CC BY
80
Информационно-коммуникационные технологии в курсе дискретной математики СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
Поздняков Сергей Николаевич, профессор кафедры ВМ-2, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», ул. проф. Попова, 5, 197376, +7(812)234-63-81 pozdnkov@gmail.com
Рыбин Сергей Витальевич доцент кафедры ВМ-2, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», ул. проф. Попова, 5, 197376, +7(812)234-63-81 svvm2leti@gmail.com,
Чухнов Антон Сергеевич, ассистент кафедры ВМ-2, , Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ», ул. проф. Попова, 5, 197376, +7(812)234-63-81 septembreange@gmail.com
Аннотация
В статье представлены результаты работы по реализации различных информационно-коммуникационных технологий в процессе обучения дискретной математике на младших курсах технического вуза на факультете компьютерных технологий и информатики. Предложенные технологии показали свою эффективность в мотивации студентов к изучению курса и осмыслению его идей и приложений. По оценкам студентов читаемый курс стал главным фактором их интеллектуального развития и вместе с двумя профессиональными курсами образовал тройку предметов, оказывающих большее влияние, чем все остальные изучаемые на первых курсах предметы. Особенностями построения курса была ориентация на разные целевые группы студентов, выделенные как по признакам мотивированности к обучению, так и по психологическим параметрам. В статье приведены примеры учебных заданий, использованные методические приемы и их педагогические обоснования.
We describe an experiment in the use of different information and communication technologies for teaching and learning discrete math at the computer science faculty. The results of the experiment are presented. The offered technologies demonstrated their efficiency in motivating students to study discrete math and to deeply understand its ideas and applications. A survey of student showed that the course became the main factor of their intellectual development, and, together with two professional courses, gave an impact greater, than other all subjects studied during 3 beginning semesters. The main pedagogical feature was a usage of different educational technologies for different target groups of students selected on the basis of their motivations to training, and different psychological parameters. The article presents some examples of educational materials.
Ключевые слова
информационно-коммуникационные технологии, дискретная математика, целевые группы, учебная мотивация;
information and communication technologies, discrete math, target groups, learning motivation.
Введение
Построение курса дискретной математики с ориентацией на поддержку профессиональных курсов, читаемых студентам информационных специальностей технических вузов, неоднократно становилось предметом обсуждения международного сообщества специалистов по информатике и математике. Так в 2007 году The ACM Special Interest Group on Computer Science Education подготовила доклад о возможных вариантах построения курса дискретной математики «On the Implementation of a Discrete Mathematics Course», в котором рассматриваются три варианта программы: одна с упором на математическое содержание курса (mathematics-focused model), вторая акцентирует идеи дискретной вероятности и информатики (computer science-focused model with discrete probability), третья ориентирована на информатику и теорию графов (computer science-focused model with graphs and trees) [1]. Все перечисленные модели программ курса включают в себя следующие разделы (модули):
1. Функции, отношения, множества.
2. Основы логики.
3. Техника доказательства.
4. Основы вычислений.
5. Графы и деревья.
6. Дискретная вероятность.
Первая модель не включает последние два модуля, а два других варианта включают один из них.
Открытый курс математики МИТ для поддержки преподавания computer science содержит все перечисленные выше модули, добавляя к этому две лекции по теории чисел [2].
Сложившийся на кафедре ВМ-2 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета (СПбГЭТУ) «ЛЭТИ» курс дискретной математики продолжается два семестра и в соответствии с требования федеральных стандартов [3, 4] состоит из двух независимых курсов — курса «Дискретная математика» и курса «Математическая логика и теория алгоритмов». Они в совокупности включают перечисленные выше разделы, кроме дискретной вероятности. Читаемый в СПбГЭТУ «ЛЭТИ» курс включает в большем объёме основы теории чисел, которые ориентированы на теоретические основы криптографии, также он содержит основы математической теории автоматов и алгоритмов, знакомство с формальным описанием языков. Последние из перечисленных выше тем обеспечивают формирование формального понятия алгоритма, понимание современных проблем, связанных с их изучением, связь с курсом программирования [5-8].
Преподавание курса дискретной математики в технических вузах по сравнению с другими курсами математики, читаемыми большинству студентов технических университетов, имеет ряд особенностей, которые можно использовать для эффективной постановки этого курса.
Первая из них состоит в том, что ряд идей курса излагается «с нуля», что позволяет снять проблему преемственности курса и вовлечь всех студентов в его активное освоение, несмотря на возможные пробелы в знаниях и психологические проблемы, связанные со школьным курсом математики и параллельно читаемыми курсами математики.
Второй особенностью является то, что для студентов специальностей, связанных с информатикой и информационными технологиями, этот курс имеет профессиональную окраску (можно сказать и по-другому: преподаватель может придать курсу профессиональную окраску). Это повышает мотивацию студентов к изучению курса.
Третьей особенностью является структура курса, проявляющаяся в наличии нескольких несвязанных между собой тем, которые упрощают усвоение материала в целом и позволяют применить различные методики и технологии к изучению разных тем.
Четвертой особенностью является возможность использовать навыки, которые студенты приобретают в процессе работы по параллельно читаемому курсу программирования. Поскольку в курсе дискретной математики присутствует большое количество алгоритмического материала, то появляется возможность конструктивного подхода к изучению математики, подтверждая теоретические идеи практическими построениями и экспериментами.
