CC BY
39
ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ
УДК 621.314.21.042.53
Инновационные решения в теории трансформатора
1
М. А. Шакиров , А. А.Ткачук
1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29
2 Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9
Для цитирования: \Шакиров М. А\ Ткачук А. А. Инновационные решения в теории трансформатора // Бюллетень результатов научных исследований. - 2021. - Вып. 2. - С. 5-31. DOI: 10.20295/2223-9987-2021-2-5-31
Аннотация
Цель: Выяснение причин появления ошибок в традиционной теории трансформаторов и путей ее исправления на основе более точных физико-математических уравнений описания процессов передачи энергии в трансформаторе с использованием вектора Пойнтинга. Демонстрация нового принципа действия и вытекающего из него новых свойств трансформатора. Методы: Применяется переход от аналитического моделирования поведения устройства к его схеме замещения с отображением на ней магнитных потоков трансформатора. Особенность состоит в том, что вначале этот подход осуществляется для идеализированного трансформатора с бесконечной магнитной проницаемостью стали, после чего схема наращивается элементами, учитывающими насыщение и потери в стали реального устройства. Результаты: Выявлены противоречия и парадоксы стандартной теории. Показана необходимость замены ее учением, базирующимся на уравнениях относительно реальных, поддающихся измерениям магнитных потоков взамен виртуальных (надуманных) потоков официальной теории. Корректность и значимость предложенной теории подтверждена открытием новых свойств трансформаторов и возможностью объяснить на ее основе магнитное перевозбуждение отдельных участков трансформатора в аварийных режимах. Практическая значимость: Приведены условия и намечены пути создания корректных учебников взамен стандартных с устаревшими представлениями о физических процессах в трансформаторах. Вытекающее из новой теории более глубокое понимание работы трансформаторов должно способствовать совершенствованию способов повышения их электродинамической стойкости.
Ключевые слова: Трансформатор, первичная и вторичная обмотки, магнитный поток, схема замещения, короткое замыкание, холостой ход.
2
Введение
Надежность системы электроснабжения железных дорог и работы железнодорожного транспорта переменного тока зависит от объектов инфраструктуры, к которым относятся силовые трансформаторы. Наблюдающийся в настоящее время резко переменный характер нагрузки тяговых подстанций предъявляет повышенные требования к конструкции трансформаторов. Аналогичные требования относятся и к трансформаторам, работающим в линиях электропередачи, чем объясняется постоянный интерес и мониторинг СИГРЭ, МЭК и всего сообщества занятых в промышленности электротехников к методам повышения электродинамической и термической стойкостей силовых трансформаторов. Еще одной причиной этого внимания служит также неудовлетворенность инженеров отсутствием ответа на критику ряда положений стандартной теории, появлявшейся в течение более 100 лет после ее создания. Настоящая работа напрямую связана с этой тематикой. Ее цель, наряду с критическим обзором истории становления официальной теории и демонстрацией ее ошибок, совпадает с формулировкой [1, с. 53]: «На повестке дня вопрос о коренной ломке теории трансформаторов, написании ее с „белого листа" на основе новых понятий и парадигм, не укладывающихся в рамки традиционных представлений».
Научные обсуждения на различных уровнях, от семинаров и конференций до сессий РАН, показывают, что идеи новой теории, частично изложенной в [1-6] применительно к трансформаторам и автотрансформаторам различной конструкции, воспринимаются весьма настороженно. Срабатывают цеховой этикет и другие психологические аспекты от простого консерватизма с преданностью авторитетам и традиционным взглядам до конъюнктурных интересов, примеров чему в научном мире несть числа. Есть попытки представить новую теорию как развитие традиционной, что вынуждает вначале уделить внимание пояснению ошибочности основных положений официальной (стандартной) теории с неотъемлемыми для нее понятиями о так называемых индуктивностях рассеяния первичной и вторичной обмоток, сомнительный смысл которых подтверждали сами ее создатели и сторонники.
Первая волна протестов. По утверждению [7], представление об индуктивностях рассеяния первичной (Lo1) и вторичной (Ьа2) обмоток, связанных якобы с раздельным существованием потоков рассеяния обмоток, а также об особом главном потоке Ф0 ввел С. П. Штейнмец (С. Р. Steinmetz) в 1897 г. и на основе этого разработал Т-образную схему замещения трансформатора [8]. Первый протест против подобного «физического смысла» Lo1 и Ьа2 встречается в работе А. Бояджана (A. Boyaijan) 1925 г.
[9], показавшего также бессмысленность самих понятий о магнитных потоках рассеяния отдельных обмоток Фст1 и Фо2. К этому протесту присоединились и другие исследователи, о чем свидетельствует ряд критических работ, в том числе и отечественных авторов, написанных в ходе дискуссий 1935-1937 гг. на страницах журнала «Электричество», представленных А. И. Вольдеком в [10]. Однако они ни к чему не привели, поскольку ничего не было предложено взамен Т-образных моделей, если не считать их сопоставлений с П- и упрощенными Г-образными моделями, что никак не проясняет физику процессов в трансформаторе.
Спад первой волны протестов. Наиболее полно и бескомпромиссно критика официальной теории на этом этапе представлена Е. Г. Марквард-том в 1938 г. [11]. Им отмечено, что в официальной теории бездоказательно принимается будто бы [11, с. 13]:
- «фактором, определяющим передачу энергии из одной цепи в другую, является общий поток»;
- «потоки рассеяния не принимают участия в передаче энергии и в этом смысле вредны».
Его заключение опровергает положения С. П. Штейнмеца [11, с. 22]:
1. «Потоки рассеяния, не участвующие в передаче энергии и по величине определяемые только током своего контура, в действительности не существуют».
2. «Общепринятый способ описания рабочего процесса трансформатора, приписывающий только общему потоку ... роль передатчика энергии, неправилен».
По мнению Е. Г. Марквардта [11], имеет место «неопределенность деления реального поля на отдельные физически несуществующие слагающие главного поля и поля рассеяния». При этом складывается абсурдная ситуация, поскольку официальная теория С. П. Штейнмеца с ее «физически несуществующими слагающими главного поля и поля рассеяния» продолжает внедряться во все учебники.
Почему? Ответ: этому способствовал сам Е. Г. Марквардт, сообщив [11, с. 22], что «несмотря на предыдущие выводы, введение понятия (несуществующего. - М. Ш. и А. Т.) магнитного рассеяния играет полезную роль, так как позволяет наглядно представить рабочий процесс трансформатора . облегчая количественные исследования трансформатора». Это является примером соглашательства и явного отступничества от научных принципов. Как видно, между критикой теории и ее исправлением пропасть, о чем свидетельствует настоящее состояние дел. Какова цена протестов, если они не приводят к выходу из существующих затруднений. Не в силах побороть сложившуюся ситуацию многие авторы, в том числе Е. Г. Марквардт, А. И. Вольдек и др., сдали свои позиции.
