Информационные множества в дифференциальной игре поиска с нарядом убегающих Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.9

ИНФОРМАЦИОННЫЕ МНОЖЕСТВА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ ПОИСКА С НАРЯДОМ УБЕГАЮЩИХ*)

С, В, Меетников

Одной из важных задач теории дифференциальных игр является определение, построение и аппроксимация информационных множеств о состоянии игроков [1-7].

В настоящей работе рассматривается антагонистическая дифференциальная игра поиска с предписанной продолжительностью [8-11] со стороны прячущегося. Для игры поиска в классе смешанных стратегий с помощью игр с нарядом из т убегающих определяется информаци-Е {ч-, где могут находиться еще не пойманные до момента £ прячущиеся игроки при условии, что ищущий поймал меньше чем т* убегающих. Исследуются свойства и вопросы аппроксимации информационного множества ПШ'Ш*(£)• Для случая, когда т = 2, т* = 1, дается один способ построения аппроксимирующего информационного множества при заданной стратегии одного из убегающих.

т т*

В работах [13-20] игра поиска рассматривалась со стороны ищущего. В классе смешанных стратегий с помощью игр с нарядом из к

преследователей определено информационное множество Пк,к*(£), где

к*

ми наряда из к преследователей до момента Исследовались частные к к*

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 02.740.11.0609.

© 2010 Меетников С. В.

1. Постановка задачи

Пусть уравнение движения игроков Р и Е, где Р — ищущий, а Е — прячущийся, описывается системой дифференциальных уравнений

для Р х = /(г,х,и), и е и, х е К", (1)

для Е у = д(г, у, V), V е V, у е К", (2)

где и {V) — непустое компактное множество в евклидовом пространстве Мр (К9), Ь е [¿о, Т]. Вектор-функция / (д) в правой части уравнения (1) ((2)) непрерывна па [Ьо, Т] х К" х и ([Ь0, Т] х К" х V) и па этом множестве удовлетоворяет неравенству

\Ц(г,х,и)у < м1 + ||хЮ {\Шу^)у < а2(1 + \\у\\)) (з)

и для любой ограниченной области е К" удовлетворяет условию Липшица по х (у) с постоянной А^Со) т. е. справедливо

неравенство

\\^г,х1,и) - /(г,х2,и)\\ < \\х2 - хУ , ч

4)

(\\д(ь,У1^) - д(г,у2^)\\ < А2(О0)\\т - тЮ•

Кроме того, предполагается, что множество

Е(г,х) = {£ | £=№,х,и),и е и}

(5)

(С(г,у) = {п | п = е V})

выпукло и замкнуто при любых (Ь, х) е [Ьо, Т] х К" ((Ь, у) е [Ьо, Т] х К"). Здесь А, А2, А^Со), — постоянные, \\ • \\ — евклидова норма.

Хорошо известно, что из непрерывности вектор-функции / (д) и условий (3), (4) для каждой измеримой на промежутке [¿о,Т] вектор-функции и = и(Ь) (V = '(Ь)), удовлетворяющей геометрическим ограничениям и(Ь) е и ('(Ь) е V), существует единственное решение х(Ь) = х{г,га,ха,и) (у(Ь) = у(г,г0,у0,')), Ь е [Ь0,Т], уравнения (1) ((2)), удовлетворяющее начальному условию х(Ьо) = Щ (у(Ьо) = уо)-

Состояние информации в игре следующее. В начальный момент времени Ь = Ь0 ищущий (прячущийся) игрок знает, что прячущийся

игрок находится в точке уо € Уз (ищущий игрок находится в точке щ € Хо), и динамику игры (1), (2). В дальнейшем он не получает никакой текущей информации о местоположении противника. Компактное множество Уо с К" (Хо с К") является множеством неопределенности начального местоположения игрока Е (Р).

Множество допустимых управлений Др (Де) игрокаР (Е) состоит из всех измеримых па промежутке [¿о, Т] вектор-функций и = и(Ь) (у = удовлетворяющих геометрическим ограничениям и(Ь) € и €

V).

Предположим, что для каждого состояния х € К" определено множество Б(х) С К", которое в дальнейшем будем называть областью обнаружения игрока Р.