Другой круг аспектов, влияющий на преподавание курса, связан с особенностью текущего момента, который в частности проявляется в падении уровня школьного образования и отсутствия у многих студентов не только конкретных знаний (что, как указано выше не является критичным для преподавания дискретной математики), но и падении общих умений организации собственной мыслительной работы. Решение этой проблемы по нашему мнению может осуществляться на основе тех преимуществ, которые обеспечены особенностями самого курса, а также теми технологическими возможностями, которые предоставляют информационные технологии.
Рассмотрим следующие педагогические принципы, которые мы считаем важными для постановки курса дискретной математики:
1) лекции должны обеспечить понимание студентами основных идей курса, дать понятные примеры для концептуализации теоретических понятий и конструктивные приёмы обоснования результатов;
2) практика должна обеспечить владение минимальным набором базовых умений и навыков, которые проверяются на контрольных мероприятиях и рассматриваются как общий для всех студентов вуза стандарт, не владение которым должно повлечь отчисление студента;
3) студентам должны быть предоставлены широкие возможности для самостоятельной деятельности, направляемой преподавателем, которые обеспечат «ножницы» между минимальными и оптимальными требованиями к студенту.
Технологии организации текущей работы по курсу дискретной математики и минимальные требования к результатам обучения
Рассмотрим технологические аспекты постановки курса.
В последние 5 лет определилась тенденция увеличения числа групп (и студентов) в учебном потоке. Это предполагает одновременное общение лектора с несколькими сотнями студентов. В какой степени в организации его работы нужна стандартизация и автоматизация, а в какой возможна индивидуализация обучения?
Что касается возможности индивидуализации работы со студентами в потоке, то наш ответ на этот вопрос положителен и возможности такой индивидуализации будут рассмотрены ниже в следующих разделах статьи. Основываясь на полученных экспериментально опытных результатах, можно утверждать, что индивидуализация при работе с большим контингентом студентов не может быть достигнута без автоматизации отдельных аспектов этой работы.
Наиболее естественный путь решения этой проблемы - обеспечить индивидуализацию тем студентам, которые могут и хотят выйти за пределы обязательного минимума, который обеспечивает положительную оценку результатов учебной работы. Эти целевые группы легко определяются после первого семестра обучения. В первую группу попадают студенты с низкой мотивацией к изучению данного предмета, а также студенты с недостаточным уровнем знаний по школьному курсу математики и информатики. Студенты этой группы по разным причинам имеют мало свободного времени, то есть времени, добровольно направляемого на удовлетворение возникающих познавательных интересов: первые из-за того, что их интересы лежат в иной области, вторые из-за больших затрат времени на изучение базовых идей курса. Заметим, что чрезмерная заорганизованность студентов (не обязательно по данному курсу, но интегрально по всем читающимся курсам) также приводит к дефициту свободного времени студента, что по нашему мнению вредит формированию общих компетенций специалиста, связанных с умением организовать свою деятельность и выбрать для неё правильное направление. Студенты второй группы, как правило, успевают усваивать материал на лекциях, задают вопросы преподавателю, готовы выполнять инициативные учебные работы. Именно для этой группы, размер которой составляет 10-20% от общей численности студентов и требуется индивидуальный подход. Время на реализацию индивидуальной работы преподаватель может выделить за счет уменьшения времени работы со всем потоком за счёт использования различных технологических средств и приемов.
К таким технологиям мы относим:
1) доступное и живое изложение нового материала и необходимо сопутствующий ему контроль за посещаемостью занятий (первой целевой группой); отметим, что здесь для этой целевой группы крайне важно наладить регулярную учебную работу студента, чтобы он гарантированно овладел минимальным набором знаний, умений и навыков;
2) использование открытых генерируемых параметрически материалов [9], в совокупности точно задающих минимальный набор требований к студентам; эти материалы создают единую базу для организации практических заданий, выдачи индивидуальных заданий, проведения контрольных работ, итоговой проверки минимальных знаний в случае неудачной сдачи экзамена; также этот набор важен при составлении нестандартных экзаменационных задач (об этом подробнее ниже), чтобы разделить области «стандартного» и «нестандартного»; на рис. 1 показан пример двух сгенерированных вариантов задания на бинарные отношения, на рис. 1 показаны ответы; проверка заданий по ответам не требует больших расходов времени у преподавателя; стереотипы, которые могут сформироваться у студента при выполнении параметрически генерируемых заданий в данной ситуации несут полезную роль, так как соответствуют формированию требуемых фреймов [10, 11] или схем алгоритмов [12], которые являются целью подобных заданий);
3) использование электронных тренажеров и манипуляторов, позволяющих тренироваться в практических навыках [13, 14];
4) использовании персональных сайтов, созданных по единому шаблону и их связи с журналом группы для быстрого просмотра выложенных материалов
[15].
Вар. 1 (930107) Отношение задано на множестве двзгзначных чисел
М=(86;76;66;96;43) : аЫЫ & а < с, Ь > ± Выполните
следующие задания:
1. нарисуйте граф отношения и постройте матрицу смежности этого графа;
2. определите, является ли отношение рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, асимметричным, транзитивным. Дайте обоснование своим ответам;
3, определите, является ли это отношение отношением эквивалентности, отношением порядка (строгого, нестрогого, частичного, линейного); дайте обоснование своему ответу;
4, ответьте, применим ли к этому отношению алгоритм топологической сортировки; если алгоритм применим, примените его; приведите протокол работы алгоритма, интерпретируя его на графе и матрице смежности (для определенности при проверке, при наличии нескольких минимальных элементов договоримся выбирать первый в лексикографическом порядке); дайте объяснение смыслу алгоритма топологической сортировки. В качестве ответа привести линейно упорядоченные элементы множества.