Вторая волна протестов. В 60-е-70-е и последующие годы XX в. имела место вторая волна протестов. Однако в отличие от первой с выводами о бессмысленности основных понятий официальной теории в эти годы появились исследования [12-16 и др.], в которых пытались разобраться с перевозбуждением магнитных потоков в короткозамкнутых трансформаторах, когда магнитная индукция в каком-либо участке магнитопровода превышает номинальную индукцию холостого хода (х.х.) (ГОСТ 1611082). В [12] эти попытки осуществлены на упрощенной модели трансформатора с магнитопроводом в виде распрямленного тора с «результирующим магнитным потоком» в нем, что исключало возможность отслеживания потоков в ярмах реальных трансформаторов. К сожалению, в [12] использовалась терминология, забракованная первой волной критики, и в результате вместо фундаментального пересмотра теории трансформаторов получились противоречивые отчеты, не позволившие вырваться из сомнительных догматов официальной теории. И традиционная теория с ее идеями о главном потоке и потоками рассеяния превратилась в объект официальной веры. Наибольшим достижением в этом смысле считается переход от Т-образной к П-образной схеме замещения, содержащей две ветви намагничивания, каждая из которых якобы «зависит только от своего потока» [16, с. 73,77]. Утверждается, что она «ближе к реальному трансформатору». В действительности, Т- и П-образные схемы равноправны (о чем пишут и сами авторы [16]), поскольку могут быть получены одна из другой путем известного преобразования соединения звездой в соединение треугольником. Соответственно и утверждение о преимуществе П-образной схемы является весьма искусственным. И Т-, и П-образные схемы ошибочно отображают поведение трансформатора при коротком замыкании (к. з.), поскольку обе не способны демонстрировать появление сверх-и антипотоков (в сравнении с потоком х.х.) в этих режимах. В конце концов, все свелось к приспособлению этих схем к различным условиям в виде вариантов Г-образных схем или схем с ключом в намагничивающей ветви [16; 17, с. 292]. *
Роль авторитетов. Трудность критики официальной теории в том, что ее базовые понятия глубоко внедрены не только в так называемые объяснения процессов трансформаторов самых разных конструкций и назначения, но и в теорию любых электрических машин переменного тока. На возникающие при этом сложности предлагают либо закрыть глаза, либо оправдывают таинствами, как, например, имеет место с многообмоточными трансформаторами. Известно, что схемы замещения этих устройств содержат отрицательные элементы. Казалось бы, что, поскольку двухоб-
* Цель принятого здесь и далее стиля - обострить дискуссию с привлечением обоснованных возражений, если они возможны. Вся ответственность за это лежит на М. А. Шакирове!
моточный трансформатор является и по конструкции, и по режимам работы простейшим частным случаем многообмоточного трансформатора, то его схемы замещения должны как-то быть связаны с общей схемой замещения многообмоточного трансформатора. Однако существующая официальная теория двухобмоточных трансформаторов не позволяет это установить. Более того, сам автор схемы замещения для 3-обмоточного трансформатора - А. Бояджан заявил о невозможности в принципе постановки такой задачи (см. [18, с. 89, 106-107)]:
"Multicircuit transformers present a number of problems: which cannot be solved directly by two-circuit transformer formulas ... it is found, that of the circuits of three-circuit transformer may behave as if its leakage reactance were condensive and its resistance negative ... they are always the smallest and negligible member of their group. " (в переводе на русский язык:
«Многообмоточные трансформаторы представляют ряд проблем, которые не могут быть решены напрямую по формулам двухобмоточного трансформатора ... при этом обнаружено, что цепи трехобмоточного трансформатора могут вести себя так, как если бы его реактивное сопротивление рассеяния было емкостным, а его сопротивление отрицательным ... однако они всегда являются наименьшим и незначительным по величине среди остальных ... »).
Под влиянием его авторитета сложилась по существу нелепая ситуация с демонстрацией некого пренебрежения к отрицательному сопротивлению (табл. 1).
ТАБЛИЦА 1. Сравнение мнений авторов к отрицательной индуктивности
Авторы Отношение авторов
Г. Н. Петров [19, с. 126], А. И. Вольдек [20, с. 346], А. И. Иванов-Смоленский [21, с. 102], А. И. Важнов [22, с. 214] В трехобмоточном трансформаторе «индуктивное сопротивление луча схемы замещения, соответствующего средней обмотке, близко к нулю и имеет обычно небольшое отрицательное значение»
Л. В. Лейтес, А. М. Пинцов [16, с. 89] « ... Отрицательные индуктивности не имеют физического смысла. Они лишь приводят схему замещения в соответствие с реальными соотношениями»
П. В. Лейтес [13, с. 124] « ... Искать в них глубокого физического смысла не стоит; они обусловлены отличием среднеквадратичного значения функции от ее среднего значения»
С. Б. Васютинский [23, с. 56] «Нет оснований искать объяснение физике этого явления, так как схема замещения является не физической моделью, а лишь математической аналогией трансформатора»
A. Boyajian [18, (см. с. 89, 106-107)] "These negative impedances can be considered as mathematical fictions if one so desires: they are virtual values, somewhat like the virtual images in optics"
Авторы Отношение авторов
F. de Lion et al. [24, с. 160, 163] "... Boyajian (gives. - M. Ш.) physical interpretation of the negative inductance as being the result of magnetic mutual couplings (М). However, no available model ... explicitly represents the mutual coupling of flux in air. We postulate that L12 and L23 must be mutually coupled"
С. Alvarez-Marino, F. de Leon, X. M. Lopez-Fernandez [25, с. 356] "To complement the model, one can take into account the mutual couplings between the (all air. - M. Ш.) inductors" (instead of the negative inductors. - M. Ш.). The model "for transformer leakage is obtained from . adding the mutual couplings ... It has been shown that the mutual couplings physically represent the thickness on the windings"
Как видно, в настоящее время принято рассматривать отрицательное сопротивление в схеме замещения многообмоточного трансформатора как курьез, "mathematical fictions" или "somewhat like the virtual images in optics" ([18]), и, более того, всерьез предлагается оказаться от «поиска объяснения физике этого явления» [13, с. 124; 23, с. 56]. Как видно, авторы охвачены паникой и вторят мнению А. Бояджена, опираясь на слова "smallest and negligible member". Отчасти по этой причине имеют место серьезные просчеты в теории многообмоточных трансформаторов и убежденность о невозможности построить его схему замещения на основе схемы двухобмоточного трансформатора. Более подробно данная проблема и ее решение путем сшивания схем замещения двухобмоточного трансформатора, т. е. вопреки запрету А. Бояджена и др., рассмотрена в [26].
Главный парадокс. Официальная теория запрещает возможность рассмотрения работы трансформатора с наилучшими свойствами магнито-провода, т. е. магнитопровода с Цсталь = , не потребляющего реактивную мощность для формирования поля в стали. Утверждается, что поскольку в таком трансформаторе магнитодвижущая сила (м.д.с.) обмоток в любом режиме равны друг другу (w1i1 = w2i2), то это якобы соответствует режиму противовключения, исключающему передачу мощности в трансформаторе [20]. Ток намагничивания в таком трансформаторе равен нулю, что делает невозможным, согласно главному догмату стандартной теории, существование общего магнитного потока в устройстве и его работы как трансформатора. Выражая общее мнение, В. М. Малыгин [27, с. 62] прямо заявляет: «нельзя использовать понятие цсталь = особенно, если речь идет о физическом понимании работы трансформатора». Этот запрет приводит к замешательству, поскольку невозможно объяснить, почему официальная тео-
рия применима к трансформатору с цсталь = 10200 ц0 или с цсталь = 102000 000 ц0 и неприменима к случаю, когда цсталь = ю.
