CC BY
84
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ushakov N.G. Selected topics in characteristic functions. Utrecht: VSP, 1999.
2. Matysiak W., Szablowski P. J. Some inequalities for characteristic functions //J. Math. Sci. 2001. 105. N 6. P. 2594-2598.
3. Hu Chin-Yuan, Lin Guo Domg. Some inequalities for characteristic functions //J. Math. Anal. Appl. 2005. 309. N 1. P. 336-352.
4. С an or о в H.A. Слабая устойчивость теоремы И. Марцинкевича и некоторые неравенства для характеристических функций // Записки научн. семин. ЛОМИ. 1979. 85. С. 193-196.
5. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Несколько неравенств для характеристических функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1999. № 3. С. 24-28.
6. Wand М. P., Jones М.С. Kernel smoothing. London: Chapman and Hall, 1995.
7. Glad I.K., Hjort N.L., Ushakov N.G. Mean squared error of kernel estimators for finite values of the sample size // Transactions of the 25-th International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Maiory/Salerno, Italy, 2005. P. 151-156.
8. Glad I. K., Hjort N.L., U shako v N.G. Mean squared error of kernel estimators for finite values of the sample size //J. Math. Sci. (to appear).
Поступила в редакцию 22.03.06
УДК 519+530.145
А. Ю. Богданов, Ю. И. Богданов, К. А. Валиев
ИНФОРМАЦИЯ ШМИДТА И ЗАПУТАННОСТЬ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ1
(кафедра квантовой информатики факультета ВМиК, e-mail: bogdan@ftian.oivta.ru)
Введение. Квантовая информатика — одна из наиболее динамично развивающихся областей современной науки и технологии. Это связано с тем, что квантовые компьютеры и приборы квантовой криптографии, основанные на законах квантовой физики, способны радикально повысить эффективность решения многих важных типов задач по сравнению с традиционными классическими системами [1]. Одним из основных понятий квантовой информатики является запутанность (entanglement), служащая важным ресурсом для квантовых вычислений и квантовой криптографии. Впервые это явление было проанализировано в знаменитой работе Эйнштейна, Подольского и Розена в 1935 г. в форме так называемого парадокса ЭПР [2]. Парадокс заключается в том, что если имеются две частицы, которые взаимодействовали в прошлом, то даже по прошествии сколь угодно большого времени по окончанию взаимодействия эти частицы продолжают находиться в так называемом запутанном состоянии, характеризующемся специфической квантовой корреляцией. Так, производя измерения над одной из них, мы можем получить информацию и о второй частице. При этом частицы могут быть как угодно далеко разнесены в пространстве, что ставит вопрос о локальности взаимодействия и о полноте квантовой механики. Бор, основываясь на выдвинутом им принципе дополнительности и формализме квантовой механики, отстаивал точку зрения, согласно которой описание ЭПР-пар не содержит в себе никаких парадоксов или противоречий. Рассматриваемое явление явилось поводом для многолетней дискуссии между Эйнштейном и Бором по методологическим вопросам квантовой механики [3].
В силу необычности квантовых свойств микрочастиц вопрос о природе ЭПР-пар еще долгое время оставался дискуссионным, причем дискуссия в основном имела характер философских споров. Однако
1 Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 06-07-89129-а и Президента России по поддержке научных школ НШ-8010.2006.9.
после появления известной работы Фейнмана [4] рассматриваемый вопрос получил также и практический аспект, связанный с возможностью использования явления запутанности квантовых состояний для целей вычислений и связи.
Математический инструмент, используемый для исследования запутанности, был предложен еще в 1906 г. в работе Шмидта [5]. Основные сведения по теории Шмидта можно найти, например, в книге [1] и в обзоре [6].
Первоначально в научной литературе акцент делался на исследовании запутанности дискретных степеней свободы, связанных со спином и поляризацией частиц. В последние годы все более активно рассматривается запутанность систем с непрерывными степенями свободы (такими, как координата, импульс, частота и др.) [7-9].
