Информационные аспекты в моделировании экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ленников Р.В. Email: Lennikov17101@scientifictext.ru

Ленников Роман Витальевич — ассистент, кафедра вычислительной механики и математики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет, г. Тула

Аннотация: рассмотрено информационное воздействие на экономические системы, отмечен нелинейный характер такого воздействия, в основе которого лежат степенные распределения с тяжёлыми хвостами. Введено понятие обобщенной логистической модели, которая описывает поведение информационно-зависимой экономической системы. Вариация параметра модели позволяет наилучшим образом описать поведение системы в переходные моменты. Предложена модель фазового перехода и критерий самоорганизации систем на основе энтропии Реньи. Представлена интерпретация взаимосвязи информационной и материальной составляющей экономических систем через аттрактор Хенона. Ключевые слова: фазовый переход, обобщенное логистическое уравнение, энтропия, степенные распределения, аттрактор Хенона.

INFORMATION ASPECTS OF ECONOMIC SYSTEMS MODELLING

Lennikov R.V.

Lennikov Roman — Assistant, DEPARTMENT OF COMPUTATIONAL MECHANICS AND MATHEMATICS, TULA STATE UNIVERSITY, TULA

Abstract: the information effect on economic systems is considered, the nonlinear nature of such an impact, based on power distributions with heavy tails, is noted. The concept of a generalized logistic model that describes the behavior of an information-dependent economic system is introduced. The variation of the model parameter allows the best description of the behavior of the system in transient moments. A phase transition model and a criterion for self-organization of systems based on the Renyi entropy are proposed. The interpretation of the interconnection of information and material components of economic systems through the Henon attractor is presented.

Keywords: phase transition, generalized logistic equation, entropy, power distribution, Henon attractor.

УДК 519.2

Любая экономическая система подвержена влиянию информационной составляющей. Информационное воздействие на экономические системы можно рассматривать как влияние инноваций, такое воздействие носит нелинейный характер.

Компоненты системы принимают старое Sq и новое Sj состояние, которые являются

фазами. В некоторый момент времени tQ система подвергается информационному

воздействию, появляются компоненты, принимающие новое состояние Sj. Момент t является переломным, происходит качественная перестройка, такая, что компоненты системы принимают состояние Sj с большей вероятностью, чем Sq . Этот момент является фазовым переходом.

Социально-экономические явления имеют в своей основе степенные распределения [4], случайная величина X , X = t — 10 (инертность) также имеет степенное распределение. Выражение для плотности распределения величины X имеет вид:

р(х ) =

а

х

где X - параметр распределения, а а - некоторый коэффициент.

Параметр X в (1) для социально-экономических явлений принимает значения 0<а< 2 , наиболее типичное значение X = 1 , соответствующее закону Ципфа

р(х ) =

а

х ) = —. (2) х

р (х ) =

Выражение (2) описывает фазовый переход в системе после инновации. При х ^ 0 скорость перехода в новое состояние должна бесконечно возрастать, сверху скорость перехода

ограничена величиной а / Г, где V - внутреннее сопротивление, сопряженное с ограниченностью доступного ресурса. Делая поправку на наличии сопротивления:

а

-2. (3)

Г + х

После замены х = ? — ?0 , Г = А и а = А / Г в (3), получим выражения для функции плотности распределения (закон Коши)

1 ( ' ) = ~Т—^ (4)

ж(Л2 + (г— ?0) )

и функции распределения

^ 1 1 г — г()

Ь (г ) = —+— агег?-0. (5)

W 2 п А

Полученная плотность (4) распределения имеет физический смысл скорости перехода системы к генерации новой фазы. Выражение (5) может быть использовано для моделирования фазового перехода в результате инновационного воздействия.

Характер поведения функция (5) совпадает с поведением решения широко используемого логистического уравнения, но не повторяет его. Введем обобщенное логистическое уравнение в виде:

— = киР(1 — и )Р. (6)

Степень Р определяет характер описываемого явления. При Р = 2 уравнение (6) описывает процессы, имеющие ярко выраженный информационный характер.

Решение дифференциального уравнения (6) при Р = 2 повторяет вид функции Ь (?) (5). Для моделирования информационно-зависимых систем предлагается использовать не классическое логистическое уравнение, а его обобщенный вид с показателем Р = 2 .

Интересным является вопрос о самоорганизации экономической системы после информационного воздействия. В работе [1, 304] предложено использовать скорость приращения энтропии, как критерий самоорганизации открытых систем. В основе этого критерия предлагалось использовать выражение энтропии в форме Гиббса-Шеннона для определения критических точек - точек бифуркации.

Но как было отмечено выше, экономические системы относятся к классу систем, описываемых степенными распределениями. Распределение Гиббса, лежащие в основе принципа максимальности энтропии Гиббса-Шенона не является степенным [2].

Принцип максимума энтропии Реньи позволяет получить распределение Реньи, частным случаем которого является каноническое распределение Гиббса [2, 20]. Таким образом, энтропия сложной системы определяется как энтропия Реньи для распределения Реньи.

