CC BY
4
Белая Лилия Александровна, канд. техн. наук, доцент, bliliy@yandex.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лавит Игорь Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор, IgorLavit@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF FREE VIBRATIONS OF A SHALLOW SHELL OF RECTANGULAR PLANFORM
WITH THE RITZ-GALERKIN METHOD
A.A. Alekseeva, L.A. Belaya, I.M. Lavit
The general equation of dynamics written for the case of free oscillations of a shallow shell is solved with the Ritz-Galerkin method. Since the system of coordinate functions must satisfy the main boundary conditions and be complete, the coordinate functions are chosen as the product of a function that satisfies the above conditions and Chebyshev polynomials. As a result, the solution of the problem is reduced to the algebraic eigenvalue problem. An example of a calculation is given, the results of which are compared with experimental data and the results of other researchers.
Key words: shallow shell, Ritz-Galerkin method, free oscillations, Chebyshev polynomials.
Alekseeva Anastasia Alekseevna, student, nasteeva71@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Belaya Liliya Alexandrovna, candidate of technical science, docent, bliliv@yandex.ru. Russia, Tula, Tula State
University,
Lavit Igor Mihailovich, doctor of physics and mathematics science, professor, IgorLavit@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-10-11
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В РАЦИОНАЛЬНОЙ ТЕОРИИ КЛАССИЧЕСКОЙ
НЬЮТОНОВОЙ МЕХАНИКИ
Г.Л. Бровко
Представлены основные понятия и законы классической ньютоновой механики в рамках рационального подхода. С введением понятий большой системы тел и соответствующей инерциальной системы отсчета сформулированы два закона инерции и выведены классические законы движения. Приложение этих законов к механике деформируемых тел позволяет установить необходимые и достаточные условия для существования инерциальной системы отсчета для подсистемы тел, рассматриваемой как самостоятельная большая система.
Ключевые слова: механика сплошной среды, рациональная теория, аксиоматическое построение, основные понятия и законы (аксиомы), большая система тел, инерциальная система отсчета, подсистемы тел.
1. Введение. В научной и учебной литературе по механике сплошной среды [1-9], в специальных исследованиях по нелинейным проблемам [10-14] изложение основных положений теории представлено логически стройно, достаточно полно, с уместным привлечением необходимого математического аппарата. При этом подходы к построению материала, последовательности изложения, к математическому аппарату, к используемым обозначениям и терминологии различны; они соответствуют различным традициям научных школ, интересам авторов, поставленным ими задачам, направленности интересов и задач целевой аудитории. На фоне таких различий, отражающих многообразие путей развития науки, появляются фундаментальные исследования, получающие достаточно широкое признание и создающие парадигму - принятую научным сообществом модель рациональной научной деятельности.
Основополагающую роль в развитии математики и становлении современной механики как науки сыграли гениальные открытия ученых прошлого, в первую очередь И. Ньютона и Л. Эйлера.
В современной механике деформируемых сред парадигма рациональной теории возникла на базе великих открытий О. Коши и его современников в создании основ механики сплошных сред - теории деформаций и напряжений - и на базе сформировавшихся в середине ХХ века трудами А.А. Ильюшина и У. Нолла основ общей теории определяющих соотношений сред. Рациональная теория подразумевает логически строгое, ясное, достаточно лаконичное, но полное изложение, допускающее формализацию и использующее удобный в обращении рабочий аппарат. Она основывается соответственно VI проблеме Д. Гильберта [15] на аксиоматическом математическом исследовании и являет собою формализованное изложение традиционной механики сплошной среды - изложение с широким охватом проблем, но со строгим ограничением рамками аксиоматики (принципов, постулатов, гипотез).
В истории механики известны примеры рациональных подходов.
Это яркий труд Ж.Л. Лагранжа «Аналитическая механика» (1788 г.) - вершина его научной деятельности [16], - и широко известная книга П. Аппеля и С. Дотевилля «Курс теоретической механики» (1912 г.), представленная автором П. Аппелем как «Précis de Mécanique rationnelle» ("Краткий курс рациональной механики") [17].
