CC BY
42
УДК 531.1
Г.П. Скребков, Н.А. Федоров
ФГБОУВПО «ЧГУ» имениИ.Н. Ульянова
ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ЛОКАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТУРБУЛЕНТНОГО ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ
Профили скорости турбулентных потоков разной формы сечения целесообразно изучать с использованием универсальной постоянной Кармана х = 0,40 и локального коэффициента хЛ, переменного по профилю. Под интегральной постоянной понимается опытная величина, характеризующая в универсальных координатах угол наклона профиля скорости, постоянный по основной толще турбулентного ядра потока, под локальной величиной — хЛ, характеризующая местный угол наклона профиля скорости. Показано, что частная величина хЛ, определенная по максимальной и средней опытным скоростям потока, не имеет отношения к универсальной постоянной Кармана х = 0,40 и не может использоваться для ее ревизии. Очерчены области и возможности использования величин х и хЛ.
Ключевые слова: профиль скорости, турбулентный поток, постоянная Кармана, закон сопротивления.
Полуэмпирическая модель турбулентного перемешивания, предложенная Л. Прандтлем, позволила получить простые безразмерные профили скоростей в трубах, а именно:
для труб с гладкими стенками
и 1, уи*
- = - 1п — + С ; (1) и* XV
для труб с шероховатыми стенками
и 1 1 У , г
- = - + С2' (2) и X кэ
где С1 = 5,5; С2 = 8,48 — коэффициенты логарифмического профиля; kЭ — эквивалентная шероховатость стенки.
Постоянная х в (1) и (2) определена по условию наилучшего соответствия расчетных профилей скорости опытным профилям И. Никурадзе. Наилучшее совпадение получено при х = 0,40. При этом опытные точки, соответствующие основной турбулентной области потока, имеют некоторые отклонения от уравнений (1) и (2) в обе стороны. Однако эти отклонения невелики и, в целом, профили (1) и (2) вполне удовлетворительно согласуются с опытами. Согласованность законов сопротивления, вытекающих из (1) и (2), с опытными данными И. Никурадзе по сопротивлению гладких и шероховатых труб канонизировала величину х = 0,40 и закрепила за ней название универсальной постоянной Кармана. Величина х подбиралась по условию наилучшего совпадения прямых (1) и (2) с опытными точками практически на всем профиле скорости, кроме тонкой пристенной области, и поэтому х = 0,40 можно считать осредненной (интегральной) постоянной всего логарифмического профи-
© Скребков Г.П., Федоров Н.А., 2013
201
ВЕСТНИК
ля скорости. Интегральная постоянная Кармана определяет в универсальных координатах угол наклона прямых (1) и (2), что позволяет найти экспериментальные величины коэффициентов С1 и С Для плоского канала с гладкими стенками С1 = 4,2, а с шероховатыми стенками С2 = 7,3, что обосновано экс-перементами, описанными в [1, 2].
Определение величин х и С2 требует надежного измерения динамической скорости на стенке и*. В круглых трубах осевая симметрия потока позволяет найти и* по продольному градиенту давления. При всех других формах сечения потока надежное определение и* становится ключевой задачей эксперимента.
Измерения в квадратном канале с гладкими и с шероховатыми стенками, сопровождавшиеся локальными измерениями по периметру каналов динамической скорости с помощью трубки Пито, тарированной в тех же каналах, подтвердили, что в универсальных безразмерных координатах наклон профиля скорости соответствует величине х = 0,40, а параметр С2 зависит от формы турбулентной ячейки и состояния поверхности стенок канала: при гладких стенках С2 = 5,25, при шероховатых С2 = 8,14 [3].
Опытные точки, полученные по измерениям в квадратных каналах и представленные в универсальных безразмерных координатах, обрабатывались двумя способами: по методу наименьших квадратов и по углу наклона прямой, наилучшим образом соответствующему расположению большинства опытных точек. Для гладкого канала по первому методу получено х = 0,39 и С2 = 4,97, а по второму х = 0,40 и С2 = 5,25. Для шероховатого канала оба способа обработки опытных данных привели к одинаковому результату: х = 0,40 и С2 = 8,14 [3].
Вышеизложенное позволяет считать величину х = 0,40 в качестве универсальной постоянной, которая интегральным образом определяет в универсальных координатах угол наклона безразмерного профиля скорости в основной толще турбулентного ядра потока и не зависит ни от шероховатости стенки, ни от формы сечения потока.
Рассмотрим теперь локальную величину коэффициента ХЛ, которую будем определять по двум опытным точкам безразмерного логарифмического профиля скорости. Записав любое из уравнений (1) или (2) для двух точек, получаем формулу для определения хЛ , у2 1и2 — и,
X л = -Ч (3)
У,/ и,
где у — расстояние от стенки до точки с опытной скоростью и .
