CC BY
0
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 2 (2024). С. 37-66. УДК 519.172.1
ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ НА ДЕРЕВЬЯХ
А.И. ПАРФЁНОВ
Аннотация. Мы изучаем неравенство Харди на не более чем счетном дереве с корнем. Главными известными критериями для него в нижнетреугольном случае являются два критерия Аркоцци, Рохберга и Сойера (2002) и емкостной критерий. В литературном обзоре показано, что эти критерии примыкают к критериям для неравенства Харди для последовательностей, для неравенства Харди на интервале вещественной оси и для следовых неравенств с потенциалами Рисса. Приведены примеры в литературе, когда следовое неравенство или иное утверждение характеризуется в терминах справедливости неравенства Харди на дереве. Мы упрощаем два известных доказательства критерия Аркоцци, Рохберга и Сойера, которые основаны на интерполяционной теореме Марцинкевича и на емкостном критерии. Мы даем новые доказательства критериев Аркоцци, Рохберга и Сойера, которые основаны на индукции но дереву, индуктивной формуле для емкости и формуле интегрирования но частям. Последнее из доказательств записано для неравенства Харди на дереве с границей и для неравенства Харди над семейством всех двоичных кубов. В диагональном случае это доказательство доставляет оптимальную постоянную р, которая совпадает с постоянной Беннетта в неравенстве Харди для последовательностей. В общем случае даны несколько новых индуктивных критериев справедливости неравенства Харди в терминах существования семейства функций, удовлетворяющих индуктивному соотношению. Один из этих критериев применен при доказательстве теоремы, содержащей дополнительные эквивалентные условия справедливости неравенства Харди на деревьях в диагональном случае.
Ключевые слова: двухвееовое неравенство, дерево с корнем, неравенство Харди. Mathematics Subject Classification: 05С05, 31С20, 47А30
1. Введение
Пусть Т — не более чем счетное дерево. Это значит, что на не более чем счетном множестве Т = 0 задано антирефлексивное (х ф х) и симметричное (х ~ у ^ у ~ х) отношение ~ такое, что для любых х,у Е Т найдется единственный набор (хг)П=0 (п ^ 0) попарно различных точек в Т со свойствами
Х0 = X & Хп = у & Хг ~ Xi+\ (0 ^ г < п).
Этот набор (хг)П=0 обозначается через [х,у].
Выбрав в Т точку о, получим дерево с корнем (Т,о). Соотношение
X ^ у ^ X Е [о, у]
A.I. Parfenov, Inductive methods for Hardy inequality on trees. © Парфёнов A.II. 2024.
Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (проект № FWNF-2022-0008).' Поступила 17 июля 2023 г.
вводит частичный порядок ^ на Т с наименьшим элементом о. Зададим оператор Харди X на функциях f : Т ^ R формулой
X/(*) = £ f = £ f (w).
[о,х] w£[o,x]
Настоящая статья посвящена неравенству Харди па дереве:
/ \ 1/ч / \ 1/р
(ЗА ^ 0) (V/ : Т ^ [0, то)) ^ u[Xf]q) ^ A^2vfP) . (1Л)
Оно определяется числами 1 < р < той 1 < q < той функция ми и : Т ^ [0, то) и v : Т ^ (0, то) Выбор f = Х{о} показывает, что (1.1) может выполняться лишь при
и < то,
т
что и будет в дальнейшем всегда предполагаться. Кроме обозначений Т, х ~ у, [х,у], о, х ^ у, X/, р, и и v в статье будут без специальных напоминаний применяться следующие обозначения:
р' = р/(р — 1) (сопряженный показатель), Рх = [о,х] = [w Е Т: w ^ ж} (предки х или сам х), Rx = {у Е Т: х ~ у & х ^ у} (дети х), Sx = [у Е Т: х ^ у} (потомки х или сам х), U(х) = ^ и, V(х) = ^ v1-p', В(х) = ^ Up'v1-p',
Sx Рх Sx
С = sup В1/р' U-1/q', D = sup U1/q V1/р', т т
Е = {Е С Т: (Vx Е Е) Sx С Е}.
Для множества Е С Т через Еmin обозначаем множество всех минимальных элементов в Е, а через хе — характеристическую функцию Е. Неопределенность 0 • то (включая неопределенности 0/0 и то/то) трактуется как 0 •то = то • 0 = 0, как это принято в теории неравенств Харди. В частности, С = 0, если и = 0. Неравенство (1.1) будет иногда рассматриваться при p,q Е (0, то), когда определения Рх, Rx, Sx, U(х), Е, Еmin и хе сохраняют смысл.
Для дерева Т = N = {1, 2,... } с отношением смежности
п ~ к ^ п — к = ±1
и корнем о =1 неравенство (1.1) принимает вид
/ / п \Я \1/я / \ 1/р
^га=1 ^fc=1 ' ' ^га=1 '
где ип = и(п) ^ 0 vn = v(n) > 0, а А ^ 0 не зависит от чисел ап = f (п) ^ 0. Неравенство (1.2) имеет непрерывный аналог
ifь f fх \q \1/q ifь \1/p
\J \J fdt)W1(X) dX) ^ ^ (X)W^(X) dx) , (L3)
где 0 < b ^ то ^такции u>1; w2 и f измеримы на (0,6) w1 ^ 0 w2 > а число A ^ 0 не зависит от f ^ 0. Неравенства ( ) и ( ) часто встречаются в анализе и их теория хорошо разработана.
Оценка ( ) наиболее изучена в нижнетреугольном случае 1 < р ^ q < ж, Главными результатами здесь являются емкостной критерий (лемма 4,3) и следующие критерии Аркоцци, Рохберга и Сойера:
если 1 < р ^ q < ж, то( С < ж; (1,4а)
если 1 < р < q < ж, то( D < ж. (1,4Ь)
Критерий для р = q и двоичного дерева Т из работы автора [1] можно считать мультипликативной формой критерия (1.4а). Критерий (1.4а) впервые доказан в |2, теорема 3| с помощью оценивания функции распределения
t м ^ и
{if>t}
функции If в стиле так называемых неравенств с хорошим А (англ. good-A inequalities). Позже эти же авторы дали для случая р = q и дерева с границей Т U дТ более простые выводы с участием интерполяционной теоремы Марцинкевича (см. |3, §3|, |4, 5.4.1|) и емкостного критерия [4, теорема 43]. В работе [5] критерий (1.4а) для р = q = 2, v = 1 и одномерного двоичного дерева Т передоказан с помощью метода функций Беллмана. Критерий (1,4Ь) впервые доказан в |2, теорема 4| сведением к критерию (1.4а) с помощью неравенства с хорошим А. Критерий ( ) передоказан в препринте [ ] с привлечением работы |7|.
Автору неизвестно убедительное сопоставление описанных результатов с предшествующими результатами. В работах |6|-|8| и книге |9| емкостной критерий приводится без терминологии емкостей и без упоминания емкостных критериев дня следовых неравенств. Неравенство (1.1) для р = q и двоичного дерева Т использовалось в ряде работ автора (см. |1|, |10|, |11| и библиографию в |11|) иод названием «дискретное весовое неравенство», однако оно никогда не рассматривалось в общем контексте деревьев. Комментарии насчет емкостного критерия и критериев (1.4) в работах |2|, |4|, |12| более удовлетворительны, однако они смещены в сторону теории пространств аналитических функций и, па наш взгляд, должны быть дополнены, что и является первой цслыо статьи.
Вторая цепь статьи заключается в том, чтобы опробовать метод индукции по дереву применительно к неравенству Харди (1.1). В этом методе сначала формулируется зависящее от ж £ Т утверждение, относящееся к дерев у с корнем (Sx, х) и пр и х = о совпадающее с требуемым результатом, после чего в этом утверждении проводится индукция по убыванию длины цепочки [о,х\. База индукции состоит в том, что утверждение верно для достаточно длинных цепочек [о,х].; что обеспечивается какой-либо аппроксимацией исходной задачи. Индуктивный переход показывает, что обсуждаемое утверждение верно для ж, если оно верно для всех элементов множества Rx. Индуктивный переход обычно опирается па легко проверяемое равенство
Sx = {ж} U Sy (объединения дизъюнктные). уекх
Например, рассуждения с функциями Беллмана в 113, § 1| можно записать в индуктивной форме. A.A. Васильева в |7| применительно к (1.1) использовала индукцию но дереву в сочетании с индуктивной формулой дня емкости из |8| (формула (4.4) ниже).
Третья цель статьи в том, чтобы дать новые доказательства критериев (1.4). Надеемся, что это улучшает связность теории неравенств Харди и может оказаться полезным в близких ситуациях. В качестве примера таких близких ситуаций укажем неравенство Харди на декартовых произведениях одномерных двоичных деревьев |12|, |14|, которые не являются деревьями.
Строго верхнетреугольный случай 1 < q < р < то в статье не изучается из-за его выраженной специфики, потребовавшей бы отдельного исследования. В этом случае критерии справедливости неравенств (1.1)—(1.3) и следовых неравенств обычно имеют вид сходимости ряда или интеграла (а не конечности некоторого супремума, как в критериях (1.4)) и часто допускают обобщение на случай р > 1,0 < q < р, см. [ , теорема 1] и публикации [16] 120], '
Структура работы такова. В §2 описаны критерии дня неравенств (1.2), (1.3) и следовых неравенств, примыкающие к емкостному критерию и критериям (1.4). В §3 доказаны три индуктивных критерия справедливости неравенства (1.1), после чего установлена теорема о диагональном случае р = q. Теорема утверждает равносильность неравенства (1.1), условия из работы [ ] (в упрощенной форме), условия С < той нового условия индуктивного тина. В §4 упрощены два известных доказательства критерия (1.4а) и даны новые доказательства критериев (1.4); иногда приводятся и простые известные выкладки. В заключительном § 5 доказаны варианты критериев ( ) для дерева с границей Т и дТ и для двоичного семейства V, а также установлена пара утверждений из § 2.