Авторами рационального подхода в современной механике сплошной среды могут быть признаны К. Трусделл и У. Нолл, открывшие своими работами [3-5] путь многим исследованиям, включая отмеченные здесь [7, 8, 11-14].
Дальнейшие работы отечественных и зарубежных ученых касались поиска новых форм тензорного представления механических характеристик, в первую очередь, напряжений и деформаций, форм связи между ними в определяющих соотношениях при больших деформациях. Некоторые результаты по существенным аспектам отражены в книге [18], а сведения о математическом аппарате - в книге [19]. Эти результаты охватывают типы тензоров и тензорных процессов, их отображения, тензорные меры деформаций и напряжений, общую теорию определяющих соотношений, исследование возможностей использования постулата изотропии Ильюшина в области конечных деформаций.
Существенную роль в исследовании этих вопросов сыграли яркие достижения тульской научной школы механики, созданной и долгие годы руководимой профессором Л.А. Толоконниковым. Само существование и продуктивная деятельность этой научной школы, всегда отвечавшей высокому уровню образования и научных исследований, плодотворные контакты с другими научными школами и сообществами способствовали взрастанию университетского образования и формированию Тульского государственного университета, ставшего одним из ведущих центров отечественной науки и образования.
Результаты многосторонней деятельности тульской научной школы механики охватывают широкий круг принципиальных вопросов современной науки и практических приложений, в первую очередь, в области механики деформируемых тел. Среди множества работ школы можно отметить в качестве примеров фундаментальные исследования (статьи, монографии, диссертации) [20-34].
В настоящей работе рассмотрим подходы рациональной теории к основным понятиям и законам классической механики, к понятиям больших систем тел, сил инерции, инерциальных систем отсчета для больших систем тел, к законам инерции, приводящим к законам движения в классической ньютоновой механике. На базе утверждений рациональной теории рассмотрим условия существования инерциальных систем отсчета для подсистем тел большой системы.
2. Основные понятия и законы классической механики.
2.1. Основные понятия.
2.1.1. Тела, вселенная. Масса. Сила. Общая структура вселенной U принимается в виде булевой алгебры с определенными на телах £ - элементах вселенной - булевыми операциями сложения, умножения, дополнения и отношением включения, называемыми соответственно соединением £ Y £>2, наложением £ X £>2 тел
£ е U, взятием внешности £e тела £ (в рамках всеобъемлющего тела £ и вселенной U), и отношением включения: £ р £2 (£ - подтело тела £).
Каждое тело £ определено как регулярное замкнутое множество (замыкание открытого множества) в трехмерном топологическом (аффинном) пространстве. Операции и отношения на телах определяются формулами:
0 0 0 0
£ Y £2:= £u £2, £ X £2:= £1п £2, £e := (2.1)
def
£ p £2 ü £ с £2,
где верхний кружок обозначает внутренность множества, верхняя черта - замыкание множества, штрих означает теоретико-множественное дополнение до всеобъемлющего тела вселенной £ и, знаки и и П означают теоретико-
множественные операции объединения и пересечения, знак с отношение включения множеств.
Масса M определена как мера (неотрицательная счетно-аддитивная функция) на телах £ части UM
вселенной U :
0^M (£X + ¥ "£ е UM,
( \ (2.2) MI Y £i\ = Z M (£) \'eI J iel
"{£i}eI с Um : (£i X £j = 0 ü i Ф j), Y £i е Um.
iel
Обычно принимается, что все тела вселенной обладают массой: Um = U.