Вар. 2 (930107} Отношение задано на множестве двузначных чисел
М=(71;95;56;55;67) : аЫЫ а = ¿,Ъ < с. Выполните
следующие задания:
1. нарисуйте граф отношения и постройте матрицу смежности этого графа;
2. определите, является ли отношение рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, асимметричным, транзитивным. Дайте обоснование своим ответам;
3. определите, является ли это отношение отношением эквивалентности, отношением порядка (строгого, нестрогого, частичного, линейного); дайте обоснование своему ответу;
4. ответьте, применим ли к этому отношению алгоритм топологической сортировки; если алгоритм применим, примените его; приведите протокол работы алгоритма, интерпретируя его на графе и матрице смежности (для определенности при проверке, при наличии нескольких минимальных элементов договоримся выбирать первый в лексикографическом порядке); дайте объяснение смыслу алгоритма топологической сортировки. В качестве ответа привести линейно упорядоченные элементы множества.
Рис. 1. Пример двух сгенерированных вариантов задания.
Ответы к заданию "С-IV, к.р.З, Дискретная математика. Отношения" (серия 930107)
Вар. 1 /0 0 0
1.
0 0 0 \о о о
о о о о/
-+,->+>- +
3. не экв-ть, строгий, частичный порядок
4. +43,66,76,86,96._
Вар. 2 /0 0 0 0 1\ '"00""*
0 0 0 0 0 0 0 0
\0 0 0 0 0/
3. не экв-ть, строгий, частичный порядок
4. 4- 55,56,67,71,95._
Рис. 2. Сгенерированные ответы к вариантам задания.
Целевые группы и альтернативные формы экзамена
Формирование общих компетенций специалиста, связанных с умением ставить задачи и организовывать свою деятельность по их решению, предполагает продуктивный подход к обучению математике [16, 17]. При реализации продуктивного подхода в большом потоке студентов целесообразно выделить основные целевые группы в составе контингента обучаемых и определить для каждой из них соответствующие методические подходы, которые определят разные технологии обучения. На факультете компьютерных технологий и информатики СПбГЭТУ «ЛЭТИ» можно выделить две большие группы студентов, которые условно можно назвать «программистами» и «теоретиками». Эти названия не предполагают тот или иной уровень знаний и готовности к обучению, а основаны на целевых установках, мотивации, предшествующем опыте и ожиданиях обучаемых.
Так категория «программистов» может быть охарактеризована такими признаками как опыт в программировании, желание писать программы. «хакерство» в его положительном смысле, интерес к появляющимся технологиям программирования, уверенность (хотя и не всегда оправданная) в своих профессиональных «программистских» качествах. Эта категория была довольно обширной в 80-х и 90 -х годах прошлого века, а в настоящее время сильно сократилась (от 50-70% до 20-30%).
Категория «теоретиков» наоборот увеличивается. Это студенты, имеющие достаточно хорошие общие показатели в школьной подготовке, часть из которых интересуется математикой, но индифферентные к вопросам программирования, с неопределившимися профессиональными интересами. Они, как правило, прилежно учатся, но не стремятся переносить знания между предметами, ограничивают свои интересы изучаемым материалом, не проявляют инициативы в выполнении проектов. Часть таких студентов однако предполагает, что после того, как они получат соответствующее образование, у них появятся профессиональные навыки и ожидают в будущем появление интереса к программированию и другим профессиональным областям.
Другим параметром, по которому целесообразно разделить контингент является тревожность. По этому параметру можно отделить тех студентов, которые показывают стабильные результаты безотносительно того, являются ли занятия текущими или контрольными, от студентов, которые на экзаменах показывают значительно худшие результаты, чем в течение учебного семестра.
Комбинируя эти параметры можно выделить четыре целевые группы, на которые можно ориентироваться при определении основных подходов к обучению (табл. 1). Для каждой из этих групп определим виды деятельности, которые с нашей точки рения дадут эффективные результаты.
Таблица 1.
Рассмотренные целевые группы._
Учебный стиль/ тревожность 1 Низкий уровень 2 Высокий уровень
А «Программисты» А1. Использование на занятиях по дискретной математике межпредметных связей с информатикой. Например, конструктивный подход к изучению алгоритмических аспектов курса. А2. Выполнение индивидуальных проектов в течение учебного семестра, включающих составление программ. Проекты выполняются в качестве альтернативы стандартному экзамену.
В «Теоретики» В1. Выполнение продуктивных заданий на экзамене, позволяющих оценить, насколько студент понял основные теоретические идеи, может перенести их на решение нетиповых задач. В2. Изучение дополнительных разделов математики или углубленное изучение отдельных глав читаемого курса, решение теоретических задач учебно -исследовательского характера в качестве альтернативы к сдаче традиционного экзамена.
Приведем примеры заданий, применявшихся нами для работы с выделенными группами.
Группа А1. Студенты, увлекающиеся программированием с низким уровнем тревожности.
Для этих студентов предназначены следующие виды работ: - индивидуальные домашние задания, завершающиеся написанием программы; в курсе дискретной математики (и второй его части — курсе математической логики и теории алгоритмов); например, нами используются задание по разработке автоматных и контекстно-свободных грамматик с однозначностью ветвления по певромому сисмволу (грамматик класса LL(1)), последним этапом которых является создание программы для синтаксического анализа языка; известно, что для данных классов языков существуют алгоритмы, строящие синтаксические анализаторы; эти алгоритмы и обеспечивают методические условия для реализации образовательной
технологии, основанной на соединении умений из двух предметных областей; то, что предложенный подход является технологией подтверждается тем, что проводить такие занятия может преподаватель математики, не обращаясь за помощью к преподавателю программирования (на рис. 3 представлен фрагмент таких заданий);
Примеры индивидуальных заданий на построение грамматик языка и синтаксических анализаторов для них
1. Правильные скобочные записи с двумя видами скобок. Пример: ()[()[]([[]])(())1
2. Правильные скобочные записи, у которых внутри круглых скобок могут быть только круглые, а внутри квадратных — любые.