В новой теории [1-6] нет подобных противоречий. Они исключены благодаря тому, что эта теория изначально строится на базе анализа процесса передачи мощности в идеализированном трансформаторе с цсталь = (рис. 1, А) и лишь после этого осуществляется переход к рассмотрению трансформатора с конечным значением цсталь. С самого начала имеют место совершенно различные представления потокосцеплений (табл. 2).
ТАБЛИЦА 2. Выражения для потокосцеплений в традиционной и новой теориях трансформаторов
Официальная теория [28, с. 35] Новая теория [2, с. 56]
¥1 = ^1Ф 0 + , ¥ 2 = ^2Ф 0 + ™2Фа2 Vl = ^1Ф leg 13 а , V2 = ^2Фside + 23 h
¥1 = ^1Ф 0 + , ¥2 = ^2Ф 0 + 1а112 Vl = ^1Ф leg 22 1 , V 2 = ^2Ф side + 2 22
Сходство соотношений слева и справа в табл. 2 состоит в том, что вторые слагаемые определяются только собственным током соответствующей обмотки, но смысл их различен. Принципиальные отличия заключаются в том, что в формулах слева первое слагаемое определяется вымышленным общим (главным) потоком Ф0, тогда как в формулах справа - физически существующими, т. е. могут быть измеренными потоками Ф^ и Ф§Ме в стержне и боковом ярме, отличающимися друг от друга как по величине, так и по фазе. Точно также вымышленными являются потоки Фа1 и Фа2, тогда как потоки ФаФъ являются реально существующими потоками в толще а- и ¿-обмоток. Никакой связи между величинами и ЬаЬь нет!
Уравнения нового учения реализуются с помощью отрицательных индуктивностей в схемах замещения всех типов трансформаторов [1-6], как показано на примере идеализированного броневого трансформатора на рис. 1, Б, где согласно [2]:
иа = у®* 1 = к0Ф^ - ^ = £0Ф^ - ^Д,
u'b=j <d*'2=ф side+^=к0Ф side+/ь.
Все обсуждения и дискуссии в стандартной теории идут вокруг безнадежности в определении Lct1, La2 и псевдообоснования их представления
(обычно в виде Lct1 = Lsh / 2 и L'a2 = Lsh / 2) с привлечением понятия о режиме противовключения, несмотря на бессмысленность этих величин с физической точки зрения. В то же время La, Lb легко определяются по данным расположения и геометрии обмоток. Как слагаемые, входящие в выражение для индуктивности к.з. трансформатора
Рис. 1. Магнитные и электрические поля в идеализированном броневом трансформаторе (А) и его 4Т-образная схема замещения (Б)
они рассматриваются как надлежащая плата за формирование электромагнитного поля в толще обмоток для проведение в них потоков вектора Пойнтинга. Аналогично Ь5 - это плата за проведение потока вектора Пойн-тинга в зазоре (коридоре) 5 между обмотками.
Конфликт учений о трансформаторах. Официальная теория строится на догме существования общего магнитного потока Ф0, являющегося якобы следствием тока намагничивания I 0. Это означает, что если его нет (10 = 0), то нет и общего потока (Ф0 = 0), и трансформатор не может работать. Сказанное поясняется в табл. 3, в которой приведены отечественные и зарубежные учебники, начиная с 1934 г. по настоящее время.
ТАБЛИЦА 3. Ошибки официальной теории трансформаторов
Учебник
Ошибочное утверждение _в учебнике_
Пояснение ошибки учебника
Г. Н. Петров, 1934
[29, с. 15-16]
«... возможное распределение потоков при равных и взаимно противоположных м.д.с. обмоток ... Эти две м.д.с. не могут создать потока Ф 0, сцепленного со всеми
витками обеих обмоток»
1. По мнению этого автора, отсутствие потока Ф 0 исключает «возможность работы трансформатора при нагрузке».
2. Положение об общем магнитном потоке, как условия работы «нагруженного» трансформатора, ошибочно. В частности, в [1] показано, что «условием передачи активной мощности в трансформаторе с тонкими обмотками является наличие угла между потоками в стержне и боковом ярме». Соотношение + ^2/2 = 0 поддерживается в трансформаторе с ц = ^ при любой нагрузке [1, 2]
П. Л. Каланта-ров,
Л. Р. Нейман, 1948
[30 , с. 234]
«М.д.с., определяющая основной поток Ф0, равна w1i1 + ^2/2. При +^2=0 основной поток трансформатора Ф0 = 0, и мы имеем только потоки рассеяния»
Чем больше Цсталь, тем лучше трансформатор. Но из утверждения авторов вытекает, что при цсталь = да
(при этом суммарная м.д.с. при любой нагрузке w1i1 + ^2'2 = 0) трансформатор работать не сможет, что, как показано в [1, 2], абсурдно. Картина теряет смысл, если учесть, что фазы индукции в стержне и окне различаются приблизительно на угол п/2-ф
Пояснение ошибки учебника
L. Bean, N. Chackan, H. Moore, E. Wentz, 1959
[31, с. 111-114]
Primary windings
Flu» lines caused by (he winding currents
With equal and opposite ampere turns, no flux could flow around the core to produce transformer action ' (в переводе на русский язык: «При равных и противоположных ампер-витках не может протекать поток в сердечнике, чтобы обеспечить работу трансформатора»
Заблуждение авторов в том, что "equal and opposite ampere turns" имеют место в трансформаторе при любой нагрузке, если его маг-нитопровод характеризуется предельно наилучшей ^сталь = да . При
этом "produce transformer action" будет лучше, чем в трансформаторе с конечной магнитной проницаемостью
П. А. Ионкин, А. И. Дарев-
ский,
Е. С. Кухаркин и др., 1976
[32, с. 72]
«Для создания потока Ф т требуется определенная намагничивающая сила, которая при нагрузке равна w1i1 + w2i2 »
Из утверждения авторов вытекает абсурдный вывод: поскольку в трансформаторе с Дсталь = да «определенная намагничивающая сила при любой нагрузке»
к+^г 1 = 0 то «создаваемый» ею «поток»
Ф = 0,
т '
и трансформатор, согласно утверждению авторов, работать не сможет
K. Kersai, D. Kerenyi, L. Kiss, 1987 [33, с. 25]
Magnetic circuit of two-winding transformer"
Некорректность картины поля обнаруживается при обходе в воздушном зазоре контура, показанного пунктиром. Согласно закону полного тока (с учетом показанных направлений стрелок на линиях поля), внутри пунктирного контура должен существовать электрический ток, что, разумеется, абсурдно. Авторы учебников обычно избегают явно показывать взаимно противоположные направления линий между обмотками_
Пояснение ошибки учебника
S. V. Kulkarni, S. A. Khaparde, 2013
[34, с. 15]
' Practical transformer
В отличие от предыдущего здесь направления линий магнитных потоков фЬ1 и фЬ2 в зазоре совпадают. Некорректность картины имеет место внутри правого стержня из-за взаимно противоположных направлений линий потоков, что физически невозможно при отсутствии токов в стали
К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н.В. Коровкин и др., 2003 [35, с. 408]
«Связь между Ф0м и вызывающей его м.д.с. (w1i1 + ^2/2) ... запишется так:
Ф0м = 10м™1 / 2т>
где 2м - комплексное магнитное сопротивление. Величину
I,
0 m
I + I'
11m т12m
1. Из слов учебника вытекает, что при ц = да (и стало быть 7 = 0)
г г^сталь V м '
«вызывающая поток Ф0м м.д.с. (+ ) запишется так»: /„ w, = 0, и маг-
2 2 / 0 м 1 5
нитный поток Ф0м окажется неопределенной величиной.