Нр )=г> 2 Р

1 Ч 1=1

В отличие от обычной энтропии, основанной на энтропии Гиббса-Шеннона, энтропия Реньи возрастает с увеличением отклонения распределения от распределения Гиббса (с ростом параметра 7] = 1 — Ч ) и достигает своего максимума при максимально возможном значении

7тах, при этом распределение Реньи становится степенным распределением. Величину 7]

можно рассматривать как параметр порядка. При 7] = 0 производная энтропии системы по 7 испытывает скачок, т.е. имеет место фазовый переход в более упорядоченное состояние.

Поэтому в данной работе предлагается использовать энтропию Реньи (7), зависящую от параметра Ч (0 < Ч ^ 1) и совпадающую с энтропией Гиббса-Шеннона при Ч = 1 ■

Для модели бистабильной элемента получены вероятности перехода в состояния и ^ в виде

р0 (< ) = Т

1

а

р (г ) = а(1 — в-* )■ 1 + ау '

а

+ а

- интенсивности переходов.

(8)

а 1 + а где а = Л/ ¡Л, Р = ?1 + [Л, к, ¡л

В дальнейшем рассматривается энтропийная функция Н= Н / Нтах, где

Н___ - максимальное значение энтропии.

ШЛХ 1

Аналитическая зависимость, описывающая динамику потока энтропии Реньи Н во времени ? для двух возможных состояний имеет вид:

! -д1п(1 + а) + 1пГ(1 + ае-^У + а9 (1 -#(*) = 1 \ / \ /

(9)

1п2 1-д

В зависимости от параметра а возможны три характерных режима системы: ^ , а < 1,

Р^, равновероятный при ОС = 1 и Р^ = Р^, , > 1; Р^ Р\-

Функция временной зависимости потока информационной энтропии Н после

изменения условий существования системы в результате инновации в момент получена в виде:

й{г) =

1

-1п

+

(\-q)\n2

Га'(1 + а) + (а—а) в~р(1—ч»^Ч (1 + а')(1 + а)

Г(1 + а) + (а ' — а) в'*'—^) ^Ч

(1 + а)(1 + а)

(10)

и

Рис. 1 а) Информационная энтропия Реньи; б) Производная информационной энтропии Реньи для старых и новых условий

Система реагирует на новый режим существования при X > 1 ростом потока энтропии до максимального значения в критической точке и дальнейшей стабилизацией на стационарном

уровне (Рис 1). В критической точке оба состояния равновероятны Р = Р = 0.5 , точка ^

является аналогом точки бифуркации системы, система характеризуется наибольшей хаотичностью. Возможны два сценария дальнейшей эволюции системы: возврат к старому

состоянию, Р > Р ; переход к преимущественно новому состоянию, Р < Р .

Выражение (10) является сложной функцией, зависящей от старых (X и Р ) и новых (

и Р') условий, т.е. обладают «памятью» о прошлых условиях существования.

После появления инновации и изменения внешних условий, в экономической системе начинаются процессы перестройки структуры.

На рис. 2 а показана динамика информационной энтропии в зависимости от величины

параметра ] = 1 — Ц . Энтропия Реньи (7) максимальна при наибольшем значении параметра Т] , при этом распределение Реньи становится степенным [2].

Рис. 2 а) Информационной энтропии Реньи для различных значений параметра ] б) Аттрактор Хенона

Зависимости информационной составляющей и материального производства предлагается описывать аттрактором Хенона (Рис. 2, б):

р = 1 +г ,—ср2,

± п п—1 ± п—1

г = Ьр ,

п п —1

где р , г характеризуют материальное и информационно-технологическое производство.

Низкий уровень информационной составляющей, так и слишком высокий, отрицательно сказываются на эффективности использования ресурсов. Наибольшая эффективность достигаются при оптимальном соотношении ресурсов, затрачиваемых на внедрение инноваций и поддержание самого производства.

Данная интерпретация согласуется с моделью из работы [3, 32] и [4, 122], в которой эффективность экономической системы представляет собой функцию от оснащенности ресурсами. Отмечается, что при одних и тех же значениях оснащенности существуют две различные реализации эффективности системы.

Состояние системы с наибольшей эффективностью является нестабильным. Предложенный критерием самоорганизации сложных экономических систем показывает, что при приближении к такому состоянию в системе нарастает энтропия, появляются флуктуации, начинается процесс разрушения структуры, который завершается срывом с траектории на другую эволюционную ветвь или другими словами, в системе происходит фазовый переход.

Экономическая система функционирует циклически с постоянными флуктуациями. R/S-анализ и показатель Херста, вычисленный для таких систем свидетельствуют о наличии долговременной памяти, в основе лежат распределения с «тяжелыми хвостами».

Список литературы / References

1. Башкиров А.Г. Энтропия Реньи как статистическая энтропия для сложных систем // Теоретическая и математическая физика. Том 149. № 2. М.: Наука, 2006. С. 299-317.

2. Зайнетдинов Р.И. Синергетический анализ инновационных циклов в науке, технике и технологиях / Р.И. Зайнетдинов // Циклы. Материалы VII Международной научной конференции. Том I. Ставрополь: РАН. Министерство образования и науки РФ, 2005. С. 19-26.

3. Pushnoi G.S., Bonser G.L. Method of Systems Potential as "Top-Bottom" Technique of the Complex Adaptive Systems Modelling // Ang Yang & Yin Shan (eds.) Intelligent Complex Adaptive Systems. Hershey-London: IGI-Publishing, 2008. P. 26-73.

4. Хайтун С.Д. Мои идеи. М.: Агар, 1998. 240 с