Пример: (ООЖШОШ
3. Правильные скобочные записи, у которых внутри квадратных могут быть любые, а внутри круглых - ничего.
Пример: ОКЖООЮШ
4. Правильные скобочные записи, у которых на одном уровне находятся скобки одного типа.
Пример: КЖХШИИИ
5. Правильные скобочные записи, у которых типы скобок одного уровня чередуются.
Пример: ОШОШОКЖ)
6. Правильные скобочные записи, у которых при переходе на следующий уровень тип скобок меняется.
Пример: ШКШКХЖО)
7. Правильные скобочные записи, у которых внутри квадратных могут быть только квадратные, а внутри круглых только круглые скобки. Пример: (ООЮШШПО
8. Правильные скобочные записи, у которых максимальная вложенность скобок — два уровня.
Пример: (()□())[[]][<)]()
9. Правильные скобочные записи, у которых максимальное количество скобок одного уровня — два.
Пример: ЯШШОО)]
10. Правильные скобочные записи, у которых внутри любой пары квадратных скобок стоит последовательность квадратных и круглых скобок из более чем одной пары скобок.
Пример: [()()][([((})()])()[(}()])
Рис. 3. Фрагмент заданий на построение грамматик.
на экзамене на эту целевую группы ориентированы вопросы типа 1.2, представленные в примере экзаменационного билета на рис. 2, где требуется написать алгоритм решения задачи, что не являлось предметом математической
задачи в традиционных курсах математики; в задачах 2.1 и 5.1 студенту требуется представить результаты работы алгоритма без протоколирования его действий, а зная предусловие и постусловие для этого алгоритма;
1. В модифицированной пятеричной системе счисления все цифры, кроме последней,
чётные. Тем не менее, диапазон изменения цифр выбран так, что любое натуральное
число можно представить в этой системе, причём единственным способом.
1.1. Найдите в этой системе счисления сумму 442+243+441
1.2. Сформулируйте алгоритм умножения числа на 5 в данной системе счисления.
Все цифры числа, кроме последней а„, сдвинуть на одну позицию влево.
2.1. Найдите многочлен над полем рациональных чисел, равный Р/НОД(Р; Р')
2.2. Сколько различных квадратичных делителей имеет многочлен Р над полем
3. Дана функция Эйлера ср(л) - количество взаимно простых с п натуральных чисел,
4. Последние десять членов цепной дроби [1; 2, 3, 4. ..,100] отброшены.
4.1. Оцените утверждение: величина дроби уменьшилась.
5. Дано асимметричное отношение. Оцените утверждение:
5.1. После транзитивного замыкания отношение стало симметричным.
Ответ. Зависит от конкретного отношения: может быть верным или
Рис. 4. Пример экзаменационного задания по дискретной математике с
ответами.
Группа В1. Это группа студентов, наиболее приспособленных к классическому варианту построения обучения в вузах. Они стараются вовремя выполнять все предлагаемые работы, не стремясь к самостоятельности. Об их знаниях достаточно говорят, как результаты промежуточной аттестации, так и результаты экзамена. В то же время, среди этих студентов есть такие, кто мог бы изучать предмет более глубоко, но не имеет опыта самостоятельной деятельности. Наша цель в работе с такими студентами состояла в том, чтобы показать различие между репродуктивной и продуктивной деятельностью, инициировать обдумывание пройденного материала, решение содержательных (исследовательских, нестандартных) задач, привлечь к чтению дополнительной литературы. В качестве примера рассмотрим задачу 1.1 (рис. 3): она предполагает видоизменение представления числа в р-ичной системе, требует от студента переноса знаний в новую ситуацию; в задаче 3.2 предлагается оценить утверждение, истинность которого заранее не определена (в отличие от задач на доказательство), это требует от студента более глубокого понимания сути предмета проверки [18, 19].
Группа А2. Это группа технически ориентированных ребят, которые не стремятся к
«активной» работе на занятиях, однако что-то программируют дома для себя, общаются в социальных сетях, имеют «хакерскую» ориентацию. Для этой группы эмоциально значимыми являются прикладные аспекты курса, те его идеи, которые
позволяют по-новому взглянуть на известные им технические понятия. Многие из этих студентов имеют плохую успеваемость по классическому курсу высшей математики (математический анализ, линейная алгебра и пр.). В то же время, многие из них проявляют неожиданный (для преподавателей вышеупомянутых предметов) интерес к дискретной математике. Их «цепляют» неожиданные возможности для организации компьютерного эксперимента, реализация обсуждаемых алгоритмов, возможность сделать автоматический «решебник» для обсуждаемых классов задач. В
то же время, высокая тревожность студентов этой целевой группы приводит, как правило, к неудовлетворительным результатам на экзамене. Эти студенты зачастую не умеют логично излагать свои мысли, не обладают сноровкой «сдачи экзамена» при недостаточном уровне знаний. В эту же группу можно отнести тех студентов, которые неудовлетворительно сдают экзамен по другим причинам, но у которых профессиональные качества выбранной профессии образуют «зацепку» для применения иных технологий обучения. Наш подход к таким студентам заключался в реализации следующей стратегии: дать им возможность осмыслить материал через конструктивную (программистскую) деятельность и сдать экзамен в форме проекта, который сопровождается глубоким осмыслением материала, связанного с программным продуктом (рис. 5). Для того, чтобы гарантировать минимальный уровень базовых знаний для этой категории студентов, ставится «входное» условие
— написать контрольную на хорошо и отлично с первого раза. Для большинства таких студентов это препятствие является преодолимым, оно же дает им стимул для регулярной работы по математике, которая в иной ситуации была бы не
выполнена.
