17-37.
Статья поступила в редакцию 9 января 2024 г.
^атья принята к печати 12 марта 2024 г.
Контактная информация:
Балыкина Юлия Ефимовна — канд. физ.-мат. наук, доц.; j.balykina@sbpu.ru
Захаров Виктор Васильевич — д-р физ.-мат. наук, проф.; v.zaharov@spbu.ru
Integral inflow and outflow model and its applications*
Yu. E. Balykina1'2, V. V. Zakharov1
1 St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
2 Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, 5/7, Dvinskaya ul., St. Petersburg, 198035, Russian Federation
For citation: Balykina Yu. E., Zakharov V. V. Integral inflow and outflow model and its applications. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2024, vol. 20, iss. 2, pp. 121-135. https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.201 (In Russian)
The article describes a general integral model of the inflow and outflow of a dynamic system, the parameters of which are stochastic in nature. For this type of dynamic systems, the general principle of dynamic balance is formulated, and the concepts of interval dynamic balance of integral volumes of inflow and outflow as well as the concept of dynamic balance
* This research was supported by the Russian Science Foundation, project N 23-21-10049 (https://rscf.ru/project/23-21-10049/), and Saint Petersburg Science Foundation.
characteristic are introduced. The class of stochastic dynamic processes and systems of inflow and outflow that satisfy the principle of dynamic balance is quite wide (the spread of viral epidemics and the dynamics of morbidity in medicine, processes of changes in the size and structure of the population in demography, the dynamics of supply and demand in the economy, etc.). The possibilities of using the proposed model for constructing short-term and long-term forecasts are demonstrated using examples of the spread of the COVID-19 epidemic in Moscow and Saint Petersburg, as well as using the example of forecasting the growth of the Earth population and population of countries. The results of computational experiments on constructing retrospective forecasts of the state of dynamic systems using the method of dynamic trends of stochastic parameters of the integral model and using the classical ARIMA method are presented. A comparative analysis of forecasting accuracy is provided.
Keywords: dynamic systems of inflow and outflow, principle of dynamic balance, dynamic balance characteristic, mathematical modeling, forecasting.
References
1. Moftakhar L., Seif M., Safe M. S. Exponentially increasing trend of infected patients with COVID-19 in Iran: a comparison of neural network and ARIMA forecasting models. Iran Journal of Public Health, 2020, vol. 9, pp. 92-100.
2. Ahmar A. S., del Val E. B. SutteARIMA: short-term forecasting method, a case: COVID-19 and stock market in Spain. Science of the Total Environment, 2020, vol. 729, art. no. 138883.
3. Chaudhry R. M., Hanif A., Chaudhary M., Minhas S. 2nd, Mirza K., Ashraf T., Gilani S. A., Kashif M. Coronavirus Disease 2019 (COVID-19): Forecast of an Emerging urgency in Pakistan. Cureus, 2020, vol. 12, iss. 5, art. no. e8346.
4. Tandon H., Ranjan P., Chakraborty T., Suhag V. Coronavirus (COVID-19): Arima based time-series analysis to forecast near future and the effect of school reopening in India. Journal of Health Management, 2022, vol. 24, iss. 3, pp. 373-388.
5. Earnest A., Chen M. I., Ng D., Leo Y. S. Using autoregressive integrated moving average (ARIMA) models to predict and monitor the number of beds occupied during a SARS outbreak in a tertiary hospital in Singapore. BMC Health Services Research, 2005, vol. 5, art. no. 36.
6. Li X. J., Kang D. M., Cao J., Wang J. Z. A time series model in incidence forecasting of hemorrhagic fever with renal syndrome. Journal of Shandong University (Health Sciences), 2008, vol. 46, no. 5, pp. 547549.
7. Heisterkamp S. H., Dekkers A. L., Heijne J. C. Automated detection of infectious disease outbreaks: hierarchical time series models. Statistics in Medicine, 2003, vol. 25, no. 24, pp. 4179-96.
8. Zhang G. P. Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model. Neurocomputing, 2003, vol. 50, pp. 159-175.
9. De Beer J. Projecting age-specific fertility rates by using time-series methods. European Journal of Population, 1990, vol. 5, no. 4, pp. 315-346.
10. Abonazel M., Darwish N. Forecasting confirmed and recovered COVID-19 cases and deaths in Egypt after the genetic mutation of the virus: ARIMA Box-Jenkins approach. Communications in Mathematical Biology and Neuroscience, 2022, vol. 2022, art. no. 17.
11. Gecili E., Ziady A., Szczesniak R. D. Forecasting COVID-19 confirmed cases, deaths and recoveries: revisiting established time series modeling through novel applications for the USA and Italy. PLoS One, 2021, vol. 16, no. 1, art. no. e0244173.
12. Singh S., Parmar K. S., Makkhan S. J. S., Kaur J., Peshoria S., Kumar J. Study of ARIMA and least square support vector machine (LS-SVM) models for the prediction of SARS-CoV-2 confirmed cases in the most affected countries. Chaos, Solitons and Fractals, 2020, vol. 139, art. no. 110086.
13. Aditya S. C. B., Darmawan W., Nadia B. U., Hanafiah N. Time series analysis and forecasting of coronavirus disease in Indonesia using ARIMA model and PROPHET. Procedia Computer Science, 2021, vol. 179, pp. 524-532.
14. Duong N., Phuong Th. L., Nhu Q. D., Binh L., Ai L. C., Hong D. P. Predicting the pandemic COVID-19 using ARIMA model. VNU Journal of Science: Mathematics — Physics, 2020, vol. 36, no. 4, art. no. 4492.
15. Claris S., Peter N. ARIMA model in predicting of COVID-19 epidemic for the Southern Africa region. African Journal of Infectious Diseases, 2022, vol. 17, no. 1, pp. 1-9.
16. Zaharov V. V. Printcip dinamicheskogo balansa demograficheskogo processa i predely rosta zemli [Dynamic balance principle of the demographic process and the limits of earth population growth]. Papers of Russian Academy of Sciences, 2023, vol. 15, pp. 108-114. https://doi.org/10.31857/S2686954323600301 (In Russian)
17. Kermack W. O., McKendrick A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society A, 1927, vol. 115, pp. 700-721.
18. Anderson R. M., May R. M. Infectious diseases of humans: Dynamics and control. Oxford, Oxford University Press, 1991, 757 p.
19. United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division. World Population Prospects 2022: Methodology of the United Nations population estimates and projections. New York, United Nations Publ., 2022, 64 p.
20. Zaharov V. V., Ndiaye S. M. Prognozirovanie chislennosti naseleniya i dinamicheskie igry protiv prirody [Population growth forecasting and dynamic games against nature]. Mathematical Game Theory and its Applications, 2024, vol. 16, no. 1, pp. 17-37. (In Russian)
Received: January 9, 2024.
Accepted: March 12, 2024.
Authors' information:
Yulia E. Balykina — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; j.balykina@spbu.ru
Victor V. Zaharov — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; v.zaharov@sbpu.ru