Сила f (£, C) воздействия тела C на отделенное от него тело £ определена как вектор-функция, счетно-аддитивная по обоим аргументам:
( \
f
Y £, Y Cj
(2.3)
= Z f (£i, Cj).
ieI jeJ J iel, jeJ
Результирующая сила воздействия на тело £ е U определена как сила fr (£) действия со стороны внешности тела
fr (£ ):= f (£, £ e). (2.4)
Система сил называется сбалансированной, если результирующая сила действия на каждое тело равна
нулю:
fr(£) = 0 "£е U. (2.5) 11
Система сил называется попарно уравновешенной, если для всех пар взаимно отделенных тел выполняется тождество
/ (А, В) / (В, А). (2.6)
Теорема 2.1. Система сил является попарно уравновешенной тогда и только тогда, когда результирующая сила аддитивна на отделенных телах:
/г (В У В2) ° /г (В1) + /г(В2) "ВьВ2, В1Л В2 =0 . (2-7)
Следствие 2.1. Сбалансированная система сил попарно уравновешенна.
2.1.2. Мир событий. Системы отсчета. Движение. Мир событий № (топологическое пространство точек е - событий) - это модель вместилища (совокупности мест и моментов времени) для движущихся и взаимодействующих тел.
Система отсчета определена как гомеоморфизм
ф: № ® XXТ {ф: е а (х,%)) (2.8)
Здесь X X Т - топологическое произведение трехмерного аффинного пространства конфигураций X с точками х и одномерного ориентированного аффинного пространства Т моментов времени % .
Родственные друг другу системы отсчета фиф* связаны заменой системы отсчета
ф*°ф-1: XX Т ® X X Т , т.е. ф*°ф-1:(х, %) а (x*, %*) в виде
X* = Хо*(%) +в(%)■(х - хо), %* = % + а (2.9)
с параметрами: константами а, Хо и функциями времени Хо*(%), в(%) (в - ортогональный тензор на присоединенном векторном пространстве V аффинного пространства X - тензор ориентации «старой» системы отсчета ф относительно «новой» ф*).
Движение (в системе отсчета ф) определено как отображение х точек Ь тел В в точки X пространства конфигураций X, параметризованное моментами времени % из пространства Т :
X(Ь, %) = X . (2.10)
Здесь для любого фиксированного момента %: отображение х непрерывно во всех точках Ь всеобъемлющего тела £у образ каждого тела В при отображении х есть замкнутое множество, отображение х есть гомеоморфизм внутренностей всех тел, и для каждой фиксированной точки Ь отображение х дважды непрерывно
дифференцируемо по % .
2.2. Аксиомы классической механики
2.2.1. Основные законы механики.
М.1. Закон сохранения массы. Масса каждого тела не зависит от времени и от системы отсчета
М*(В) = М(В) "Ве и. (2.11)
М.2. Закон соотнесенности сил конфигурациям взаимодействующих тел. Система сил преобразуется при замене системы отсчета согласно правилу
/*(В,С,%*) = в(%)■ /(В, С, %) "(В, С) е (их и)0 "%е Т. (2.12)
М.3. Закон независимости мощности результирующих сил от системы отсчета. Мощность работы результирующих сил не зависит от системы отсчета:
№г*(В,%*) = (В,%) "Ве и"%е Т. (2.13)
Теорема 2.2. Система сил и система моментов сил сбалансированы (результирующая сила и момент результирующих сил для каждого тела равны нулю):
( Г /г (В, %) = 0 "В е и > М.2 ^ М.3 о Г
^ [тГх0(В, %) = 0 "В е С
Следствие 2.2. Система сил и система моментов сил попарно уравновешенны
[М.2 Г /(В,С,%) = -/(С,В,%) "(В,С)е (Сх С)о . (215)
[М.3 ^ [тх0 (В, С,%) = -тх0 (С,В,%) "(В, С) е (Сх С)о
2.2.2. Законы инерции. Законы движения Эйлера. Систему Са тел вселенной С, подлежащих детальному описанию их движений и взаимодействий, назовем большой системой. Обозначив остальную часть вселенной через С , имеем Са ^ С = С. Всеобъемлющие тела £ и £ этих частей вселенной составляют
иа С
всеобъемлющее тело £ с вселенной С: £ у У £ у = £ у.