2. О критериях, примыкающих к емкостному критерию
и критериям Аркоцци-Рохберга-Сойера
Сначала кратко обрисуем историю неравенств Харди (1.2) и (1.3) в нижнетреуголыюм случае р ^ q. Подробное изложение имеется в книге [ ], Простейшее неравенство Харди
те / -у п ч 2 те
£( й £ ач ^А2 £
га=1 ^ к=1 ' п=1
следует из обратного неравенства Гёльдера и неравенства Гильберта (1906), которое утверждает ограниченность в пространстве последовательностей 12 квадратичной формы с матрицей (^++^)rafc=1. Длинная история независимого вывода этого неравенства с оптимальной постоянной приведена в приложении к |19|. В классической книге |21| получены частные случаи неравенства (1.2) (теоремы 326 и 339) и неравенства (1.3) (теоремы 327, 330 и 340).
Проблему характеризации пар функций (w1,w2) со свойством ( ) в нижнетреугольном случае 1 < р ^ q < то решает критерий
/г ь \1/q / г г ' \ 1/Р'
(1.3) & suР I / w1(x) dx) I / w2-p (х) dx) < то. (2.1)
ге(о,ь)\ Jr J \J о J
Для p = q = 2 и w2 = 1 этот критерий доказан в [22], а для p = q — в [23], [24] и еще ряде опубликованных и неопубликованных работ примерно в то же самое время, см. 119, гл. 4|, В полной общности критерий (2.1) доказан Уолшем |25|, причем постановка задачи охватывает оба неравенства ( ) и ( ), Уолш представил ядро X{x>tj оператора Харди как произведение двух ядер и примени.:: вариант леммы Шура. Аналог (2.1) дня неравенства (1.2) имеет вид
/ те \1/g / п \ 1/р'
(1.2) & D = sup V ик) < то. (2.2)
k=n J \к=1 )
Критерии (2.1) и (2.2) нередоказывались рядом авторов.
Со временем обнаружились иные эквивалентные условия справедливости неравенств (1.2) и (1.3). Например, в |26| содержится следующий критерий:
( ) & С < то & D < то & D1 < то, (2.3)
/ n \l/g n
D i — sup > ukVе1 (к)) V- Л/р(п) для V(п) — V^ v\ p . k= / k=i
Для неравенства (1.3) с р — q аналоги условий С < ж и Di < ж использовались в работах |27| и |24| соответственно.
Что касается собственно неравенства Харди на дереве (1.1), то оно обычно косвенно или явно возникает в связи с дискретизацией вложения пространства Соболева (или сходного пространства аналитических функций) в весовое пространство Lq. По мере развития теории таких вложений, с одной стороны, появлялись критерии, похожие па критерии справедливости неравенства (1.1), а с другой стороны, появлялись теоремы, в которые (1.1) входит явно. Разберем эти два аспекта в нижнетреуголыюм случае.
1) Рассмотрим модельные вложения вышеупомянутого тина (называемые следовыми неравенствами) :
(Vu е C0°°(Rra)) if \u\q d/i) l ^ Ao( f |Vi u\p dx) l , (2.4)
(Vf е LP(R)) (f \It f \* dv) 1/ ^ aJ f \f \p dx] /P. (2.5)
\jRn J \JRn J
Здесь n ^ 2, ^ — мера в Rn (неотрицательная счетно-аддитивная функция на борелевской а-^гебре, конечная на компактах), Ai — постоянные, I е [1, п/р) щлое, Viи — совокупность всех частных производных функции и порядка /, dx — мера Лебега,
hf (х)— \х — у\l-nf (у) dy (потенциал Рисса). J R"
В ( ) подразумевается, что для любого 0 ^ f е Lp(Rn) интеграл Iif сходится почти всюду относительно меры что позволяет задать /г на Lp(Rn).
Из интегрального представления Соболева [ , с. 19] следует импликация ( ) ^ ( )■ Обратную импликацию можно доказать с привлечением плотности СО^К") в Lp(Rn), гладкой срезки и теоремы Михлина о мультипликаторах Фурье |20, с. 516|, поэтому будем рассматривать следовое неравенство ( ), для общности считая, что п ^ 1, а число I е (0, п/р) вещественно.
В 60-х и 70-х годах XX века Мазья, Адаме и Дальберг установили, что условие (2.5) равносильно любому из следующих условий:
(УК) а (1фК)р' dx) Р ^ Аф(К)1 ^', (2.6)
Rn /
(У/ е Ьр^п)) Ы{х: Ш (ж)| ^ г}) V* ^ Аз( I' а\р (Ъ) 1р, (2.7)
¿>0 /
(УК) »(К )1/" ^ А^ыу^г dx: / ^ 0 & (11 / )|к ^ ^ 1/ , (2.8)
см. теорему 7.2.1 в [ ], Здесь К — компакт в Rn, ^К(X) = ¡л(К П X) и
1фк(х)= \х - у\1-п d^к(у).
JRn
Инфимум в ( ) называется емкостью множества К, а критерий ( ) ^ ( ) аналогичен емкостному критерию из леммы , При р < q в ( ) можно ограничиться замкнутыми шарами К по теореме Адамса ([ , с. 64] или [ , с. 193]), что аналогично критерию ( ),
Результаты предыдущего абзаца были применены в работе |29| дня емкостной харак-теризации вложения пространства Дирихле в круге |г| < 1 в пространство Ь2(/л) и для описания мультипликаторов пространства Дирихле.
В 80-х и 90-х годах XX века появились новые критерии справедливости условий (2.5)-(2.8) в сложном случае р = д. В работе Кермана и Сойера [30] показано, что в условии ( ) можно ограничиться шарами К. В [ , § 2] воспроизведено доказательство из [ ] эквивалентности условий (2.5)-(2.8) (при р = д), а также дан более простой, чем в [31], вывод равносильности условий (2.5)-(2.8) и любого из следующих условий:
(1гЦк)р' с1х ^ А^ ц(К) для любого шара К, (2.9)
'к
^[(Ьц)р'] ^ Ар6 1гц < то почти всюду в (Мга,^ж), (2.10)
условие ( ) верно для меры (I¿х вместо ¿/1. (2.11)
См. также 120, §11.5|. В |16, §3| с помощью неравенства Вольфа показано, что условия (2.5)—(2.11) равносильны оценке
^ ^(()р'ед(1-п)+п ^ Ар'/л(Р) дня любого куба Р е V. (2.12)
Здесь V — семейство всех двоичных кубов в Мга:
V = {( С Мга: ( = [0, 2а)п + 2аа для некоторых а е Ъ и а е Ъп),
а = 2а — длина ребра куба
В § 5 будет показано, что при вирр ^ С К е V условие ( ) является аналогом условия С\р_я < то для одного неравенства Харди на дереве с границей Т и дТ для Т = Т>(К), где
Ъ(К) = {( еЪС о = К} (2.13)
н (1 ^ (2 ^ (1 ^ (2, откуда ( ) н ( ) равносильны и самому этому неравенству Харди. Аналогично, для общих ^ условия ( ) и ( ) равносильны некоторому неравенству Харди на V. Таким образом, близкими предшественниками критериев ( ) Аркоцци-Рохберга-Сойера можно считать критерий (2.3), теорему Адамса и равносильность между (2.5) и группой похожих условий: (2.6), условие Кермана-Сойера, (2.9), (2.10) и (2.12).
2) Автору известны следующие ситуации, в которых неравенство Харди на дереве возникало в исследованиях явным образом, причем не само но себе, а в составе некоторых критериев.
2а) В |4, замечание 35| дня потенциала Рисса на ограниченном регулярном но Альфорсу метрическом пространстве X высказан аналог утверждения несколькими строками выше о равносильности следового неравенства и неравенства Харди на Г и дТ. В качестве Т берется двоичное разложение пространства X го [ ], аналогичное семейству Т>(К) для случая X = К е V.
2Ь) В |2, предложение 5|, |3, теоремы 20 и 231 и |17, теорема 2,5| установлена равносильность между некоторыми неравенствами Харди и вложениями пространств аналитических функций в пространства Ья (/1) (такие меры ^ называются карлесоновскими), В препринте |12| имеется сходное утверждение о равносильности между карнесоново-стью меры дня пространства Дирихле в бикр\те и неравенством Харди на произведении V([0,1)) xV([0,1)).
2с) В теореме 5.4.6 из [ ] для областей П С Мга класса СШЗ, характеризующихся наличием у области дерева-«остова», получена равносильность между вложением Ш 1(Х(П),У(П)) С Z(П) и соответствующим вложением типа неравенства Харди на дереве. Здесь X(П), У (П) и Z(П) — банаховы функциональные пространства с определенными
свойствами, a W1(Х(П),У(П)) — обобщение пространства Соболева Wl(n). В используемых деревьях смежные вершины (х ~ у) считаются соединенными отрезком, что позволяет рассматривать па таких деревьях дифференциальные уравнения |33|. Такие деревья обычно называют деревьями, метрическими деревьями или геометрическими деревьями,
2d) В ряде работ автора (см, библиографию в |11|) получена равносильность между неравенством Харди и несколькими свойствами, связанными с распрямлением лишнице-вых областей. В качестве примера укажем |1, теорема 19(iii)|, 110, теорема 22| и 111, теорема 5], В [ ] неравенство Харди бралось над деревом Т = Т>([0,1)п), а неравенства Харди из [10], [11] эквивалентны серии неравенств Харди над деревьями Т = Т>([0,1)п + а), а Е Zn.
3. Индуктивные критерии и диагональный случай
Выведем три теоремы, в которых показана эквивалентность неравенства (1.1) существованию семейства функций Qx(r, s) (х Е Т), удовлетворяющих индуктивному условию. Как и в методе функций Беллмала [ | (которые не зависят от ж), эквивалентность является почти тавтологической, а трудность применения теорем состоит в построении таких семейств. Каждую из теорем предваряет соответствующая лемма.
Лемма 3.1. Пусть Е С Т. Тогда множества Sx (х Е Emm) попарно не пересекаются и имеет место равенство
Е = (Sx П Е) (объединение дизъюнктное). (3,1)
Для любого х Е Т
Sx = {ж} U Sy (объединения дизъюнктные). (3,2)
уекх
Доказательство. От противного: допустим, что у Е Sxi П Sx2, оде х1,х2 Е Еmin и х1 = х2. Тогда х1,х2 Е [о, у], откуда л ибо х\ ^ х2, либ о х2 ^ х\. Ввиду х\ = х2 первое противоречит минимальности элемента ж2, а второе — минимальности элемента х\.