В настоящей работе рассматриваются информационные аспекты, связанные с разложением Шмидта и запутанностью квантовых состояний.
В разделе 1 мы вводим понятие информации Шмидта как меры неслучайности корреляций между результатами измерений двух наблюдателей, производящих измерения над ЭПР-квантовыми состояниями.
В разделе 2 математический аппарат разложения Шмидта и квантово-механическое понятие запутанности состояний используются для построения аналитической модели, позволяющей моделировать гауссовы корреляции. Выявлена связь между коэффициентом корреляции Пирсона и числом Шмидта. Весьма примечательным является тот факт, что в рамках рассматриваемой аналитической модели информация на основе разложения Шмидта и информация Шеннона совпадают.
В разделе 3 на основе рассмотрения квантового гармонического осциллятора в термостате дана термодинамическая интерпретация введенных понятий.
В разделе 4 рассматриваемая аналитическая модель служит для тестирования численного алгоритма экстракции мод Шмидта, предложенного в [10]. Показано, что можно добиться практически точного совпадения результатов аналитических и численных расчетов.
Наконец, в разделе 5 сформулированы основные результаты работы.
1. Мера информации, основанная на разложении Шмидта. Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) системы |ф) зависит от переменных двух подсистем. Тогда разложение Шмидта будет иметь вид [1, 5, 6]
(1)
ф12) >, (1)
ф.
где — весовые множители, удовлетворяющие условию нормировки
;л* = 1. (2)
Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (1) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов А&.
Функции (векторы)
ф
(1)
к
Ф^ ^ называются модами Шмидта. Число весовых множителей А& в
разложении (1) и соответственно число мод Шмидта может быть как конечным, так и бесконечным.
Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта, есть число Шмидта К, которое характеризует эффективное число мод в разложении:
1
ТГЧ
К=^2- (3)
По своему определению, в силу условия нормировки для А&, число К заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число К лежит в интервале 1 ^ К ^ в, где в — размерность гильбертова пространства квантовой системы.
Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности.
Например, регистрация подсистемы 1 наблюдателем А в состоянии фозначает, что подсистема 2 с необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем В) в состоянии ф^ / (при том же самом к).
Пространственно разнесенных наблюдателей А и В в квантовой криптографии принято обычно называть Алисой и Бобом. Пусть проводятся измерения над запутанными подсистемами, описываемыми формулой (1). Если отвлечься от шумов и ошибок, то можно утверждать, что Алиса и Боб будут регистрировать одну и ту же последовательность чисел к\, • • • (100% корреляция), в которой каждая мода ki встречается с вероятностью соответственно А&., i = 1, 2,....
Однако существует отличная от нуля вероятность того, что совпадение последовательностей результатов измерений является случайным. Иными словами, можно предполагать, что последовательности порождены не единым ЭПР-источником, а двумя независимыми источниками, в каждом из которых произвольная мода к = 1, 2,... встречается с вероятностью А&, к = 1, 2,....
При отдельном случайном испытании от двух независимых источников мы можем получить произвольную комбинацию мод к\к2 (кi у Алисы, к2 у Боба соответственно) с вероятностью А^2. В силу условия нормировки (2) полной вероятности на единицу можно записать: ^ А^А^ = 1. Выделим
к 1 ,к2
из последней суммы слагаемые, отвечающие совпадениям результатов измерений, когда к\ = к2 = к.
Тогда вероятность случайного совпадения символов будет равна
= = (4)
к
Вероятность противоположного события, заключающегося в несовпадении символов, есть
W)=l-pW= Y: AfclAк2 = ^. (5)
к\фк2
При достаточно большом К, когда К —> оо, из (4) и (5) следует, что Р'1' —> О, Р'1' —> 1. В этом случае гипотеза о классичности системы и случайности совпадений последовательностей результатов измерений является маловероятной. Она должна быть отвергнута в пользу гипотезы о неслучайном характере совпадений и их обусловленности явлением квантовой запутанности. Напротив, при малых значениях К, когда К —> 1, из (4) и (5) следует, что Р'1' —> 1, Р'1' —> 0. В этом случае совпадение последовательностей результатов измерений никак не может свидетельствовать о наличии явления квантовой запутанности в системе. Таким образом, чем выше значение числа Шмидта К ^ 1, тем большую информацию о запутанности в квантовой системе оно несет, причем при К = 1 информация отсутствует. Изложенные соображения позволяют нам по аналогии с формулой Больцмана ввести новое понятие информации Шмидта:
I = \og(K). (6)
В качестве основания логарифма в (6) могут быть выбраны числа е, 2, 10 и т. п. (соответствующий выбор определяет единицу измерения информации).