На состояниях х(1) и у (£) введем функцию следую-

щим образом:

„ , Г 1> если у{1) €

[и в противном случае.

Определение 1. Будем говорить, что в момент времени £ € [¿о, Т] произошло обнаружение игрока Е ищущим игроком, если у{Ь))

= 1. На траекториях х(•) = х(-,1а,ха,и) и у(•) = у(игроков определим следующие функционалы:

•),у(■))= тах

«е [«о,т]

¥1 (х(•)М•)) = тах Щх(г),у(г)), т < Т. «е [«о,т]

Р

вдоль траектории х( ^обнаруживает игрока Е (движущегося вдоль траектории у(•)), если Е2(х(•),у(•)) = 1.

Под чистыми стратегиями игрока Р (Е) будем понимать пары а = (х0, и(•)), х0 € Х0, и = и(•) € Др (Ь= (у0, •)), у0 € У0, V = •) € Де)-Игра рассматривается в программных стратегиях.

Функцию выигрыша К((х$,и(•)),(уо,'(•))) игрока Р в ситуации ((щ,и(•)), (уо,'(•))) определим по правилу

К((х0,и(•)), (у0,'(•))) = •,10,х0,и),у{•,10,у0,')).

Поскольку мы рассматриваем только антагонистические игры,

ЕР

обратным знаком.

Таким образом, мы определили антагонистическую игру

в нормальной форме в классе чистых стратегий, А (Б) — множество

РЕ

Р

8(х) является открытым кругом радиуса I > 0:

Игру поиска будем рассматривать в классе смешанных стратегий [11]. Под смешанной стратегией ^ игрока Р (Е) будем понимать конечную смесь ^ = = (^1, • • •, ^т)), заданную на ко-

нечном подмножестве {а±,... ,ак} С А ({Ьх, • • • ,Ьт} С Б) таком, что ^г = 1/к, г = 1, • • •, к [уг = 1/т, г = !,•••, т). Тогда выигрыш М(р, Ь) (М(а, где ^ (V ) — смешанная стратегия, заданная на множестве {а1, • • •, ак} С А ({Ьх, • • •, Ьк} С Б), определяется следующим образом:

где Xi(•) (уД•)) — траектория движения игрока P (E), порожденная стратегией ai (6¿).

Заметим, что выигрыш M(p, b) (M(a, v)) игрока P имеет смысл вероятности обнаружения игрока E в ситуации (р, b) ((a, v)) в смешанных стратегиях.

Г = {A, B, K>

^^ {z е Rn | Ух - zII < I}.

(6)

Определение 3. Будем говорить, что смешанная стратегия ^ игР

если Ъ) > Г для любого Ъ € В, 0 < Г < 1.

Определение 4. Будем говорить, что смешанная стратегия V игЕ

если Ща, и) < У для любого а € ДО < У < 1.

РЕ

[15], то она гарантирует ему вероятность обнаружения, равную 1 (0). Выясним, какую вероятность обнаружения может гарантировать Е

рующих стратегий. В работах [13-20] игра поиска рассматривалась со стороны ищущего игрока, в настоящей работе игра поиска рассматривается со стороны прячущегося игрока.

2. Информационные множества в дифференциальной игре поиска с нарядом убегающих

2.1. Определение информационного множества в дифференциальной игре поиска с нарядом убегающих. Рассмотрим

Р

дом однотипных убегающих (прячущихся) Е = {Е,..., Ет}, действующих как один игрок под воздействием системы (2). В начальный момент игрок Р и каждый из уклоняющихся Е^ наряда Е выбирают начальное местоположение щ € X, у\ € ^,г=1,...,т, и допустимое управление и( •), уД •), г = 1,. ..,т. Тогда у ищущего и у прячущихся реализуются траектории х(•) = х(-,£о,хо,и) и уД•) = у(-,£о,уо г = ... ,т, соответственно.