Для проверки ( ) осталось заметить, что при у Е Е наименьший элемент х множества [о, у] П Е принадлежит к Еmin и у Е Sx П Е.
Пусть х,у Е Та [о,у] = (yí)rn=o- Очевидно, что условие у Е (Sx \ {x})min равносильно условию п = 0 & х = уп-1, которое равносильно условию у Е Rx. Поэтому соотношение (3,2) вытекает из (3,1), □
Теорема 3.1. Пусть p,q Е (0, то). Тогда неравенство Харди ( ) равносильно существованию такого семейства функций
Qx : [0, ж) х [0, ж) ^ [0, ж) (х Е Т), что для, любых х Е Т, г ^ 0 Р ^ 0 w sy ^ 0 (а = J2yeRx sy < toJ имеем,
и(х)(г + рУ+У] Qy (г + р, Sy) ^ QxXr, v(x)pp + а). (3.3)
Е
yeRx
Доказательство. Пусть верно (1.1). Положим
Qx(r,s)= sup u[r +1 [\í
Е^ Vр^з х
Здесь через хзх / не вполне корректно обозначено продолжение функции f нулем на множество Т \ Бх. В силу ( ) имеем, что (^х(г, в) < то.
X
Возьмем произвольно х Е Т, г ^ 0, р ^ 0 зу ^ 0 с а = ^ Уекх 8у < то и функции 'у : Бу ^ [0, то) (у Е Кх) с у'у ^ 8у ® соответствии с ( ) зададим функцию ¡: Бх ^ [0, то) формулой
Тогда
Кг) = ПРИ г = х,
'у(г) при г Е Бу (у Е Ях).
£ VГ = у(х)Рр + 'у ^ "(х)? + а,
<<х( r, У(х)рР + а) ^ вир ^ и [г + 1 [Хзх Я] 9
{<Ру} Зх
= и(х)(Г + р)д + вир ^ ^ и [Г + Р + 1 [Хзу 'у]] 9 }уекх Яу
= и(х)(Г + р)д + ^ <у(Г + P, 8у).
уекх
Доказали (3.3).
Обратно, пусть существуют функции <х со свойством ( ). Тогда ( ) верно и для функции Хри вместо и, где множество Я сТ конечно. Если проверить ( ) для функции Хри (с не зависящей от Я постоянной), то предельный переход с участием монотонного исчерпания с с ••• дерева Т покажет, что ( ) имеет место и для функции и. Значит, без умаления общности считаем, что множество {и = 0} конечно.
Возьмем / : Т ^ [0, то) такое, что < то. Если длина цеп очки [о ,х] достаточно
велика, то неравенство
^и[1Л9 < 1/(х) - /(х), А (3.4)
с \ о /
тривиально выполнено, так как его левая часть зануляется ввиду конечности множества { и = 0} [ , х]
имеет место для всех у Е Кх вместо х. Это предположение охватывает случай Ях = 0. Пусть
г = 1 !(х) - /(х) & Р = /(х) & 3у = ^Г.
Зу
Тогда а = Уекх 8у ^ ту1Р < то. С учетом (3.2)-(3.4) получаем £и[1fГ = и(х)(г + Ру + £ ^и[1Лд
^ и(х)(г + рУ + £ <(1!(у) - ¡(у), 8У) уекх
^ ях(г, и(х)рР + а),
так как 1/(у) — /(у) = 1/(х) = г + р. Тем самым (3.4) доказано для данного х, а по
х Е Т
х =
]* 0, ^А\.
^ \ ^ /
показывает, что (1.1) выполнено с постоянной А = <0(0,1)1/д. □
Лемма 3.2. Пусть р^ Е (1, то). Тогда неравенство Харди ( ) эквивалентно существованию такого А ^ 0, что
/ \ 1/р' / \ 1/я>
(Уд : Т ^ [0, то)) ^ V1-'[Зд]^ ^ , (3-5)
где Зд(х) = ^2вх и9- Наилучшие постоянные А в (1.1) и (3.5) равны.
Этот результат хорошо известен, см. [2, с. 455] или [4, с. 352 (р = д)]. Доказательство легко проводится на основе тождества
£ и[Х Пд = £ ¡3д,
т т
ровать 3 как сопряженный к X оператор относительно указанных в тождестве спариваний. Надо также учесть, что условия (1.1) и (3.5) равносильны этим же условиям дня М-значных функций f и д.
Теорема 3.2. Пусть р^ Е (1, то). Тогда неравенство Харди ( ) эквивалентно существованию неотрицательных функций Цх(г, в) (х Е Т), заданных для г, в ^ 0 с ограничением г ^ и1/ч (х) в1/(1', невозрастающих по г и таких, что для любых х Е Т, 0 гу ^ 0 из у ^ 0 (у Е Кх) со свойствами,
Ту ^ и^ (у) в1« & аг = ^ Гу < то & а = ^ 8У < то (3.6)
У&Ях У&Ях
выполнено условие
V1-'(х)(и(х)р + аг)р' + ^ Цу(Гу, 8у) ^ Цх(и(х)р + аг,и(х)ря' + а). (3.7)
уекх
По неравенству Гёльдера и (3.2) и
и(х)р + аг ^ и(х)р U 1/4(у)8У4'
уекх
{ \ l/q ^ [и{х) + ^и) (и(х)pq/ + а)1/q' = U1/q(x)(u(x)pq/ + а)
поэтому условие аг < то в ( ) следует из остальных двух условий, а значение функции Qx в ( ) определено.
Доказательство. Пусть верно (1.1). Тогда но лемме 3.2 имеет место (3.5), так что функции
Qx(r, s) = sup 1-Р'[J9f'
g:Sx^[0,tt) с-
/
Jg(x)>r & Es, иОч
конечны. Ввиду г ^ U1/q(х)s1/q' множество допустимых функций g содержит функцию g = г/U(х) и потому не пусто. Это множество не расширяется при росте г, поэтому функции г м- Qx(г, s) не возрастают.
Пусть х, р, г у и Sy такие, как в ( ), Для функций фу : Sy м [0, то) со свойствами J Фу (у) ^ Ту и 12sy и'Фу ^ sy положим
р при z = х
9(z) 1 ФУ(z) при z Е Sy (у Е Rx).
Тогда по (3,2)
Зд(х) = и(х)р + £ 3фу(у) ^ и(х)р + аг
уекх
"У^ид4 = и(х)ря + ^^ и^у ^ и(х)ря + а,
ЗХ Зу
ях(и(х)р + аг,и(х)рд' + а) ^ вир £ V1-р'ид]р'
{Фу} Зт
> У1-р'(х)(и(х)р + Сг)р + вир^ ]
{Фу }уекх яу
= V1 р'(х)(и(х)р + аг)р + £ (гу, 8У)■
уекх
Доказали (3,7),
Обратно, пусть существуют функции фх с требуемыми свойствам и. Пусть д : Т ^ [0, то) таково, что множество {д = 0} конечно. Тогда для достаточно длинных цепочек [о,х] имеем
Еу1-Р'^9]Р' ^ Ях(^9(х), £идА, (3.8)
с \ с /
ЗХ Зх
так как .левая часть запуляется, а правая имеет смысл по неравенству Гёльдера:
ад(х) ^ и1/(1 (х)(£
Зх
Рассуждая по индукции, считаем, что ( ) выполнено на элементах множества Ях вместо х. Положим
Р = 9(х) & Гу = ^д{у) & 8у = £ и94' ■
Зу
В силу вышесказанного имеет место (3.6), так что
Зд(х) = и(х)д(х) + £ Зд(у) = и(х)р + аг,
уекх
£и1-р'^д]р' = ь1-р'(х)(и(х)р + аг)р' + £ £ь1-р'^д]р'
Зх У^-^х Зу
^ Ях(и(х)р + аг,и(х)рд + а) (ввиду ( ) и ( )) = Ях( 39(х), £ ид*
ЗХ
По индукции ( ) верно для всех х € Т. Взяв х = о в (3.8), имеем
£ ъ1-р' №д]р' ^ Яо( 3 д(о), £ и/ ) ^ о/ 0, £ идА, р \ р / \ р /
что дает (3.5) с постоянной А = Яо(0,1)1/р для данной функции д. Аппроксимация доставляет (3.5) в полном объеме, что доказывает (1.1) но .лемме 3.2. □
Лемма 3.3. Для д € [1, то) имеют место оценки / п \д п / з \ч-1
(п ^ 0& а0,...,ап ^ 0), (3.9)
М=0 ' ]=0^1=0 '
/ » у » у-1
V —п ' -¡—п V —п '
п -.д п , ] \д-1
—п —п —п
(а + Ъ)д ^ ад + д2д -1(ад-1Ъ + Ъд) (а,Ь ^ 0). (3.11)
Неравенство (3.10) обычно называют формулой интегрирования но частям, а неравенство (3.11) названо биномиальной оценкой в |28, с. 59|,
Доказательство. Для а,Ь ^ 0
ад + (а + Ь)д-1Ъ ^ (а + Ь)д-1а + (а + Ь)д-1Ъ = (а + Ъ)д,
что но индукции дает (3.9). По формуле конечных приращений
(а + Ъ)д = ад + д^д-1Ъ ^ ад + д(а + Ь)д-1Ъ,
где а ^ £ ^ а + Ь. Отсюда получаем формулу ( ) по индукции, а ( ) — из неравенства (а + Ь)д-1 ^ тах{1, 2д-2}(ад-1 + Ъд-1). ' ' ' □
Теорема 3.3. Пусть р Е (0, то) и д Е [1, то). Тогда неравенство Харди ( ) равносильно существованию такого набора функций
дх : [0, то) х [0, то) ^ [0, то) (х ЕТ),
что для любых х Е Т, г^ 0 Р^ 0 и зу ^ 0(а = ^ уеКх зу < то) имеем
и(х)(г + р)д-1р + ^ Яу(г + р, 8у) ^ ях(г, и(х)(Г + а). (3.12)
уекх
Доказательство. Для / : Т ^ [0, то^ х ЕТ и [о ,х] = (хг)п—п имеем
/ п \д [X ! Г(х)=ГТ,!(хг) ^ Т,[ХПд-1 /,
^ г—п ' Рх
^и[ХЛд < д £ и(х)[ХП9-1(т)Пт) = д^и[ХП
Т -ш,хвТ: ш^х Т
ввиду (3.10) и теоремы Фубини. В сочетании с аналогичной выкладкой с участием неравенства (3.9) видим, что (1.1) равносильно условию
/ \ 1/ч / \ 1/Р
(ЗА ^ 0) (У / :Т ^ [0, то)) ^ и [X! ]д-1!^ ^ а ^ .