Отметим, что с формальной точки зрения информация, определяемая посредством (6), может рассматриваться как энтропия Реньи второго порядка (а = 2) [11].
Явление запутанности можно интерпретировать и на языке энтропии Шеннона. Энтропию подсистемы определяют формулой (см., например [1, 10])
S = -]T(AfclogAfc). (7)
к
До измерения состояние было нефакторизованным (т.е. запутанным) и содержало в себе неопределенность по отношению к будущим измерениям (энтропия больше нуля); после измерения состояние стало факторизованным, всякая неопределенность по отношению к будущим измерениям пропала, число Шмидта стало равным единице (нулевая энтропия запутанности).
Таким образом, формулы (6), (7) дают меру снижения неопределенности по отношению к будущим измерениям, т.е. меру информации, полученной в результате измерений и соответствующего разрушения состояний исходных ЭПР-представителей.
В двух важных частных случаях информация на основе разложения Шмидта и информация Шеннона совпадают.
Первый (очевидный) случай соответствует конечному числу мод Шмидта с одинаковыми вероятностями (каждая мода имеет вероятность j^). Действительно, до осуществления одного из К равновоз-можных событий в системе имелась неопределенность, описываемая энтропией Шеннона So = log (К).
После проведения измерения осуществилась только одна из возможностей, отвечающая некоторому к = ко в выражении для энтропии (7) (А&0 = 1, Акфк0 = 0), и энтропия стала равной нулю (5 = 0). В результате измерения у наблюдателя появилась информация Шеннона, равная соответствующему снижению неопределенности (энтропии) в системе (/зь = 5о — 5 = ^(К)).
Второй случай, описывающий гауссовы корреляции, рассматривается в следующем разделе.
2. Гауссовы корреляции. Коэффициент корреляции Шмидта. Двумерное нормальное распределение, задающее совместное распределение случайных величин х\ и х2 с коэффициентом корреляции Пирсона р, определяется следующей плотностью распределения вероятностей [11]:
р(х 1,ж2) = -, ехр
Ъ-комфТ? \ 2(1 -р2)
(х1 - ТО1)2 2р(хг - т1)(х2 - т2) (х2 - т2)
+
а\ а1а2 сг|
(8)
Здесь т 1, т2, а\, а\ — соответствующие математические ожидания и дисперсии случайных величин.
Распределение (8) будем рассматривать как реализацию результатов измерений над квантовым состоянием с волновой функцией ф{х\^х2)^ равной квадратному корню из плотности распределения
р{х 1,х2): _
ф(х1,х2) = у/р(х 2,х2). (9)
Физический пример реализации квантового состояния (9), основанный на системе двух связанных квантовых осцилляторов, описан в Приложении 1.
Применим к волновой функции ф{х\^х2) разложение Шмидта. В результате (см. Приложение 2) получим соответственно для первой и второй переменной формулы для мод Шмидта, выражающиеся через функции Чебышева-Эрмита С^ — нормировочные константы к = 0,1,...):
(10)
*<»(*,) = С««Я, ехр ,
*?'<».) = с?'* (^г^Щ «*> (-К^Е) •
Оказывается, что число Шмидта связано с коэффициентом корреляции соотношением
к=тЬ- (11)
Веса А& в разложении Шмидта образуют геометрическую прогрессию с параметрами:
А° = ¥ТТ (12)
— вес нулевой (главной) компоненты Шмидта,
К - 1
д=--13
К + 1 У '
— знаменатель геометрической прогрессии.
