CC BY
61
УДК 519.22 ББК 74.5
Бурханова Юлия Николаевна
аспирант
кафедра математического анализа, алгебры и геометрии Государственное учреждение «Казанский (Приволский) государственный университет (филиал в г.Елабуга)» г.Елабуга Burkhanova Yulia Nikolaevna Post-graduate
Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry State Institution «Kazan (Volga Region) Federal University (Yelabuga Branch)»
Yelabuga ulin2703 @mail.ru
Информационно-коммуникационные технологии в преподавании математической статистики Information and Communication Technologies Using in the Course of
Mathematical Statistics
Рассмотрены преимущества использования информационнокоммуникационных технологий в преподавании математической статистики для студентов экономических специальностей.
Advantages of the information and communicative technologies usage in teaching Mathematical Statistics to students of economic specialty are discussed in the article.
Ключевые слова: информационно-коммуникационные технологии, математическая статистика, компьютерные математические системы, критерий согласия, функция распределения, гипотеза, алгоритм решения, межпредметная связь
Key words: information and communication technologies, Mathematical Statistics, computer mathematical systems, criterion of agreement, distribution function, hypothesis, algorithm of calculation, interdisciplinary link.
В настоящее время главной целью образования можно считать подготовку будущего специалиста для реальной жизни и деятельности, раскрытия его профессионального потенциала, развития его качеств и способностей к самостоятельным действиям и самообразованию. Образование при этом должно быть процессом развития таких человеческих способностей как интеллекта, памяти, способности принятия решения, использование современных технологий, общаться и взаимодействовать с людьми.
В век информатизации требуется повышение уровня образования населения до определенного уровня, что является сложной задачей. Использование в сложившихся современных условиях понятия «информационная среда» рассматривается, как усиление влияния информационных факторов на жизнедеятельность человека в целом. В. П. Кулагин [3] определяет информационную среду как совокупность информационных объектов и связей между ними, средства и технологии сбора, накопления, передачи, обработки и распространения информации, собственно знания, а также организационные и юридические структуры, поддерживающие информационные процессы. Совершенствование информационной среды требует формирование новых прогрессивных тенденций развития производительных сил, процессы интеллектуализации деятельности специалистов во всех сферах деятельности, включая и сферу образования. В современных условиях, когда понижена мотивация у значительной части студентов, проблема «чему учить» и «как учить» таких студентов является весьма серьёзной.
Поэтому особую актуальность данная задача приобретает при использовании информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Информационно-коммуникационные технологии становятся главнейшим средством доступа к различным источникам информации и мотивируют к самостоятельному поиску, анализу и использованию этой полученной информации.
Среди существующих в настоящее время разнообразных программных продуктов для информатизации процесса обучения математической статистике наиболее подходящими являются компьютерные математические системы (КСМ) (терминология следует [2]) — интегрированные программные продукты, способные производить все виды вычислений (численных, символьных, графических) и обладающие встроенными языками программирования сверхвысокого уровня. Изучение основных возможностей КМС позволило выделить ряд преимуществ компьютерной математической системы Mathematica перед другими математическими системами высокого уровня. Работа с системой Mathematica происходит в диалоговом режиме: пользователь задаёт системе задание, а она сразу же
его выполняет. Mathematica содержит достаточный набор управляющих структур для создания условных выражений, ветвления в программах, циклов и т. д. Таким образом, с помощью системы Mathematica можно решать многие задачи математической статистики. Важно, чтобы все студенты могли реализовать типовой пример с помощью компьютерной математической системы Mathematica и обладали требуемым математическим и статистическим уровнем подготовки в начале курса. Если это не так, то курс следует начать с обзора необходимых понятий математической статистики, а также провести вводное занятие для знакомства с принципами работы пользователя в системе Mathematica.
В качестве примера приведем задачу по использованию критериев согласия. Допустим, что построенную по выборке статистическую функцию распределения Fn (x) мы сгладили с помощью некоторой гипотетической функции распределения F (x). Возникает вопрос: а верна ли гипотеза о том, что функция распределения именно F (x) а не какая-либо другая? Точнее, не противоречит ли гипотеза о законе распределения F (x) результатам эксперимента? Чтобы ответить на этот вопрос, пользуются критериями согласия.