Теперь доказательство теоремы 3.3 проводится полностью аналогично доказательству теоремы 3.1, с применением функций
ЯХ(Г, 8) = 8Пр ^и [Г + Х[ХЗх Л]"-1! Тзх V/х в первой части доказательства и условия
^и[хп^ дх(х/(х) - кх),
с V с /
во второй части. □
Применим теперь теорему 3.1 к диагональному случаю в неравенстве Харди (1.1). Автору не удалось обобщить рассуждения из доказательства следующей теоремы па случай < <
Теорема 3.4. Пусть р = q > 1. Тогда равносильны следующие условия, (г) Выполнено неравенство Харди (1.1).
(ii) Существуют ß > 0 и ß1 ^ 1 та,кие, что при
*м= П(1+ß-1) (уЕ s*)
sx ПРу
имеем ижх ^ ß1U (х) для любо го х Е Т.
(iii) С < ж.
(iv) Существуют Е : Т — [0, ж) и £ > 0 такие, что для, л,юбого х Е Т
и(х) + £ Е ^ Е(х) (1 + е{Е(х)/v(x)}p'-1)1-p.
Rx
Критерий (i) о (ii) упрощает теорему 16 из [ ], где функция ^ определялась немного по-иному и где применялось дополнительное условие supT(U/v) < ж. Отметим, что (ii) ^ supT(U/v) ^ ((ß1 — 1)/ß)р-1 ввиду соотношений
пх(у) > 1 + ß £ {U/v}p'-1 > 1 + ß{U(x)/v(x)}p'-1. (3.13)
Sx ПРУ
Критерий (i) о (iii) является частным случаем критерия ( ), Критерий (i) о (iv) является новым.
Доказательство. Покажем, что (i) ^ (ii) ^ (iii) ^ (iv) ^ (i).
Доказательство импликации (i) ^ (ii) воспроизведем по работе [ ], Пусть имеет место (1.1). Случай А = 0 (когда и = 0) тривиален, поэтому считаем, что А > 0. Обозначим
ß = (2А/р)-р' & ß1 = 2Р.
Зафиксируем х Е Т. Зададим родителя у' Е Sx элемента у Е Sx \ {ж} условием у Е Ry. Используя соглашение nx(x') = 1, положим
(n1Jp(y) — ъХ/Р(у') eS
f(y) = \ = </р(у')[(1 + ß{U(y)/v(y)}p/-1)1/p — 1] ПРИ У Е "
[ 0 при у Е Т \ Sx.
В силу (1.1), вогнутости функции s ——У s1/p и теоремы Фубини
lf (у)= £ f = </Р(у) — 1 (У Е Sx),
Y^UKx = Y, и[1+ xf ]Р ^ 2р-1 и (х) + 2р -1 ^upf ]
SX SX SX
^ 2p-1U(x) + 2p-1Ap £ vfp,
Sx
fp(y) ^ nx(y')(ß/p)p{U(y)/v(y)}p', (p/ß)p £ vfp ^ £ v(y)nx(y'){U(y)/v(y)}p'
Sx y€-SX
= Y,*x(y' ){U (y)/v(y)}p'-1
yeSx zeSy
= ß-1 ^u(z) £ (nx(y) —nx(y')) zeSx yeSxnPz
Sx nPy
= Ц-^и(г)(пх(г) - 1) ^-1]>] < 2р-1и(х) + (1/2)
( х)
Если множество {и = 0} конечно, то отсюда имеем иих ^ 31и(х). Общий случай сводится к этому частному случаю так же, как в доказательство теоремы 3.1. Импликация (!) ^ (11) доказана.
х Е Т
13111 (х) > ^иъх > и(х)+3 ^ и(у) ^ {и/уУ-1
= и(х) +33 ^ ир'ь1-р1 = и(х) + 3В(х).
Отсюда С ^ ((31 - 1)/3)1/р'
< то. Показали, что (н) ^ (ш).
Пусть верно (111), так что
Е(х) = и(х) + С-р' ^ ир'V1-р' ^ 2и(х).
В силу (3.2) и выпуклости функции 8 М 81-р
и(х) + ^ Е = и(х) + С-р' ^ ир'у1-р'
= Е(х) - С-р'ир' (х)V1-р' (х)
^ Е(х) (1 - (2С)-р'{Е(х)/V(х)}р'-1)
^ Е(х) (1 + е{Е(х)/ь(х)}р'-1)1-Р,
где е > 0 любое при С = 0 (^ и = 0) и
е=(2С)-р'/(р - 1)
при 0 < С < то. Импликация (ш) (пт) доказана. Пусть выно.нноио условие (пЛ. Положим
А = £-1/р', дх(г, з) = Е(х)гр + Ар8. Для г^ 0и р^ 0по неравенству Гёльдера
Е(х)(г + р)р ■ Е 1/р(х)г + £1/р'{Е(х)/ь(х)}1/р ■ Аь1/р(х)р^
^ (1 + £{Е(х)/V(х)У-1)Р-1(Е(х)гр + АРУ (х)рр). При а = 12Уекх 8у < то в силу (гу) имеем
и(х)(Г + Р)Р + ^ Яу (Г + P, ву)
'у\
уекх
и
(х)(г + р)р ^(Е(у)(т + р)р + АР8У) уекх
(и(х) + ^Е) (г + р)р + Ара
и( х)
^ Е(х)гр + Арь(х)рр + Ара = Цх(г, у(х)рр + а).
Получили неравенство (3.3). В сипу теоремы 3.1 справедливо неравенство (1.1). Импликация (гу) ^ (!) и теорема доказаны. □
4. Критерии Аркоцци-Рохберга-Сойера для Т
Дня доказательства (как упрощенного известного, так и нового) критериев (1.4) нам понадобится четыре леммы.
Лемма 4.1. Для, 1 < р ^ д < той д/р' ^ г < то положим
р — 1 д — г
8 =--■
д — 1 г
Для, функции / : Т ^ [0, то) и точки х Е Т обозначим,
Ех(У)= ^ I (У Евх),
вхПРу\{х}
Рх(у)= ^ ! = Ех(у) + !(х)■
Тогда для, любого £ > 0 выполнена оценка
\р/1 / \р/1 ттр'(1/д-з/д') / \р/г
Е<<) < Е(Е<) Е«е:)
ЗХ Зу ЗХ
£ и!» ^м + д2-1 ( / £ иЕ1-1 + и А
ЗХ \ ЗХ /
(а + Ъ)р/д ^ ар/(> + (р/д)ар/д-1Ь (а > 0 & Ъ^ 0),
^ ор/д
\ р/я
^ Мр/о + р2д-1мр/1-1 ( иЕ1-1 + и А
ЗХ \ ЗХ /
^ Мр/(1 +р2"-1 (^Мр/(1 -1 ^иЕ%-1 + ир/ч/р^
(4.1)
+ С1(р, д, е){ир/« + V}!р,
где считается, что функции и, V и £ вычисляются в точке х. Доказательство. Обозначим
М = ^иЕ1, N = £иЕгх ■
ЗХ ЗХ
Если М то по неравенству Минковского
\ 1/ч / \ 1/ч / \ 1/ч
^(Е^ +{Т,иГ) ^ 2(ип1/я,
Зх Зх Зх
/ \ р/я
I 1 ^ 2рир/дГ■ (4.2)
Зх
Если же М > и/я, то из биномиальной оценки ( ) получаем
^ ^ Е1 + д2-1(Ех~1! + П,
Зх ПРу
По неравенству Гёльдера и условию д/р' ^ г
/ \ (я-р)/я / \р/я / \ р/я
Мр/<-1 ^ иЕ1-1 ^ МЖ-1 ^ иЕ^ иЕ^') иЩ")
^ ЦР/Я-(Р-1)/г ^(Р-1)/г = ц 1/д-]у(Р-1)/г.
С учетом (4,2) убеждаемся, что в любом случае ' \ р/я
^ иЯЛ ^ Мр/<1 + р2я (и1/4-з/я'Ы(р-1)/г f + ир/ч!р).
С
Зх
Очевидно, что Ех(х) = 0 и Ех = Еу на Бу (у Е Ях), поэтому
р/я / \р/я
/ \Р/Я / \ ''
мр/' =( ЕЕ и'! « £(£«*!)
по неравенству Йенсена (вложение £Р/Я С 11 пространств последовательностей, см, [ , теорема 19|), По неравенству Юнга
р2Я(и 1/Я-вМН(р-1)/Г^ ^ £ир'(1/Я-8/я')у1-р'мр/г + ф,д, ф
Сопостав,:1ение последних трех оценок доказывает (4,1), □
Лемма 4.2. Пусть 1 < р ^ д < то и ив : Т ^ [0, то). Обозначим через иЕ(х), ВЕ(х) и Се числа и(х), В(х) и С из введения, построенные по функции иЕ вм,есто и. Пусть иЕ ^ и и С < то. Тогда,
Ве(о) ^ дСр'ирЕ/я'(о), Се ^ д1/р'С.
Это утверждение для р = д и дерева с границей при условии иЕ ^ и доказано в [4, 5,6] с помощью функции распределения максимальной функции. Мы разберем случай р ^ д и применим .лемму 3,1 вместо максимальной функции, что несколько проще.