Шенноновское количество информации (взаимная информация, содержащаяся в совместном распределении случайных величин х\ и х2) определяется формулой [11]:
Г ( р(х 1, х2) Л
Ь\у{Х1]х2)= р(х —-—-—-—-\dxidx-2,. (14)
У \Р1(Х1)Р2(Х2) ;
Здесь р(х 1, х2) — плотность совместного распределения, а плотности Р1{х\) и р2(х2) задают (маргинальные) распределения случайных величин х\ и х2 соответственно:
Р\{х1) = J р(х 1,х2)<1х2, р2(х2) = ! р(х 1,х2)<1х1. (15)
Вычисление количества информации Шеннона согласно (14) для двумерного нормального распределения приводит к следующему известному результату [11]:
кь(хцжг) . (16)
Связь (11) между числом Шмидта и коэффициентом корреляции позволяет сразу записать информацию Шеннона в следующем очень простом виде:
х2) = 1с^(К).
Таким образом, в случае гауссовых коррелирующих величин количество информации Шеннона совпадает с введенным выше определением количества информации на основе разложения Шмидта. Информация, основанная на разложении Шмидта, является мерой неслучайности корреляций ЭПР-типа. В то же время традиционная (шенноновская) взаимная информация, как известно, характеризует меру сжатия данных, которое возможно за счет учета взаимной зависимости рассматриваемых величин.
Используя определение (7), можно показать (см. Приложение 3), что энтропия запутанности в рассматриваемом случае имеет вид
„ , (К + 1\ (К- 1) , (К + 1\ , ,
Полученные результаты допускают термодинамическую интерпретацию, чему посвящен следующий раздел.
Наряду с рассмотренными выше двухчастичными запутанными гауссовыми состояниями можно сконструировать трех- и многочастичные запутанные квантовые состояния (см. Приложение 4).
3. Термодинамическая интерпретация. Моды (10) имеют такой же функциональный вид, что и собственные функции гамильтониана гармонического осциллятора. С другой стороны, вероятности состояний гармонического осциллятора в термостате в силу эквидистантности его энергетического спектра образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ехр (—^р), где в — температура, и — частота осциллятора, К — постоянная Планка. Аналогично весовые коэффициенты, задающие вероятности обнаружения соответствующих мод Шмидта при измерениях, как было показано выше, также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (13). Сопоставив знаменателю геометрической прогрессии больцмановский множитель, получим
/ Пш\ К- 1
* = ехЧ-т) = ктт (18)
Из (18) следует связь между температурой и числом Шмидта, определяемая функцией гиперболического котангенса:
К = йЬ . (19)
Связь между температурой и коэффициентом корреляции в соответствии с (11) и (19) будет даваться формулой, включающей функцию гиперболического косинуса:
"2 = (20)
Примем, что переменная х\ определяет координату микросистемы, а переменная отвечает окружению (термостату).
Как следует из (19) и (20), при высоких температурах, когда в за счет высокой заселенности
верхних уровней квантовая микросистема и окружение сильно запутываются друг с другом (К —> оо). В этом случае микросистема и окружение сильно коррелируют (р2 —> 1).
Напротив, при низких температурах, когда в <С заселенным оказывается только основное состояние осциллятора. В этом случае невозможно запутывание квантовой микросистемы с окружением (К —т- 1), так что микросистема и ее окружение не коррелируют друг с другом (р2 —у 0).
С учетом (18), (19) нетрудно показать, что энтропия (17) в точности совпадает с хорошо известной из квантовой статистики энтропией, отвечающей колебательным степеням свободы [12]:
, ( ( Ни 1
Отметим, что точка зрения, согласно которой термодинамическое равновесие есть результат запутывания между системой и окружением, весьма интенсивно обсуждается в литературе [13].
Рассмотренный выше пример иллюстрирует ситуацию, когда исходное чистое квантовое состояние, характеризующееся наличием запутанности двух подсистем, при измерении дает распределение вероятностей, в точности соответствующее состоянию теплового равновесия рассматриваемой подсистемы в термостате.