2. Поток Фо2 представлен как реально существующий, и в правом стержне оказались два встречных потока, что физически нереально и картина поля в целом не корректна.
3. Картина теряет смысл, если учесть, что фазы индукции в стержне и окне различаются приблизительно на угол п/2-ф
называют намагничивающим током».
Г. Н. Александров, 2003 [36, с. 58]
«Потоки в повышающем трансформаторе с ЬЯ-нагрузкой» «В номинальном режиме работы ток намагничивания создает поток намагничивания Фон, охватывающий все витки обоих обмоток ... »
Использование понятия потока намагничивания Фон. не корректно. Как и во всех упомянутых учебниках, ошибка состоит в мышлении линиями замкнутых потоков. Правильно говорить о потоках отдельных участков трансформатора, изображая потоки условными положительными направлениями в комплексной форме (см. рис. 1, А). Фазы потоков в стали и в окне различны, и смысл линий поля при ЯЬ-нагрузке теряется
Пояснение ошибки учебника
R. M. Del Vec-chio et al., 2010
[37, с. 53]
; Yoke
Core
' Vi , : . \ví 1
N,
íj I 0
Load
Представленная картина магнитных потоков противоречит всем известным. По-видимому, во избежание трудностей ее объяснения авторы, во-первых, не указали направления линий поля, а во-вторых, не показали поле в боковом ярме, поскольку его на рисунке нет
Schematic of two-winding single-phase transformer with leakage flux"
М. П. Кос-тенко, Л. М. Пиотровский, 1958 [38, с. 352]
1. Представленная картина соответствует случаю короткозамкнутой внешней обмотки с образованием антипотока в боковом ярме, как показано здесь на рисунке.
«Потоки рассеяния при коротком замыкании»
Из картины поля, приведенной авторами, следует, что линия поля Ь при к. з. должна замкнуться в направлении, встречном потоку х.х., что не согласуется с догмами традиционной теории; это послужило причиной не показывать на рисунке боковое ярмо. Таким же образом поступают авторы всех учебников. Из картины также не ясно, какая из обмоток коротко-замкнута_
Сверхпоток
Антипоток
2. В действительности антипоток образуется частью линий поля, проходящих в короткозамкнутой внешней обмотке. Все линии поля, проходящие в промежутке между обмотками, ответвляются в левый стержень [1, 2]
Окончание табл. 3
Пояснение ошибки учебника
А. И. Иванов-
Смоленский,
1980
[21, с. 94]
(¿и>1 i tl£>(
«Дна
i,Wf С2шг
«Магнитное поле рассеяния трансформатора в режиме к.з. (w1i1 = - w2i2)»
1. Изложение некорректно, так как картины поля зависит от того, какая из обмоток находится в к. з. состоянии, что не указано в тексте.
2. Картина поля ошибочна, поскольку из нее следует, что все линии поля окна замыкаются через стержень.
3. В действительности при к.з., например внешней обмотки, часть линий поля, проходящие внутри нее, замыкается через боковые ярма и идут встречно направлению потока в стержне. Автор не приемлет это положение и, видимо, сознательно изображает трансформатор без боковых ярем, запутывая читателя
K. Kersai, D . Kerenyi, L. Kiss, 1987 [33, с. 22, 93, 94]
[ГТ It
ф,
-*»
у
Картины ошибочны, поскольку в них не отражены антипотоки [3]:
"In case of short circuit... when the outer winding is supplied, the flux in core limh may drop to 5 or to 15 % of its no loud value. In the case of supplying the inner winding the flux is rise to 105 to 115 % of no loud value". Картины поля построены со ссылкой на "Cauer, Cherry and Edelmann". Схема замещения получена формально с использованием модели трехобмоточного трансформатора и получением их параметров "in the section dealing with three-circuit transformers" (с. 94)_
ti-антшюток in
tf-антшюток
Получение схемы замещения через модель трехобмоточного трансформатора является курьезом, лишающим возможности адекватного понимания физики процесса к.з., что задержало более чем на 100-летие открытие важнейшего свойства трансформаторов относительно их характеристических поверхностей
З а м е ч а н и е 1. То обстоятельство, что и в настоящее время продолжает существовать ошибочное представление, будто бы энергия
в трансформаторе передается от первичной обмотки во вторичную через железо магнитопровода, явно демонстрирует также фрагмент статьи "Inside Transformer", написанной проф. докт. техн. наук Дж. В. Кальвертом (Dr. J. B. Calvert, University of Denver) 31 января 2001 г. специально для интернет-пользователей (последняя редакция - в июне 2011 г.):
"The mutual flux ф is the means of transfer of energy from primary to secondary, and links both windings. In an ideal transformer, this flux requires negligibly small ampere-turns to produce it, so the net ampereturns, primary plus secondary, is about zero. When a current is drawn from the secondary in the positive direction, ampere-turns decrease substantially. This must be matched by an equal increase in primary ampere-turns, which is caused by an increase in the current entering the primary in the positive direction. In this way, the back-emf of the primary (the voltage induced in it by the flux ф) equals the voltage applied to the primary, as it must. This fundamental explanation of the operation of a transformer must be clearly understood before proceeding further"
(в переводе на русский язык: «Взаимный поток ф является средством передачи энергии от первичной к вторичной и пронизывает обе обмотки. В идеальном трансформаторе этот поток требует пренебрежимо малых ампер-витков для его создания, поэтому чистый ток, равный сумме первичного и вторичного, равен примерно нулю. Когда ток идет от вторичной обмотки в положительном направлении, ампер-витки существенно уменьшаются. Это должно сопровождаться равным увеличением числа ампер-витков первичной обмотки, что обусловливает увеличение тока, входящего в первичную обмотку в положительном направлении. Таким образом, противо-ЭДС первичной обмотки (напряжение, индуцированное в ней потоком ф ) равна напряжению, приложенному к первичной обмотке, как и должно быть. Это фундаментальное объяснение работы трансформатора должно быть ясно понято, прежде чем двигаться дальше».
С полным текстом можно познакомиться в Интернете по ключевым словам: J. B. Calvert, Трансформаторы.
З а м е ч а н и е 2. В конце табл. 1 приведены ошибочные представления о распределении магнитных потоков при к. з. Анализ показывает, что большинство авторов учебников избегают приводить картины поля в этом состоянии трансформаторов [6, 20, 23, 37], либо сознательно приводят их для обрубленного трансформатора без бокового ярма, поскольку в противном случае пришлось бы признать существование антипотока, что противоречит официальной теории. Попытка нарисовать полные картины магнитных полей без антипотоков, как сделано в учебнике [33] (см. конец табл. 1), оказалась легкомысленной, что очевидно из их сравнения с картинами полей, полученными численно (рис. 2).
Тем самым учебник [33], как базовый для зарубежных университетов [24, 34], вводил и вводит в заблуждения огромное количество исследователей на протяжении более 30 лет. Впервые строгое доказательство возникновения антипотока при к.з. получено в [39, 40] на основе понятия магнитного тока.