На состояниях у\{Ь),..., ут( и х(1) введем функцию ¥з(х(£), у\ ... ,ут{следующим образом:

т г=1

Определение 5. Будем говорить, что в момент времени г € [¿о, Т] произошло т,-уклонение наряда от ищущего (т, < т), если уЛ^), • • •,ут{¿)) = т — m,•

На траекториях уг(• ), г = 1, • • • ,т, и х(• ) игроков определим следующие функционалы:

т

вд • ), т( • ), • • •, утХ • )) = Е ЪХ • ), у Л • )),

г=1

т

(х( •),•••,ут •)) = хош •) )•

г=1

Определение 6. Будем говорить, что при движении наряда Е вдоль траекторий у\(• ), • • •, ут(• ) пронсходит т,-уклонение от игрока Р (движущегося вдоль траектории х(• )), если Е^(х(• ), ^ (• ), • • •, ут( • )) = т - т,

Р

х т - т,

у\{• ), • • • ,ут(• )> а т, убегающих избегают поимки.

Определение 7. Стратегия Ь = • )),•••, (ут,ут(• )) наря-

да Е называется гарантирующей то*-уклонение (1 < то* < то), если ^(х(• • ),•••,Уm{• )) ^ т — т, для любой стратегии а = (щ,и(• )) игрока Р, где х(• ) = х{• ,г0,хо,и) и у*{ • ) = у(• ,г0,уо,«О' г = • • • ,'т,

Определение 8. Информационным множеством Пт'т*(¿) в м0~ мент времени г € [¿о, Т называется множество

Пт-тЧ¿о, Уо) = {у € М" | Зу(г) € N(г, у*), у* € Уо, г = 1, • • •, т,

ух • ) е44( х • • ), • • • ,ут • )) < т — т*},

где У(г,г0,уо) — множество достижимости игрока Е в момент г € [¿о, Т у

Заметим, что информационное множество Пт'т* (¿) — ЭТ0 такое подмножество М", где могут находиться убегающне Е*,г = 1, • • • ,т, из

Е

живает не больше т — т* убегающих го этого наряда до момента Ь. При т = т, = 1 получается информационное множество П^^1 (Ь) —

Е

жен до момента ¿игроком Р — область уклонения, свойства которого рассматривались в работе [12].

Свойство 1. Если в момент Т множеств о Пт'т*( Т является непустым, то у наряда Е существует стратегия гарантирующая т,-уклонение; если у наряда Е существует стратегия, гарантирующая то*-

От.т. /гт1\

Е *( Т ) является непустым.

Доказательство. Действительно, если множество пт'т*(Т в Т

ряда Е существуют такие траектории у\(•),... ,ут{.0> чт0 Для любой траектории х(•) выполняется неравенство (х(•),у\(•),...,ут(•)) ^ т — т,. По определению 7 это означает, что соответствующая стратегия Ъ = (уо,у 1(-)), • • •, (уЕ1, Ут(-)) наряда Е, порождающая траектории ух(•),... ,ут{•), является гарантирующей т,-уклонение.

Обратно, если стратегия Ъ = (г/ц, (•)),..., (у^-,-ут(-)) наряда Е т,

что для любой стратегии (щ,и(•)) игрока Р условие ^(х(•), уг(•)) = 1, у®( •) = у(Ь,Ьо,уЪ, Уг) выполняется самое боль шее для т — т, номеров из набора {1.., т} или

Р4Т (х( О (0 ,...,ут{ •)) < т — т*. Из определения 8 следует, что множество Пт'т* (Ь не является пустым.

Е

т,

Е

наруження, не большую чем т^та*.

Доказательство. Пусть стратегия Ъ= (0) ,...,(ут •))

наряда Е является гарантирующей то*-уклонение. Тогда из определения 7 следует, что для любой стратегии (щ,и(•)) игрока Р условие

F2(x(• ),yi(• )) = 1, y¿(• ) = y(t,to,y¿,Vij выполняется самое большее для m — m, номеров из набора {1,..., m} или

F¡(x(• ),yí(•),...,ym{•)) < m — m

Рассмотрим смешанную стратегию v = (vi = \/m,... ,vm = 1/m) игрока E, заданную та конечном подмножестве (y¿,v^, i = 1,... ,m. Тогда выигрыш M(a, v) не менее s' т^та* для любой стратегии игрока Р.