Каждое тело В большой системы воспринимает силу / а (В) от всех остальных тел большой системы -активную силу и силу /s (В) от соединенного тела £ внешности большой системы С - силу инерции. (Силы
(2.14)
взаимодействия между телами совокупности Ц* равно как и движение этих тел остаются вне рассмотрения.) Конечно, имеет место представление результирующей силы
/ а (В) + / 5 (В) ° /г (В)> (2.16)
используя сбалансированность которой, получаем
/ а (В) * (В), (2.17) Введем для большой системы тел понятие инерциальной системы отсчета.
Определение 2.1. Систему отсчета ф назовем инерциальной для большой системы тел Ца, если в
этой системе отсчета для любого тела В из большой системы Ца имеет место эквиваленция (р(В, г) - количество движения тела):
' ' " (2.18)
р(В, г) = еош1 при г е[гь г2] о /* (В, г) = 0 при г е [гь г2]
Для выбранной большой системы тел принимаются следующие законы инерции, соответствующие хорошо известным законам Ньютона.
1.1. Первый закон инерции. Для выбранной большой системы тел инерциальная система отсчета существует.
1.2. Второй закон инерции. В любой инерциальной системе отсчета скорость изменения количества
движения любого тела из большой системы противоположна силе инерции, действующей на это тело:
р (В, г) °-/* (В, г). (2.19)
Немедленно интегрированием получаем подобное равенство для момента количества движения:
< х0 (В, г) = -т ^(В, г). (2.20)
Доказанное свойство сбалансированности сил и моментов сил дает
/а (В, г) = -/* (В, г), тах (В, г) = -т(В, г), (2.21)
что приводит к первому и второму законам движения Эйлера (в инерциальной системе отсчета)
р(В,г) = /а(В,г), <ь0(В,г) = т^В,г). (2.22)
2.3. Замечания
1. Третий закон Ньютона (о действии и противодействии) доказан как теорема непосредственно из принятых аксиом.
2. Каждый из законов движения Эйлера не является аксиомой; оба доказаны на основании принятых аксиом (законов инерции) и свойств сбалансированности систем сил и моментов.
3. Эйлеровы законы движения составляют основу классической механики. 3. Инерциальные системы отсчета для подсистем деформируемых тел
3.1. Основная теорема
Пусть в рамках вселенной Ц для некоторой большой системы движущихся и взаимодействующих тел иа на некотором промежутке времени существует инерциальная система отсчета ф. Рассмотрим подсистему тел иа этой большой системы и выясним вопрос о существовании инерциальной системы отсчета для подсистемы тел
иа.
Ответ на этот вопрос дает подробное исследование с результатом в виде следующей теоремы [35]. Теорема 3.1. Пусть для большой системы тел Ца существует инерциальная система отсчета ф. Тогда
для подсистемы тел Ца, рассматриваемой как самостоятельная большая система, также найдется инерциальная система отсчета ф', универсальная по отношению к любым движениям тел из подсистемы Ца, тогда и только
тогда, когда контактные силы воздействия на тела из Ца со стороны остальных тел большой системы Ца отсутствуют, а массовые силы этого воздействия характеризуются однородным полем (возможно, зависящим от времени). При этом фф - любая такая система отсчета, которая движется относительно ф поступательно с ускорением центра
масс соединенного тела £ца подсистемы Ца под действием указанного однородного поля массовых сил.
3.2. Примеры. В теореме установлены условия, необходимые и достаточные для существования системы отсчета ф', инерциальной для системы (подсистемы) тел Ца при всевозможных их движениях и соответствующих (активных в рамках Ца) взаимодействиях. При этом движение самой системы осчета фф относительно старой системы отсчета ф (инерциальной для Ца) является поступательным и определено лишь ускорением, т.е. с точностью до галилеевых преобразований. Это согласуется с результатами работы [36].