А Б
Рис. 2. Картины магнитных полей в стержневом трансформаторе при короткозамкнутой внутренней обмотке (А) и короткозамкнутой внешней обмотке (Б), полученные численно с помощью программы ELCUТ [5]
З а м е ч а н и е 3. Имеют место попытки приспособить известные Т-образные схемы замещения индуктивно связанных катушек (Ц, Ь2, М)
в схемы для трансформаторов путем введения обозначений для индуктив-ностей плеч схемы
Аа= - М > Ц2а= Ц2 - М,
как представлено в [41]. При этом в [41, с. 54] делается ошибочное утверждение о несуществующем общем магнитном потоке, амплитуда которого якобы равна Фт = юМ/0, что противоречит физическим условиям электромагнитного взаимодействия катушек и не может быть использовано в качестве оправдания сомнительных положений стандартной теории трансформатора, приведенных в табл. 3.
Ток намагничивания как ток утечки. Согласно новому учению [111], причиной протекания электромагнитных процессов в трансформаторе является не намагничивающий ток, а прямая передача энергии в его окне от первичной обмотки ко вторичной.
Она распределена с плотностью, определяемой вектором Пойнтинга П = Ех н (см. рис. 1, А) благодаря соответствующей конструкции обмоток и магнитопровода, причем чем выше качество стали, тем меньшая часть
энергии ускользает в магнитопровод на покрытие магнитных потерь. В трансформаторе с Цсталь = нет потерь энергии в стали и ток намагничивания равен нулю. В этом случае в трансформаторе происходит расход (потребление, потеря) реактивной энергии только на создание электромагнитных полей в толще обмоток и промежутке 8 между ними. В уравнениях новой теории вместо выдуманных потоков (Ф0, Фст1, Фо2) используются реальные, т. е. подающиеся измерениям потоки, что приводит к 4Т-образной магнитоэлектрической схеме замещения. Отображение на схеме этих потоков реализуется выделением в ней отрицательных индуктивно-стей (см. рис. 1, Б). Процедура этого выделения равным образом отвечает физическому содержанию формул для потокосцеплений двухобмоточного трансформатора (см. табл. 2). Учет насыщения и активных потерь в стали связан с принятием во внимание потоков индукции между магнитопрово-дом и обмотками, а также между магнитопроводом и баком (рис. 3, А), что приводит к схеме замещения с четырьмя поперечными ветвями (рис. 3, Б). Токи этих ветвей складываются в ток 10 (см. рис. 2, Б), который, как показатель несовершенства стали магнитопровода, представляет собой не ток намагничивания, а сумму токов утечки. Эту же роль играет и ток х.х., сам смысл существования которого в режиме без нагрузки определяет понятие паразитного тока утечки. Чем он меньше, тем лучше трансформатор; в идеальном устройстве тока х.х. не должно быть!
Рис. 3. Магнитные потоки в трансформаторе при учете насыщения и потерь в стали (А)
и его 4Т-образная схема замещения (Б)
З а м е ч а н и е 4. Навязывание в традиционной теории представления об определяющей роли в работе трансформатора основного (главного) потока, создаваемого якобы током намагничивания, столь сильно, что даже авторы, знакомые с идеей передачи мощности в окне трансформатора посредством вектора Пойнтинга, отступают и идут при этом на курьезные за-
явления, пытаясь примирить эти два несовместимых принципа. Так, О. Б. Брон [42, с. 182] посчитал возможным дать мистическое пояснение:
«Основной магнитный поток в процессе своего возникновения или исчезновения также временно пересекает воздушный зазор. Далее он пронизывает обе обмотки, чего не делает поток рассеяния. Именно во время движения в воздушном зазоре основного магнитного потока возникает электромагнитное поле, которое переносит энергию от первичной обмотки во вторичную». С. Сили [43, с. 97], подтвердив, что «в трансформаторе, сердечник которого имеет бесконечную магнитную проницаемость, мощность ... проходит через воздушное пространство, а не через сердечник трансформатора», в следующем же предложении фантазирует: « ... в случае, когда магнитная проницаемость имеет конечное значение, часть мощности передается через материал сердечника». Не может обойтись без главного потока и Я. Туровский [44], утверждая, что при к.з. «он может считаться потоком рассеяния» и примерно посередине зазора существует «поверхность (на которой) вектор Пойнтинга П = 0 ... ». В действительности такой поверхности в середине зазора при к.з. не существует [2, 5].
Новые свойства трансформаторов. Согласованность схемных моделей (см. рис. 1-3) с физико-математическими описаниями поведения трансформатора создает перспективы для более глубокого исследования электромагнитных процессов в нем благодаря их особым качествам - отображать анатомию трансформатора через идентификацию в них узлов, ассоциированных с радиусами соответствующих цилиндрических поверхностей в окне трансформатора [3, 5, 6]. К особенностям анатомии трансформатора относятся так называемые АЕФ-инвариантные поверхности, т. е. характеристические поверхности, на которых величины векторного потенциала (А), напряженности электрического поля (E) и функция потока (Ф), удовлетворяющие естественным физическим связям [3]:
E(r) = - j® ■ А(г), Ф(r) = A(r),
не зависят от нагрузки трансформатора (рис. 4).
Особое значение имеет следующий факт: это свойство практически соблюдается в реальных броневых трансформаторах, что подтверждают численные эксперименты [5, 45]. Активная мощность, передаваемая через идеализированный трансформатор, может быть выражена через потоки
Ф а, Ф b, охватываемые характеристическими поверхностями:
r0 r0
,Фа Ф b P = ro ro sin 0,
xsh
где 0 - синус угла между потоками [6].
Б
Рис. 4. Семейства кривых функций потоков для броневого трансформатора с первичной внутренней (А) и внешней (Б) обмотками
Открытие АЕФ-инвариантных поверхностей позволяет адекватно объяснять особенности полей в трансформаторах в зависимости от их конструкции и режима работы, включая динамические процессы с учетом нелинейных параметров устройства. В частности, более понятными становятся следующие свойства в поведении броневого трансформатора:
1) при к.з. возникают сверх- и антипотоки в сравнении с потоком х.х. [2, 5]; подтверждается корректность 4Т-образной схемы замещения;
2) при к.з. трансформатор намагничивается неоднородно; например, при к.з. сверхпоток в стержне превышает антипоток в боковой части трансформатора в 13-14 раз [45];
3) при противовключениях граница раздела потоков проходит в зазоре между обмотками, тогда как при к.з. она находится внутри к.з. обмотки броневого трансформатора; связывать эти режимы друг с другом, как это делается, например, в [20], не корректно.
Эти выводы частично распространяются на другие типы трансформаторов. В частности, свойство 2 в полной мере подтверждают картины полей при к.з. для стержневых трансформаторов (см. рис. 2). Однако есть и существенные различия, в чем можно убедиться при сравнении семейств кривых функций потоков для броневого и стержневого трансформаторов. В первом случае Ф-инвариантные поверхности наблюдаются как в повышающем, так и в понижающем трансформаторе (рис. 4), тогда как в стержневом трансформаторе Ф-инвариантная поверхность имеет место только в случае трансформатора с первичной внешней ¿-обмоткой, т. е. при его работе в качестве понижающего. Причем этих поверхностей две, одна в Ъ-обмотке и вторая в его стержне, тогда как в повышающем трансформаторе нет ни одной Ф-инвариантной поверхности (рис. 5). То же явление свойственно и для двустержневого трансформатора [45]. Такие особенности подтверждаются аналитически, т. е. на основе математических выводов для идеализированных трансформаторов с бесконечной магнитной проницаемостью стали. Более того, их реальность была предсказана на основе анализа 4Т-образной схемы замещения идеализированного броневого трансформатора в [3]. Вместе с тем их физический смысл остается неясным. Образно говоря, ответ на вопрос: «Зачем трансформатору нужны Ф-инвариантные поверхности?» - остается открытым. Неясно также, почему в повышающих стержневых трансформаторах они отсутствуют (но имеются Ф -инвариантные поверхности), а в понижающем их сразу две и с ними
совпадают все
Ф
-инвариантные поверхности, и т. д. Разумеется, ответы
на поставленные вопросы находятся вне возможностей традиционной теории.