Целесообразность изучения хЛ определяется тем, что опытные точки профиля скорости не ложатся строго на логарифмическую прямую, а образуют извилистую линию, отклоняющуюся от прямой в обе стороны. Так, на рис. 1 приведен безразмерный профиль скорости в гладкой трубе, построенный по исходным данным, заимствованным из монографии А.Д. Альтшуля [4, с. 338]. Опытные точки на рис. 1 соответствуют средней величине из четырех значений скорости в точках, расположенных симметрично относительно оси трубы при измерениях по вертикали и горизонтали. Хотя точки в целом достаточно хорошо соответствуют прямой (1) при х = 0,40, но располагаются вокруг нее в виде змейки. На тех участках профиля, где точки расположены парал-
лельно прямой, хЛ = 0,40, а где отклоняются — становится больше или меньше X = 0,40. Наибольшие отклонения локальной величины (до 3,5 %) соответству-
Рис. 1. Логарифмический профиль в круглой гладкой трубе: ё = 350 мм, и = 15,08 м/с, V = 1,5210-2 м2/с, и* = 0,626 м/с [4, с. 338]
Аналогичная картина имеет место на рис. 2, где приведен безразмерный профиль скорости, построенный по весьма тщательным измерениям в гладком канале с отношением сторон Ъ/ И = 8 [5].
Рис. 2. Логарифмический профиль скорости в плоском гладком канале: Re4R =161 680, Ъ/к = 8:1, И = 40 мм, и* = 0,803 м/с, V = 1,639 10 5 м2/с
Динамическая скорость на стенке канала в [5] определялась по методике Престона, которая не безупречна. Приняв и* = 0,769 м/с, авторы получили интегральную величину х = 0,365 [5, с. 32]. При определении и* по рекомендаци-
ВЕСТНИК
МГСУ-
ям [1], в которой обоснован способ более точного определения и*, ее величина возросла до и* = 0,803 м/с, а прямая линия на рис. 2 стала соответствовать интегральной величине х = 0,40. В средней части этого рисунка опытные точки практически сливаются с прямой, а в ее начале и в конце располагаются ниже и выше прямой. Если соединять прямой линией ближние опытные точки, то обнаружим изменение величин хЛ (табл.). При составлении таблицы использованы измерения скорости в канале ФЭИ при Re4R = 161 680.
Изменение локальной величины ХЛ по профилю плоского потока
Начало и конец интервала у/ь и* И! и* и2 - и и* 1п У2 У1 ХЛ
0,059...0,163 18,52 16,03 2,49 1,016 0,408
0,163...0,288 19,93 18,52 1,49 0,569 0,403
0,288.0,388 20,69 19,93 0,76 0,298 0,392
0,388.0,488 21,33 20,69 0,64 0,229 0,360
0,488.0,588 21,92 21,33 0,59 0,186 0,315
0,588.0,688 22,29 21,92 0,37 0,157 0,424
0,688.0,788 22,67 22,29 0,38 0,135 0,355
0,788.0,887 22,86 22,67 0,19 0,119 0,626
0,887.1,000 22,94 22,86 0,08 0,107 1,33
Отметим, что если интервал между точками замера скорости увеличивать, то колебания величины хЛ в турбулентном ядре потока будут уменьшаться за исключением области вблизи динамической оси потока.
Интегрирование уравнений (1) и (2) при х = 0,40 позволяет, как известно, выразить расчетную величину средней скорости профиля и через максимальную теоретическую скорость иМ и динамическую скорость и*. Для круглого потока и = иМ - 3,75м*, а для плоского и = иМ - 2,5м*, чему соответствует расчетное расстояние у от стенки до точки, где местная скорость равна средней: в круглой трубе у = 0,223г0, а в плоском канале у = 0,368^ .
Подстановка полученных значений разности скоростей иМ- и и координат точек, соответствующих максимальной иМ и средней скорости и в выражение (3), приводит к одинаковому результату, вне зависимости от формы сечения потока (круглой или плоской):
1 _ им - и (4)
X
и*
Полученное соотношение является частной расчетной характеристикой полуэмпирических профилей скорости (1) и (2), которые не обязаны строго соответствовать реальным профилям скорости по всей толще турбулентного потока. При формальном применении выражения (4) к лабораторным или натурным профилям скорости, полученным в гидравлических лотках, речных потоках, трубах и аэродинамических каналах, когда в правую часть выражения (4) подставляются реальные величины иМ и и , его левая часть становится переменной и зависимой от внешних факторов, например, диаметра труб [6]
или шероховатостей русла [7]. Из этого результата иногда делался вывод, что постоянная Кармана таковой не является. На самом же деле здесь происходит смешение двух понятий: универсальной постоянной Кармана в расчетной модели всего логарифмического профиля скорости, и некоторой величины %Л, определяемой по двум опытным скоростям: максимальной местной иМ и средней скоростью на вертикали и .