Примеры ¡аданин на программирование (цшштш m переписки со студентами)
1) «Предлагаю сделать программу для генерации неприводимых многочленов данной степени над полем. Zp, а потом, на его основе сделать учебную программу. Чтобы разобраться с вопросом, почитайте книгу "Дискретная математика" (выложенную в разделе "Литература" на моем сайте. Также можете прочитать книгу Акритаса "Компьютерная математика и её применение". Программа должна при задании двух чисел - значения р и значения степени многочлена п - выдавать все неприводимые многочлены степени п над полем Zps.
2) «Предлагаю сделать тренажер по бинарным отношениям.
При запросе появляется случайно сгенерированная матрица 5 на 5 (разумеется, она генеируется не совсем случайно, а так, чтобы среди 7 изученных свойств как правило присутствовали окало 3 (хотя редко должны появляться и варианты, когда ни одно из свойств
Решающий должен для каждого свойства указать выполняется оно или нет. После чего правильные и неправильные ответы подсвечиваются, а при нажатии на неправильный ответ в
Второй вариант - те же вопросы, но для отношения заданного спискам смежностей. Третий вариант - те же вопросы, но для отношения, заданного графом Другой вариант тренажера более интересный. Генерируется матрица и предлагается изменить один её элемент так, чтобы она стала обладать указанным свойством».
3) «Ваша задача: разработать алгоритм перечисления всех отношений порядка на множестве из п элементов. Разобраться в задаче поможет теорема на стр. 79указанной книги: Ope.
Рис. 5. Пример проектных заданий, связанных с программированием.
Группа B2. Это студенты, которые, как правило, регулярно и успешно работают на практических занятиях, ходят на все лекции, успешно пишут контрольные. Однако на экзаменах они показывают плохие результаты, делая ошибки в письменных работах и путаясь в устных ответах. Это объясняется их высоким уровнем тревожности. Для этой группы нами был предложен иной вариант экзамена: изучение нового материала с решением задач по нему, либо работа над исследовательской задачей, которая требует решения вспомогательных задач и чтения дополнительной литературы. Первый вариант по нашим наблюдениям
целесообразен для студентов 1 курса, второй вариант — для более старших студентов. Главным в реализации этой технологии является подбор тем. Темы должны быть новыми, то есть каждый студент должен получить индивидуальное задание. Трудность подбора тем для работы определена ограниченностью тематики содержанием курса, по которому проводится экзамен. Однако, если учесть появление новой литературы, дающей новые интерпретации и направления развития предметной области, эта задача успешно решается нами в течение более чем 5 лет (рис. 6).
Несмотря на то, что в представленном анализе целевых групп, методические материалы и педагогические технологии увязаны с особенностями целевых групп, следует отметить, что в чистом виде описанные выше типы встречаются редко и как правило каждый студент в различных ситуациях в той или иной степени может быть отнесен к разным целевым группам. Предлагая задания всем студентам, мы учитываем многополярность индивидуальности студента, даем возможность выбрать для себя наиболее эффективный способ работы над
п
эедметом.
Примеры заданий на изучение нового материала но книгам и статьям (цитаты из переписки со студентами)
1) «Ваша задача научиться строить длинные простые числа.
Для. этого разберитесь с соответствующим разделом прилагаемой статьи а также изучите историю вопроса, выполните численные эксперименты».
2) «Изучите брошюру и решите задачи по ней. Гельфанд. "Решение уравнений в целых числах"»
3) «Ваша тема: "Жадные алгоритмы и понятие матроида".
http://ipo.spb.ru/journal/article/674/ - прочитать и решишь задачи. Узнать больше: Кормен-Лейзерсон-Ривест-Штайн-Алгоритмы. Построение и анализ алгоритмов».
4) «Грэхем. Кнут. Конкретная математика Прочитайте "Возвратные задачи". Разберитесь подробно с задачей Иосифа Флавия и выполните упражнения, с ней связанные».
5) «Вгигенкин. Комбинаторика Глава 5. Комбинаторика на шахматной доске. Разобрать разобранные задачи и решить неразобранные».
6) «Ope. Теория графов. Глава 3.Задачи о цепях.
Разобрать разобранные задачи и решить неразобранные. Акцент сделать на лабиринтах».
Рис. 6. Пример заданий, связанных с изучением литературы.
Поддержка самостоятельной работы студентов
Одной из важных компетенций является компетенция самоконтроля, умения организовать свою деятельность. В то же время, учеба в университете часто ставит студента в состояние непрерывной сдачи отчетных материалов, когда «административная» составляющая его деятельности подавляет содержательную, мешает реализации познавательных интересов.
С другой стороны, приходя в университет, многие современные студенты достаточно инфантильны и не готовы к самостоятельной организации своей учебной деятельности.
Работая со студентами, целесообразно выделить различные целевые группы по степени готовности к самостоятельной работе. Выделим три такие группы:
С1. Студенты, приученные в школе работать по жесткому плану, который им «навязывается» извне, при этом они не готовы к осмыслению плана работы в целом, предпочитают локальные управляющие действия и постоянный текущий контроль.