Под критерием согласия понимают некоторую величину A (Fn, F), которая отражает количественную меру расхождения гипотетического F (x) и эмпирического Fn (x) распределений. Эту величину можно выбрать многими способами, в соответствии с которыми получаются и различные критерии проверки интересующей нас гипотезы. Например, критерий Колмогорова:
A (Fn, F) = Dn = sup \Fn (x) - F (x) (1)
Схема применения критерия согласия следующая. Возьмём а > 0 настолько малым, чтобы осуществление события с вероятностью а можно было считать практически невозможным в единичном опыте. Зная закон распределения случайной величины A = A (Fn, F), найдем ее возможное значение А0 из уравнения P (А > А0) = а . По данной выборке вычислим значение критерия согласия А1 = A (Fn, F). Если окажется, что А1 > А0 , то это значит, что произошло практически невероятное событие. Следовательно, эксперимент опровергает нашу гипо-
тезу, и она отбрасывается. При этом вероятность того, что мы отбросили верную гипотезу, равна а. Если Д1 < А0 , то гипотеза не противоречит эксперименту и должна быть принята. Число а называется уровнем значимости критерия.
А. Н. Колмогоров нашел предельную функцию распределения величины
X = 4п Dn . Эту функцию обычно обозначают К (х):
Г- 7 27 2 2
К(х) = Пт Р {^п < х) = X (-1) е х , X > 0. (2)
п^да к=-да
Формулой (2) можно пользоваться для больших п . Чтобы воспользоваться критерием согласия Колмогорова, нужно построить графики гипотетической и выборочной функций распределения, по графикам найти статистику
Dn и вычислить величину Х1 = 4п Dn. Найти вероятность события 4п Dn > Х1 по формуле
оо у 2 к 2 о 2
Р(ТПд, > Л.1) = 1 - К(Я1) = -2 X (-1) е 1 . (3)
к=1
Если эта вероятность меньше а, то гипотеза отвергается, если больше — то признается не противоречащей эксперименту. Предположим теперь, что, например, из физических соображений мы можем высказать гипотезу только о виде закона распределения, а параметры, входящие в него, неизвестны. Тогда критерий согласия Колмогорова не применим. В таких случаях часто используют критерий согласия Пирсона.
Применение критериев согласия иллюстрируем на примере. Вначале генерируется (по методу обратных функций) выборка значений случайной величины, распределенной по показательному закону с заданным параметром а . Далее выборка группируется и находится группированная функция распределения, что необходимо для критерия Колмогорова. В соответствии со схемой применения критерия Колмогорова, задается теоретическая функция распределения Г (х), и по этим значениям вычисляется статистика Dn . Вычисляется вероятность по формуле (3) и сравнивается с уровнем значимости а. Теперь мож-
но вычислить значение статистики и оценить вероятность, сравнивая ее с уровнем значимости а.
Необходимо учитывать, что использование информационнокоммуникационных технологий для автоматического выполнения каких-либо вычислений используется только после того, как был сформирован навык выполнения этих вычислений без помощи компьютера. На начальном этапе формирования навыка выполнения того или иного математического действия необходимо подробное проговаривание выполняемых действий (в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий), при построении продукционной модели необходимо предъявлять требование письменного пояснения выполняемых действий.
Практическое применение системы МаШетайса для наиболее рационального решения задач математической статистики позволяет по-новому оценивать работу на компьютере и построить работу так, что студенты будут больше времени уделять анализу полученных результатов, при этом происходит осмысления теории. В системе МаШетайса появляется возможности проследить, как работает та или иная формула. Именно к такому применению системы в учебном процессе следует стремиться.
Рассмотрим применение КСМ МаШетайса для приведенного примера по критерию Колмогорова (приводим основной текст нулевого варианта в том виде, как он содержится в системе МаШетайса, т. е. с текстом и входными ячейками; выходные ячейки кое-где не приводим ввиду ограниченности объема статьи).