(1 = 100 ц0
Рис. 5. Семейства кривых функций потоков для стержневого трансформатора с первичной внутренней (А) и внешней (Б) обмотками
Заключение
В самой официальной теории трансформаторов заложены догмы, не дающие ей развиваться, на что указывают очевидные нестыковки, регулярно подмечавшиеся на протяжении всего ХХ в.
В отличие от традиционной новая теория построена не на домыслах и сомнительных уравнениях, а на легко проверяемых физико-математических основах при наименьших упрощениях и наибольшей наглядности используемых соотношений для реальных магнитных потоков.
Компромисс между традиционной и новой теориями невозможен. Вместе с тем ценой упрощения, например, универсальной 4Т-образной схемы замещения трансформатора могут быть получены любые Т-, П- и Г-об-разные модели официальной теории, но не ценой примирения с ее ошибками, а, наоборот, путем их вскрытия и определением места названных моделей в теории и расчете трансформаторов в системе сложных сетей.
Одновременно с перестройкой учения о трансформаторах неизбежно возникает тема коррекции теории электрических машин переменного тока, начиная с принципов их действия, которые, как и в трансформаторах, должны быть напрямую увязаны с переносом энергии через зазоры между роторами и статорами посредством вектора Пойнтинга взамен используемых для этой цели понятий намагничивающего тока и общего потока машины.
Библиографический список
1. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 1 / М. А. Шакиров // Электричество. - 2014. - № 9. - С. 52-59.
2. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 2 / М. А. Шакиров // Электричество. - 2014. - № 10. - С. 53-65.
3. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 4. Анатомия трансформатора / М. А. Шакиров // Электричество. - 2017. - № 3. - С. 37-49.
4. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 11. Трехфазные трехстержневые трансформаторы без нейтрального провода / М. А. Шакиров // Электричество. - 2021. - № 1. - С. 23-34.
5. Shakirov M. A. Alternative transformer theory based on pointing theore / M. A. Sha-kirov, A. A. Tkachuk // 2020 International Conference on Industrial Engineering, Application and Manufacturing (ICEAM). - May 18-22, 2020. - Sochi, Russia, 2020. - P. 911-920. https://doi.org/10.1109 / ICIEAM48468.2020.9111920
6. Shakirov M. A. The electrotonic state in a power transformer / M. A. Shakirov // 2020 International Milti-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon). - October 6-9, 2020. - Vladivistok, Russian: Far Eastern Federal University (FEFU), 2020. - P. 23-34. https://doi.org/10.1109/FarEastCon50210.2020.927158
7. Lion F. Comparing T and n equivalent circuits for the calculation transformer inrush currents / F. Lion, A. Farazmand, J. Pecir // IEEE Transaction on power delivery. - 2012. -Vol. 24. - P. 2390-2397.
8. Steinmetz C. P. Theory and calculation of alternating current phenomena / C. P. Steinmetz. - New York: McGraw-Hill Book Company, 1897. - 431 p. http://openlibrary.org
9. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances / A. Boyajian // AIEETrans. - 1925. - Jun. - P. 805-810.
10. Вольдек А. И. Схемы замещения индуктивно связанных цепей и их параметры / А. И. Вольдек. - Таллин: Эстон. гос. изд-во, 1952. - 36 с.
11. Марквардт Е. Г. Электромагнитные расчеты трансформаторов / Е. Г. Марк-вардт. - М.: ОНТИ, Ред. энергетич. лит., 1938. - 136 с.
12. Пенчев П. Р. Въерхуразсейването в трансформаторите / П. Р. Пенчев. - София: Техника, 1969. - 123 с.
13. Лейтес Л. В. Эквивалентная схема двухобмоточного трансформатора, опыты холостого хода и короткого замыкания / Л. В. Лейтес // Труды ВЭИ. - М.: ВЭИ, 1969. - С. 277-297.
14. Кононов Ю. С. Внезапное включение невозбужденного силового трансформатора на короткое замыкание / Ю. С. Кононов, В. В. Короленко, В. Т. Левченко // Электрические станции. - 1972. - № 1. - С. 62-64.
15. Григоров И. Б. Потоки в магнитопроводах мощных силовых трансформаторов и автотрансформаторов с учетом потока рассеяния / И. Б. Григоров // Электротехника. -1975. - № 4. - С. 12-16.
16. Лейтес Л. В. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов / Л. В. Лей-тес, А. М. Пинцов. - М.: Энергия, 1974. - 192 с.
17. Лурье А. И. Электродинамическая стойкость трансформаторов и реакторов при коротком замыкании / А. И. Лурье. - М.: Знак, 2005. - 520 с.
18. Blume L. F. Transformer engineering : A treatise on the theory, operation and application of transformer / L. F. Blume, A. Boyajian, G. Gamilly, T. C. Lenox, S. Minnec, M. V. Montsinger. - New York: Wiley, 1938. - 496 p.
19. Петров Г. Н. Электрические машины. Трансформаторы. Ч. 1 / Г. Н. Петров. -М.: Энергия, 1974. - 240 с.
20. Вольдек А. И. Электрические машины / А. И. Вольдек. - Л.: Энергия, 1974. -
840 с.
21. Иванов-Смоленский А. И. Электрические машины / А. И. Иванов-Смоленский. - М.: Энергия, 1989. - 928 с.
22. Важнов М. И. Электрические машины / М. И. Важнов. - Л.: Энергия, 1968. -
768 с.
23. Васютинский С. Б. Вопросы теории и расчет трансформаторов / С. Б. Васю-тинский. - Л.: Энергия, 1970. - 432 с.
24. Lion F. Transformers in power system transients / F. Lion, P. Gomez, М. Mar-tinez-Velasco, M. Rioual // Parameter Determination. - Boca Raton, FL: CRC, 2009. -Pt 4. - P. 177-250.
25. Alvarez-Marino С. Equivalent circuit for the leakage inductance of multiwinding transformers: unification of terminal and duality models / С. Alvarez-Marino, F. Leon, X. M. Lopez-Fernandez // IEEE Transactions on power delivery. - 2012. - Vol. 27. -P. 353-361.
26. Шакиров М. А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Ч. 3: Многообмоточный трансформатор / М. А. Шакиров // Электричество. - 2015. - № 9. -С. 34-47.
27. Малыгин В. М. Локализация потока энергии в трансформаторе / В. М. Малыгин // Электричество. - 2015. - № 4. - С. 60-65.
28. Сергеенко Б. Н. Электрические машины. Трансформаторы / Б. Н. Сергеенко, В. М. Кисилев, Н. А. Акимова. - М.: Высшая школа, 1989. - 352 с.
29. Петров Г. Н. Трансформаторы. Ч. 1 / Г. Н. Петров. - М.: ГЭИ, 1934. - 446 с.