С2. «Классические» студенты. Эти студенты понимают, что пришли в университет, где система обучения отличается от школьной, где нужно работать самостоятельно и где их не будут контролировать так часто и по таким мелким шагам, как это делалось в школе. В то же время, современные студенты в своей основной массе не умеют реализовать эти цели.
С3. Студенты, готовые заниматься самостоятельно. Эти студенты посещают лекции по внутренней потребности, легко меняют источники информации. Умеют объединить в общую понятийную схему информацию из разных источников, изложенную в разной логике, терминологии, обозначениях.
Задачей преподавателя по нашему мнению является совершение таких управляющих действий, которые бы перевели студентов группы С1 в состояние С2, а студентов группы С2 в состояние С3.
Рассмотрим концепцию, на основе которой мы подходили к решению этой педагогической задачи и различные виды работ, которые мы использовали для решения этой проблемы.
Главным принципом для нас являлось разделение процессов обучения и контроля. Мы стремились сделать так, чтобы обучение было интересным, понятным, чтобы на него не давил груз экзаменационных вопросов. (Такой подход обусловлен ещё и тем, что в школе после введения ЕГЭ наблюдается обратный процесс, когда учителя в своей массе ориентируются на подготовку к ЕГЭ, обращая меньше внимания на развитие познавательной самостоятельности обучаемых [критика ЕГЭ]). Технологически это обеспечивалось тем, что текущий контроль касался только материала, поддержанного практикой. Поэтому лектор получал свободу, позволяющую ему останавливаться на главных идеях материала, сделать понятными основные понятия.
Другим приемом для постепенного развития самостоятельности была переоценка времени на изучение последовательных разделов курса. Прием состоял в следующем. Предположим, что курс состоит из трех равноценных по объему материала частей. Естественным тогда было бы и равномерное распределение времени изучения материала — по 33% на каждый раздел. Однако это бы не соответствовало психологическим особенностям готовности аудитории к самостоятельному освоению материала, описанным выше. Нами использовался следующий прием: на первый раздел выделялось 50% времени, и он изучался так же подробно и детально (учитывая практические занятия), как это делалось на уроках в школе. На второй раздел выделялось 33% времени, то есть использовалась модель «классического» студента. Третий раздел изучался лишь 17% времени, а нехватка 16% времени на изучение раздела компенсировалась самостоятельным изучением материала. Такая неравномерность не приводит к ухудшению результатов, наоборот, хорошо изученный первый раздел не только придает студентам уверенности в собственных силах, но и является для них некоторым гарантом успешной сдачи экзамена (например, студенты, которые сдают экзамен неудовлетворительно, часто просят «погоняйте меня по первому разделу, я его хорошо знаю»). Второй раздел являлся для студентов примером того, как они должны работать с материалом в университете, чтобы соответствовать своему статусу. Третий раздел показывал студентам перспективу, к которой они должны стремиться. Возможные проблемы с изучением третьей части курса в приведенной стратегии являются хорошим стимулом для развития и использования информационных технологий (использование студентами манипуляторов, электронных учебных материалов и пр.).
Следующим приемом для поддержки самостоятельности является использование персональных сайтов студентов. В настоящее время создание
простого сайта требует около 10-15 минут (например, при использовании сервиса Google Sites) (рис. 5).
Использование персональных учебных сайтов позволяет студентам естественным образом составлять «портфолио», выкладывая различные работы, в том числе, решения необязательных задач, которые преподаватель предлагает в процессе чтения лекций. В качестве инструмента общения используется «обычная» таблица со списком группы, в котором фамилия студента является ссылкой на его персональный сайт. В таблице есть ещё два столбца — один для сообщений студента, второй — для комментариев преподавателя. Все сообщения краткие и снабжены точным временем. Это позволяет преподавателю находиться в курсе изменений на сайтах студентах и просматривать изменения в удобное для него время. Ведение учебного сайта не требует от студента больших временных затрат, например, часто студенты фотографируют свои работы и выкладывают их на сайт в качестве представления результатов работы.
Наконец, наиболее элементарным приемом для инициирования ответственности за свою учебную работу являются экспресс-опросы в конце лекции. Эти опросы проводятся и декларируются нами как проверка посещаемости лекций; объявляется, что предлагаемые задания можно не выполнять, что результаты не будут никак учитываться, что они представляет только интерес для преподавателя, желающего оценить контакт с аудиторией и доступность изложения, и что студенту достаточно написать на листочке лишь свою фамилию для подтверждения присутствия на лекции. Тем не менее, подавляющее большинство студентов выполняют предложенные задания (более 90%), при этом 70% стремятся выполнить его самостоятельно и продолжают работать на перемене (на задание выделяется 3 -5 минут в конце лекции). Такое поведение мы рассматриваем как инициативу студента, желающего представить свои мысли преподавателю.
--------—' ГЛДШИЛЯ ГТ] 1;П! II H.I
Мат.Логика и Теория Алгоритмов ""7™-
Рис. 7. Учебные сайты студентов.
Обратим внимание на то, что перечисленные в предыдущем разделе технологии приема экзамена для разных целевых групп также инициируют повышение самостоятельности. Во-первых, они дают возможность выбора студентом разных стратегий организации своей учебной работы и возможного перехода от способа работы типа 1 к способам типа 2, которые предполагают более самостоятельную работу по подготовке к экзамену (рис. 8). Обратим внимание, на предоставляемую студентам возможность отказа от стратегии типа 2 вплоть до даты проведения альтернативного экзамена. Это дает студентам возможность «примерить» соответствующий уровень самостоятельности. Важно также, что участие в
альтернативном экзамене студент должен планировать и стремиться хорошо написать первую контрольную, по которой дается допуск к такой форме сдачи экзамена.