Зададим объем выборки и параметры закона распределения
п=100
а=2
eps=0.01
Теоретическая функция распределения Чх_]:=1-Ехр[-а*х]
Теоретическая плотность распределения df[x_]=D[f[x],x]
2е-2х
Обратная функция распределения g[x_]:=-Log[1-x]/a
Найдем равномерно распределенные случайные числа Y=RandomArray[UniformDistribution[0,1-eps],n]
Тогда имеем числа, распределенные по показательному закону: X=Map[g,Y]
Группировка для критерия Колмогорова
Вариационный ряд
Y=Sort[X]
Число разрядов для группировки к=10
Размах выборки R=Y[[n]]-Y[[1]]
2.08878 Длина разряда h=R/k 0.208878
Определение абсолютных частот xs=TabIe[Y[[1]]+(i-1/2)*h,{i,k}] а также определение середин разрядов m=BinCounts[Y,{Y[[1]],Y[[n]],h}]
Получим относительные частоты и накопительные частоты: р=К[т/п]
F[y_]:=Sum[p[[i]]*UnitStep[y-xs[[i]]],{i,k}]
Построим график теоретической функции распределения PIot[{F[y],f[y]},{y,Y[[1]],Y[[n]]}, PIotStyIe->{Red,Green}]
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Зададим уровень значимости а=0.05 alpha=0.05
Гипотетическая функция распределения Fg=AccumuIate[p]
Эмпирическая функция распределения Ft=Map[f,xs]
Найдем статистику Dn и вычислим величину Х,1 = Vn Dn Dn=Max [Abs [Ft-F g]]
0.1466
Iambda1=Sqrt[k]*Dn
0.4637
По формуле (3) рассчитаем вероятность и проверим гипотезу, если эта вероятность больше а, то гипотеза признается непротиворечащей эксперименту.
PL=-2*Sum[(-1)Aj*Exp[-2*jA2*Iambda1A2],{j,n}]
0.9826
If[PL>aIpha,"true","faIse"]
true
Делаем вывод, что гипотеза не противоречит эксперименту. Кроме того, студентам можно дать выполнить следующие задания:
1) используя критерий согласия Колмогорова, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность, выборка которой получена ранее. уровень значимости а=0.05;
2) провести расчеты для объемов выборки 20, 50, 80 и т. д.
Главное в обучении будущих экономистов математической статистике — научить студентов учиться, выработать у них глубокую потребность в математических знаниях и экономическом анализе, стремление к совершенствованию и обновлению знаний, умение применять их в практической деятельности. Одно из условий эффективности учебного процесса — наличие интереса к изучаемому предмету.
Учитывая многосторонний опыт, значительные функциональные возможности системы Mathematica и ее широкое распространение по всему миру, значимость применения этой системы при обучении математической статистике приняла особую актуальность, особенно в области профессиональной подготовки специалистов-экономистов.
Библиографический список
1. Извозчиков, В. А. Инфоноосферная эдукология: новые информационные технологии обучения [Текст] / В. А. Извозчикав. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1991. - 120 с.
2. Капустина, Т. В. Компьютерная система Mathematica 3.0 в вузовском образовании [Текст] / Т. В. Капустина. - М.: Изд-во МПУ, 2000. - 240 с.
3. Кулагин, П. Г. Межпредметные связи в обучении [Текст] / П. Г. Кулагин. - М.: Просвещение, 1983. - 67 с.
4. Манзон, Б. М. Mathematica 3.0: борьба за лидерство [Текст] / Б. М. Манзон. - Мир ПК, 1997, № 11. - С. 42-50.
BibIiography
1. Izvoztchikov, V. А. Infonoospheric Educology: New Information Technologies of Education [Text] / V. А. Izvoztchikov. - SPb: Herzen State Pedagogical University of Russia, 1991. - 120 p.
2. Kapustina, Т. V. Computer System Mathematica 3.0 in Higher Education [Text] / Т. V. Kapustina. - М.: Moscow Pedagogical University, 2000. - 240 p.
3. Kulagin, P. G. Interdisciplinary Links in Education [Text] / P. G. Kulagin. - М.: Prosveshchenie, 1983. - 67 p.
4. Manson, V. М. Mathematica 3.0: Struggle for Leadership [Text] / V. М. Manson. - PC World, 1997, № 11. - P. 42-50.