В таких условиях находится, например, любая система тел в состоянии свободного падения в однородном поле сил тяжести при любых активных взаимодействиях внутри этой системы (предметы в падающем лифте, в пикирующем самолете). Инерциальной для этой системы тел является любая система отсчета f, движущаяся (относительно инерциальной f) с ускорением центра масс этой системы тел (с ускорением свободного падения), в том числе система отсчета, непосредственно связанная с центром масс этой системы тел.
Другой пример - Солнечная система и ее подсистема, составленная телами околоземного пространства (Земля, Луна, искусственные спутники). Система отсчета, движущаяся вместе с центром масс Солнечной системы поступательно относительно неподвижных звезд, с достаточной точностью может служить в качестве инерциальной для тел Солнечной системы. Воздействие всех остальных тел Солнечной системы на подсистему тел околоземного пространства сводится к практически однородному полю сил тяготения (в основном от Солнца), изменяющемуся со временем относительно указанной (старой) системы отсчета. Тогда согласно теореме любая система отсчета, движущаяся поступательно относительно старой с ускорением центра масс подсистемы тел околоземного пространства (в частности, связанная с этим центром масс), является инерциальной для подсистемы тел околоземного пространства (при любых их взаимодействиях друг с другом).
4. Заключение. Рациональное построение теории позволяет в строгой математической форме на базе экономного набора аксиом (законов) вывести в качестве теорем третий закон Ньютона и законы движения Эйлера (принимаемые в множестве обычных теоретических построений в качестве аксиом).
Введенное в рациональной теории понятие силы инерции для тел большой системы выражает его материальный характер как силы действия со стороны другого тела --- соединенного тела внешности большой системы. Эта точка зрения позволила построить необходимые и достаточные условия наличия инерциальной системы отсчета для подсистем тел большой системы (Теорема 3.1) и дать строгое обоснование наблюдаемым и используемым на практике явлениям (см. п. 3.2. Примеры).
Присущие рациональной теории строгость и последовательность изложения материала, строго обозначенные аксиомами рамки продвижения теории и развития подходов к решению прикладных задач представляются весьма целесообразными как для проведения научных исследований, так и для построения учебных курсов в высшей школе.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука. 1973.
3. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1958. 2. P. 197-226.
4. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: Springer Verlag, 1965. (3rd ed. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag. 2004).
5. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975.
6. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит.
2006.
7. Gurtin M.E., Fried E., Anand L. The mechanics and thermodynamics of continua. Cambridge; N. Y.; Melbourne; Madrid; Cape Town; Singapore; Sao Paolo; Delhi; Dubai; Tokyo: Cambridge University Press. 2010.
8. Бровко Г.Л. Основы механики сплошной среды (краткий конспект лекций, задачи, упражнения). М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ. Ч.1, 2011. Ч. 2, 2013.
9. Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Книжный дом "Либроком". 2013.
10. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л., М.: Гостехиздат, 1948.
11. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
12. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб.: Соло, 2004.
13. Antman S.S. Nonlinear problems of elasticity. N.Y.: Springer, 2005.
14. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.
15. Проблемы Гильберта / Под ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969.
16. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
17. Аппель П., Дотевилль С. Курс теоретической механики. Одесса: Матезис, 1912.
18. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017.
19. Бровко Г.Л. Элементы математического аппарата механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2015.
20. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 439-444.
21. Новожилов В.В., Толоконников Л.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. Механика в СССР за 50 лет. 1968. Т. 3. С. 71-78.
22. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально анизотропных тел // Проблемы прочности. 1974. № 3. С. 54-56.
23. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.
24. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. С. 49-57.
25. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластическо-го деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всес. межвуз. сб. / Горький: Изд-во Горь-ковск. ун-та, 1987. С. 32-37.