Рис. 8. Выбор тем альтернативного экзамена.
Практические занятия по дискретной математике.
Практические занятия по дискретной математике проходят в форме решения и обсуждения задач. Тесная связь этих задач с теоретическими знаниями, получаемыми на лекциях, позволяет тратить не очень много времени на напоминание теории и сосредоточиться непосредственно на задачах.
Отчётность студентов перед преподавателем, ведущим практические занятия, заключается в выполнении индивидуальных домашних заданий и написании контрольных работ. Сочетание этих способов контроля знаний и умений позволяет с разных сторон оценить глубину усвоения материала. Проверяется умение студентов применять полученные знания как в домашних условиях, на более трудоёмких задачах, так в условиях полностью самостоятельной работы с жёстким лимитом времени.
Выдача и выполнение студентами индивидуальных заданий ведётся в двух формах, которые можно условно назвать модульной и непрерывной. Выбор формы не зависит от материала, а связан скорее с мотивационными характеристиками конкретной группы студентов.
В случае непрерывной формы индивидуальное задание (или индивидуальных задания) выдаётся студентам в начале семестра. Таким образом, студенты сразу получают возможность обозреть всю открывающуюся перед ними образовательную перспективу. Непрерывная форма больше подходит для студентов с высоким уровнем мотивации. Наличие незнакомых слов и ещё не разбиравшихся на лекциях и практических занятиях тем в задачах индивидуального задания подвигает некоторых студентов на самостоятельное изучение нового материала. С другой стороны, для студентов с менее высоким уровнем мотивации и высоким уровнем тревожности одномоментная демонстрация всей глубины и всего разнообразия курса может, наоборот, послужить отталкивающим, пугающим фактором. Кроме того, отсутствие чётких сроков выполнения каждого конкретного модуля нередко приводит к тому, что студенты с недостаточно высоким уровнем мотивации оставляют все заданиях на конец семестра.
Модульная система обеспечивает лучший сиюминутный контроль за усвоением студентами передаваемых им знаний и навыков. Она предполагает разделение курса на несколько частей (обычно на три), по каждой из которых
имеется своя отчётность в виде контрольной работы и индивидуального задания (по третьему модулю иногда ограничиваются одним видом отчётности).
Таким образом, вместо общего плана, рассчитанного на весь семестр, студенты видят перед собой конкретный фронт работ меньшего объёма, с задачами на уже большей частью понятную и освоенную тематику. У студентов появляется некоторая локальная цель, которой нужно добиться к строго определённому сроку. Эта схема лучше подходит для студентов с меньшим кругозором и ограниченной мотивацией, однако она чуть меньше способствует развитию их самостоятельности.
При этом в случае проведения мероприятий по контролю полученных знаний согласно модульной форме, индивидуальное задание по тематике каждого модуля является допуском к соответствующей контрольной работе. К контрольной работе допускаются только студенты, выполнившие определённый, достаточно высокий процент индивидуального задания. Стопроцентное выполнение индивидуального задания на этом этапе требуется не всегда, так как в индивидуальном задании присутствуют в том числе и довольно сложные задачи, которые среднестатистическому студенту непросто выполнить с первого раза; невыполнение малого числа таких заданий за короткий срок не должно служить препятствием к дальнейшей работе. Однако, в конце концов, любое индивидуальное задание должно быть выполнено полностью.
Поскольку контрольная работа зачастую имеет ценность не только сама по себе, но и, в свою очередь, даёт возможность получить допуск к сдаче экзамена в альтернативной форме, такая методика заметно повышает мотивацию студентов к выполнению заданий конкретного модуля здесь и сейчас.
Достигается двойной эффект. С одной стороны, необходимость получения допуска к контрольной работе заставляет студентов тратить больше усилий на решение задач индивидуального задания по мере изучения данного модуля. С другой стороны, поскольку тематики индивидуального задания и контрольной работы в значительной мере пересекаются, предварительное выполнение задач индивидуального задания обеспечивает студентам лучшую подготовку к контрольной работе, что повышает успеваемость студентов и также на контрольной работе. Таким образом, наличие административной связи между контрольной и индивидуальным заданием увеличивает успеваемость по обоим видам отчётности.
Практические занятия по дискретной математике не только способствуют усвоению и закреплению конкретных навыков, но и обеспечивают большую глубину понимания теоретического материала. Кроме того, практических занятия служат своего рода подготовкой к экзамену, который у некоторых лекторов проходит в письменной форме.