Доказательство. В силу условия иЕ ^ и, теоремы Фубини, формулы ( ), определений числа С и множества {иЕ/и > Ь] и вложения £1 С £Р'/д'
Ве(о) = ^иР'(х> 1-р'(х) [ <!(€')
хеТ Jo<t<UE (х)/и (х)
р' [ гР'-1сИ V иР ь1-Р'
¿0 ггт „„ ^
0 {иЕ/и>}
= р' [ гР'-1 си ^ ^ иР' ь1-Р'
0 хе{иЕ/и> 0т1п вхп{иЕ/и> о
1
1
^р'ср' гР' -1<и иР'/д'
0 {иЕ/и>}т™
^р'ср' ^ гР'-1-р,/<1' а ^ ^ иЕ^
"1 / __\ р'/я'
Е
у{иЕ/и> 4}т1п
По первому утверждению леммы выражение в круглых скобках не превосходит иЕ(о), что после интегрирования дает первое утверждение .леммы 4,2,
Второе утверждение .леммы по.лу чается применением первого к деревьям с корнем ( Бх, х) для всевозможных х. □
Лемма 4.3. Пусть 0 < р < то. Для х Е Т и Е Е £ обозначим
ПХ(Е) = {/ : Т ^ [0 то): = 0 & (1Л\3хПЕ > 1},
сар(Е) = ^ |]>] и/р: /Е Па(Е)
/ \ 1/ч
(У Е Е £) <а сар(Е)1/р. (4.3)
Тогда при 0 < р < д < то неравенство Харди ( ) равносильно существованию такого а > 0, что
1/
и
Е
Для наилучших постоянных из ( ) и ( ) имеем а < А < 22+1/ра.
Этот результат аналогичен емкостному критерию ( ) ^ ( )■ Вариант этой леммы для 1 < р < д < то доказан в [ , лемма 2.5] редукцией к теореме 3.1 из [ ], где рассматривался случай метрических деревьев. Как и в работе |8|, мы используем метод срезок Мазьи |20, с. 155|.
Доказательство. Пусть верно ( ). Тогда для любых Е Е £ и / Е П0(Е)
/ \ 1/ч / \1/я / \ 1/Р
(Е") < (Е"»]«) <а(Е"/') .
Взятие ini f доказывает ( ) с постоянной а < А.
Обратно, пусть верно условие ( ). Для / :Т ^ [0, то) положим
Ек = {х ЕТ: Т/(х) > 2к} при к Е Z,
Ек = Ек \ Ек+1,
/к = Хрк_! иР™п/,
С к = $Х.
Очевидно, что Ек С Ск Е £. Если установить неравенство Т/к ^ 2к-1 на множестве Е^™, то оно в силу монотонности функции Т/к окажется выиолненным и на Ск. Возьмем х Е ЕГ и положим
W = Ек-1 П рх.
Очевидно, что х Е Если ш Е W \ (х}, то Т/(и;) < Т/(х) < 2к+1, откуда ш Е Ек по минимальности х в Ек. Значит, ш Е Ек-1 и W С Ек-1 и Е^™.
Обозначим через ш наименьший элемент в ^^ ^гда Т/ (ш) — /(ш) < 2к-1, что тривиально при ш = о, а при ш = о следует из минимальности ш в W. Отсюда
Т/к(х) > Е / = Т/(х) — (Т/(ш) — /(ш)) > 2к — 2к-1 = 2к-1,
21 к/к Е По(Ск),
/ \ Ч/Р
^и < ^и сар(Ск)д/р <а«1 ^ и[21-к/к]р) , рк ск ^ т '
Еи\Т/Г = £ Т,и[Т/Г < Е 2^к+11д £ и т к Рк к Рк
1 ч/р
р
< 22яа Е V/р)
£> ^ тр. 11 грШШ /
к ^^ир™
хер ,тт
/ \Ч/Р / \ Я/Р
к Рк-1иРт™ Т '
Мы применили вложение 11 С Iд/р и то, что множества попарно не пересекаются. Доказали ( ) с постоянной А ^ 22+1/ра. □
Лемма 4.4. Пусть 1 < р < то. Для х Е Т и Е Е £ обозначим
сар Х:(Е) = ш£ |^Г: /е ПХ(Е)|
Тогда имеют место равенства
,у(х) при х Е Е,
сарх(е / 1-р'\1 -р АР (44)
(у1 р (х) + а1 р ) при х Е Е,
сар(^ ПЕ) = (V(х) + сарх(Е)1-р )1 р, (4.5)
/С О ЕЛ \У 1-Р(х) ЩШ XЕЕ,
саР( 5хПЕ) = < . 1-р,.1-Р (4.6)
\[У(х) + а1 р) при х Е Е,
где а = Т,у^кх саРу(Е) и V(х) = Т,Рх\{х}
1-р'
Число сарх(Е) Е [0, ь(х)\ является емкостью сар( вхПЕ), вычисленной для дерева (8х,х) ( Т, )
х Е
теореме 4.5 из |8|, где рассматривался случай метрических деревьев. Нам проще доказать (4.4), чем обсуждать обозначения из |7|, Результат теоремы 30 в |4| похож на формулу ( ) с х Е Е, но сформулирован с ошибками.
Доказательство. При вх ПЕ = 0 все входящие в (4,4)-(4,6) емкости нулевые, так что эти формулы верпы (в очевидной интерпретации). Поэтому считаем, что вх ПЕ = 0.
Если х Е Е, то ¡(х) ^ 1 и ^ Г!(х) при f Е Пх(Е), так что сарх(Е) ^ у(х). Выбор
f = Х{х} показывает, что здесь имеет место равенство. Пусть х Е Е, / Е Пх(Е) и р = ¡(х). Если 0 ^ р < 1, то
ЕПу(Е) (УуЕПх),
1 — р
а = £ сару (Е) ^ (1 - р)-р £ ^ =(1 - Р)-Р Е и Р,
уекх уекх ях\{х}
р+1 -Р ^ р + а-1/р( ^ уА /Р
^Ях\{х}
^ (у1-р'(х) + а1-р')1/р'(у(х)рр + ^ V¡А '/
^ Ях\{х} '
в силу ( ) и неравенства Гёльдера, При р ^ 1 полученная оценка тривиальна, что дает неравенство в ( ),
Пусть х Е Е и <ру Е Пу(Е) (у Е Ях). Положим
у1-р' (х)
р
у1-р' (х) + а1-р''
= х,
/(^ (1 — р)<ру(?) при г Е ву (у Е Вх), 0 при г Е вх.
Если г Е вх П Е, то х Е ву П Е для некоторого у Е ВХ, так что
Т/(г)=р + (1 — р)Т<ру(г) > 1.
Значит, / Е ПХ(Е) и
сарх(Е) < Ы ^/р = ш£ {ф)Рр + (1 — р)р £ Е^р}
{1ру} т {1ру} ^ уекх яу '
= и(х) рр + (1 — р)ра = (у1-р' (х) + а1-р' )1-р.
Равенство (4,4) доказано.
Пусть / Е По(вх ПЕ) и р = Ер,\{Х> /■ Тогда
V1/р'(х)( ^ V/р 1 (неравенство Гёльдера). (4,7)
^\{х} '
Если 0 < р < 1 то Хях//(1 — р) Е ПХ(Е), откуда
/р> (1 — р)р сарх(Е),
р+1 — р < V1/р' (х)( £ уА р + сарх(Е)-1/р(^/р)
/ \ 1,
< (У(х) + с&Рх(Е)1-р/)1/Р'[^2 ^р + Е^р
(V(х) + сарх(Е)1-р)1/р' /р) 1'Р
< (V(х) + сарХ(Е)1-р'У/р Р
т
по неравенству Гёльдера, При р ^ 1 полученное неравенство вытекает из ( ), что дает неравенство в ( ),
Для проверки обратного неравенства возьмем <р Е 0,Х(Е). Положим
= V (х)
Р= V(х) + сарХ(Е)1-р' ,
{рУ-1(х)у1-р' (у) щи у Е Рх \ (х},
(1 — р)^(У) при у Е Sх,
0 при У Е Рх и вх.
Если у Е вх П Е, то
Т/(у)= ^ / + (1 — р) ^ V >р + 1 — Р =1,
Рх\{х} 3ХПРУ
/р = £ V/р + /р = (ГУ 1-р(х) + (1 — р)р
т Рх\{х} Ях Ях
1-V' \ 1-р
сар( вх ПЕ) < ^/р = ррУ 1-р(х) + (1 — р)р сарХ(Е) = (V (х) + сарХ(Е )1-р')
^ т
Равенство (4,5) установлено, а (4,6) следует из (4,4) и (4,5), □
Комментарии но следующим критериям Аркоцци-Рохберга-Сойера были даны во введении (см, ( )), Недостаточность условия И < то для справедливости неравенства Харди (1,1) при р = д показана в [2, с, 463] (и указанной там библиографии) и [8, пример 5,3],
Теорема 4.1. В условиях и обозначениях введения,
(a) если, 1 < р ^ д < то, то ( ) ^ С < то;
(b) если 1 < р < д < то, то ( ) ^ Б < то.
Доказательство, (а) Пусть 1 < р ^ д < то. Если верно ( ), то по лемме имеет место условие (3,5), Подставим в (3,5) функцию д = Хях- При у Е Бх имеем 3д(у) = ид = и (у), так что
В1/р' (х) = ]>] ир'у1-р'\ ^ [Зд]р'
/ \ 1/я'
^А^идП =Аи 1/д'(х) ^ С ^А< то.
Это доказательство стандартно |2, с, 4551, С < то
и
С = 1
венство Харди ( ) для функций f : Т ^ [0, то), отличных от нуля лишь на конечном множестве.
Положим г = тах{1,д — 1^, Тогда д/р' ^ г < д и э > 0в обозначениях леммы 4,1, Очевидно, что существуют £1(р, в) > 0 и е2 (р, 8) > 0 такие, что
£1Т + (1+ £2 т)р-1 ^ (1 — т)-3, 0 ^т^ 1. (4.8)
1 = 1 Х Т
/ \р/я / \ р/г
Сх +В- (х)^иК) (4.9)
Ар = 2 С1 + (1+ £-1)р-1.
Взяв х = о, получим неравенство (1.1), так как Я0 =
и( ) < то
ства { = 0}. Второе слагаемое в (4.9) подсказано интерполяцией между первым слагаемым и результатом .леммы 5.1.