Выражение (4) обычно чаще используют не для определения величины х, а как промежуточный результат для преобразования уравнений (1) и (2) в соответствующие законы сопротивления круглых труб и плоских каналов, что вполне правомерно.
Исходная предпосылка о возможности определения интегральной величины х по эмпирической разности максимальной и средней скоростей потока, содержащаяся в [6, 7], равноценна требованию совпадения величин х и %Л по всей глубине потока, что не соответствует современным представлениям [8] даже в тех частных случаях, когда максимальные расчетные и опытные скорости совпадают с друг с другом, как это имеет место на рис. 1 и 2.
Отличие расчетных величин от опытных — явление в научной практике вполне рядовое. Оно характерно не только для гидравлики, но и для других наук и указывает лишь на несовершенство расчетных моделей и возможности их улучшения. В нашем случае рассматривается расчетная модель Прандтля — Кармана, отлично зарекомендовавшая себя при описании профилей скорости в круглых и плоских потоках, при получении законов гидравлического сопротивления, а также послужившая основой для введения наглядной величины эквивалентной шероховатости поверхности стенок ^. Вместе с тем, у нее имеются недостатки, выражающиеся в приближенном описании профиля скорости у стенки и вблизи динамической оси потока. Однако это не повод отказываться от столь удачной модели Л. Прандтля.
Большой разброс величины х, определяемой по формуле (4) с использованием результатов измерений в речных потоках объясняется, на наш взгляд, несколькими одновременно действующими негативными факторами, влияющими на точность измерений: погрешностями в определении уклона и глубины реки; низкочастотными периодическими колебаниями скорости вторичных течений, которые могут сказываться как на величине иМ так и на положении точки средней скорости и ; влиянием ветра на величину поверхностной скорости и т.п. Однако сам факт зависимости от внешних условий величины х, определяемой по (4), не подлежит сомнению. Но он свидетельствует не о недостатках логарифмического профиля скорости, а лишь о том, что реальный профиль скорости турбулентного потока имеет более сложный характер, чем описываемый по расчетной схеме Прандтля — Кармана. Накопление экспере-ментальнх измерений профилей скорости в разнообразных потоках, включая речные [7], — необходимый этап разработки более совершенных расчетных моделей турбулентных профилей скорости в потоках разной формы сечения.
Интегральная величина постоянной Прандтля — Кармана соответствует упрощенной расчетной модели турбулентности, а локальная отражает местный более сложный характер изменения структуры турбулентности по глубине потока. Каждая из них имеет право на существование и свою область применения.
ВЕСТНИК
Универсальная постоянная Прандтля — Кармана может использоваться для поиска величины второй константы турбулентности С2 в потоках сложной формы сечения. Располагая измерениями профиля абсолютных скоростей в таких каналах можно (путем перебора ряда значений и* ) найти ту величину, при которой опытный безразмерный профиль будет соответствовать х = 0,40; при этом одновременно определится и величина С2, поскольку построение вариантов опытного профиля ведется в универсальных координатах. На этом этап нахождения безразмерного профиля скорости заканчивается. Далее выполняется преобразование найденного профиля скорости в закон сопротивления, производится сравнение найденного закона с опытными данными и, при необходимости, уточнение его.
Изложенный способ был использован при поиске безразмерного профиля скорости в турбулентной ячейке гладкого равностороннего треугольного канала. Размерные профили скорости, необходимые для поиска безразмерного профиля, определялись по изотахам И. Никурадзе [9]. Безразмерный профиль скорости, осредненный по трем нормалям, соответствующим трем центральным осям сечения канала, и представленный в универсальных координатах, характеризуется коэффициентами х = 0,40 и С2 = 4,5, что соответствует ожи-даемомой величине С2, промежуточной между коэффициентами С2 в квадратном канале и плоской щели.
Изменение величины коэфициента С2 при неизменной величине х вызывает изменение закона сопротивления каналов, что подробно рассмотрено в [10] применительно к круглой и плоской формам сечения потока.