30. Калантаров П. Л. Теоретические основы электротехники. Ч. 2 / П. Л. Каланта-ров, Л. Р. Нейман. - М.: ГЭИ, 1948. - 411 с.
31. Bean L. Transformers for the electric power industy / L. Bean, N. Chackan, H. Moore. - New York: McGraw-hill Book Company, 1959. - 409 p.
32. Ионкин П. А. Теоретические основы электротехники. Ч. 2 / П. А. Ионкин, А. И. Даревский и др. - М.: Высшая школа, 1976. - 383 с.
33. Kersai K. Large power transformers / K. Kersai, D. Kerenyi, L. Kiss. - Amsterdam: Elsevier Publ., 1987. - 615 p.
34. Kulkarni S. V. Transformer engineering. Design, technology, and diagnostics / S. V. Kulkarni, S. A. Khaparde. - New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2013. -720 p.
35. Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Ч. 2 / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман и др. - СПб.: Питер, 2003. - 576 с.
36. Александров Г. Н. Режимы работы трансформаторов: учеб. пособие / Г. Н. Александров. - М.: Центр подготовки кадров РАО «ЕЭС России» (СЗФ АО «ГВЦ Энергетики»), 2003. - 142 с.
37. Del Vecchio R. M. Transformer design principles: with applications to core-form power transformers / R. M. Del Vecchio. - New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2010. - 597 p.
38. Костенко М. П. Электрические машины. Ч. 1 / М. П. Костенко, Л. М. Пиотровский. - М.: Госэнергоиздат, 1958. - 464 с.
39. Шакиров М. А. Анализ неравномерности распределения магнитных нагрузок и потерь в трансформаторах / М. А. Шакиров // Электричество. - 2005. - № 11. - С. 1527.
40. Шакиров М. А. 2Т-образные схемы замещения трансформатора / М. А. Шаки-ров // Электричество. - 2010. - № 5. - С. 19-36.
41. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин / И. П. Копылов. - М.: Высшая школа, 2001. - 327 с.
42. Брон О. Б. Электромагнитное поле как вид материи / О. Б. Брон. - М.: ГЭИ, 1962. - 260 с.
43. Сили С. Электромеханическое преобразование энергии / С. Сили. - М.: Энергия, 1968. - 376 с.
44. Туровский Я. Техническая электродинамика / Я. Туровский. - М.: Энергия, 1974. - 498 с.
45. Шакиров М. А. Критика положений традиционной и основы новой теории трансформаторов / М. А. Шакиров, А. А. Ткачук // Бюллетень результатов научных исследований. - 2020. - Вып. 1. - С. 26-42.
Дата поступления: 26.02.2021 Решение о публикации: 03.03.2021
Контактная информация:
ШАКИРОВ Мансур Акмелович - д-р техн. наук, проф.; manshak@mail.ru ТКАЧУК Антон Андреевич - канд. техн. наук, доц.; a.a.tkachuk@mail.ru
Innovative solutions in transformer theory
1 2 M. A. Shakyrov , A. A. Tkachuk
1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, 29, Polytechnicheskaya ul., Saint Petersburg, 195251, Russian Federation
2 Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, 9, Moskovsky pr., Saint Petersburg, 190031, Russian Federation
For citation: Shakyrov M. A., Tkachuk A. A. Innovative solutions in transformer theory. Bulletin of scien-
tific research results, 2021, iss. 2, pp. 5-31. (In Russian) DOI: 10.20295/2223-9987-2021-2-5-31 Summary
Objective: Clarification of the reasons for errors in the traditional transformer theory and ways of correcting it based on more accurate physical and mathematical equations for describing the processes of energy transfer in a transformer using the Poynting vector. Demonstrating a new principle of operation and the resulting new properties of the transformer. Methods: The study applies transition from analytical modeling of the device behavior to its equivalent circuit displaying the magnetic fluxes of the transformer. The specific feature of this approach is that at first it is applied to an idealized transformer with infinite magnetic permeability of steel, after which the circuit is built up with elements that take into account saturation and losses in the steel of a real device. Results: The contradictions and paradoxes of the standard theory have been revealed. The findings have shown the need to replace it with a doctrine based on equations for real, measurable magnetic fluxes instead of virtual (contrived) fluxes of the official theory. The correctness and significance of the proposed theory is confirmed by the discovery of new properties of transformers and the capability of using it to explain the magnetic overexcitation of individual sections of the transformer in emergency modes. Practical importance: Conditions are provided, and ways are outlined for creating correct textbooks instead of standard ones with outdated ideas about physical processes in transformers. A deeper insight into the operation of transformers resulting from the new theory should contribute to the improvement of methods for increasing their electrodynamic withstand.
Keywords: Transformer, primary and secondary windings, magnetic flux, equivalent circuit, short circuit, no-load operation.
References
1. Shakirov M. A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Ch. 1 [Poynting vector and a new transformer theory. Pt 1]. Elektrichestvo [Electricity], 2014, no. 9, pp. 5259. (In Russian)
2. Shakirov M. A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Ch. 2 [Poynting vector and a new transformer theory. Pt 2]. Elektrichestvo [Electricity], 2014, no. 10, pp. 5365. (In Russian)
3. Shakirov M. A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Ch. 4. Anato-miya transformatora [Poynting vector and a new transformer theory. Pt 4. Transformer anatomy]. Elektrichestvo [Electricity], 2017, no. 3, pp. 37-49. (In Russian)
4. Shakirov M. A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Ch. 11. Trekhfaznyye trekhsterzhnevyye transformatory bez neytral'nogo provoda [Poynting vector and a new transformer theory. Pt 11. Three-phase three-rod transformers without a neutral wire]. Elektrichestvo [Electricity], 2021, no. 1, pp. 23-34. (In Russian)
5. Shakirov M. A. & Tkachuk A. A. Alternative transformer theory based on pointing theore. 2020 International Conference on Industrial Engineering, Application and Manufacturing (ICEAM). Sochi, Russia, May 18-22, 2020, pp. 911-920. https://doi.org/10.1109/ ICIEAM48468.2020.9111920
6. Shakirov M. A. The electrotonic state in a power transformer. 2020 International Milti-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon). Vladi-vistok, Russian, Far Eastern Federal University (FEFU), October 6-9, 2020, pp. 23-34. https://doi.org/10.1109/FarEastCon50210.2020.927158
7. Lion F., Farazmand A. & Pecir J. Comparing T and n equivalent circuits for the calculation transformer inrush currents. IEEE Transaction on power delivery, 2012, vol. 24, pp. 2390-2397.
8. Steinmetz C. P. Theory and calculation of alternating current phenomena. New York, McGraw-Hill Book Company Publ., 1897, 431 p. http://openlibrary.org
9. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances. AIEETrans, 1925, Jun., pp. 805-810.
10. Voldek A. I. Skhemy zameshcheniya induktivno svyazannykh tsepey i ikhparametry [Equivalent circuits of inductively coupled circuits and their parameters]. Tallinn, Estonian State Publ., 1952, 36 p. (In Russian)
11. Markvardt E. G. Elektromagnitnyye raschety transformatorov [Electromagnetic calculations of transformers]. Moscow, ONTI [Editorial board of power engineering literature] Publ., 1938, 136 p. (In Russian)
12. Penchev P. R. Vyerkhurazseyvaneto v transformatorite [Surge dissipation in transformers]. Sofia, Tekhnika Publ., 1969, 123 p.