[ , х]
длина достаточно велика, то Сх = 0 ввиду конечности множества = 0}, поэтому можно считать, что ( ) верно для всех у Е Ях вместо х. Также считаем, что В(х) > 0, так как и| = 0 и Сх = 0 при В (х) = 0.
Положим т = ир (х)у1-р (х)/В(х) . Из С = 1 следует, что
ир'(1/д-з/д'\х)В3+1 (х) ^ ир'(1/д-з/д')+р'(з+1)/д'(х) = ир' (х),
ир' (1/я - в^') (х)
р - 1 ( х)
^ £1ТВ-3(х).
Для любого t > 0 в силу неравенств Минковского (г ^ 1) и Гёльдера
/ \р/г / \р/г
(E»f:J < (i+ty-l^2uE*) +(i + i/t)p-lup/rxfp(,x\.
H
При t = £2t с учетом (4,1) и (4,8) получаем
/ \p/q / \ Р/Г
+(1 - T)-Sß-S(x)^uErx
y£Rx Sy Sx
(4.10)
+ Cl{Up/q (x) + v(x)} fp(x) + B-s (x)H.
Очевидно, что (1-t)b(x) = B(x)-Up(x)vl p(x) = ^2r B. Если p/r ^ 1, то из вложения
V С ll и свойств а s > 0
\Р/Г/ \ p/r / \ Р/Г
£«Ex) =(ЕЕ»F; <£(£<) ,
sx J \eRx sy s yeRxK sy /
\-s/ \p/r / \ p/r
EB E»Ex ^ EB-ЦE»f; . (411)
R. / V s.. / n^R. V S. /
/ > 1
/ \p/r / \ s/a / \ p/r
(E«El) « (Eb^ Eb-£»f;) ,
Sx Rx y£RX Sy
где а = = p— p— ^ 1. Вложение ll С la снова дает оценку (4,11), Из неравенств ( ), ( ) и ( ) (для точек в Rx) выводим
Gx < ^Gy + ci{Up/q(x) + v(x)}fp(x) + B-s(x)H
yeRx
^Ap ^ vfp + ci{Up/q(x)+v(x)}fp(x) + B-s(x)H.
Sx\{x}
Оценки Up'vl-p' ^ B ^ Up'/q' показывают, что Up/q ^ v и
B-s(x)H ^ B-sp Up/r(x) fp(x)
= (1 + £-l)p-lBp-l-s(x)Up/r-p(x)v(x) fp(x)
^ (1+ e-1 )p-lv(x)fp(x),
так как p — 1 — s = (p — 1)q'/г'. Это доказывает (4,9) и неравенство (1.1).
Второй вывод. В [3, § 3] и [4, 5,4,1] импликация С < го ^ (1,1) при р = q была доказана применением интерполяционной теоремы Марцинкевича к максимальному оператору. Как и в случае леммы , здесь мы рассмотрим случай р ^ q и применим лемму вместо максимального оператора.
Пусть д:Т ^ R, < го, t> 0,
Jg(x) = U-l(x) ^ug, E = {x еТ: Jlgl(x) > t}.
Sx
По аналогии с доказательством леммы 4.2 имеем
/ \ p / я'
Y^ Up'vl-p' ^ ^ Up'vl-p' ^ & ^ Up'/q'(x) ^ & I ^2 U )
Е x£Emin Sx(lE xeEmin ^Emin /
р / р / \xeemin ' \ т '
В силу \,1д \ ^ /1 д \ оператор / является оператором слаб ого типа (1, р'/ д') по отношению Т
Х^ ^и & Х^ ^ ир' у1-р'.
X X
Ввиду вирТ \,1д \ ^ вирТ \д\ он является и оператор ом типа (то, то). По теореме Марцинке-вича [ , приложение Б] / — оператор типа (д',р'), так что
/ \ 1/р' / \ 1/я'
(Уд : Т ^ [0, то)) 1-р' [,7д]р'J ^ с(р,д,С)^2идд'J .
Это свойство совпадает с (3,5) и влечет (1.1) по лемме 3,2,
Третий вывод. В,Г, Мазья поставил задачу, см, |4, с, 322 и с, 358|, дать емкостное доказательство импликации С < то ^ (1,1), При р = д она решена в [4, теорема 43] с помощью предшественника пашей леммы 4,2 и формулы
(тр\ и (о)
сар(Е) = вир ——.
и:Т{и=0}сЕ С
Покажем, как обойтись без этой формулы.
Для Е е £ положим иЕ = хЕи. Возьме м f Е П0(Е), т.е. такую функцию / :Т ^ [0, то), что I ^ 1 на Е. По теореме Фубини, неравенству Гёльдера и лемме
иЕ (О) = ^ иЕ ^ £ иЕ1/ = £ иЕ!
Т Т Т
1/р / \ 1/р
"ирЕ у1-р,\ [^у р
Е^1-р') р (£>Г)
/ \ 1/р / \ 1/р = В1ЕР (о)[Е иГ) ^ ^'Си1/ (о){Е »Р)
/ \ 1/р и1/ (о) ^ а (Е у/р] для а = д1/р' С.
Взятие inff дает условие ( ), что влечет ( ) по лемме
(Ь) Пусть 1 < р < д < то, Пусть верно (1.1). Для функции / = хрху1-р' имеем I/ / = У (х) на множестве Бх. Отсюда
/ \1/д / N 1/р
и1/ч (х)У (х) =АУ1/р(х),
так что И ^ А < то. Это доказательство стандартно [ , с, 458], Можно аналогично подставить д = хзх в лемму 3,2 и получить, что
З'д(ш) = ^2 ид = и(х) при т Е Рх,
в
/ \ 1/р' / \ 1/я'
и (х)У1/р (х) ^(Е у1-р' [Зд]р'\ ^А^идП =Аи1/д'(х).
Т Т
Отсюда снова И ^ А < то.
Обратно, пусть В < то. Мы применим индукцию в сочетании с леммами и , что сходно с работами |6|, |7|, где рассуждения более сложные. Обозначим
а =| -0%.
—
Возьмем Е Е £. Как в теореме 3,1, можем считать, что множество (и = 0} конечно. Тогда
[ , х]
/ \ V«
(ЕЧ <а сар(вх ПЕ )1/р. (4.12)
^ПЕ '
Допустим, что ( ) верно для элементов множества Вх вместо х. По формуле ( ) это означает, что
(Уу ЕВх) ^ и < а9к(зу),
Яу ПЕ
где 5 у = сар у (Е) и
Ч 8) = (V (у) + Э1-р')-д/р' = (V (х) + 81-р' П/р.
Если х Е Е, то сар(вх П Е) = V 1-р(х) в силу (4.6), так что (4.12) выполнено ввиду неравенства В < а. Пусть х Е Е. Тогда
Еи^ Еик(8у).
яхпе уекх яупе уекх
При 8 > 0
¿ВД = я^ (х) + 81-р> уч/р'-1( О^Р 81-р' — V (х)) .
ав в \ р )
Значит, если а = Т,уекх ву < а0 = {ртХ))' • т0
-т^\р-1
х)) '
зу <а ^ к(зу) < зук(а)/а ^ а9 ^^ К(ву) < а9к(а).
уекх
Об этом рассуждении см. [ , §3.14]. Если же а > а0.; то
^ и < и(х) < В^-9/р' (х) = а9Н(ао)
ЯХПЕ
< а9к(а) = а9 сар(вх П Е)9/р (ввиду ( )).
По индукции соотношение (4.12) установлено для всех х Е Т. При х = о получаем условие (4.3), что доказывает (1.1) по лемме 4.3. □
5. Критерии Аркоцци-Рохберга-Сойера для Т и дТ и V Обозначим через дТ множество всех последовательностей
х = (хг)Ц=0 СТ : хг = х^ (г = ]) & х0 = о & хг ~ хг+1 (г ^ 0). Для х ЕТ = Т и дТ и фупкции / : Т ^ [0, то) положим
Рх при х Е Т, х х Е д Т,
Т/(х) = £ /.
Рх,т
Для X Е Т пусть
Sx,dT = {у Е дТ: x Еу},
sx,t = {У ЕТ: x Е Рут} = Sx U Sx,dT.
Обычно множество Т наделяют топологией и рассматривают на нем борелевские меры. Для наших целей достаточно ограничиться а-алгеброй S в Т, порожденной всеми множествами Sx T- Если множество {f = 0} конечно, то функция Xf S-измерима, откуда это
Sx,aT = ^J Sy,gT (объединение дизъюнктное) (5.1)
уекх
следует, что для любого х ЕТ
{x} = Sx \ U Sy = Sx,t \ U SyT Е 6. yen yen
Отсюда Т Е S, ст-мгебра S|T состоит го всех подмножеств в Т, а а-алгебра б|ат порождена множествами Sx,dT.
Установим вариант критериев Аркоцци-Рохберга-Сойера для множества Т (с помощью новых рассуждений), доказав сначала пару лемм. Рассмотрим p,q Е (1, то). Для заданной на ©конечной меры и положим
Ut(x) = u(Sxt) (х ЕТ), Вт(х) = ^UT'v1-P' (х ЕТ),
Ст =supB^p'UT-l/q',
DT = sup Ul/qV1/pp. T T T
Лемма 5.1. Выполнено равенство
3 = ВГР'(о), где
It Xf dlJ
T
3 = sup
f (DrVfp)
1/p-
Лемма «разрешает» неравенство Харди на Т при р > д= 1. Для следового неравенства (2,5) аналогичный критерий: А1 = (Ьр)' йх)1/р [20, с, 574],
Доказательство. По теореме Фубипи и неравенству Гёльдера
!_II <1 и = £ ит! ^ ирь1-р1/Р ^ г;^
/ \ 1/р = ВТ/Р (о){/р) ,
так что 3 ^ ВТ/р (о). Выбор f = (ир/у)р' 1 (и несложная регуляризация в случае Вр(о) = то) показывает, что здесь имеет место равенство, □
Лемма 5.2. Справедливы следующие оценки:
ИТ ^ ц1/р'СТ, (5.2)
р<д ^ СТ ^ 2(2р'/д '-1 — 1)-1/р'ОТ, (5.3)
(Т, 0) = (N 1) ^ Ст ^ (д')1/р,От. (5.4)
Для и(дТ) = 0 оценка типа (5,3) установлена в [2, с, 459-461], Доказательство. Пусть Цт(х) > 0. На Рх имеем Цт ^ ит(х), поэтому
V(х) = ^ ир (ш)ь1-р' (ш) [ )
ыерх Jo<t<l/uT (т)
г 1/ит (х) ^ ,
= р' гр-1<иуирь1-р,
где Е1 = [ш Е Рх: ит(ш) < 1Д}. Это множество содержит х и имеет наименьший элемент ш
^ирь1-р' < Вт(ш) < Срир/9,(ш) < СГГр'/(1',
Ег
г 1/ит (х)
V(х) <р'Ср 1р/9-1<И = ЧСРги-/9(х),
./о
что доказывает (5,2),
Пусть р < д и и^(х) > 0. Для к ^ 0 обозначим
Гк = {у Е вх: ит(у)/ит(х) Е (2-к-1, 2-к]}.