2.2. Игра поиска с одним ищущим и двумя убегающими Предположим, что m = 2, и рассмотрим случай, когда m, = 1. Это означает, что из двух убегающих хотя бы один избегает поимки.

Пусть X(t,to,Xo) (Y(t,to,Yo)) — множество достижимости игрока P (E) в момент t £ [to, T 113 множества X (Yo), a X(• ,to,Xo) (Y(• , to, — множество всех траекторий игрока P (E) из множества X (Yo), Для множества X, с К" определим начальное множество точек, из которых можно достигнуть в момент t, это множество по некоторой траектории, соответствующей допустимому управлению

X0(t0, t,,X,) = {xo £ X | 3u £ Dp, x(t,,t0, xa, u) £ X,}.

Для фиксированной стратегии b = (yo,v(• )) игрока E (одного из убегающих) обозначим через

üp(t, t0, X, Уо, v) = {x £ X(t) | 3x(t) = x, y(t)= y(t, t0, yo, v) £ S(x(t))}

Pt

щегося по траектории y(• ) = y(• ,t0,yo,v). Пусть X^p(t) = X0(t0,t,üp(t)) — начальное множество точек, из которых можно достигнуть в момент t множеств о ílP (t) = ftP (t,tg, Xo,yo,v), a Xq p (t)( • ) — все траектории, соединяющие два множества Xqp^ и ílP(t). Рассмотрим траектории x(•) £ Xfip(t)(• ) и определим Л^;1 (t,yo,v) как множество

ПЕ1 (t,t0,Y0,y0,v) = {y £ Y(t) | З(y,,v*) £ Y0 х De,y = y(t,to,y*Q,v*),

Vx(•) £ Xp(t)(• ),Vr £ [to,t] y(r,t0,y*0,v*) £ S(x(r))}, (7)

t

tP

движущегося по траектории у(Ь) = у(Ь, Для интервала време-

Ь, Т Е

П^1 (Ь,уо,у) — множество У(Т,Ь,С1 д1 (Ь,у0,у)). В работе [12] определе-

Е

чущимся как подмножество У(Т, Ь,С1Е1 (Ь, уд, у)), где может находиться убегающий, если ищущий его не ловит при любом способе движения, зная траектории движения убегающего. Для фиксированного момента Ь € Ь , Т Ь, у , у

множества П^1 (Ь, уо, у):

Я(Т,Ь,Ъ2/(Ь,у0,у)) = {у € У{Т) | 3у = у{Т) € У(Т,Ь,П^(Ь,у0), Ух(.)€ X (;Ь,Х0пр), Ут € [Ь,Т] у(т) € Б(х(т))}. (8)

Для фиксированной стратегии Ъ = (уа, •)) игрока Е (одного из убегающих) обозначим через

Ьсар!;(ус»у) = {Ь € [Ь0,Т] | 3х(Ь) = х(Ь,Ь0,х0,и),

у(Ь) = у(Ь,Ь0,у0,у) € Б(х(Ь))} (9)

РЕ

движущегося по траектории у(•) = у(

Определение 9. Информационным множеством Е1 (уо,у)(Т) в Т

П2/ (Т,уо,у)= П <Э(Т,Ь,&/ (Ь,уо,у)). (10)

tetc.pt

Информационное множество П^1 (Т, уд, V) имеет следующий смысл. В игре с двумя убегающими если один из убегающих выбрал стратегию уо, V и множеств о П^1 (Т,уо,у) непусто, то у второго убегающего существует стратегия, при которой ищущий не ловит обоих убегающих. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема 1. Если для стратегии первого убегающего

0,2/ (Т, у®, VI) Ф 0,

то у второго убегающего существует такая стратегия (у°, «2), что для траекторий у\(■ ) = у( ■ и у2{■ ) = у(■ ,¿0^2,«2) значение функ-

ционала ■ ), у1 (■ ), уг(■ )) не менее 1 для любой траектории х(■ ) ищущего.