4. Сравнение результатов аналитических и численных расчетов. Большинство задач, связанных с исследованием запутанности квантовых информационных систем, не может быть исследовано аналитическими средствами и требует привлечения численных методов.
Рассмотренная выше аналитическая модель применялась нами с целью тестирования численного алгоритма экстракции мод Шмидта, разработанного для задач, которые не могут быть решены аналитически [10].
Пусть амплитуда вероятности (волновая функция) системы ф(х 1,2:2) является функцией двух переменных х\ и х2. Разложение Шмидта имеет вид
ф{хих2) = У^лД~кф{к1)(х1)ф{к2](х2). (22)
В численных расчетах рассматриваемая функция ^(2:1,2:2) представляется в дискретной форме в виде квадратной матрицы ф^^ = ф(xij ,X2j ), где 1 ^ ji ^ га, 1 ^ j2 ^ га. Таким образом, функция задана на равномерной квадратной сетке размером га X га. Число точек дискретизации га X га должно быть выбрано достаточно большим (см. обсуждение ниже). Заметим, что в численном алгоритме можно использовать и прямоугольные сетки (например, размером щ X п2, в которых число точек дискретизации щ и п2 различно для разных переменных).
Подробно численный алгоритм экстракции мод Шмидта описан в [10]. Для гауссовой модели сравнение результатов численного анализа с представленным выше в разделе 2 точным решением показывает, что можно достичь практически их точного совпадения (вплоть до 15-16 значащих цифр). Такая точность лимитируется погрешностью проведения алгебраических вычислений. Пример подобного сравнения приведен на рисунке и в таблице.
Рассматривается пример, отвечающий следующим параметрам: р = 0,9, т\ = 1, т2 = —1, а\ = 2, сг2 = 1.
На рисунке для иллюстрации представлены графики первых четырех пар мод Шмидта, отвечающие рассматриваемому примеру.
Тестирование численного алгоритма в зависимости от числа точек дискретизации
Ai Аналитическая теория: расчет по формулам (11)—(13) Численные расчеты на сетках различного объема
п хп = 30 х 30 п х п = 50 х 50 п х п = 100 х 100
1 0,607135541614981 0,60647628536655 0,60713554628264 0,607135541614983
2 0,238521975722865 0,24466551241268 0,23852190856412 0,238521975722865
3 0,0937068068052879 0,08744563654242 0,09370729417429 0,0937068068052879
4 0,036814073902549 0,04862772916714 0,03681200534047 0,0368140739025491
5 0,014462941204671 0,00806011821403 0,01446967071109 0,0144629412046711
6 0,0056819755630274 0,00439073338559 0,00566756454034 0,0056819755630275
К 2,29415733870562 2,2843024512965 2,29415712995952 2,29415733870561
В таблице представлены результаты расчетов первых шести весовых коэффициентов в разложении Шмидта, а также число Шмидта К. В рассматриваемом примере, как это видно из таблицы, практически точное совпадение теоретических и численных расчетов наблюдается уже для сетки га X га = 100 X 100.
Иллюстрация мод Шмидта: мода 1 (а), мода 2 (б), мода 3 (в), мода 4 (г). Переменной х\ соответствуют
сплошные линии, переменной х-2 — штриховые
5. Заключение. Сформулируем основные результаты работы.
1. Введено понятие информации Шмидта как меры неслучайности корреляций между результатами измерений двух наблюдателей, производящих измерения над запутанными квантовыми состояниями. В случае конечного числа мод Шмидта с равномерным распределением вероятностей и в случае гауссовых корреляций информация на основе разложения Шмидта и информация Шеннона совпадают.
2. Предложена аналитическая модель, основанная на использовании запутанного квантового состояния и позволяющая моделировать гауссовы корреляции. Обнаружена связь между коэффициентом корреляции Пирсона и числом Шмидта.