Множества вут С вхт (у Е У™™) попарно не пересекаются (как в лемме 3,1), Отсюда и из формулы (3,1)
ит(х) ^ ^ ит(у) ^ 2-к-1ит(х)сагаУтп
оо
Вт(х) У У ир ь1-р' < V 2к+1 та* У Цр ь1-р'
к=0 Ук к=0 ус к Яу ПУк
Для у Е Утт С Ук и г1, х2 Е ву ПУк имеем
2~к—1 + 2~к—1 < "IV-1/ +
Цт (х) Цт (х) Цт (х)
< 2-к + и(П )
< + ит(х) .
Отсюда в^т П вг2 т = 0, так что г1 < г2 или г2 < т.е. множество ву П Ук линейно упорядочено. Для любого х Е ву ПУк
^ Црь1-р' < (2-кит(х))р'V(г)
Я у ПУк ПРг
< (2-кит(х))р'^ри^р'/д(г)
_к-1 ^цт(¿1) , цт(¿2) и(^,т и ) + "(^1,т П )
< (2-кЦт(х))р'^т(2-к-1Цт(х))-р//д
= 2р,/я 2-кр'^Вргир/я'(х)
<х 2р' Прир/(1' (т)
Вт(х) < £ 2к(1-р/V = ^^ У .
к=0
Оценка (5,3) установлена. Отметим, что ее можно немного усилить, так как па самом доле
са^У^™ < 2к+1 — 1.
Пусть (Т, о) = (М, 1) и и^(х) > 0. На 5х имеем Ц^ ^ ир(х), поэтому
Г Гит(х)
Вр (х) = £ (у) <1(1?) = р' 1Р'-1 сИ £ Vх-,
уе3х ^ 0<китр (у) Jo Ег
где Ег = {у Е Бх: Цр (у) > ¿}. Рассматривая у Е Ег и 8ируеЕ(, имеем
Е V1-' ^ У(у) ^ пр-'4 (у) ^ ЯртГр'/1,
ЕьПРу
(х)
Вр(х) ^ р'Щ 1Р''9'-1 ¿1 = 4ЩЩ/я (х),
¿0
что доказывает (5,4), □
Теорема 5.1. (а) Если 1 < р ^ д < то, то неравенство Харди
(ЗА ^ 0) (У/ : Т ^ [0, то)) [1/]9 *) ' ^ А (£г;(5.5)
равносильно тому, что Ср < то. При этом
Ср ^ А ^ д1'д+(р'-ч')(р-1)'(р'ч')г(р-1)'чст (г = р'(д - 1) ^ д) (5.6)
для наилучшего А в (5,5). В частности, Ср ^ А ^ рСр при р = д.
(Ъ) Если 1 < р < д < то, то ( ) ^ Бр < то.
=
При Т = {о} имеет место равенство Ср = А. Для дерева (Т, о) = (М, 1) и и(дТ) = 0 в [26, с, 407] получена оценка А ^ дСр и отмечено, что при р = д она оптимальна. При р < д оптимальная оценка найдена в [ , (55)], Таким образом, неравенства Ср ^ А ^ рСр в (а) иеулучшаемы.
Доказательство. Пусть 1 < р ^ д < то. Если верно ( ), то
(У!) ¡_1 ^ »У* ^ Аир'9' (о)^^1/Р
по неравенству Гёльдера, Отсюда по лемме 5,1 Вр//р (о) = 3 ^ Аир'9 (о). Применяя этот результат ко всем деревьям ( 5х, х), получаем, что Ср ^ А < то.
Обратно, пусть Ср < то Наш вывод ( ) аналогичен выводу в [ ] импликаций ( ) ^ ( ) ^ ( ) с помощью аналога формулы ( ) для потенциала Рисса, Он также похож на вывод неравенства (1.3) с р = д в [27].
Пусть функция / :Т ^ [0, то) такова, что ^ 1 и множест во = 0} конечно.
Для Е = 1f их еТ имеем
Е9(х) ^ д^Еч-1 /.
Р т
х,1
При х Е Т эта оценка дана в доказательстве теоремы 3.3, а для х = (х.)™ Е дТ надо применить ее к х. и перейти к пределу при г ^ то. Аналогично
Ег(х) ^ г^Ег-1 х ЕТ.
Рх
Отсюда по теореме Фубипи и неравенству Гёльдера
1/р'
д-1 I Ед ¿и ^ Ш = V ЩЕ*-1! ^ (V Цр у1-р'^г
ЕирЕЯ-11 ^ (Е^у1-Р'ЕГ) р р
р р р
/ \ r-q
г-1У.upvl-p,pr^Y,втрг-1f<uTqpr-1f^°т(supК/др) w
T r^ \ T /
так как p'/q' — 1 = (r — q)/q. По неравенству Гёльдера и оценке (5,2)
F(х) = ^ У1-*) 1/Р = V1/p (х),
Р ^ Р '
Р Х РХ
sup uT/qF ^DT ^ q1/p'CT,
Г Г Г Г
W ^ {rCT(q 1/p'CT)r-W}W,
J_Fqdp^qW ^ q1+(r-q)(p-1)/prp-1C^.
Предельный переход дает полученную оценку для любых f с vfp ^ 1, откуда следуют соотношения (5,5) и (5,6), Утверждение (а) доказано.
Утверждение (Ь) следует из (а) и неравенств (5,2) и (5,3),
Отметим, что критерий (2,2) вытекает из (а) и неравенств (5,2) и (5,4), □
Займемся интерпретацией условия (2,12) в терминах неравенства Харди, Лемма 5.3. Имеет место соотношение
(Ух еТж) N(х)= ^ N, (5.7)
где Ты = {х еТ: SXt&r = 0} и N(х) = u(SXt&r)■
Обратно, если множества RX П конечны и функция N : ^ [0, то) у до влетворя-ет ( ), то существует такая единственная конечная, мера v на а-алгебре б|ат, что р(Sx,dT) = N(х) при х Е Т^-
Доказательство. Первое утверждение леммы вытекает из свойства
(Ух Е Т) SXpT = ^J Sy,dT (объединение дизъюнктное) (5.8)
yeRxnT^
Обратно, пусть множества Rx П конечны и верно ( ), Положим
бэт = {X С дТ: X = 0 ил и X = S^^r для некоторого х Е Т^}.
Для X,Y Е либо X ПУ = 0, либо существует (хЕ X П Y. Во втором случае X = SXi,frVL Y = Sx.,эт для некоторых i и j, причем хг и Xj сравнимы. Значит, в любом случае X ПУ Е {0,X,Y}, так что семейство бэт замкнуто относительно взятия пересечений.
Если X D Y = 0, то с необходимостью г < j. Применяя формулу ( ) к точкам х = хг,..., построим конечное разложение X = (JГ=1 Yk с Y1 = Y и попарно непересекающимися Yk Е Sr- В терминологии из [ , §1.5] это значит, что &gT — полукольцо (порождающее ст-мгебру S|ar)- Поэтому результаты о лебеговом продолжении мер из [ , § V.3| докажут лемму, если проверить, что существует единственная счетно-аддитивная па бэт функция множества и с о свойством p(SX,gT) = N (х). Рассмотрим множество Z С Пусть х Е таково, что
х Е IJ(S \{z}), (5.9а)
zez
SX,8T = ^J Sz,qT (объединение дизъюнктное), (5.9b)
z£Z: Sz erCSx,er
N (х) = Е N (5'9с)
Возьмем любое у Е Кх П Тж Если у Е \ [г] для некоторого г е ^о х Е откуда х = г по (5,9а), Из (5,9Ь) следует, что соотношение (5,9с) превращается в противоречие N(х) = N(х). Отсюда
уЕ \м)-
гег
Покажем, что
Зу,эт = и Бг,дт (объединение дизъюнктное). (5,10)
Вложение «О» очевидно, а дизъюнктность следует из ( ), Рассмотрим любое (хг)§° Е 3У,эТ- Имеем х = х^- и у = для некоторого j, а из (5,9Ь) вытекает, что г = хк Е Z для некоторого к. Из (5.9а) следует, что ] ^ к. Равенство х = г приводит к противоречию, как и выше, поэтому ] < к и (х»)§° Е Бг,дт С БУ,дт. Утверждение (5,10) доказано, В силу (5,8), (5,9Ь) и (5,10) имеется дизъюнктное объединение
{г Е Z: Бг,дт С Бх,дт} = {г Е Z: Бг,дт С Бу,дт}.
уеКхПТ^
Допустим, что для любого у Е Ях П Тж
N (У) = £ N (г).
Тогда
N (х)= Е N = Е Е N (г) = Е N (г),
КхПт^ У^Ях^т^ : Яг!дт СЯу^дт г^г : Яг!дт СЯх>вТ
что противоречит ( ), Значит, для некоторого у Е Кх П Тж вместо х выполнены свойства (5,9),
Многократное применение этого утверждения доставляет такие п ^ 0 и (х^Ж Е дТ, что [о,х] = (х^)П=0 и (5,9) имеет место для всех х^ (г ^ п) вместо х. Имеем (х^)§° Е Бх,дт в силу х = хп, поэтому z = Xj Е ^ ^^ ^^оторого ] по (5,9Ь), При этом ] ^ п ввиду (5,9а), Однако Xj+l Е \ [г] в противоречие с ( ), Значит, х Е Тж не может удовлетворять всем условиям (5,9), т.о.