Доказательство. Рассмотрим стратегию (у?, «1) е У0 х Бе первого убегающего и предположим противное, что для любой стратегии (у®,«?) е ^ х второго убегающего существует такая стратегия преследователя (х°,и) е (Х$,ВР), что значение функционала Ра(х(■ ■ ),ш(■ )) равно 2. Это означает, что игрок Р ловит обоих убегающих в некоторые моменты времени ¿±,¿2 е ^о, Пусть для определенности ищущий ловит первого убегающего в момент ¿1. Тогда множество (область уклонения) ^(Т,^^2^1 (¿1,уо,у)) непусто, так как по условию теоремы П^1 (Т, у®, «1) ф 0, а последнее множество определено с помощью операции пересечения (10). По построению множества П^1 (¿1, уо, (7) можно выбрать такую стратегию (у2,«2) второго убегающего, что у{Ь1,Ьо, у\, «2) е О2/(¿1, уо, у) и ищущий не ловит второго убегающего, двигающегося по траектории у (¿1, ¿о, у%, «2) ДО момента ¿1.

С другой стороны, для момента е [¿о, Т] информационное множество 2;1 уо, у)) определено как область уклонения из множества П^1 (Ь,уо,у)) (8) и непустым. Значит, можно подобрать такую стратегию (у®, «2) второго убегающего, что у{Ь\, Ц, у%, «2) е Од1 {Ь\,уо, у) и ищущий не ловит второго убегающего, двигающегося по траектории у(ь, ¿1, у(£1, ¿о, у%, «я), «2) при £ е [10, Т]. Теорема доказана.

Мы показали, что в игре с двумя убегающими если один из убегающих выбрал стратегию (уо, у) и множеств о П 21 (Т,уо,у) непусто, то у второго убегающего существует стратегия, при которой ищущий не ловит обоих убегающих. Определим информационное множество П^1 (Т) как объединение информационных множеств П 2?1 (Т,у$,у) по всем стратегиям (уо, у) прячущегося

02/ (Т)= и Г^1 (Т,у,,у). (11)

(уо,у)ЕУ0 хСЕ

Теорема 2. Если

^ {Т)ф 0,

то в игре поиска с одним ищущим и двумя убегающими у убегающих существуют такие траектории уг (•) = у(пу2(•) = у(■,Ь0,у^,у2), при которых значение функционала Е^(х(•),у\(•),у2(•)) не менее 1 для любой траектории х( •) ищущего.

Доказательство. По определению информационного множества П^1 (Т) (11) если это множество непусто, то существует стратегия (уо, у) € Уо х Е е для определенности первого убегающего, при которой множество П^1 (Т,у1,у) непусто. Тогда из теоремы 1 следует выполнение утверждения теоремы 2.

Из теоремы 2 вытекает, что если множество П^1 (Т) непусто, то у убегающих существуют стратегии, при которых ищущий не ловит обоих убегающих — хотя бы один из убегающих избегает поимки.

2.3. Аппроксимация информационного множества игры поиска с одним ищущим и двумя убегающими при заданной стратегии одного из убегающих. Пусть задано конечное разбиение

К I Ь" = Ь0 + к(Т — Ь0)/2", к = 0,1,...,2"}, п = 0,1,2,....

Обозначим через Б(Х(Ь)) открытую /-окрестность множества достижимости Х{Ь) игрока Р в момент времени Ь € [Ьо,Т]:

Б(Х(Ь)) = {г € М" | 3х € (Х(Ь)), ||х — г|| < I}.

Для заданной чистой стратегии Ъ = (уо,у(•)) игрока Е рассмотрим множество Ьсар1;(уо,у) (9) моментов времени, в которые ищущий

Ь

Ьсарг(уо, у) выберем любой момент Ь\ € Ьсщ>ъ(у$, V). Для состояния у(Ь\), Ь\ € Ьс^ непустое множество точек ХС Х(Ь1), в которых игрок Р может поймать убегающего в этот момент, определяется по соотношению Х ^ = Б(у(Ь1)) П Х(Ь1). Рассмотрим начальное множество точек Х0ХУ(М), го которых можно достигнуть в момент Ь\ множество Х

а Xу^Ц■ ) — все траектории, соединяющие два множества Х^^) и X

Для момента е ícapt построим аппроксимирующее множество Се\ ) (¿) = С^ , (¿,^о,Уо,уо,у)), t е [¿о,^], информационного множества П^1 (Ь,Ь0,У0,у0,у) (7) следующим образом:

с2£<„, (м = Уо \ ^(Х),

91 Г у(¿,Ч,о2/ (Ц)), ц < ^ < ¿п,

У{Ь, ц, С2/ (¿0)) \ Б(ХуЫ(г)), г = г'

,

2Д _[У №)), ¿П < ¿<1п+1,

где t е [¿о,^], ^ = ¿П+1 < ¿1-

Заметим, что С^^ (¿) С (¿), ^ е п = 0,1,2,..., так

как разбиение ш(п+ 1) содержит все точки разбиения ш(п). Обозначим через С^1 (¿) = С/ (1,Ц,У0,у0,у)), 4 е [¿о,Ь], множество

с2£(¿)= П (12)

Теорема 3. Если для фиксированной стратегии Ь = (уо,у(■ )) игрока Е множество СД1 (¿) = ОД1 (1,Ьо,Уо,уо,у)), t е [¿о,^], непусто, то множества СД1 (¿) = С^1 {1,1а,Уа,уа,у)) н П2/ (¿) = П^1 {1,1а,Уа,уа,у)) равны.

Доказательство. Из определения множеств П^1 (¿) и С^1 (¿) следует, что П^1 (¿) С СД^1 (¿). Покажем обратное включение. Предположим противное, что множество Ш = ОД1 (¿) \ ПД1 (¿) непусто. Возьмем любую точку у е Ш. Из построения множества С^1 (¿) получаем, что у е Сд1 ^ (¿) для всех п = 0,1, 2,..., т. е. в частности существуют такие управления прячущегося игрока уп и точки уП е У), что

^^ у (т ^ уП, «п) е т е ^ уф = у.

Из условий (1)-(5) в [21] следует существование такой последовательности чисел {mn}, что

lim sup \\y(r,to,ymn,vmJ - y{r,tQ,yQ,v) 11=0

T e [t0,t]"

для некоторых £ Gq = G^ ^ (to) и v £ DE. Из того, что y = y(t, tg, yo,v) £ ft f (t), следует существование момента т £ [to, t], в котором y(r, tg, yo, v) £ S(x(t)) для некоторой траектории x(■) = x(■, to, щ, u) игрока P. С другой стороны, го построения множества G^1 (t) имеем, что для любого момента tП, к = О,...,2n, разбиения ш(п), п =

0,1,2,..., выполняется соотношение

y(tn,to,ynm,vmJ £s(x(tn)).

Для любого разбиения w(n) существует такой интервал [tn,tn+i]> что т £ [tm, tJO+i]. № каждого разбиения ш(п) возьмем по такому моменту tn = tm (удовлетворяющему условпю т £ [tm,tm+i])- Тогда получим числовую последовательность to ^ t± ^ ■ ■ ■ ^ tn ^ ■ ■ ■ ^ т и по определению разбиения w(n) имеем lim tn = т. Поэтому из условий

n—

(1)-(5) получаем

lim x(tn,to,xo,u) = x(r), lim ^tn,t0,y°n,v„in) = y{r).

n—n—

Множество S(x(t)) (область обнаружения) по нашему предположению для любого t £ [to,ti] открыто. № определения множества G^1 (t) получаем, что

y{tn) = y(tn,t0,ymn ,vmJ £ S{x{tn)), а из замкнутости Y(r, to, Gq) \ S(x(t)) следует, что

y{r)= lim yitn, to, y°n ,vmJ £ Y{r,to,Go) \ S{x{t)),

n—

т. e. y{r) £ S(x(t)).

Из полученного противоречия следует, что П^1 (t) = G^1 (t) для любого момента t £ [to,ti]. Теорема доказана.

Рассмотрим моменты времени t £ [ti,T]. Для любого разбиения w(n) найдется такой интервал [tП, tn+1], что t\ £ (tП , tni+1] при t\ ф t0.

Построим аппроксимирующее множество Qu(n) (T, ti, fi21 (t\, y$, v)) области уклонения Q(T,ti,il^ (t,y$,v)) (8) следующим образом [12]:

Q t)-iY (t'ti'Gß1 (ti,yo,v)), tfc < t < q+1,

п \ Y(t,t1,Gf (h,yo,v)) \ SiX^t^Xv^ (hm, t = tnk+1,

где t £ [h,T], k > ki.