Локальная величина параметра хЛ и ее распределение по сечению потока могут использоваться для уточнения закона сопротивления, полученного в предположении х = 0,40. Пример такого уточнения приведен в [8, с. 31]. Знание распределения величины хЛ по сечению потока может оказаться полезным и для уточнений характера изменения турбулентной структуры потока по его глубине. Так резкий рост величины хЛ вблизи динамической оси (см. табл.) указывает на возможное отличие структуры турбулентности в этой области от структуры в турбулентном ядре с логарифмическим профилем скорости. Однако значимость темы заслуживает отдельного рассмотрения.
Выводы. 1. Универсальная постоянная Прандтля — Кармана является интегральной характеристикой полуэмпирической модели пристенной турбулентности, и ее нельзя рассматривать в отрыве от этой расчетной модели.
2. Величина универсальной постоянной х = 0,40 не зависит от формы потока и шероховатости стенок.
3. Иная, чем х = 0,40, величина интегральной постоянной, полученная при построении в универсальных координатах опытного профиля скорости, объясняется, как правило, погрешностями определения динамической скорости на стенке и .
4. Локальный коэффициент хЛ можно считать дополнительной характеристикой турбулентного профиля, указывающей на местные отклонения профиля скорости от логарифмического и местные особенности турбулентного перемешивания жидкости.
5. Коэффициент С2 логарифмического профиля скорости является функцией формы сечения потока и шероховатости его стенки.
Библиографический список
1. Скребков Г.П., Паращенко И.Е. О величине постоянных логарифмического профиля скорости при движении потока между гладкими стенками // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1983. № 2. С. 88—92.
2. Скребков Г.П., Паращенко И.Е. Иследование кинематической структуры потока и пристенного трения в трапецеидальных каналах со стенками одинаковой и разной шероховатости // Водные ресурсы. 1989. № 2. С. 91—96.
3. Скребков Г.П., Погасян А.В. Особенности гидродинамики турбулентного потока в трубах квадратного сечения // Известия вузов. Энергетика. 1985. № 8. С. 116—122.
4. Альтшуль А.Д. Гидравлические потери на трение в трубопроводах. М.-Л. : Госэнергоиздат, 1963. 256 с.
5. Исследования осредненных гидродинамических характеристик турбулентного потока в прямоугольном канале / В.И. Субботин, М.Х. Ибрагимов, П.А. Ушаков и др. Препринт ФЭИ № 455. Обнинск, 1973. 49 с.
6. Шевелев Ф.А. Исследования основных гидравлических закономерностей турбулентного движения в трубах. М. : ГИЛ по стр-ву и арх., 1953. 208 с.
7. Железняков Г.В. Пропускная способность русел каналов и рек. Л. : Гидромет-издат, 1981. 312 с.
8. Брянская Ю.В., Маркова И.М., Остякова А.В. Гидравлика водных и взвесене-сущих потоков в жестких и деформируемых границах. М. : Изд-во АСВ, 2009. 264 с.
9. Nikuradse J. Untersuchungen über turbulente Strömungen in nicht kreisförmigen Rohren. Jngenier-Archiv, 1930. Bd. 1. P. 306.
10. Скребков Г.П. О Гидравлическом сопротивлении русел плоскому потоку // Известия ВНИИГ. 1982. Т. 145. С. 87—92.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
Об авторах: Скребков Геннадий Петрович — кандидат технических наук, доцент кафедры теплотехники и гидравлики, ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова» (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), Чувашская Республика, 428015, г. Чебоксары, проспект Московский, д. 15, (8352) 5879-26, skrebkovpetrovish@mail.ru;
Федоров Николай Анфимович — ассистент кафедры теплотехники и гидравлики, ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), Чувашская Республика, 428015, г. Чебоксары, проспект Московский, д. 15, (8352) 67-33-26, niknadin@yandex.ru.
Для цитирования: Скребков Г.П., Федоров Н.А. Интегральная и локальная величины коэффициентов турбулентного профиля скорости // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 201—208.
G.P. Skrebkov, N.A. Fedorov
LOCAL AND INTEGRAL VALUES OF COEFFICIENTS OF THE TURBULENT
VELOCITY PROFILE
The authors study velocity profiles of turbulent fluid flows, if their cross sections have different shapes. The research is performed using the Karman constant value equal to 0.4 and a local parameter of the variable along the velocity profile. An experimentally obtained value of the Karman constant is treated as an integral parameter describing the inclination angle of the velocity profile being constant within the turbulent flow core. In turn, the local parameter describes the local inclination angle of the velocity profile. The authors demonstrate that the local parameter calculated on the basis of maximal and average flow velocities does not relate to the Karman constant, and therefore, it cannot
ВЕСТНИК AI-iMt.