3. На примере квантового осциллятора в термостате показано, что информация Шмидта может эффективно описывать степень запутанности и уровень корреляции микросистемы с ее окружением.
4. Показано, что предложенная аналитическая модель может служить для тестирования численных алгоритмов исследования запутанности квантовых состояний.
Авторы выражают благодарность A.C. Холево за обсуждение результатов работы.
Приложение 1. Физическая реализация запутанных состояний посредством двух связанных гармонических осцилляторов. Следуя [14], рассмотрим систему из двух связанных осцилляторов, описываемую следующим гамильтонианом:
н = р{ +pl) + ^ти2{х\ + х\ +2А(Ж1 - х2)2).
Здесь А — коэффициент, характеризующий силу связи двух одинаковых гармонических осцилляторов с массой т и частотой и каждый.
Перейдем к новым переменным, описывающим соответственно движение центра инерции и относительное движение частиц:
ХО = -(Х 1+Ж2), РО=Р1+Р2, ХК = Х1-Х2, РК=^(Р1~Р2)-
Рассматриваемое преобразование является каноническим, поскольку сохраняются значения фундаментальных квантовых скобок Пуассона:
[ха,Ра] = [хц,рц] = гН, [ха,ря] = [хя,ра] = 0.
В новых переменных рассматриваемый гамильтониан описывает движение двух независимых (несвязанных) подсистем:
н = + + Т^Рк + \рпияхя-
Здесь приведенные (эффективные) массы и частоты подсистем определяются формулами
т ,--
До = 2 то, ря=—1 = = +
По своему физическому смыслу коэффициент связи осцилляторов А должен находиться в следующем диапазоне: — ^ < А < оо.
Основное состояние рассматриваемой системы с двумя степенями свободы описывается следующей волновой функцией:
Фо = Фо(ха)Фо(хя) = (^)1/2 (1 + 4А)1/8 ехр ((Ж1 + х2)2 + VI + Щх1 - ж2)2)) .
Рассматриваемая как функция переменных х\ и х2 приведенная пси-функция описывает двумерное распределение координат с коэффициентом корреляции:
_ л/1 + 4А - 1 Р ~ л/1 + 4А + 1'
Число Шмидта, характеризующее рассматриваемую систему связанных осцилляторов, есть
К = 1 = + 1
Приложение 2. Вывод формулы для разложения Шмидта в модели гауссовых корреляций. Из теории специальных функций известна следующая формула разложения, относящаяся к полиномам Чебышева-Эрмита [15]:
Е
к=0
хкНк{у)Нк{г)
2 кк\
(2хуг - (у2 + г2)х2 \
ехЧ—г^—;
Умножим обе части рассматриваемого равенства на ехр ^ ^. Положим
(х\ — гпх) К
К - 1
К =
А ь —
К - 1
к +1 V к +1
к +1' " -/Г^'
Тогда можно получить
2хуг 2р{х\ - т1)(х2 - т2) (у2 + г2) (1 + ж2)/2
У =
г =
(х2 - т2) ¡К
О"!
(1 - Ж2)
4(1 - р^ ) (7\ о2
(1 - Ж2)
4(1 -Р2)
(Х1 - тп\)2 (х2 - т2)2
9 I 9
Учтем теперь условия нормировки для функций ф^ (х\) и ф^ (х2), которые приводят к следующим значениям Ск , Ск для нормировочных констант:
1/2
С1" =
2 2кк\л/ттст1
1/2
2 2кк\л/тга2
Умножим обе части равенства на такой постоянный множитель, который приводит левую часть к виду, соответствующему разложению Шмидта:
к=О
Тогда, как можно показать прямым расчетом, правая часть равенства будет в точности соответствовать волновой функции искомого квантового состояния (9):
1/2
Ф{х 1, Ж2) =
2кст\02 1 - р2
X ехр
4(1 -р2)
(Х1-1П1)2 2р(х1 - т1)(х2 - т2) (х2 - т2)
<71<72
+
Приложение 3. Вывод формулы для энтропии запутанности в модели гауссовых корреляций. Рассмотрим ^-функцию, отличающуюся от энтропии только знаком:
Н = -5 = ^(Ал1О6Аа
В нашем случае согласно (12), (13)
Ак — — Т7
К - 1
к +1 \ к +1
Тогда
Я = Е
к=О
К - 1
к +1 \ к +1
К + 1
+ к ^
К - 1 К + 1
В полученном выражении первое слагаемое в скобках приводит, очевидно, к хорошо известной сумме бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Для вычисления вклада, связанного со вторым слагаемым в скобках, нужно вычислить сумму следующего ряда:
И = ^кдк.