Обозначим через Q (T, t\, fi^1 (t\,yo,v)) множество

Q(T,t1,n2/^ьУо^)) = П Qu(n) (ti,yo,v^- (13)

Теорема 4. Если для фиксированной стратегии b = (yo, v(■ )) игрока Е множество Q(T, t\, fi^1 (ti, yo,v)) непусто, то множества Q(T, t, Ы2/(ti,yo,v)) nQ(T,t,if/(t1,y0,v)) (10) равны.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3.

Пример 1. В качестве простого примера рассмотрим одновременную игру поиска [8,10] с одним ищущим и двумя прячущимися. Пусть на плоскости дан квадрат 0 со стороной а. Начальные множества Xo и Yq равны и совпадают с этим квадратом, X = Y> = Ищущий P и прячущиеся E, E одновременно выбирают точки £ О.

Прячущиеся считаются пойманными, если попадают в открытый круг радиуса I с центром в точке х0. Тогда при а/л/2 < I информационное множество П^1 пусто, так как у игрока P существует гарантирующая обнаружение стратегия — выбор центра квадрата. В случае, когда а/у/2 ;:г I, информационное множество П^1 не является пустым и совпадает с частью квадрата с вырезанным открытым кругом, центр которого совпадает с центром квадрата. Тогда у убегающих существуют стратегии, например выбор угловых точек квадрата, лежащих на одной диагонали, при применении которых ищущий ловит только одного из убегающих.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

2. Красовский H. П., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

3. Субботин А. П., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.

4. Куржанский А. В. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

5. Ватухтин В. Д. Об одной игровой задаче наведения с неполной информацией // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44, вып. 4. С. 595-601.

6. Меликян А. А., Черноусько Ф. А. Некоторые минимаксные задачи управления с неполной информацией // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, вып. 6. С. 952-961.

7. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука", 1988.

8. Петросян Л. А., Зенкевич П. А. Оптимальный поиск в условиях конфликта. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.

9. Петросян Л. А., Томский Г. В. Дифференциальные игры с неполной информацией. Иркутск: Изд-во Иркутск, ун-та, 1986.

10. Петросян Л. А., Гарнаев А. Ю. Игры поиска. СПб: Изд-во СПбГУ, 1992.

11. Зенкевич П. А., Местников С. В. Динамический поиск подвижного объекта в условиях конфликта // Вопросы механики и процессов управления. 1991. T."l4. С. 68-76.

12. Местников С. В. Области неопределенности и уклонения в дифференциальных играх поиска и их аппроксимация // Управляемые системы и приложения. Якутск, 1994. С. 63-71.

13. Mestnikov S. V. Estimates for the detection probability and uncertainty domain in a differential search game // Мат. заметки ЯГУ. 1994. T. 1, вып. 2. С. 99-104.

14. Mestnikov S. V. Information sets and mixed strategies in a differential search game. // Мат. заметки ЯГУ. 1996. T. 3, вып. 1. С. 87-94.

15. Зенкевич П. А., Местников С. В. Существование гарантирующих стратегий в дифференциальной игре поиска // Проблемы теории игр в общих системах. Якутск, 1988. С. 57-69.

16. Местников С. В. Аппроксимация области неопределенности в дифференциальных играх поиска // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 6. С. 967-972.

17. Местников С. В. Об информационных множествах в дифференциальных играх поиска // Уч. зап. ЯГУ. Серия: Математика, Физика. Якутск, 1994. С. 32-42.

18. Mestnikov S. V. Information sets in differential search games // Preprint volime. Sixth intern, sympos. on dynamic games and applications. St.-Jovite, Quebec, Canada, 1994. C. 623-628.

19. Mestnikov S. V. Approximation of the information sets in differential search game with detail of pursuers // Proc. of the Tenth intern, sympos. on dynamic games and applications. St. Petersburg, Russia. 2002. P. 630-631.

20. Местников С. В. Аппроксимация информационного множества дифференциальной игры поиска с нарядом ищущих // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 58-71.

21. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

г. Якутск

1 апреля 2010 г.