4/2013
be used for its validation. The local coefficient can be considered as a supplementary characteristic of the turbulent flow profile. The local parameter and its distribution over the cross section of the flow can be used to clarify the law of resistance, obtained by using the assumption that the Karman constant value is equal to 0.4. Availability of the value of the local parameter distribution over the cross section of the flow may be used to clarify the alteration pattern of the turbulent structure of the flow. Areas of application of both values are also identified.
Key words: velocity profile, turbulent fluid flows, Karman constant, law of resistance.
References
1. Skrebkov G.P., Parashchenko I.E. O velichine postoyannykh logarifmicheskogo profilya skorosti pri dvizhenii potoka mezhdu gladkimi stenkami [About the Value of Constants of the Logarithmic Velocity Profile Typical for the Flow Motion in-between Smooth Walls]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura [News of Institutions of Higher Education. Construction and Architecture.] 1983, no. 2, pp. 88—92.
2. Skrebkov G.P., Parashchenko I.E. Isledovanie kinematicheskoy struktury potoka i pris-tennogo treniya v trapetseidal'nykh kanalakh so stenkami odinakovoy i raznoy sherokhova-tosti [Research into Kinematic Flow Structure and Wall-adjacent Friction inside Trapezoidal Channels Having Similar and Different Values of Roughness]. Vodnye resursy [Aquatic Resources]. 1989, no. 2, pp. 91—96.
3. Skrebkov G.P., Pogasyan A.V. Osobennosti gidrodinamiki turbulentnogo potoka v trubakh kvadratnogo secheniya [Turbulent Flow Mechanics in Square-section Pipes]. Izvestiya vuzov. Energetika [News of Institutions of Higher Education. Energy Engineering.] 1985, no. 8, pp. 116—122.
4. Al'tshul' A.D. Gidravlicheskie poteri na trenie v truboprovodakh [Friction Losses inside Pipelines]. Moscow - Leningrad, Gos-energoizdat publ., 1963, 256 p.
5. Subbotin V.I., Ibragimov M.Kh., Ushakov P.A. Issledovaniya osrednennykh gidrodin-amicheskikh kharakteristik turbulentnogo potoka v pryamougol'nom kanale [Research into Averaged Hydrodynamic Characteristics of the Turbulent Flow in the Rectangular Channel]. Preprint of Institute of Physics and Power Engineering (FEI) no. 455. Obninsk, 1973, 49 p.
6. Shevelev F.A. Issledovaniya osnovnykh gidravlicheskikh zakonomernostey turbulentnogo dvizheniya v trubakh [Research into Principal Hydraulic Laws of Turbulent Motion inside Pipes]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo po stroitel'stvu i arkhitekture publ., 1953, 208 p.
7. Zheleznyakov G.V. Propusknaya sposobnost'ruselkanalovirek [Throughput Capacity of River and Channel Beds]. Leningrad, Gidrometizdat Publ., 1981, 312 p.
8. Bryanskaya Yu.V., Markova I.M., Ostyakova A.V. Gidravlika vodnykh i vzvesenesush-chikh potokov v zhestkikh i deformiruemykh granitsakh [Hydraulics of Water and Sediment-carrying Flows within Rigid and Deformable Borders]. Moscow, ASV Publ., 2009, 264 p.
9. Nikuradse J. Untersuchungen über turbulente strömungen in nicht kreisförmigen Rohren. Jngenier-Archiv, 1930, no. 1, pp. 306.
10. Skrebkov G.P. O gidravlicheskom soprotivlenii rusel ploskomu potoku [About Hydraulic Resistance of Beds to Flat Flows]. Izvestiya VNIIG [News of the All-Russian Scientific and Research Institute of Hydraulic Engineering]. 1982, vol. 145, pp. 87—92.
About the authors: Skrebkov Gennadiy Petrovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Heat and Hydraulic Engineering, Chuvash State University named after I.N. Ul'yanov (ChGU), 15 Moskovskiy prospekt, Cheboksary, 428015, Russian Federation; skrebkovpetrovish@mail.ru; +7 (8352) 58-79-26;
Fedorov Nikolay Anfimovich — assistant lecturer, Department of Heat and Hydraulic Engineering, Chuvash State University named after I.N. Ul'yanov (ChGU), 15 Moskovskiy prospekt, Cheboksary, 428015, Russian Federation; niknadin@yandex.ru; +7 (8352) 67-33-26.
For citation: Skrebkov G.P., Fedorov N.A. Integral'naya i lokal'naya velichiny koeffitsien-tov turbulentnogo profilya skorosti [Local and Integral Values of Coefficients of the Turbulent Velocity Profile]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 201—208.