( ) & ( ) ^ N (х) = ^ N (г). (5.11)
Рассмотрим теперь различные х,у Е Тж такие, что Бх,дт = БУ,дт. Это возможно, например, при (Т, о) = (М, 1). Переставляя х и у, если нужно, считаем, что х Е вУ \ [У]■ Для Z = [у] импликация (5.11) показывает, что N (х) = N (у). Значит, определение
и(0) = О & и( дт) = N (х)
функции множества и : &дт ^ [0, то) корректно.
Пусть имеется дизъюнктное объединение
вх,дт = и вг,дт,
гег
где Z С Тж, ах Е Тж выбрано минимальным среди всех точек х с данным Бх,дт. Из этой минимальности и вложений Б^дт С Бх,дт получаем, что верно (5.9а). Значит,' (5.11) доказывает счетную аддитивность и и лемму , □
Пусть мера р в Мп сосредоточена та двоичном кубе К £ V. Положим
Т = Ъ{К) (см. (2.13)) & о = К & N(<<) = р(<<) (<< £ Т).
Множество Н( П Т^ = Н( состоит из 2п кубов, образующих разбиение куба < что дает ( ), По лемме на дТ определена мера и такая, что
ит«) = »(Б^) = »(Б^т) = N < = р(<<),
где мы продолжили и на Т нулем: и(Т) = 0. Для и(<) = £(~р1 имеем
Вт(Р) = £ Р«)р'С ~п)+п (0 <Кп/р = п/д),
: ((СР
что равно левой части в ( ), В силу р'(1 -п)+п < 0 условие ( ) равносильно такому же условию (с другой постоянной А7), где Р пробегает множество Т>(К), Значит, условия ( ) и ( ) равносильны условию Ст < го и, по теореме (а), соответствующему неравенству Харди (5,5),
Выведем аналог теоремы для двоичного семейства V, когда «мера сосредоточена на границе» и «корень удален на бесконечность».
Пусть даны р,д £ (1, го^, мер а р в Мп (п € N и функция V : V ^ (0, го). Для точки х £ Мп, куб а < £ V и функци и / : V ^ [0, го) обозначим
Рхр = {< £Ъ: х £<}, = {Р £ ^ :Р
и-V(<)=р(<), V»(<) = ^ и1-р'
То f (х) = £ В-р (<) = £ и%V1-',
Ср = зирВ^'и-1^', Въ = .
V V
Имеют место следующие результаты. Лемма 5.4. Для, любого < £'0
Ту / ¿р
йиР ^-ТГГР = ВЪ (<).
/: и=0КЪ(() ¡р) /Р
Лемма 5.5. Справедливы оценки
Въ ^ д1/р'Съ, р<д ^ Съ ^ 2(2р'/(1'-1 - 1)-1/рВъ.
Теорема 5.2. (а) Если 1 < р ^ д < го, то неравенство Харди
(3 А £ 0) (У/ : [0, го)) ^[Тъ/]* йр) Ы ^ А^/Р (5.12)
равносильно условию С-р < го. При этом
Съ ^ А ^ д1/д+(р'-ч')(р-1)/(р'ч')г(р-1)/чСр (г = р'(д - 1) £ д)
для, наилучшего А в (5.12). Б частности, С-р ^ А ^ рС-р при р = д. (Ь) Если 1 < р < д < го, то ( ) ^ Бх> < го.
Доказательство этих результатов почти идентично доказательству лемм 5,1 и 5,2 и теоремы 5,1, В доказательство теоремы 5,2 используется оценка
Fs (х) ^ s^Fs-1f (s e{q, г} их е R UV)
для функции F(х) = f, где множество {f = 0} конечно. Она является частным
случаем аналогичного неравенства для дерева Т = V(K), где куб К е V столь большой, что V(K) э PX,V n{f = 0}.
Пусть 0 < I < п/р = n/q и v(Q) = Тогда, как и выше, число В-р(P) равно левой
части условия ( ), а само условие ( ) означает, что С-р ^ А7. По теореме (а)
условия (2,5) и (2,12) равносильны неравенству Харди (5,12), Эту эквивалентность можно
=
=
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.И. Парфенов. Дискретная норма на, липшицевой поверхности и соболевская, распрям,ляе-мость границы /7 Матем. труды. 10:2, 163 186 (2007).
2. N. Arcozzi, R. Rochberg, Е. Sawyer. Garleson measures for analytic Be.sov spaces /7 Rev. Mat. Iberoam. 18:2, 443 510 (2002).
3. N. Arcozzi, R. Rochberg, E. Sawyer. Garleson measures for the Drury-Arveson Hardy space, and other Besov-Sobolev spaces on complex balls /7 Adv. Math. 218:4, 1107 1180 (2008).
4. N. Arcozzi, R. Rochberg, E.T. Sawyer, B.D. Wick. Potential theory on trees, graphs and Ahlfors-re.gular metric spaces /7 Potential Anal. 41, 317 366 (2014).
5. N. Arcozzi, I. Holmes, P. Mozolvako, A. Volberg. Bellman function sitting on a tree. /7 Int. Math. Res. Not. 2021:16, 12037 12053 (2021).
6. A.A. Vasil'eva. Estimates for norms of two-weighted summation operators on trees for 1 <p<q< то // Preprint: arXiv: 1509.06974 (2015).
7. A.A. Vasil'eva. Estimates for norms of two-weighted summation operators on a tree under some, restrictions on weights /7 Math. Nachr. 288:10, 1179 1202 (2015).
8. W.D. Evans, D.J. Harris, L. Pick. Weighted Hardy and Poincare. inequalities on trees /7 .J. London Math. Soe. II Ser. 52:1, 121 136 (1995).
9. D.E. Edmunds, W.D. Evans. Hardy operators, function spaces and embeddings. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2004.
10. А.И. Парфенов. Характеризация, .мультипликаторов в пространствах Хедберга-Не.трусова /7 Матем. труды. 14:1, 158 194 (2011).
11. А.И. Парфенов. Критерий соболевской корректности задачи Дирихле для, уравнения, Пуассона, в липшицевых областях. 11 jj Сиб. электрон, матем. изв. 20:1, 211 244 (2023).
12. N. Arcozzi, P. Mozolvako, К.-М. Perfekt, G. Sarfatti. Bi-parameter potential theory and Garleson •measures for the Dirichle.t space, on the bidisc /7 Preprint: arXiv: 1811.04990 (2018).
13. Ф.Л. Назаров, С.P. Трейль. Охота, на, функцию Беллмана: приложения, к оценкам сингулярных интегральных опера,торов и к другим классическим задачам, гармонического анализа, /7 Алх'ебра и анализ. 8:5, 32 162 (1996).
14. P. Mozolvako, G. Psaromiligkos, A. Volberg, P. Zorin-Kranich. Garleson embedding on the. tri-tree. and on the. tri-disc /7 Rev. Mat. Iberoam. 38:7, 2069 2116 (2022).
15. D.H. Luecking. Embedding theorems for spaces of analytic, functions via Khinchine.'s inequality /7 Mich. Math. .J. 40:2, 333 358 (1993).'
16. I.E. Verbitsky. Nonlinear potentials and trace, inequalities j j Oper. Theory Adv. Appl. 110, 323 343 (1999).
17. N. Arcozzi. Garleson measures for analytic. Be.sov spaces: the. upper triangle, case. /7 .J. Inequal. Pure Appl. Math. 6:1, Paper No. 13 (2005).
18. C. Cascante, J.M. Ortega, I.E. Verbitsky. On Lp-Lq trace inequalities // J. Lond. Math. Soc. II Ser. 74:2, 497 511 (2006).
19. A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson. The Hardy inequality. About its history and some related results. Pilsen: Vvdavatelsky Servis. 2007.
20. V.G. Maz'va. Sobolev spaces. With applications to elliptic partial differential equations. Berlin: Springer. 2011.
21. Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтльвуд, Г. Полна. Неравенства,. М.: Гос. изд. иностр. лит. 1948.
22. И.С. Кац, М.Г. Крейн. Критерий дискретности спектра сингулярной ст,руны // Изв. вузов. Матем. 1958:2, 136-153 (1958).
23. G. Talenti. Osservazioni sopra una classe di disuguaglianze // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 39, 171-185 (1969).
24. G. Tomaselli. A class of inequalities // Boll. Unione Mat. Ital. IV Ser. 2, 622-631 (1969).
25. T. Walsh. On weighted norm inequalities for fractional and singular integrals // Can. J. Math. 23:5, 907-928 (1971).
26. G. Bennett. Some elementary inequalities // Q. J. Math. Oxf. II Ser. 38:4, 401-425 (1987).
27. S. Bloom, R. Kerman. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type // Proc. Amer. Math. Soc. 113:1, 135-141 (1991).
28. D.R. Adams, L.I. Hedberg. Function spaces and potential theory. Berlin: Springer-Verlag. 1996.
29. D.A. Stegenga. Multipliers of the Dirichlet space // 111. J. Math. 24:1, 113-139 (1980).
30. R. Kerman, E. Sawyer. The trace inequality and eigenvalue estimates for Schrddinger operators // Ann. Inst. Fourier. 36:4, 207-228 (1986).
31. V.G. Maz'va, I.E. Verbitskv. Capacitary inequalities for fractional integrals, with applications to partial differential equations and Sobolev multipliers // Ark. Mat. 33:1, 81-115 (1995).
32. M. Christ. A T(b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral // Colloq. Math. 60/61:2, 601-628 (1990).
33. Ю.В. Покорный, O.M. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит. 2004.
34. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.
35. G. Bennett. Some elementary inequalities. Ill // Q. J. Math. Oxf. II Ser. 42:1, 149-174 (1991).
36. A.H. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд. М.: Наука. 1968.
Антон Игоревич Парфёнов,
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,
пр. акад. Коптюга, 4,
630090, г. Новосибирск, Россия
E-mail: parf enov@math. nsc. ru