13. Leytes L. V. Ekvivalentnaya skhema dvukhobmotochnogo transformatora, opyty kholostogo khoda i korotkogo zamykaniya [Equivalent circuit of a two-winding transformer, no-load operation and short circuit experiments]. Proceedings of VEI. Moscow, VEI [V. I. Lenin All-Union Electrotechnical Institute] Publ., 1969, pp. 277-297. (In Russian)
14. Kononov Yu. S., Korolenko V. V. & Levchenko V. T. Vnezapnoye vklyucheniye nevozbuzhdennogo silovogo transformatora na korotkoye zamykaniye [Sudden start of an un-excited power transformer for a short circuit]. Elektricheskiye stantsii [Electrical stations], 1972, no. 1, pp. 62-64. (In Russian)
15. Grigorov I. B. Potoki v magnitoprovodakh moshchnykh silovykh transformatorov i avtotransformatorov s uchetom potoka rasseyaniya [Fluxes in magnetic circuits of high-capacity power transformers and autotransformers considering the leakage flux]. Elek-trotekhnika [ElectricalEngineering], 1975, no. 4, pp. 12-16. (In Russian)
16. Leytes L. V. & Pintsov A. M. Skhemy zameshcheniya mnogoobmotochnykh transformatorov [Equivalent circuits for multi-winding transformers]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 192 p. (In Russian)
17. Lurie A. I. Elektrodinamicheskaya stoykost' transformatorov i reaktorov pri korot-kom zamykanii [Electrodynamic withstand of transformers and reactors at short circuit]. Moscow, Znak Publ., 2005, 520 p. (In Russian)
18. Blume L. F., Boyajian A., Gamilly G., Lenox T. C., Minnec S. & Montsinger M. V. Transformer engineering: A treatise on the theory, operation and application of transformer. New York, Wiley Publ., 1938, 496 p.
19. Petrov G. N. Elektricheskiye mashiny. Transformatory. Ch. 1 [Electric machines. Transformers. Pt 1]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 240 p. (In Russian)
20. Voldek A. I. Elektricheskiye mashiny [Electric machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1974, 840 p. (In Russian)
21. Ivanov-Smolensky A. I. Elektricheskiye mashiny [Electric machines]. Moscow, Energiya Publ., 1989, 928 p. (In Russian)
22. Vazhnov M. I. Elektricheskiye mashiny [Electric machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1968, 768 p. (In Russian)
23. Vasyutinskiy S. B. Voprosy teorii i raschet transformatorov [Discussing the theory and calculation of transformers]. Leningrad, Energiya Publ., 1970, 432 p. (In Russian)
24. Lion F., Gomez P., Martinez-Velasco M. & Rioual M. Transformers in power system transients. Parameter Determination. Boca Raton, FL, CRC Publ., 2009, Pt 4, pp. 177-250.
25. Alvarez-Marino С., Leon F. & Lopez-Fernandez X. M. Equivalent circuit for the leakage inductance of multiwinding transformers: unification of terminal and duality models. IEEE Transactions on power delivery, 2012, vol. 27, pp. 353-361.
26. Shakirov M. A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Ch. 3. Mno-goobmotochnyy transformator [Poynting vector and a new transformer theory. Pt 3. Multi-winding transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2015, no. 9, pp. 34-47. (In Russian)
27. Malygin V. M. Lokalizatsiya potoka energii v transformatore [Energy flow localization in a transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2015, no. 4, pp. 60-65. (In Russian)
28. Sergeenko B. N., Kisilev V. M. & Akimova N. A. Elektricheskiye mashiny. Transformatory [Electric machines. Transformers]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1989, 352 p. (In Russian)
29. Petrov G. N. Transformatory. Ch. 1 [Transformers. Pt 1]. Moscow, GEI [Hydropower Institute] Publ., 1934, 446 p. (In Russian)
30. Kalantarov P. L. & Neumann L. R. Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki. Ch. 2 [Theoretical foundations of electrical engineering. Pt 2]. Moscow, GEI [Hydropower Institute] Publ., 1948, 411 p. (In Russian)
31. Bean L., Chackan N. & Moore H. Transformers for the electric power industy. New York, McGraw-hill Book Company Publ., 1959, 409 p.
32. Ionkin P. A., Darevskiy A. I. et al. Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki. Ch. 2 [Theoretical foundations of electrical engineering. Pt 2]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 1976, 383 p. (In Russian)
33. Kersai K., Kerenyi D. & Kiss L. Large power transformers. Amsterdam, Elsevier Publ., 1987, 615 p.
34. Kulkarni S. V. & Khaparde S. A. Transformer engineering. Design, technology, and diagnostics. New York, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2013, 720 p.
35. Demirchyan K. S., Neumann L. R. et al. Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki. Ch. 2 [Theoretical foundations of electrical engineering. Pt 2]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2003, 576 p. (In Russian)
36. Aleksandrov G. N. Rezhimy raboty transformatorov. Ucheb. posobiye [Operating modes of transformers. Training manual]. Moscow, Training Center of RAO "UES of Russia" [SZF JSC "GVTs Energetiki"] Publ., 2003, 142 p. (In Russian)
37. Del Vecchio R. M. Transformer design principles: with applications to core-form power transformers. New York, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2010, 597 p.
38. Kostenko M. P. & Piotrovskiy L. M. Elektricheskiye mashiny. Ch. 1 [Electric machines. Pt 1]. Moscow, Gosenergoizdat Publ., 1958, 464 p. (In Russian)
39. Shakirov M. A. Analiz neravnomernosti raspredeleniya magnitnykh nagruzok i po-ter' v transformatorakh [Analysis of the uneven distribution of magnetic loads and losses in transformers]. Elektrichestvo [Electricity], 2005, no. 11, pp. 15-27. (In Russian)
40. Shakirov M. A. 2T-obraznyye skhemy zameshcheniya transformatora [2T-shaped equivalent circuits of a transformer]. Elektrichestvo [Electricity], 2010, no. 5, pp. 19-36. (In Russian)
41. Kopylov I. P. Matematicheskoye modelirovaniye elektricheskikh mashin [Mathematical modeling of electrical machines]. Moscow, Vysshaya Shkola Publ., 2001, 327 p. (In Russian)
42. Bron O. B. Elektromagnitnoye pole kak vid materii [Electromagnetic field as a kind of matter] Moscow, GEI [Hydropower Institute] Publ., 1962, 260 p. (In Russian)
43. Seely S. Elektromekhanicheskoye preobrazovaniye energii [Electromechanical energy conversion]. Moscow, Energiya Publ., 1968, 376 p. (In Russian)
44. Turowski J. Tekhnicheskaya elektrodinamika [Technical electrodynamics]. Moscow, Energiya Publ., 1974, 498 p. (In Russian)
45. Shakirov M. A. & Tkachuk A. A. Kritika polozheniy traditsionnoy i osnovy novoy teorii transformatorov [Criticism of the stipulations of the traditional transformer theory and the basis of the new transformer theory]. Bulletin of scientific research results, 2020, iss. 1, pp. 26-42. (In Russian)
Received: February 26, 2021 Accepted: March 03, 2021
Author's information:
Mansur A. SHAKYROV| - D. Sci. in Engineering, Professor; manshak@mail.ru
Anton A. TKACHUK - PhD in Engineering, Associate Professor; a.a.tkachuk@mail.ru