к=О
Будем рассматривать к как функцию параметра д. Тогда можно записать цепочку тождеств:
к=0 к=О
Окончательно будем иметь
к
0_
дд
к=О
к=О
д
дд \ 1 — д) 1 — д (1 — д)'
Н = 1о§
К- 1, (К- 1 + —^—^
К + \) 2 ° \К + 1, Меняя знак в последней формуле, получим искомое выражение для энтропии (17).
Приложение 4. Трех- и многочастичные запутанные гауссовы квантовые состояния.
Плотность г-мерного гауссова распределения имеет вид [11]
Р(х 1,---,Хг)= ^ - ап)(Х32 ~ ая))-
Здесь Е — матрица ковариаций, а^ (] = 1,..., г) — вектор средних значений.
В случае трехмерного гауссова распределения (г = 3) путем прямых расчетов можно получить для плотности распределения выражением
(1-Р2З)Л. „ ^ , (1-Р!З)
1 - а!) -\--2-(ж2 - а2) +
о V ± ""1/1 о
Р(Ж1'Ж2'Жз)=(27г)з/2^2,3УАеХР("^
, (! - Рп) ( \ 2 , ЧРиР23-Ри){ и X . 2(Р12Р23 - Р1з) , и X .
Л--2-(жз - «з) Н--(XI - а1)(х2 - а2) -\--(хх - а1)(х3 - а3) +
СГ3 ага2 ага3
-+2(/?12/>1з—~~~(^2 - «2)(жз - «з) С2С3
где А = 1 + 2/012^13/^23 — /°12 — /°1з — я!з — определитель корреляционной матрицы. Рассмотрим следующее трехчастичное квантовое состояние
ф(х 1,х2,х3) = ^^ л/к^кф(п] {х {х2)ф(^+к{х3).
п=0к=О
Представленная волновая функция описывает состояние ЭПР-типа. Так, если мы зарегистрируем первую частицу в га-м, а вторую — в к-м базисных состояниях, то третья частица с необходимостью будет находиться в (га + к)-м состоянии.
Можно построить двухпараметрическое семейство гауссовых состояний указанного типа. Введем два действительных параметра х и /. Тогда каждой точке внутри круга единичного радиуса (ж2 + /2 < 1) можно сопоставить некоторое квантовое состояние, как это описано ниже.
Представим прежде всего базисные функции разложения, определяющие моды Шмидта для каждой из частиц. Всего имеются три различных ортонормированных набора базисных функций. Соответственно для первой частицы
й>Ы = С1»н. ехр (-Я1^
где
\ !/2
сР =
2 2"га!у/7г<71 для второй частицы
,(2)/ ч ^(2) гт / (ж2 - а2) ( (х2 - а2у Й 'Ы = С[ Нк I -^-Ут") ехр ( 2
где
С(2) 1 У"
°к [У 2 2кк\^2)
для третьей частицы (в = га + к)
где
\ 1/2
С(3) =
' 11 2 28.з\л/п(т3
Весовые коэффициенты разложения могут быть рассчитаны по формуле Указанные величины удовлетворяют условию нормировки
ос ОС
££ К,к = 1-
п=0к=О
Квадрат модуля пси-функции ф{х 1,Ж2>жз) задает трехмерное гауссово распределение, корреляционные коэффициенты которого имеют вид
2х 2/
Р13 ' ^(1 + Ж2+/2)(1 + ж2 _/2)' Р23 ~ ^(1 + ж2+/2)(1 + /2 _х2у
_ _2х£_
Р12 ~ У(1 + Ж2-/2)(1 + /2-Ж2)'
Для введенных выше масштабных коэффициентов базисных функций можно получить
_ (1-/4) а-^2-/2) _ (1-^3) а-^2-/2) _ (1-^2)(1-^2-/2)
1 А (1 + ж2-/2)' 2 А (1 + /2-ж2)' 3 А (1 + ж2 + /2)' Можно показать, что для произведения указанных коэффициентов справедлива формула
F1.F2.F3 = —.