26. Матченко Н.М. Некоторые вопросы теории идеальной пластичности анизотропных сред / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула, 1985. 37 с.
27. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1988. 38 с.
28. Шоркин В.С. Особенности упругости поверхностных слоев твердых тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2000. 41 с.
29. Соколова М.Ю. Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула, Изд-во ТулГУ, 2003. 32 с.
30. Христич Д.В. Идентификация анизотропных материалов и моделирование процессов конечного деформирования гипоупругих тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2015. 31 с.
31. Маркин.А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 72с.
32. Тутышкин Н.Д. и др. Комплексные задачи теории пластичности. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 377 с.
33. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов: тонкие пластины и оболочки. М., Тула: РААСН, ТулГУ, 2005. 186 с.
34. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 319 с.
35. Бровко Г.Л. Об инерциальных системах отсчета для подсистем деформируемых тел // Вестник МГУ. Математика. Механика. 2019. № 6. С. 44-50.
36. Арнольд В.И. Математические методы в классической механике. М.: УРСС, 2003.
Бровко Георгий Леонидович, д-р физ.-мат. наук, профессор, glb@mech.math.msu.su, Россия, Москва, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет
INERTIAL FRAME SYSTEMS IN THE RATIONAL THEORY OF CLASSICAL NEWTONIAN MECHANICS
G.L. Brovko
The basic concepts and laws of classical Newtonian mechanics are presented within the framework of a rational approach. With the introduction of the concepts of a large system of bodies and the corresponding inertial reference frame, two laws of inertia are formulated and classical laws of motion are derived. The application of these laws to the mechanics of deformable bodies makes it possible to establish the necessary and sufficient conditions for the existence of an inertial reference frame for a subsystem of bodies considered as an independent large system.
Key words: continuum mechanics, rational theory, axiomatic construction, basic concepts and laws (axioms), large system of bodies, inertial reference system, subsystems of bodies.
Brovko George Leonidovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, glb@mech.math.msu.su, Russia, Moscow, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
УДК 539.5
Б01: 10.24412/2071-6168-2023-7-15-16
ДВУХУРОВНЕВАЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛИКРИСТАЛЛА: ПРИЛОЖЕНИЕ К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ
И.Ю. Митрополит, П.В. Трусов
В связи с реализацией в реальных процесса ОМД деформирования по произвольным траекториям деформации, исследования процессов сложного нагружения (СН) остаются весьма актуальной проблемой. Приведена краткая справка моделей, используемых для рассмотрения подобных процессов. Отмечаются преимущества многоуровневых конститутивных моделей, в частности - их универсальность. Рассмотрен вариант 2-хуровневой конститутивной модели для описания СН поликристаллических материалов. Приведены структура, математическая формулировка и алгоритм реализации модели. Приведены примеры применения модели для описания СН поликристаллического образца из стали 12ХН3А по плоским 2-хзвенным и 3-хзвенным ломаным. Для 3-хзвенных траекторий проверен постулат изотропии (в частной форме) А.А. Ильюшина.
Ключевые слова: физические теории пластичности, упруговязкопластическая модель, неупругое деформирование, сложное нагружение.
1. Введение. Для разработки технологических процессов обработки металлов и сплавов методами неупругого деформирования начиная со второй половины XX века широко используется аппарат математического моделирования. С появлением быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) для моделирования применяются теории, разрабатываемые в рамках механики деформируемого твердого тела (МДТТ), в первую очередь - теория пластичности. Для описания процессов неупругого деформирования, в том числе процессов сложного нагружения, чаще всего используются макрофеноменологические модели, в рамках которых определяющие соотношения (ОС) строятся на установлении зависимостей между параметрами макроуровня без углубления в аспекты изменения внутренней структуры материала, что приводит к необходимости проведения сложных экспериментов для каждого материала, подвергаемого обработке. В последние десятилетия многие исследователи для описания поведения сложных физико-механических объектов используют подход к построению многоуровневых