Заключение
Проведенный многолетний эксперимент (2008-2014) на кафедре ВМ-2 факультета компьютерных технологий и информатики СПбГЭТУ «ЛЭТИ» по реализации предложенной концепции построения курса дискретной математики позволяет сделать следующие выводы об использовании различных образовательных технологий:
1) общение лектора со студентами потоков в 100-200 человек может быть обогащено использованием персональных сайтов студентов, на которых студенты формируют портфолио своих инициативных и обязательных учебных результатов по читаемому курсу; правильное определение шаблонов для представления этой информации позволяет лектору два-три раза в семестр знакомиться с состоянием работ студентов, затрачивая по 1-3 минуты на каждого студента;
2) использование различных видов заданий по дискретной математике позволяет без существенного изменения форм учебных занятий учесть индивидуальные особенности как профессионально ориентированных на программирование студентов, так и классических студентов, предрасположенных к теоретическому изучению предмета;
3) использование экзаменационных заданий продуктивного типа, требующих переноса знаний в иную ситуацию, позволяет оценить качество овладения студентом прочитанного курса; использование таких заданий вместе с генерируемыми заданиями репродуктивного типа позволяет создать «ножницы», которые дают возможность как студенту, так и преподавателю оценить эффективность учебной работы (как учения, так и обучения);
4) использование альтернативной формы сдачи экзамена в форме выполненного проекта повышает инициативность студентов, создает условия для развития их самостоятельности; на рис. 9 приведены результаты анонимного опроса в 2 потоках (в сумме около 200 человек) о том, какие из изучаемых предметов больше влияют на их интеллектуальный рост (эксперимент проводился на 2 курсе факультета компьютерных технологий и информатики Санкт-Петербургского электротехнического университета). Приведены суммарные веса и в скобках удельный вес влияния в процентах. 1820 (23%) — дискретная математика (вторая часть курса — математическая логика и теория алгоритмов); 1500 (19%) — теоретические основы электротехники; 1070 (13%) — структуры и алгоритмы обработки данных; 920 (11%) — математический анализ; 900 (11%) — линейная алгебра и аналитическая геометрия; 660 (8%) — психология; 440 (5%) — философия; 370 (5%) — физика; 400 (5%) — остальные предметы; полученные результаты показывают существенное влияние прочитанного курса дискретной математики на интеллектуальное развитие студента, предложенная концепция организации работы по курсу вывела его в состав профилирующих (по оценке студентов) дисциплин, а вес курса дискретной математики равен суммарному весу традиционных предметов высшей математики (математического анализа и линейно алгебры), которые по числу часов в 2-3 раза превышают объём курса дискретной математики.
Рис. 9. На диаграммах приведены результаты опроса студентов о том, какие из изучаемых предметов больше влияют на их интеллектуальный рост.
Рис. 9. Результаты анонимного опроса.
Статья подготовлена в рамках работ СПбГЭТУ «ЛЭТИ» по госзаданию № 114031340002.
Дальнейшее развитие работ по данному направлению предполагает комплекс технических и педагогических работ. Работы по первому направлению будут продолжены в рамках упомянутого выше проекта. Работы по второму — в рамках проекта, финансируемого Европейской Комиссией по программе Темпус
(№ гранта: 543851-TEMPUS-1-2013-1-DE-TEMPUS-JPCR). This project will be continued with financial support Tpmn11c; from the European Commission.
Литература
1. SIGCSE Committee Report "On the Implementation of a Discrete Mathematics Course". URL:
http://www.sigcse.org/resources/documents/pdfs/DiscreteMathReport.pdf (дата обращения: 15.08.2014)
2. Massachusetts Institute of Technology. OpenCourseWare. URL: http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042i-mathematics-for-computer-science-fall-2010/calendar/ (дата обращения: 22.09.2014)
3. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 230400 Информационные системы и технологии (квалификация (степень) "бакалавр"). URL: http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d 10/prm25-1 .pdf (дата обращения: 20.09.2014)
4. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 230100 Информатика и вычислительная техника (квалификация (степень) «бакалавр»)
5. Поздняков С.Н.. Планирование использования компьютеров в курсе математики технического вуза. Сборник трудов СПбГЭТУ, СПб: 1997. 4 с.
6. С.Н.Поздняков, С.В. Рыбин. Преподавание дискретной математики на младших курсах компьютерных специальностей технического вуза. Математика в ВУЗе. Труды X Международной научно-методической конференции, СПб: 1998.
7. Поздняков С.Н. Самостоятельная работа студентов по курсу дискретной математики. Математика в вузе. Труды международной научно-методической конференции, Санкт-Петербург, сентябрь 2004
8. Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика в образовании современного инженера. Труды XX Международной научно-методической конференции «Математика в вузе», Санкт-Петербург, октябрь 2008.
9. Посов И. А. Автоматическая генерация задач // Компьютерные инструменты в образовании. 2007. № 1. С. 54-62.
10. Минский М. Структура для представления знаний // Психология машинного зрения. - М.: Мир, 1978. С. 250 — 338.
11. Minsky M. The Society of Mind. - NY.: Simon & Schuster, Inc. 1988. - 340 с.
12. Шапиро С.И. От алгоритмов - к суждениям: Эксперименты по обучению элементам математического мышления. - М.: Сов. радио, 1973. - 288 с.
13. Коточигов А.М. , Поздняков С.Н., Юдовин М.Э. Манипуляторы как средство поддержки практической деятельности студентов при изучении математики в условиях дистанционного обучения. Материалы международной конференции "Современные технологии обучения", апрель 2004. СПбГЭТУ, СПб, 2004.
14. Bogdanov M., Pukhov A., Pozdnyakov S. Multiplicity of the knowledge representation forms as a base of using a computer for the studying of the discrete mathematics // ISSN 1392-0340, PEDAGOGIKA, 2009, v.96, p.136-142.
15. Майтараттанакон Атхит, Поздняков С.Н. Перспективы использования компьютерного класса // Сборник докладов студентов, аспирантов и молодых ученых, 1-8 февраля 2013, Санкт-Петербург, 2013. Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", с. 157-160.
16. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. - М.: Прогресс, 1987. - 302 с.
17. Теория и практика продуктивного обучения [под ред. М.И Башмакова]. - М.: Народное образование, 2000. - 284 с.
18. Рыжик В.И. Интернет-тесты готовности к продолжению математического образования // Компьютерные инструменты в образовании. - СПб.: Изд-во ЦПО "Информатизация образования", 2002. №2. С.9-16.
19. Поздняков С.Н. Рукшин С.Е. Технология дистанционной поддержки экспресс-олимпиад, построенная на оценке суждений // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)" - 2010. - V.13. - №3. - C.374-386. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html