Наконец, для значения числа Шмидта можно получить следующий простой результат:
ЕА2,, Уд
п,к
Наши исследования показали, что представленные выше аналитические выражения подтверждаются результатами численных расчетов.
Не останавливаясь на расчетах, заметим, что в общем случае на основе формул сложения для полиномов Эрмита могут быть получены многочастичные запутанные гауссовы состояния рассматриваемого здесь типа. Так, (г + 1)-частичные состояния будут иметь следующую структуру:
оо
ф(х1,...,Хг+1)= ^ у/Хп1,...,пг'Ф{пНХ^ ■ ■ ■ФпНХг)Фп1++1).. + пЛХг+1)-
п 1 ,...,пг = О
Указанные состояния являются состояниями ЭПР-типа. При этом одна из частиц ((г+1)-я) является выделенной. Результаты измерения г частиц позволяют однозначно предсказать состояние (г + 1)-й частицы (номер ее состояния равен сумме номеров состояний остальных частиц). Если же неизмеренной оказывается не (г + 1)-я, а какая-либо другая частица, то для определения ее состояния нужно из номера состояния (г + 1)-й частицы вычесть сумму номеров состояний всех остальных частиц. В частном случае, когда мы измеряем только выделенную ((г+ 1)~ю) частицу и она оказывается в основном состоянии, то, не проводя дальнейших измерений, можно сделать вывод, что и все остальные частицы будут находиться в основном состоянии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Валиев К.А.,Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. 2-е изд., М.; Ижевск: "Регулярная и хаотичная динамика", 2004.
2. Эйнштейн А., П о д о л ь с к и й Б., Розен Н. Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным? // Эйнштейн А. Собр. научн. тр. в 4 т. Т. 3. М.: Наука, 1966. С. 604-611.
3. Бор Н. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике // Избр. науч. тр.: В 2 т. М.: Наука, 1971. Т 2. С. 399-433.
4. FeynmanR. Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phys. 1982. 21. N. 6-7. P. 467-488. Перевод на русский язык:
Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Т 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 1999. С. 96-124.
5. Schmidt Е. Zur theorie der linearen und nicht linearen integralgleichugen // Math. Annalen. 1906. 63. S. 433.
6. Eberly J.H. Schmidt analysis of pure-state entanglement // lanl e-print quant-ph/0508019.
7. Chan K.W., Law C.K., Eberly J. H. Localized single-photon wave function in free space //Phys. Rev. Lett. 2002. 88. 100402.
8. Law C.K., Walmsley I.A., Eberly J.H. Continuous frequency entanglement: effective finite Hilbert space and entropy control // Phys. Rev. Lett. 2000. 84. P. 5304-5307.
9. Lamata L., Leon J. Dealing with entanglement of continuous variables: Schmidt decomposition with discrete sets of orthogonal functions // lanl e-print quant-ph/0410167. 2004.
Ю.Богданов А.Ю., Богданов Ю.И., Валиев К. А. Анализ мод Шмидта и запутанности в квантовых системах с непрерывными переменными // Микроэлектроника. 2006. 35. № 1. С. 11-30.
11. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1995.
13. Popescu S., Short A. J., Winter A. Entanglement and the foundations of statistical mechanics// lanl e-print quant-ph/0511225. 2005.
14. Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Л алоэ Ф. Квантовая механика / Пер. с фр. Л.Н. Новикова: В 2 т. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2000. Т. 1.
15. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991.
Поступила в редакцию 14.02.06
